Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp học giải toán

Mở đầu :
 	- Hiện nay trong dạy học toán học , có tình trạng là nhiều học sinh không giải được bài toán , do đó những học sinh này không có điều kiện để hiểu rõ thêm những tri thức toán học , mà còn dễ bi quan , thiếu tự tin ,mất hứng thú trong học tập .Vì sao lại có tình trạng này , trước tiên chúng ta cần tìm hiểu nguyên nhân :
Về phía giáo viên :
 	- Thiên về cung cấp bài giải , cho học sinh tiếp thu một cách thụ động , việc trình bày một bài giải có sẵn cũng làm cho nhận thức của học sinh > tức là học sinh có hiểu . Nhưng việc hiểu một cách thụ động như thế không thể thay thế cho hoạt động trí tuệ . Sự bừng sáng như vậy có một tính chất tâm lý hoàn toàn khác vơí sự bừng sáng nảy sinh, khi giáo viên hướng dẫn học sinh tìm tòi cách giải .
-Thường bằng lòng và kết thúc công việc khi đã tìm được một cách giải nào đó , chưa chú trọng ý hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm tòi cách giải khác, cách giải hay hơn , hoặc khai thác thêm ở bài toán vừa giải nhằm phát huy tư duy linh hoạt và sáng tạo của học sinh ; chúng ta thường chú ý đến số lượng hơn chất lượng bài giải.
Về phía học sinh :
-Rất lúng túng , không biết làm gì , bắt đầu từ đâu , đi theo hướng nào , không biết liên hệ những điều nói trong bài toán với những kiến thức nào đã học , không phân biệt điều đã cho với điều cần phải tìm, nên không biết cách làm.
-Suy luận kém , chưa hiểu thế nào là chứng minh , cho nên lý luận thiếu căn cứ , không chính xác , không chặt chẽ , không nắm được phương pháp tư duy, phương pháp cơ bản giải toán, suy nghĩ rất hời hợt , máy móc. Không biết rút kinh nghiệm về bài vừa giải , nên thường lúng túng trước những bài toán khác đôi chút với bài quen giải .
-Trình bày bài giải không tốt , hình vẽ không chính xác, rõ ràng,ngôn ngữ và ký hiệu tuỳ tiện ; câu văn lủng củng , không ngắn gọn , sáng sủa , lập luận thiếu căn cứ, không khoa học , không lô-gich.
 Những khuyết điểm trên đây của học sinh , do chúng ta chưa quan tâm đầy đủ đến việc uốn nắn trong những bước đi ban đầu . Cho nên, học sinh thường mắc những sai lầm ngay cả khi thực hiện nhũng thao tác rất đơn giản. Vậy chúng ta cần có những biện pháp để học sinh giải được toán, nhất là đối với học sinh yếu kém , giáo viên cần hưóng dẫn học sinh, khi giải một bài toán nên thực hiện các bước sau đây :
+ Tìm hiểu đề bài
+ Cách tìm lời giải
+ Cách giải
+ Khai thác bài toán
+ Các bài tâp tương tự( Học sinh tự giải )
Nội dung :
*Phần đại số :
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau :
a) - Với x = 
b) Với x = 1+ 
Tìm hiểu đề bài :
 Đề bài cho các biểu thức dưới dạng có thể rút gọn được , sau đó yêu cầu tính giá trị ứng với các giá trị đã cho của các chữ .
Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Các biểu thức dưới dấu căn đều là hằng đẳng thức đáng nhớ dạng ( A- B ) 2. Khi rút gọn lưu ý đến hằng đẳng thức = / M /
Thay giá trị của x vào biểu thức và lưu ý cách viết 2 = để rút gọn cho nhanh .
Cách giải :
a) = / 3x2- 1 / - / 2x2 –3 /
Thay giá trị x = ta có giá trị biểu thức biểu thức là :
 / 3.()2 – 1 / - / 2 .()2 - 3 / = 8 – 3 = 5
Thay x = 1 + vào biểu thức đã cho được:
.
Khai thác bài toán :
Gặp trường hợp + ta làm như sau :
= = 2 ( vì 1)
Ở câu b) nếu ta cho x = 2+ thì giá trị biểu thức sẽ là :
.
 Ở câu a, nếu bài ra cho : Tìm điều kiện để biểu thức sau có nghĩa 
, tức là ta đổi dấu tất cả số hạng dưới dấu căn , thì trước hết phải viết như sau : 
 Biếu thức dưới dấu thứ nhất chỉ có nghĩa khi –( 3x2 – 1)2 
 tức là (3x2-1)2 nhưng (3x2-1)2 không thể âm nên 3x2 –1=0 hay x2 =
x=	
Tương tự biểu thức dưới dấu căn thứ hai có nghĩa khi –( 2x2 –3)2 , tức là 
( 2x2 –3)2 , nhưng (2x2 –3)2 không thể âm nên 2x2 –3= 0, hay x 2 = 
 x = .
 Như vậy khi biểu thức dưới dấu căn có dạng –M2 với M = f(x) chẳng hạng thì ta đừng nên vội kết luận rằng không tồn tại .
Bài tập tự giải:
Câu 1 :
Cho biểu thức :
Q = .
( Với a > b > 0 )
Tính giá trị biẻu thức với a = 3b .
 Câu 2: 
Xét biểu thức : P = .
Tìm giá trị của P nếu x = 4.(2-) .
Tìm giá trị nhỏ nhất của P .
Câu 3:
Cho biểu thức :
 	A = 4x - .
 Tìm giá trị của x đế A = 15 .
 Câu4 :
Cho biểu thức :
 B = ( 1- 
a) Chứng minh rằng B có giá trị là : .
b) Tìm a để biểu thức B < B2 .
c) Tìm a để .
 * Bài toán 2 :	Trục căn thức ở mẫu : 
a) .
b) .
Tìm hiểu đề bài :
 Đề bài yêu cầu biến đổi sao cho mẫu không còn căn thức nữa , làm như vậy gọi là trục căn thức ở mẫu .( Giáo viên cần cho học sinh phân biệt với khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn, tức là : Mỗi biểu thức dưới dấu căn đều có mẫu, ta phải khử các mẫu đó ,để biểu thức dưới dấu căn không còn chứa mẫu nữa).
	Ta nhận thấy rằng : Mẫu của các biểu thức ở đề bài là tổng hoặc hiệu của một sổ hữu tỉ và một căn thức bậc hai .
Cách tìm lời giải :
Áp dụng công thức tổng quát :
+ 	.
+	.
 Các biểu thức : B - và gọi là hai biểu thức liên hợp của các mẫu .
Đối với câu a thì biểu thức liên hợp của 9+ là 9- 
Đối với câu b thì biểu thức liên hợp của 3-1 là 3+1.
Cách giải :
a) = = 
b) = = 
Khai thác bài toán :
Có khi gặp trường hợp mẫu có dạng chẳng hạn ta cũng phải nhân cả tử và mẫu với mẫu để khử bớt dấu căn : .= 
 Ta trở lại dạng như ở các câu thuộc bài toán trên .Do đó ta phải nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu là 7+2. Ta có :
. = = = (7+2
 Đến đây ta có thể viết gọn hơn bằng cách đưa thừa số 7+2vào trong dấu căn như sau :
.
 Ngoài trường hợp mẫu là tổng hoặc hiệu của của hai căn thức bậc hai như các ví dụ trên, còn có trường hợp mẫu là tổng đại số của ba hoặc nhiều căn thức .
 Chẳng hạn , ta xét bài toán dưới đây : 
 Trục căn thức ở mẫu của biểu thức : . (Mẫu là tổng đại số của ba căn thức ) . 
 Khi đó ta đưa về trường hợp mẫu là tổng hai căn thức bằng cách : Ta viết mẫu dưới dạng : ( . Lúc này biểu thức liên hợp của mẫu sẽ là : (. Khi đó ta biến đổi như sau : 
Các bài tập tự giải :
Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :
a) 	;	b)	
	c)	;	 d)	
	e)	;	 f)	
II . phần hình học :
Bài toán1 : 
 Cho tam giác ABC (Â < 1200 ) . Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều : ABE ; ACF .
Chứng minh rằng BF = CE .
 Gọi Q là giao điểm của BF và CE , tính số đo của góc BQC .
Tìm hiểu đề bài : 
Đề bài cho tam giác ABC với  < 1200 và hai tam giác đều dựng ra phía ngoài. Phải chứng minh : BF = CE và tính số đo góc BQC với Q = BF CE .
 Cách tìm lời giải :
Cần chứng minh : để có : BF = CE .
 Để tính số đo của góc BQC trước hết ta cần lưu ý kết quả câu a) là :
 .
Cách giải :
F
A
E
Q
C
B
a) Chứng minh : CE = BF 
 Xét hai tam giác : EAC và BAF
 ta có : - AE = AB ( giả thiết )
góc EAC = góc BAF ( vì góc EAB = góc FAC =600 cùng cộng với góc BAC )
AC = AF ( theo giả thiết ).
 Vậy : . suy ra : CE = BF .
b)Tính số đo của góc BQC 
 Vì tam giác EAC bằng tam giác BAF nên góc ACE = góc AFB .
 Biết : góc ACF = 600 và góc BFA + góc BFC = 600 = góc BFC + góc ACE. 
Nên : góc BFC + góc FCA + góc ACE = 1200 . 
 Hay : góc QCF + góc QFC = 1200 
 vì tổng các góc trong một tam giác bằng 1800.
 Nên suy ra : góc CQF = 1800 – ( góc QCF + góc QFC ) = 1800 – 1200 = 600.
 Do góc BQC + góc CQF = 1800 nên góc BQC = 1800 – góc CQF =
	1800 – 600 = 1200 .
 Vậy góc BQC = 1200 .
Khai thác bài toán :
Khi  = 1200 ta có hình sau : 
F
	E
A
B
	C
 Trong trường hợp này thì B , A, F và C ,A ,E thẳng hàng vì :
 góc BAC + góc CAF = góc CAB + góc BAE = 1800 và ta vẫn có : 
BA+FA = BF = EA + AC =CE.
 Do Q = BF CE trùng với A , nên: góc BQC = 1200 .
khi  > 1200 , ta có hình sau :
E
	 	 F
Q
 A
	B	C
 Trong trường hợp này thì : (c.g.c )
Nên : BF = CE và góc BQC = 1200
 Như vậy là trong cả ba trường hợp  1200 ;  = 1200 thì các kết quả bài toán là không thay đổi , chỉ có một lưu ý là : Khi  = 120 0 thì : và 
suy biến thành hai đoạn thẳng EC và BF .
Bài toán 2 : 	
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O . Trên a lấy điểm A và trên b lấy điểm B.
Có bao nhiêu đường tròn đi qua ba điểm A , O, B ?
Trong tất cả các đường tròn nhận MN là 1 dây cung , hãy giải thích tại sao đường tròn có đường kính MN lại là đường tròn có đường kính nhỏ nhất .
Tìm hiểu đề bài :
a) Câu này liên quan đến sự xác định một đường tròn qua ba điểm A ,O ,B
trong đó O là giao điểm của hai đường thẳng a ,b và A ,B là hai điểm bất kì thuộc a và b.
 b) Yêu cầu của câu này là giải thích tại sao đường tròn đường kính MN lại có đường kính nhỏ nhẩt trong tất cả các đường tròn nhận MN là một dây cung .
 Cách tìm lời giải :
Lưu ý A và B có thể nằm về hai phía của O, ngoài ra A và B cũng có thể trùng với O hoặc khác với O. Do đó ta hãy xét các trường hợp sau :
O khác A và B ;
-A trùng với O nhưng B khác O hoặc ngược lại ;
Ba điểm O ,A ,B trùng nhau .
Dựa vào định lý : Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn .
Cách giải :
	a
	O	B
A
b
-Trường hợp O khác A và B ,như thế ba điểm O , A , B không thẳng hàng nên bao giờ cũng có và chỉ có một đường tròn đi qua ba điểm O , A ,B .
Trường hợp A trùng với O nhưng B khác O ( hoặc B trùng với O nhưng A khác O ) thì có vô số đường tròn đi qua hai điểm O và B mà tâm của chúng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng OB ( hoặc của đoạn thẳng OA ) .
Trường hợp A và B trùng với O thì có vô số đường tròn đi qua O mà tâm là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng ( cũng còn có thể cho rằng đường tròn đi qua ba điểm :
 O , A , B bây giờ suy biến thành một điểm O ).
N
M
Tất cả đường tròn nhận MN làm một dây cung đều có đường kính lớn hơn hoặc bằng MN . vì thế đường tròn có đường kính MN là đường tròn có đường kính nhỏ nhất .
*Khai thác bài toán :
Có thể thêm câu hỏi sau đây : Tính bán kính của đường tròn đi qua O ,A , B trong trường hợp: Tam giác OAB
 + vuông tại O, với OA = m , OB = n .
+Vuông cân tại O , với OA = OB =p.
+ là tam giác đều với cạnh bằng q .
Ta thấy : 
- Nếu tam giác OAB vuông tại O thì tâm đường tròn là trung điểm cạnh huyền AB và bán kính bằng :.
Nếu tam giác OAB vuông cân tại O thì tâm vẫn là trung điểm cạnh huyền AB nhưng bán kính bằng : .
 Nếu tam giác OAB là tam giác đều cạnh q thì tâm là gio điểm G của ba trung tuyến với bán kính OG băng 2/3 đường cao của tam giác đều . Tức là : 
.
b) Có thể thêm câu hỏi sau : Tìm tâm của tất cả các đường tròn nhận MN làm một dây cung .
 Rõ ràng tâm của tất cả các đường tròn này nằm trên đường trung trực này với MN 
.Bài toán 3 : Cho đường tròn ( O; r ) và điểm A , với OA = r . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN .
Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình vuông .
 Gọi H là trung điểm của dây MN , chứng minh rằng ba điểm : A , H , O thẳng hàng .
Tìm hiểu đề bài :
 Đặc điểm của bài này là cho đường tròn tâm O bán kính r , khoảng cách OA = rvà hai tiếp tuyến AM , AN . Yêu cầu đầu tiên là chứng minh : AMON là hình vuông (câu a ) , rồi chứng minh ba điểm : A , H , O thẳng hàng , trong đó H là trung điểm của dây MN ( câu b ) .
M
Cách tìm lời giải :
A
1
2
H
O
N
Hãy chứng minh tam giác AMO là tam giác vuông cân để suy ra MO = AM = r, từ đó chứng minh AMON có bốn cạnh bằng nhau và một góc vuông( hình trên) 
 Chứng minh : Góc MOA = Góc NOA. Từ đó suy ra OH là tia phân giác của góc MON và OA là tia phân giác của góc MON . Suy ra hai tia OH và OA trùng nhau .
Cách giải :
Tam giác AMO vuông tại M có cạnh huyền OA = r , nên là tam giác vuông cân . Suy ra MO =MA = r.
Tương tự tam giác ANO cũng vuông cân tại N , nên NA = NO = r .	
 Do AM = AN ( tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ A ) 
 Nên tứ giác AMON là hình vuông ( vì có 4 cạnh cạnh bằng nhau và có một góc vuông ) .
 Do H là trung điểm của dây MN nên trong tam giác cân OMN thì OH là tia phân giác của góc MON .
Mặt khác : OA cũng là tia phân giác của góc MON ( tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ A )
 	Vậy hai tia OH và OA trùng nhau, do đó ba điểm : A ,H ,O thẳng hàng .
Khai thác bài toán :
 Ta có thể đặt thêm các câu hỏi sau đây :
Một đường thẳng( m ) quay xung quanh A cắt ( O ) tại P và Q . gọi S là trung điểm của dây PQ , tìm quỹ tích của điểm S .
 Tìm vị trí của đường thẳng (m) để tổng : AP + AQ là lớn nhất .
 Tính theo r độ dài đoạn HI , trong đó I là giao điểm của AO với 	 cung nhỏ MN.
Cách giải như sau:
O
Q
M
	 (m)
S
	P
Q
H
A	P/
N
Ta có OS vuông góc với PQ ( vì S là trung điểm của dây PQ ). Do góc ASO vuông và A , O cố định . Nên quỹ tích của S là đường tròn đường kính OA . Vì S nằm trong đường tròn (O) , nên S chỉ chạy trên cung MON nằm trong đường tròn (O) 
d) Kẻ đường kính P/Q/ qua A ta chứng minh rằng : AP/ + AQ/ có giá giá trị lớn nhất. Muốn thế ta chỉ cần chứng minh : AP/ + AQ/ > AP + AQ .
 Thật vậy , một mặt ta có : 
AP + AQ = AP + AP + PQ =2AP +2PS = 2( AP + PS ) = 2.AS 	 (1)	
Mặt khác :	AP/ + AQ/ = AP/ + AP/ + P/Q/ = AP/ + AP / + P/O + OQ/ 
	=2( AP/ + P/O ) = 2.AO . 	(2)
Từ(1) và (2) suy ra 	: 2.AO > 2. AS	 . Tức là : AP/ + AQ/ > AP +AQ 
Vậy khi đường thẳng (m) đi qua tâm O thì tổng AP + AQ là lớn nhất .
e).Điểm I chính là điểm P/ ( theo câu d ), do đó để tính HI ta tính HP/ . Ta có :
 HP/ = OP/ - OH = r - .
Các bài tập tự giải : 
 Bài 1 : Cho đường tròn ( O; r ) . Từ điểm M ( với OM = 2r ) ta vẽ hai tiếp tuyền MP và MQ .
Chứng minh rằng : tam giác MPQ là tam giác đều và tính cạnh của nó .
 Đường thẳng qua M và O cắt (O) tại D và E . Tứ giác DPOQ là hình gì ? Tính diện tích của nó theo r .
Bài 2: cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB và M là một điểm nằm trên nửa đường tròn đó . Kẻ hai tiếp tuyến Ax , By với nửa đường tròn . Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt A x ,Ay lần lượt tại C và D .
Chứng minh rằng : CD = AC + BD .
OC và OD cắt AM và BM theo thứ tự tại E và F . Xác định tâm P của đường tròn đi qua bốn điểm : O, E , M , F.
 Chứng minh tứ giác : ACDB có diện tích nhỏ nhất khi nó là hình chữ nhật và tính diện tích nhỏ nhất đó .
 III . KẾT LUẬN :
 -Quy trình bình thường của học sinh trong học toán là nghe Giáo Viên giảng , về nhà làm bài tập theo đúng bài giảng của Giáo Viên , hoặc làm đúng kết quả của sách cho , làm như thế học sinh chỉ đạt loại trung bình .
 -Vì thế để học giỏi toán các em cần nắm vững “phương pháp học giải toán” ; Tìm ra các cách giải khác nhau và tự nhận xét để tìm ra cách giải tối ưu. Tất nhiên để nắm vững phương pháp thường rất vất vả, công việc này đòi hỏi tính cần cù, chịu khó, thói quen giải toán và rèn luyện thường xuyên. 
 -Đối với Giáo Viên trước hết chúng ta phải thích thú môn toán, hãy cố gắng rèn luyện cho sinh những thói quen nhất định, tri thức cần thiết và nắm vững phương pháp giải toán, tìm trong bài toán có những gì có thể có ích khi gặp các bài toán khác theo tình huống đã cho, tìm tòi phát hiện bao điều kì diệu của toán học, từ đó các em có hứng thú, say mê giải toán .
 - Trên đây là những vấn đề mà bản thân đã học hỏi được ở các đồng nghiệp và sách tham khảo .Tuy nhiên cũng không tránh khỏi sai sót, rất mong sự đóng góp của quý thầy cô để chuyên đề này tốt hơn và được áp dụng rộng rãi trong học sinh nhất là ở các trường học sinh yếu toán .
Đức Hoà , Ngày 16 Tháng 2 Năm 2007
 Người viết
HUỲNH TRUNG KIÊN