Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp hướng dẫn học sinh làm bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 T¸ch 2 = - vµ nhãm x2 –3x+ thµnh mét nhãm råi ¸p dông h»ng ®¼ng thøc a2 - 2ab + b2 =(a - b)2 vµ a2- b2=(a-b)(a+b).
*H­íng dÉn: 
x2-3x+ 2= x2 –3x+- =( x2 –3x+) - =(x- )2- ()2 
= (x--)(x-+)= (x-2)(x-1)
 Tæng qu¸t: §Ó ph©n tÝch ®a thøc bËc hai a x2+bx+c thµnh nh©n tö , ta t¸ch h¹ng tö bËc nhÊt bx thµnh b1x+b2x sao cho b1b2 =a.c. Trong thùc hµnh ta lµm nh­ sau:
B­íc 1: TÝnh tÝch ac
B­íc 2: Ph©n tÝch ac ra tÝch 2 thõa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch.
B­íc 3: Chän 2 thõa sè cã tæng b»ng b vµ cã tÝch b»ng ac.
 Chó ý:
 - NÕu b lµ sè lÎ hoÆc a kh«ng lµ b×nh ph­¬ng cña mét sè nguyªn th× ta gi¶i theo c¸ch 1 sÏ gän h¬n.
 - NÕu a lµ mét b×nh ph­¬ng cña mét sè nguyªn th× ta t¸ch sè h¹ng kh«ng ®æi ®Ó lµm xuÊt hiÖn d¹ng hiÖu hai b×nh ph­¬ng.
6, Ph­¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö:
 a.:Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn hiÖu cña hai b×nh ph­¬ng:
VÝ dô (Bµi 57d SGK trang 25): Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
x4 +4
* Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 Ta thÊy x4= (x2)2; 4= 22 ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc b×nh ph­¬ng cña mét tæng ta cÇn thªm 2.x2.2= 4x2 vËy ph¶i bít 4x2 ®Ó gi¸ trÞ ®a thøc kh«ng thay ®æi. Sau ®ã vËn dông h»ng ®¼ng thøc a2 + 2ab + b2 =(a + b)2 vµ a2- b2=(a- b)(a+b).
*H­íng dÉn: 
x4 + 4= x4 + 4+ 4x2- 4x2= (x2+2)2- (2x)2= (x2+ 2- 2x)( x2+ 2+ 2x)
b: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung:
VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
x7+x2+1 
*Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 Thªm vµ bít x vµo ®a thøc råi vËn dông ph­¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö (x7-x) vµ(x2+x+1) råi ®Æt nh©n tö chung vµ vËn dông h»ng ®¼ng thøc 
 a2- b2= (a- b)(a+ b) vµ a3- b3= (a- b)(a2+ ab+ b2) , sau ®ã ®Æt thõa sè chung vµ ¸p dông quy t¾c nh©n ®a thøc ®Ó thùc hiÖn.
*H­íng dÉn: 
 x7+x2+1= x7- x +x2 +x +1=(x7-x)+(x2+x+1)
 =x(x6-1)+( x2+x+1) = x(x3-1)( x3+1) +( x2+x+1)
 = x( x3+1) (x2+x+1)(x-1) + (x2+x+1)
 = (x2+x+1)[ x( x3+1)(x-1)+1] = (x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1)
7, Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc:
 §èi víi c¸c ®a thøc cã bËc 3 trë lªn, ®Ó dÔ dµng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ng­êi ta th­êng dïng c¸ch t×m nghiÖm cña ®a thøc.
 ë líp 7 ta ®· biÕt: Sè a ®­îc gäi lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) nÕu f(a)=0. Nh­ vËy nÕu ®a thøc f(x) cã nghiÖm x=a th× nã chøa nh©n tö x-a.
 Trong ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc ta chia lµm 2 ph­¬ng ph¸p :
a:Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm nguyªn :
 Ta chøng minh ®­îc r»ng: NghiÖm nguyªn cña ®a thøc, nÕu cã ph¶i lµ ­íc cña hÖ sè tù do.
VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
x3 – x2 – 4 (1)
 Ta cã ¦(- 4)= {1;-1;2;-2;4;-4 } kiÓm tra ta thÊy 2 lµ nghiÖm cña ®a thøc (1)
Do ®ã ®a thøc x3 – x2 – 4 chøa nh©n tö x-2, trong thùc hµnh ta lµm nh­ sau:
C¸ch 1: 
*Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 T¸ch –x2= - 2x2+ x2 ®Ó nhãm víi h¹ng tö x3 vµ - 4 , tiÕp ®ã vËn dông ph­¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö vµ ®Æt nh©n tö chung vµ ¸p dông h»ng ®¼ng thøc a2- b2=(a-b)(a+b) ®Ó biÕn ®æi ®a thøc.
*H­íng dÉn: x3 – x2 – 4 = x3 - 2x2+ x2 – 4 = (x3- 2x2) + (x2- 4)
 = x2(x- 2) + (x- 2)(x+2)
 	 = (x- 2)(x2+ x+2)
C¸ch 2:
*Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 T¸ch – 4= - 8 + 4 ®Ó nhãm x3 víi –8 vµ - x2 víi 4 , sau ®ã ¸p dông h»ng ®¼ng thøc a2- b2=(a-b)(a+b) vµ a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2) vµ ¸p dông ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung .
*H­íng dÉn: x3 – x2 –4 = x3 – 8 - x2+4 = ( x3 – 8 ) – (x2- 4)
 = (x-2)(x2+2x+4) –(x-2)(x+2)
 = (x-2)(x2+x+2)
Chó ý:
 + Khi xÐt nghiÖm nguyªn cña ®a thøc , cÇn chó ý 2 ®Þnh lÝ sau:
 - NÕu ®a thøc f(x ) cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× 1 lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) nªn f(x) cã chøa thõa sè x-1.
 VÝ dô: x3- 5x2 +8x –4 cã 1-5+8-4=0 nªn 1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc cã chøa thõa sè x-1.
 - NÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ sè cña h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña h¹ng tö bËc lÎ th×(-1) lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc cã chøa thõa sè x+1.
 VÝ dô: x3- 5x2 +3x+ 9 cã 9-5 =3+1 nªn(-1) lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc cã chøa thõa sè x+ 1
 + §Ó nhanh chãng lo¹i trõ c¸c ­íc cña hÖ sè tù do kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc, cÇn l­u ý nhËn xÐt sau:
 NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) vµ f(1), f(-1) kh¸c 0 th× vµ ®Òu lµ sè nguyªn.
VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 
4x3- 13x2 +9x –18 (1)
* Ph©n tÝch bµi to¸n:
 Cã ¦(-18)={ 1;-1;2;-2;3;-3;6;-6;9;-9;18;-18} mµ f(1)= 4-13+9-18=(-18) vµ f(-1)= - 4-13- 9-18=(- 44) .Do ®ã 1;-1 kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc (1) . 
 Ta thÊy: ; ; ; vµ lµ kh«ng nguyªn nªn 2;-3;
-6;6;9;-9;18;-18 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) .ChØ cßn –2 vµ 3, ta kiÓm tra thÊy 3 lµ nghiÖm cña (1) nªn ®a thøc cã chøa thõa sè x-3. 
*H­íng dÉn: 4x3- 13x2 +9x –18 =4x3-12x2 –x2 +3x+ 6x-18
	= (4x3-12x2) –(x2 –3x)+ (6x-18)
	= 4x2(x-3) – x(x- 3) +6(x- 3)
	= (x- 3)(4x2 –x +6)
 b: Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm h÷u tØ:
 NÕu ®a thøc f(x ) kh«ng cã nghiÖm nguyªn th× f(x) cã thÓ cã nghiÖm h÷u tØ kh¸c.
 Ta chøng minh ®­îc r»ng: Trong ®a thøc cã c¸c hÖ sè nguyªn, nghiÖm h÷u tØ nÕu cã ph¶i cã d¹ng . 
 Trong ®ã: p lµ ­íc cña hÖ sè tù do.
 q lµ ­íc d­¬ng cña hÖ sè cña h¹ng tö cã bËc cao nhÊt.
 Trong thùc hµnh : Ta ph¶i t×m p, q råi tÝnh , sau ®ã vËn dông c¸c ph­¬ng ph¸p ®· biÕt ®Ó ph©n tÝch.
VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 
3x3- 7x2+17x-5
* Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 Ta cã ¦(3)= { 1;-1;3;-3} ; ¦(-5)= { 1;-1;5;-5} , 
Khi ®ã: = { 1;-1;5;-5;; -; ;- } thay vµo ®a thøc ta thÊy lµ nghiÖm cña ®a thøc, do ®ã ®a thøc chøa thõa sè 3x-1.
 T¸ch –7x2= - x2 –6x2 vµ 17x= 2x+15x , vËn dông ph­¬ng ph¸p nhãm vµ ®Æt nh©n tö chung ®Ó biÕn ®æi.
*H­íng dÉn: 
3x3- 7x2+17x-5 = 3x3 -x2 –6x2 +2x+15x-5
 = x2(3x-1)-2x(3x-1)+5(3x-1) 
 = (3x-1)(x2-2x+5)
8, Ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch b»ng ®æi biÕn sè:
 Trong thùc tÕ cã nhiÒu bµi to¸n nÕu ¸p dông c¸c ph­¬ng ph¸p ®· biÕt ®Ó gi¶i th× khã vµ rÊt phøc t¹p, nh­ng nÕu ta ®æi biÕn ®a thøc ®· cho thµnh ®a thøc ®­n gi¶n h¬n víi biÕn kh¸c th× viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö trë nªn dÔ dµng.
VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
(x2-3x-1)2- 12(x2-3x-1)+27
*Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 §Æt x2-3x-1 = y , ta thÊy ®a thøc ®· cho tõ mét ®a thøc bËc 4 ®èi víi x rÊt phøc t¹p trë thµnh mét ®a thøc bËc 2 ®èi víi y ®¬n gi¶n. TiÕp ®ã ta vËn dông ph­¬ng ph¸p t¸ch 1 h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö ®Ó ph©n tÝch.
*H­íng dÉn: : §Æt x2-3x-1 =y ta cã:
 (x2-3x-1)2- 12(x2-3x-1)+27= y2-12y+27 =y2- 9y-3y+27= y(y-3) –9(y-3)
 = (y- 9)(y- 3) =( x2- 3x- 1-3)( x2- 3x-1-9)
 = (x+1)(x- 4)(x+2)(x- 5)
VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
A= (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16
*Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 ¸p dông tÝnh chÊt giao ho¸n vµ kÕt hîp cña phÐp nh©n c¸c ®a thøc nhãm [(x+2)(x+8)] vµ [(x+4)(x+6)] thµnh mét nhãm, sau ®ã ¸p dông qui t¾c nh©n ®a thøc biÕn ®æi chóng vÒ d¹ng nh­ vÝ dô 1 vµ ®Æt Èn phô.
*H­íng dÉn: 
A= (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16 
 = [(x+2)(x+8)] [(x+4)(x+6)]+16
 = (x2+10x+16)( x2+10x+24)+16
 §Æt y= x2+10x+16 ta cã:
 A= y(y+8)+16 = y2+8y+16 =(y+4)2
 = ( x2+10x+16+4)2= (x2+10x+20)2
 Chó ý: §«i khi ta cÇn ph¶i biÕn ®æi ®Ó t×m ®­îc h¹ng tö chung råi míi ¸p dông ®­îc ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè nh­ vÝ dô 2 ë trªn.
9, Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh (cßn gäi lµ ph­¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè)
 §©y lµ ph­¬ng ph¸p khã ®ßi hái ë häc sinh kh¶ n¨ng t­ duy logic cao. V× vËy, cÇn cho häc sinh hiÓu hai ®a thøc ®ång nhÊt víi nhau lµ hai ®a thøc nh­ thÕ nµo: Hai ®a thøc (viÕt d­íi d¹ng thu gän) lµ ®ång nhÊt khi vµ chØ khi mäi hÖ sè cña c¸c ®¬n thøc ®ång d¹ng chøa trong hai ®a thøc ®ã ph¶i b»ng nhau.
VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
x4-3x3+6x2-5x+3
*Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 C¸c sè 1;-1;3;-3 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn , kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ. Nh­ vËy, nÕu ®a thøc trªn ph©ntÝch ®­îc thµnh nh©n tö th× ph¶i cã d¹ng:
(x2+ax+1)(x2+bx+3) hoÆc (x2+ax+1)(x2+bx-3)
 PhÐp nh©n (x2+ax+1)(x2+bx+3) cho kÕt qu¶ lµ: x4+(a+b)x3+(ab+4)x2+(3a+b)x+3
 §ång nhÊt ®a thøc nµy víi ®a thøc ®· cho ta cã: 
 a+b=-3 ; ab+4=6; 3a+b=-5
 Tõ ®©y suy ra :a=1; b=-2
 VËy x4-3x3+6x2-5x+3 = (x2-x+1)(x2-2x+3)
*H­íng dÉn: 
 x4- 3x3+ 6x2- 5x+ 3 = x4- x3 + x2-2x3+2x2- 2x+3x2- 3x+3
 = x2(x2- x+1)-2x(x2- x+1)+3(x2- x+1)
 = (x2- x+1)(x2- 2x+ 3)
10, Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng
 Trong ph­¬ng ph¸p nµy, tr­íc hÕt ta x¸c ®Þnh c¸c d¹ng nh©n tö chøa biÕn cña ®a thøc, råi g¸n cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó x¸c ®Þnh nh©n tö cßn l¹i.
VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
P =ab(a- b)+ bc(b- c)+ ca(c- a)
*Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 NÕu thay a bëi b th× P =0 + bc(b-c)+ cb(c-b) = 0, nh­ vËy P chia hÕt cho a-b.
Ta l¹i thÊy, nÕu thay a bëi b, thay b bëi c, thay c bëi a th× P kh«ng ®æi (Ta nãi P ho¸n vÞ vßng quanh a® b®c®a). Do ®ã, nÕu P chia hÕt cho a- b th× P còng chia hÕt cho b- c vµ c- a. VËy P cã d¹ng k(a- b)(b- c)(c- a) ë ®©y k lµ h»ng sè(kh«ng chøa biÕn) . V× P cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp biÕn a, b ,c vµ tÝch
 (a- b)(b- c)(c- a) còng cã bËc 3 ®èi víi tËp biÕn a, b,c.
 TiÕp ®ã ta g¸n cho a, b, c c¸c gi¸ trÞ tuú ý, chØ cÇn chóng ®«i mét kh¸c nhau ®Ó (a- b)(b- c)(c- a) kh¸c 0 th× sÏ tÝnh ®­îc gi¸ trÞ cña h»ng sè k.
*H­íng dÉn: 
 Do vai trß cña a, b, c trong ®a thøc lµ nh­ nhau nªn P chia hÕt cho a- b, b- c, c- a . VËy P cã d¹ng: k(a- b)(b- c)(c- a) 
V× ®¼ng thøc ab(a- b)+bc(b- c )+ca(c- a)= k(a- b)(b- c)(c- a) ®óng víi mäi a,b,c nªn ta g¸n cho a, b, c c¸c gi¸ trÞ riªng. Ch¼ng h¹n: a= 2; b= 1; c= 0 ta ®­îc:
 2 .1.2+ 0 + 0 = k.1.1.(-2)
 -2k = 2
 k =-1
VËy P=- (a- b)(b- c)(c- a)= (a- b)(b- c)(c- a)
 Trªn ®©y lµ mét sè ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®­îc s¾p xÕp theo hÖ thèng tõ dÔ ®Õn khã, gióp häc sinh n¾m v÷ng kiÕn thøc, rÌn luyÖn kÜ n¨ng gi¶i to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
d¹ng 2: TÝnh nhÈm
Ph­¬ng ph¸p gi¶i: Ph©n tÝch biÓu thøc ®· cho ra thõa sè råi tÝnh.
VÝ dô: TÝnh nhÈm 
2022-542+256.352
*Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 Tr­íc hÕt, ë bµi to¸n nµy ta thÊy nÕu thùc hiÖn theo thø tù c¸c phÐp tÝnh th× rÊt phøc t¹p. Ta nhËn thÊy 2022-542 lµ h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph­¬ng nªn vËn dông a2- b2=(a-b)(a+b), sau dã thùc hiÖn phÐp tÝnh ®èi víi biÓu thøc trong ngoÆc (202- 54)(202+ 54) råi vËn dông ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung ®Ó tÝnh nhÈm.
*H­íng dÉn: 
 2022-542+256.352= (202- 54)(202+ 54) +256.352
 = 256.148 +256.352=256(148+352)=256.500=128000
d¹ng 3: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc
Ph­¬ng ph¸p gi¶i: 
 - Ph©n tÝch biÓu thøc ®· cho thµnh nh©n tö.
 - Thay c¸c gi¸ trÞ cña biÕn vµo biÓu thøc ®· ph©n tÝch.
VÝ dô:(Bµi 56b SGK trang 25): TÝnh nhanh gi¸ trÞ biÓu thøc
x2-y2-2y-1 t¹i x=93 vµ y= 6
*Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 Ta ph©n tÝch biÓu thøc ®· cho thµnh nh©n tö b»ng c¸ch nhãm 3 h¹ng tö cuèi vµo mét nhãm, xuÊt hiÖn d¹ng h»ng ®¼ng thøc a2 + 2 ab + b2 =(a + b)2 vµ 
a2- b2=(a - b)(a + b), sau ®ã thay c¸c gi¸ trÞ cña biÕn vµo biÓu thøc ®· ph©n tÝch.
*H­íng dÉn: 
 x2- y2- 2y- 1= x2- ( y2 +2y +1) = x2- (y+1)2= (x- y-1)(x+y+1)
Thay x=93 vµ y=6 vµo biÓu thøc ®· ph©n tÝch ta cã:
(93-6-1)(93+6+1)=86.100=8600
d¹ng 4: T×m x
Ph­¬ng ph¸p gi¶i: 
 - ChuyÓn tÊt c¶ c¸c sè h¹ng vÒ vÕ tr¸i cña ®¼ng thøc.
 - Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö ®Ó ®­îc ®¼ng thøc d¹ng A.B=0 khi A=0 hoÆc B=0
 - LÇn l­ît t×m x tõ c¸c ®¼ng thøc A=0; B=0 ta ®­îc kÕt qu¶.
VÝ dô (Bµi 55c SGK trang 25): T×m x
x2(x-3)+12- 4x=0
*Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 §Ó ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö ta nhãm 2 h¹ng tö cuèi råi ®Æt nh©n tö chung khi ®ã xuÊt hiÖn h»ng ®¼nh thøc a2- b2=(a - b)(a + b), ®¼ng thøc ®· cho trë thµnh tÝch cña 3 thõa sè. TÝch trªn b»ng 0 khi mét trong c¸c thõa sè b»ng kh«ng.
*H­íng dÉn: x2(x-3)+12- 4x= 0
	 x2(x-3)-(4x-12)= 0
 x2(x- 3)- 4(x-3)= 0
 (x- 3)(x2- 4)= 0
	 (x-3)(x-2)(x+2)= 0
Khi ®ã ta cã: x-3=0 Þ x=3 hoÆc x-2=0 Þ x=2 hoÆc x+2=0 Þx=-2
VËy x=3; x=2; x=-2
d¹ng 5: ¸p dông vµo sè häc
Ph­¬ng ph¸p gi¶i: 
 - Sè nguyªn a chia hÕt cho sè nguyªn b nÕu cã sè nguyªn k sao cho: a= bk
 - Ph©n tÝch biÓu thøc ra thõa sè ®Ó xuÊt hiÖn sè chia.
CÇn l­u ý häc sinh c«ng thøc : am: an= am-n(m³n) ; (ab)m= am.bm
	am. an= am+n
VÝ dô : Chøng minh r»ng: 106- 57 chia hÕt cho 59
*Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 Ta thÊy 106=(2.5)6= 26.56 , sau ®ã sö dông ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung th× biÓu thøc cÇn chøng minh ®­îc ®­a vÒ d¹ng tÝch. VËn dông tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng ta dÔ dµng suy ra ®­îc ®iÒu ph¶i chøng minh.
*H­íng dÉn: 
 Ta cã: 106- 57= (2.5)6 -57= 26.56 –57= 56(26-5)=56(64-5)
 =56.59 chia hÕt cho 59.
d¹ng 6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt (GTLN), gi¸ trÞ nhá nhÊt(GTNN) cña biÓu thøc.
Ph­¬ng ph¸p gi¶i: 
 Dùa vµo h»ng ®¼ng thøc a2 + 2 ab + b2 =(a + b)2 vµ a2 - 2 ab + b2 =(a - b)2 ®Ó biÕn ®æi biÓu thøc:
 a, T= a+[f(x)]2, a lµ h»ng sè. V× [f(x)]2³ 0 víi mäi x nªn T ³ a . 
Khi ®ã, GTNN cña T = a khi f(x) = 0.
b, T= b- [f(x)]2, b lµ h»ng sè. V× - [f(x)]2£ 0 víi mäi x nªn T £ b . 
Khi ®ã, GTLN cña T = b khi f(x) =0.
VÝ dô : T×m GTLN cña biÓu thøc sau: 
A= -x2-8x+5
*Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 Thªm bít ®Ó nhãm c¸c h¹ng tö thÝch hîp råi vËn dông h»ng ®¼ng thøc 
a2 + 2 ab + b2 =(a + b)2 vµ biÕn ®æi A vÒ d¹ng mét h»ng sè trõ b×nh ph­¬ng cña mét biÓu thøc.
*H­íng dÉn: 
 A= - x2- 8x+5 = - (x2+ 8x+16) +16 +5=- (x+ 4)2 +21 
V× - (x+4)2 £ 0 víi mäi x nªn A£ 21 .Khi ®ã GTLN cña A= 21 khi x+4=0 hay x=- 4
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A =21 khi x=-4.
Gi¸o viªn l­u ý häc sinh viÖc t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt thùc hiÖn hoµn toµn t­¬ng tù.
d¹ng 7: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Ph­¬ng ph¸p gi¶i: 
 - §Ó chøng minh biÓu thøc d­¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña x ta biÕn ®æi vÒ d¹ng:
 	 [f(x)]2+ k > 0 , (víi k > 0)
 - §Ó chøng minh biÓu thøc ©m víi mäi x, ta biÕn ®æi vÒ d¹ng: 
	[f(x)]2+ n < 0 ,( Víi n < 0 )
VÝ dô: Chøng minh r»ng: 
A =x2+x+1>0 víi mäi x
*Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 VËn dông ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö dïng h»ng ®¼ng thøc, biÕn ®æi biÓu thøc vÒ d¹ng b×nh ph­¬ng cña mét biÓu thøc cô thÓ : x=2x. ; 1=+ , nhãm c¸c h¹ng tö thÝch hîp, ¸p dông h»ng ®¼ng thøc
 a2 + 2ab + b2 =(a + b)2 biÕn ®æi biÓu thøc vÒ d¹ng b×nh ph­¬ng cña mét biÓu thøc céng víi mét sè d­¬ng.
*H­íng dÉn: 
 A =x2+x+1 = x2+2x. ++ =(x+)2+ > 0 víi mäi x
V× (x+)2³ 0 víi mäi x nªn A> víi mäi x.
VËy A =x2+x+1> 0 víi mäi x.
d¹ng 8: T×m cÆp sè nguyªn (x;y) tho¶ m·n ®¼ng thøc cho tr­íc
Ph­¬ng ph¸p gi¶i: 
 - Ph©n tÝch mét vÕ cña ®¼ng thøc thµnh tÝch cña 2 thõa sè, vÕ cßn l¹i lµ mét sè nguyªn n.
 -Ph©n tÝch sè nguyªn n thµnh tÝch 2 thõa sè b»ng tÊt c¶ c¸c c¸ch, tõ ®ã t×m ®­îc c¸c sè nguyªn x;y.
VÝ dô: T×m cÆp (x;y) tho¶ m·n ®¼ng thøc sau:
x+y= x.y
*Ph©n tÝch bµi to¸n: 
 Ta chuyÓn vÕ vµ ph©n tÝch biÓu thøc –x- y +xy thµnh nh©n tö b»ng c¸ch thªm 1 vµ bít 1 vµo biÓu thøc ®Ó ph©n tÝch biÓu thøc thµnh tÝch
 (x-1)(y-1), tiÕp ®ã tÝnh 1= 1.1=(-1)(-1) khi ®ã ta t×m ®­îc sè nguyªn x;y.
*H­íng dÉn: Ta cã x + y= x.y
	 xy- x- y=0
	 xy- x- y +1=1
	x(y-1)- (y- 1)=1
	 (x-1)(y- 1)=1
 MÆt kh¸c: 1= 1.1=(-1)(-1)
Do ®ã ta cã: y-1=1 vµ x- 1=1 hoÆc y-1=(-1) vµ x- 1 =(-1) suy ra y=0 vµ x=0 hoÆc y=2 vµ x=2
VËy ta cã 2 cÆp sè nguyªn cÇn t×m ( 0;0 );( 2;2)
 Trªn ®©y lµ mét sè d¹ng to¸n th­êng gÆp khi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ë To¸n 8 tËp 1 , c¸c d¹ng bµi tËp ®­îc s¾p xÕp theo hÖ thèng tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p. Mçi d¹ng to¸n ®Òu nªu râ: Tªn cña d¹ng bµi tËp; Ph­¬ng ph¸p gi¶i th­êng dïng nhÊt ®èi víi d¹ng to¸n ®ã c¸c vÝ dô minh ho¹ kÌm theo cô thÓ. 
Sau ®ã, ®Ó häc sinh rÌn luyÖn thªm c¸c kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng bµi tËp trªn, ë mçi d¹ng t«i ®­a ra mét sè bµi tËp t­¬ng tù:
Bµi tËp t­¬ng tù:
Bµi1: (D¹ng 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a. 3x(x-1) +7x2(x-1) b. x2 +6xy2 +9y4
c. x2 –3xy +x- 3y d. xm+n- xm
e. x3- 3x2 +3x –1 –3y g. x2 –6x +3
h. x5 +x +1 i. (x2 +x)2 +4x2 +4x – 12
k. 2x3 –5x2 +8x –3 l. x3 –19x –30
Bµi 2 (D¹ng 2) TÝnh nhÈm:
a. 15,8.35 +15,8.65 b. 6212 –769.373 -1482 c. 742 +242 –48.74
 Bµi 3(D¹ng 3) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
a. x2 +xy –5x –5y víi x= 6 vµ y= 
b. x(2y - z) + x(z- 2y) víi x= 2; y= 0,00018; z= 372000
Bµi 4(D¹ng 4) T×m x biÕt: 
a. 7x(x- 2006) –x +2006= 0 b. 8x2 –4x=0 c. x3 –7x –6
Bµi 5(D¹ng 5) Chøng minh r»ng:
a. 362 +10.32 chia hÕt cho 2, cho 7, cho 9 vµ cho 11.
b. a3b –ab3 chia hÕt cho 6 víi a,b thuéc Z .
c. HiÖu c¸c b×nh ph­¬ng cña 2 sè lÎ liªn tiÕp chia hÕt cho 8.
Bµi 6(D¹ng 6) T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc:
A= - x2 +5x B= x2 – 4x +7 
C= (x +1)(x- 3)(x +2)(x+6) D= 2x+ 12y + 6z- x2 – 4y2 – z2 – 18
Bµi 7(D¹ng 7) Chøng minh r»ng:
a. – x2 +6x- 10 < 0 víi mäi x. b. x2+2xy+5y2 ≥ víi mäi x,y 
Bµi 8( D¹ng 8) T×m c¸c cÆp sè nguyªn:
a. xy – x +2(y- 1)=13 b. xy =11(x+y) 
 IV/ Thùc tiÔn kh¶o s¸t sau khi ¸p dông ®Ò tµi:
 Sau mét thêi gian ¸p dông ®Ò tµi, qua thùc tÕ c¸c giê d¹y, kÕt qu¶ thi häc k× mét t«i thÊy ®Ò tµi b­íc ®Çu ®· mang l¹i hiÖu qu¶ rÊt kh¶ quan. Häc sinh yªu thÝch bé m«n To¸n h¬n, ®ång thêi kÝch thÝch trÝ tß mß t×m hiÓu khoa häc cña häc sinh, c¸c em tÝch cùc chñ ®éng trong viÖc lÜnh héi c¸c kiÕn thøc To¸n häc. ChÊt l­îng cña giê d¹y ®­îc n©ng cao. §Æc biÖt, nã ®­îc thÓ hiÖn ë kÕt qu¶ häc tËp cña c¸c em cô thÓ nh­ sau:
N¨m häc
Sè häc sinh
Giái
Kh¸
TB
YÕu
KÐm
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2005-2006
120
3
2.5
26
21.6
60
50
29
24.2
2
1.7
2006-2007
145
6
4.1
44
30.3
72
49.7
20
13.8
3
2.1
C. KÕt qu¶
 1, Nh÷ng thµnh c«ng trong viÖc thö nghiÖm:
 Trong qu¸ tr×nh thö nghiÖm t«i ®· thu ®­îc mét sè thµnh c«ng b­íc ®Çu:
* VÒ phÝa häc sinh: Qua viÖc giíi thiÖu cho häc sinh hÖ thèng c¸c d¹ng bµi tËp th­êng hay gÆp trong khi gi¶i bµi tËp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö tõ dÔ ®Õn khã, t«i thÊy ®· ph¸t huy ®­îc tÝnh tÝch cùc , t­ duy s¸ng t¹o, sù say mª m«n häc cña häc sinh, gióp h×nh thµnh ë häc sinh ph­¬ng ph¸p vµ c¸ch lµm viÖc víi khoa häc To¸n häc.
 §Æc biÖt, c¸c em x¸c ®Þnh ®­îc d¹ng vµ ph­¬ng ph¸p ®Ó gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö mét c¸ch chñ ®éng. Ngoµi viÖc gi¶i thµnh th¹o c¸c bµi tËp phÇn ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö , c¸c em cßn lµm tèt c¸c d¹ng To¸n cã liªn quan trong ch­¬ng tr×nh §¹i sè 8 vµ §¹i sè 9 sau nµy.
* VÒ phÝa gi¸o viªn: T«i thÊy tr×nh ®é chuyªn m«n ®­îc n©ng cao h¬n, ®Æc biÖt lµ ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc cña ngµnh ®Ò ra. §ång thêi, h×nh thµnh ë gi¸o viªn ph­¬ng ph¸p lµm viÖc khoa häc.H¬n thÕ, ®· ph¸t huy ®­îc sù tÝch cùc chñ ®éng cña ng­êi häc, h×nh thµnh ë häc sinh nh÷ng kÜ n¨ng, kÜ x¶o trong gi¶i To¸n.
 Ngoµi ra, ®Ò tµi cßn lµ tµi liÖu dïng ®Ó tham kh¶o båi d­ìng häc sinh giái.
2, Bµi häc thùc tiÔn: 
 MÆc dï trong thêi gian ng¾n nh­ng ph­¬ng ph¸p h­íng dÉn häc sinh lµm bµi tËp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö gãp phÇn n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc m«n To¸n, kh¾c phôc ®­îc sù mÖt mái nhµm ch¸n vµ lóng tóng ë ng­êi häc, t¹o høng thó trong häc tËp cña häc sinh, t¹o cho ng­êi häc niÒm tin vµ phÈm chÊt ®¹o ®øc cña ng­êi lao ®éng míi, ®Æc biÖt ph¸t triÓn n¨ng lùc t­ duy vµ rÌn luyÖn nh÷ng thao t¸c trÝ tuÖ , h×nh thµnh nh÷ng phÈm chÊt t­ duy khoa häc.
 Muèn h­íng dÉn häc sinh gi¶i bµi tËp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã hiÖu qu¶ gi¸o viªn cÇn chuÈn bÞ kÜ l­ìng tØ mØ, biÕt vËn dông linh ho¹t ®Ó cã thÓ lùa chän nh÷ng c©u hái gîi ý s©u s¾c ®óng lóc, ®óng chç phï hîp víi tr×nh ®é nhËn thøc cña häc sinh nh»m khªu gîi trÝ tß mß, høng thó cña häc sinh gióp c¸c em hiÓu bµi to¸n ph¶i gi¶i. §ång thêi, l­u ý häc sinh ph¶i t×m hiÓu bµi to¸n mét c¸ch tæng thÓ , tr¸nh véi vµng ®i ngay vµo chi tiÕt, ®Æc biÖt kh«ng ®­îc vËn dông c¸c ph­¬ng ph¸p mét c¸ch rËp khu«n, m¸y mãc.
 Bªn c¹ch ®ã, mét ®iÒu kh«ng thÓ thiÕu ®ã lµ gi¸o viªn ph¶i cã lßng yªu nghÒ, yªu trÎ, nhiÖt t×nh cã nh­ vËy hiÖu qu¶, chÊt l­îng d¹y vµ häc míi ngµy ®­îc n©ng cao.
	phÇn kÕt luËn
 §Ò tµi ®· thu ®­îc mét sè thµnh c«ng, song kh«ng thÓ tr¸nh khái thiÕu sãt, rÊt mong nhËn ®­îc sù gãp ý ch©n thµnh cña b¹n bÌ, ®ång nghiÖp vµ b¹n ®äc.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n.
ThiÖu Ngäc, ngµy 25 th¸ng 02 n¨m 2007
 T¸c gi¶ 
 TrÞnh ThÞ TuyÕt
Tµi liÖu tham kh¶o
 1. S¸ch gi¸o khoa vµ s¸ch gi¸o viªn To¸n 8 – TËp 1.
 2. Ph­¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n. 
 3. H­íng dÉn lµm bµi tËp §¹i sè 8
 4. N©ng cao vµ ph¸t triÓn To¸n 8- TËp 1.
 5. Båi d­ìng häc sinh líp 8 
môc lôc
 Néi dung Trang 
 PhÇn më ®Çu 
- Lý do chän ®Ò tµi 1
- Môc ®Ých nghiªn cøu 2
- Kh¸ch thÓ vµ ®èi t­îng nghiªn cøu 2
- Gi¶ thiÕt khoa häc 2
- NhiÖm vô nghiªn cøu 2
- Giíi h¹n ®Ò tµi 2
- Nh÷ng ®ãng gãp míi còng nh­ ý nghÜa lý luËn vµ thùc tiÔn cña ®Ò tµi 2
- Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu 3
 PhÇn néi dung
A. C¬ së lý luËn 3
B. T×nh h×nh thùc tiÔn 4
- Thùc tiÔn kh¶o s¸t tr­íc khi ¸p dông ®Ò tµi 4
- Nguyªn nh©n dÉn ®Õn thùc tiÔn 4
- C¸c gi¸i ph¸p ®· ¸p dông 5
C. KÕt qu¶ 19
PhÇn kÕt luËn 20 
Tµi liÖu tham kh¶o 21