Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải toán lũy thừa trong Q

đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên quan và kĩ năng biến đổi.
 a. Ta có: = = tận cùng là 625 	( n N, n ≥ 1)
	=> + 375 có tận cùng 000.
 Vậy: + 375 1000
 b. Ta có = = = 	( n N, n ≥ 2)
 Vậy - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00.
	Do đó : - 25 100
 c. 2001n + 23n . 47n + 252n
 Ta thấy : 2001n có tận cùng là 001
	 23n . 47n = (8 . 47 )n = 376n có tận cùng là 376
	 252n = (252)n = 625n có tận cùng là 625
 Vậy: 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng là 002.
 3.3 Dạng 3 : So sánh hai lũy thừa 
 * Phương pháp : để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)
 +) Lưu ý một số tính chất sau :
 Với a , b , m , n N , ta có :	a > b	ú an > bn 	n N*
	m > n ú am > an 	(a > 1)
	a = 0 hoặc a = 1 thì am = an ( m.n 0)
 Với A , B là các biểu thức ta có :
	An > Bn ú A > B > 0
	Am > An => m > n và A > 1
 m < n và 0 < A < 1
 Bài 1 : So sánh : 
	a, 33317 và 33323	
	b, 200710 và 200810	
	c, (2008-2007)2009 và (1998 - 1997)1999
 Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ .
	a, Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323
	b, Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810
	c, Ta có : (2008-2007)2009 = 12009 = 1
	 (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1
 	Vậy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999
 Bài 2 : So sánh 
	a, 2300 và 3200	e, 9920 và 999910
	b, 3500 và 7300 	f, 111979 và 371320 
 c, 85 và 3.47	 g, 1010 và 48.505 
	d, 202303 và 303202	h, 199010 + 1990 9 và 199110 
 Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa để đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ .
 Hướng dẫn :
	a, Ta có : 2300 = 23)100 = 8100 
	3200 = (32)100 = 9100 	
	 Vì 8100 2300 < 3200
	b, Tương tự câu a, ta có :	3500 = (35)100 = 243100
	7300 = (73)100 = 343100
	Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300
	c, Ta có :	85 = 215 = 2.214 85 < 3.47	
	d, Ta có : 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 
	303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 
	 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202	
	e, Ta thấy : 992 (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 	(1)
 f, ta có : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 	(2)
	371320 = 372)660 = 1369660 
 Từ (1) và (2) suy ra : 111979 < 371320 
	g, Ta có : 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510 	(*)
	48. 505 = (3. 24). (25. 510) = 3. 29. 510 (**)
	Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505 
 	h, Có : 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909 
	 199110 = 1991. 19919 
 	 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110 
 Bài 3 . Chứng tỏ rằng : 527 < 263 < 528 
 Với bài này , học sinh lớp 6 sẽ không định hướng được cách làm , giáo viên có thể gợi ý : hãy chứng tỏ 263> 527 và 263 < 528 
 Ta có :	263 = (27)9 = 1289 
	527 =(53)9 = 1259	=> 263 > 527 	(1)
 Lại có : 263 = (29)7 = 5127 
	 528 = (54)7 = 6257 	=> 263 < 528 	(2)
 Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52 
 Bài 4 . So sánh :
	a, 10750 và 7375 	
	b, 291 và 535 
 Nếu ở bài trước có thể so sánh trực tiếp các lũy thừa cần so sánh hoặc chỉ sử dụng một lũy thừa trung gian thì bài này nếu chỉ áp dụng cách đó thì khó tìm ra lời giải cho bài toán . Với bài này ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian :
	a, Ta thấy : 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 	(1)
	 7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 	(2)
 Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375 
	Vậy 10750 < 7375 
 	b, 291 > 290 = (25)18 = 3218 
	535 < 536 = (52)18 = 2518 
 	 => 291 > 3218 > 2518 > 535 
	 Vậy 291 > 535 
 Bài 5 . So sánh :
	a, (-32)9 và (-16)13 	b, (-5)30 và (-3)50
 c, (-32)9 và (-18)13 	d, ()100 và ()500 
 Hướng dẫn : Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên 
	a, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 
	 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52 
 Vì 245 - 252 
 Vậy (-32)9 > (-16)13 	
	b, (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 
	 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 
 Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50 
	c, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 
	 mà 245 < 252 = 1613 < 1813 
	=> - 245 > - 1813 = (-18)13 
	 Vậy (-32)9 > (-18)13 
	d, Ta có : ()100 = = = còn ()500 = = 
 	Vì 2400 
	 Vậy ()100 > ()500 
 Bài 6 . So sánh A và B biết : 	A = 	; 	B = 
 Trước khi tìm lời giải bài này giáo viên có thể cung cấp cho học sinh tính chất sau :
	* Với mọi số tự nhiên a , b , c khác 0 , ta chứng minh được :
	+) Nếu > 1 thì 
 +) Nếu < 1 thì 
 Ap dụng tính chất trên vào bài 6 , ta có :
	Vì A = < 1 nên 
 A = < ==
	 ==B
 Vậy A < B .
 Giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh giảỉ bài toán theo những cách sau :
 Cách 1: Ta có : 2008.A = =1+
	 2008.B = =1+
	Vì 20082009+1 >20082008+1 nên < 
	=> 2008.A < 2008. B
	=> A < B
 Cách 2:
 = ==
	 = 2008 - 
 = ==
	 = 2008 - 
 Vì 20082008+1> 20082007 +1 nên < 
	 => 2008 - > 2008 - 
 Vậy > => A 0)
 Bài 8 . So sánh M và N biết:	 M = 	; 	N = 
 Hướng dẫn : 
 Cách 1 : N = > 1 
 => N =>=== = M
 Vậy M < N.
 Cách 2 : M = = == 100 - 
	 N = = == 100 - 
 Vì 10099 + 1 => 100 - < 100 - 
	Vậy 	M < N.
 Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau :
 1 . So sánh :
	a, 528 và 2614	b, 521 và 12410	c, 3111 và 1714 
	d, 421 và 647	e, 291 và 535	g, 544 và 2112
 	h, 230 + 330 + 430 và 3. 2410
 2 . So sánh :
	a, và 	b, và 
	c, và 	d, và 
 3. So sánh :
	a, A = 	 và 	B = 
	b, A = và 	B = 
	c, A = 	 và 	B = 
 Gợi ý :
	c, A = và 	B = 
 Bài này không giống bài 7 và bài 8. Học sinh sẽ lúng túng khi bắt tay làm bài, giáo viên cần hướng dẫn : Quy đồng mẫu A và B , ta có :
 A = 	và 	B = 	
	Để so sánh A và B lúc này ta có thể so sánh tử số của A và tử số của B.
 Xét hiệu tử số của A trừ tử số của B:
 (100100 + 1). (10068 + 1) - (10069 + 1). (10099 + 1)
 = 10068 + 100100 + 10068 + 1 - 100168 – 10099 – 10069 – 1
 = 100100 – 10099 – 10069 + 10068
 = 100 . 10099 – 10099 – 100.10068 + 10068
 = 99.10099 - 99.10068
 = 99 . (10099 - 10068) > 0	vì 10099 > 10068
	Vậy A > B.
 3.4. Dạng 4: Tính toán trên các lũy thừa.
 *Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi biến đổi.
 Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
 a, 	 A = 
 b, 	M = 	với x = 7
 Hướng dẫn :	
 Với bài này, học sinh không nên tính giá trị của từng lũy thừa rồi thực hiện các phép tính khác theo thứ tự thực hiện phép tính, mà nếu làm như vậy thì rất khó có thể đưa ra đấp án đúng. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm thừa số chung và đưa ra ngoài ngoặc ở cả tử và mẫu số, sau đó thực hiện việc rút gọn thì việc tìm kết quả của bài toán nhanh đến bất ngờ.
 a, 	A = = = 23 = 8
 b, 	M = 
	Học sinh dễ phát hoảng khi nhìn thấy câu b vì số mũ của lũy thừa cứ cao dần mà số lại chưa cụ thể. Nhưng khi thay giá trị của x vào thì M lại tìm được một cách dễ dàng.
	M = = 
	M = = = 32 = 9
 Bài 2: Chứng tỏ rằng:
 a, 	A = 102008 + 125 45
 b, 	B = 52008 + 52007 + 52006 31
 c, 	M = 88 + 220 17
 d, H = 3135 . 299 – 3136 . 36 7
 Với bài toán này, học sinh phải huy động kiến thức về dấu hiệu chia hết, kĩ năng và phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: Nếu a m, a n, (m;n) = 1 thì a m.n	(a, m, n N*)
 a, A = 102008 + 125 45
	Ta có: 102008 + 125 = + 125 = 
	 2008 số 0	 2005 số 0
	A có tận cùng là 5 => A 5
	Tổng các chữ số của A là : 1+1+2+5 = 9 => A 9.
	 Mà (5;9) = 1 => A 5.9 hay A 45
 b, B = 52008 + 52007 + 52006 31
	Ta không thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép chia. Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung.
	 B = 52008 + 52007 + 52006
	 B = 52006 .( 52 + 51 + 1)
	 B = 52006 . 31 31
 c, 	M = 88 + 220 17
 Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số: 
	 M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220
	 M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220 . 17 17
 d, 	H = 3135 . 299 – 3136 . 36 7
 Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt thừa số chung nào lại là một vấn đề. Nếu đặt 3135 làm thừa số chung thì buộc phải tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm. Khi đó, giáo viên có thể hướng dẫn.
 H = 3135 . 299 – 3136 . 36 
	H = 3135 . 299 – 3136 - 35. 3136
	H = 3135 . (299 – 313) - 35. 3136
	H = 3135 . 14 - 35. 3136
	H = 7 . (3135 . 2 – 5. 3136 ) 7
 Bài 3 . Cho A = 2+ 22 + 23 ++ 260 
 Chứng tỏ rằng : A3 , A7 , A5
 Với bài này ,giáo viên hãy hướng dẫn các em đi nhóm các lũy thừa thành từng nhóm
 2 / 3 / 4 / .lũy thừa sao cho sau khi đặt thừa số chung ở mỗi nhóm thì xuất hiện số cần chứng 
 tỏ A chia hết cho nó.
 Ví dụ : A = 2+ 22 + 23 ++ 260 
 = (2+22)+(23+24)+(25+26)+.+(257+258)+(259+260) 
	 = 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+.+257.(1+2)+259.(1+2)
	 = (1+2).(2+23+25+..+257+259)
	 = 3.( 2+23+25+..+257+259) 
	=> A3 
Tương tự ,ta có : A =(2+ 22 + 23)+(24+25+26)++(258+259+ 260 )
	 = 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+.+258.(1+2+22)
	 = (1+2+22).(2+24+27+.+258) 
	 = 7.(2+24+27+.+258) 
	=> A7
	A = (2+ 23)+(22+24)++(257+259)+(258+ 260 )
	A = 2(1+22)+22(1+22)++257(1+22)+258(1+22)
	 = (1+22).(2+22+25+26+.+257+258)
	 = 5. (2+22+25+26+.+257+258
	=> A5
 Bài 4: Chứng tỏ rằng :
 a, D = 3 + 32 + 33 + 34 +..+ 32007 13
 b, E = 71 + 72 + 73 + 74 +. + 74n-1 + 74n 400
 Hướng dẫn :
 a, Ta thấy : 13 = 1 + 3 + 32 nên ta sẽ nhóm 3 số hạng liên tiếp của tổng thành một nhóm như sau :
 D = (3 + 32 + 33) + (34 +35 + 36) +.+ (32005 + 32006.+ 32007) 
 =3.(1 + 3 + 32) +34.(1 + 3 + 32) +.+ 32005.(1 + 3 + 32) 
 = 3. 13 + 34. 13 + ..+ 32005. 13
 = (3 + 34 + + 32005). 13
 => D 13
 b, Tương tự câu a, có : 400 = 1 + 7 + 72 + 73 nên :
 E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74. (71 + 72 + 73 + 74) + + 74n-4. (71 + 72 + 73 + 74)
 = (71 + 72 + 73 + 74). (1+74 + 78 + +74n-4)
 = 7.(1 + 71 + 72 + 73 ). (1+74 + 78 + +74n-4)
 = 7.(1 + 7 + 49 + 343 ). (1+74 + 78 + +74n-4)
 = 7.400 . (1+74 + 78 + +74n-4) 400
 => E 400
 Bài 4 : a, Tính tổng : Sn = 1 + a + a2 + .. + an
 b, áp dụng tính các tổng sau: 
	 A = 1 + 3 + 32+  + 32008 
 B = 1 + 2 + 22 + 23 + + 21982
	 C = 71 + 72 + 73 + 74 +. + 7n-1 + 7n 
 a, Đây là một bài toán tổng quát , giáo viên có thể gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm 
 Để thu gọn các tổng lũy thừa này , ta nhân cả hai vế của biểu thức với cơ số của các lũy thừa.
 * Xét a = 1 ta có: Sn = 1 + 1 + 12 +...+ 1n =( n +1).1 = n +1
	* Xét a ≠ 1 ta có :	Sn = 1 + a + a2 + .. + an
	a. Sn = a + a2 + .. + an+1
	a. Sn - Sn = an+1 – 1
	=> Sn = 
 b, Học sinh dễ dàng tính được tổng A, B , C nhờ công thức Sn 
	 A = 1 + 3 + 32+  + 32008 = 
 B = 1 + 2 + 22 + 23 + + 21982 = 21983 - 1 
 C = 71 + 72 + 73 + 74 +. + 7n-1 + 7n = 
 Bài 5 : Thu gọn tổng sau : M = 1 - 2 + 22- 23 +  + 22008
 Mặc dù đã có công thức tính tổng các lũy thừa viết theo quy luật ở bài 4 nhưng khi tính tổng M thì học sinh không tránh khỏi sự lúng túng với những dấu ‘+’ , ‘-‘ xen kẽ. Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B ở câu b, bài 4: lấy 2M - M thì sẽ không thu gọn được tổng M . Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu được : câu b-bài 4, ta tính hiệu hai biểu thức vì hai biểu thức có những số hạng giống nhau ; còn bài 5 này hai tổng 2M và M lại có những số hạng đối nhau nên ta sẽ xét hiệu của chúng :
 	M = 1 - 2 + 22- 23 +  + 22008
 2M= 2 - 22 + 23 – 24 +  + 22009 
 => 2M + M = 22009 + 1
	 => M = 
 Bài 6 . Tính :
	 a, A = 
	 b, B = 1+ 
 Hướng dẫn : làm tương tự bài 4 
	a, A = 
	 2A = 1+ 
 => 2A – A =(1+) – ()
	A = 1+ 
	A = 1 - 
	b, B = 1+ 
	5B = 5+1+ 
 => 5B – B = (5+1+ ) – (1+ )
	 = 5+1-1+ 
	 4B = 5 - 
	 B = (5 - ) : 4
 Bài 7 . Tính : B = 1002 - 992 + 982 – 972 + +22 - 1	
 Với bài này rất có thể học sinh nghĩ tới việc nhóm các số 1002 , 982 , 22thành một nhóm và 
các số còn lại thành một nhóm . Nhưng nếu nhóm như vậy thì sẽ không tính được nhanh.
 để làm bài này giáo viên có thể cho học sinh chứng tỏ đẳng thức sau :
	Với mọi số tự nhiên a và b , ta có : (a - b).(a+b) = a2 + b2 
 Thật vậy , ta có : (a - b).(a+b) =(a-b).a +(a-b).b = a2- ab+ab-b2 = a2+ b2 
	Vậy : (a - b).(a+b) = a2 + b2 
 Ap dụng đẳng thức trên vào bài 6 ta được :
 B = 1002 - 992 + 982 – 972 + +22 – 1
	 = (100-99).(100+99)+(98-97).(98+97)+..+(2-1).(2+1)
	 = 100+99+98+97+.+2+1
	 = 100.(100+1) : 2
	 = 5050
 Bài 8: Chứng tỏ rằng.
 a, H = 
	b, K = 
 Để làm được câu a, học sinh phải nắm được các kiến thức liên quan. Những bài toán dạng này thực sự rất khó với học sinh. Để học sinh hiểu được phụ thuộc hoàn toàn vào sự dẫn dắt, gợi mở của giáo viên.
	Lưu ý: 	(n N*)
 Ta có: , , , .., 
 => H = 	(*)
 Mà 
 Nên , từ (*) => H < 1
 Qua bài toán trên , giáo viên có thể cho học sinh làm bài toán tổng quát sau :
Bài 9. Chứng tỏ : 
 a, H = 	(n
 b, K = < 
 Hướng dẫn :
 a, H < = 
 Nên H < 1
 b, K =() < (1+1) = .2 = 
 (Vì theo câu a, )
 Vậy K < .
 Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập luyện tập sau :
 1. Chứng tỏ rằng các biểu thức sau đều viết được dưới dạng số chính phương :
	M = 13+23 	Q = 13+23+33+43+53 
 N = 13+23+33	R = 13+23+33+43+53+63
	P = 13+23+33+43 	K = 13+23+33+43+53+63+73
 2. Tính A và B bằng hai cách trở lên:
	A = 1+2+22+23+24+.+2n 	(n N*)
	B = 70+71+72+73+74++7n+1 	(n N)
 3. Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2;
	T = 22+ 22 + 23 +24+25++ 22008 
 4. So sánh : 
	a, A = 1+2+ 22 + 23 +24+25++ 22008 và B = 22009 – 1
	b, P = 1 + 3 + 32+  + 3200 và Q = 3201 
	c, E = 1 + x + x2+  + x2008 và F = x2009 	(x N*)
 5. Chứng tỏ rằng :
	a, 13+33+53+73 23 
	b, 3+33+35+37++32n+1 30	(n N*)
	c, 1+5+ 52 + 53 +.+ 5403+5404 31
	d, 1+4+ 42 + 43 +44++ 499 và B = 4100
 6. Tìm số dư khi chia A cho 7, biết rằng
	 A = 1+2+ 22 + 23 ++ 22008 + 22002
 7. Tính:
	a, 3S – 22003 biết S = 1 – 2 + 22 - 23 ++ 22002
	b, E = 2100 – 299 – 298 – 297 -  - 22 - 2 – 1
	c, H – K biết: H = 1 + 3+ 32 + 33 ++ 320
	 K = 321 : 2
 8. Tìm :
	a, Số tự nhiên n biết:	2A + 3 = 3n 
	 Với A = 3+ 32 + 33 ++ 3100
	b, Chữ số tận cùng của M biết : M = 2+ 22 + 23 +.. + 220 
 9. Chứng tỏ rằng : 
	a, 87 – 218 14	h, 122n+1 + 11n+2 133 
 c, 817 – 279 - 913 405	i, 70+71+72+73+..+7101 8
	b, 106 – 57 59	k, 4+ 42 + 43 +44 ++ 416 5
	d, 1099+23 9	l, 2000+20002+20003 + +20002008 2001 
 e, 1028 + 8 72	m, 3+ 35 + 37 ++ 31991 13 và 41
 g, 439+440+441 28
 10. Chứng tỏ rằng
	a, 
 	b, 
	c, A > B với:
	A = 	B = 
 3.5. Dạng 5: Toán đố với lũy thừa
 Dạng toán đố với lũy thừa có một số bài chủ yếu liên quan đến số chính phương. Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên.
 *Phương pháp: Cần nắm được một số kiến thức sau.
 +) Số chính phương chỉ có thể tận cùng là 0, 1 , 4, 5, 6, 9 và không thể tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
 +) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
 +) Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ. Ngược lại một số có số lượng các ước là một số lẻ thì số đó là số chính phương.
 Bài 1: Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố các bạn điền các chữ số vào dòng chữ sau để được phép tính đúng
	 Mùi . mùi = tân mùi	(*)
 Bạn hãy trả lời giúp.
 Phân tích đề bài :
 Đề bài rất hay, nhưng khi tìm câu trả lời thì thật là khó. Ta phải tìm câu trả lời thích hợp thay cho dòng chữ (*)
	Mùi là số có 3 chữ số
	 Theo (*) thì (Mùi)2 có tận cùng là mùi và có 6 chữ số.
 Đi tìm đáp án:
 Gọi Mùi = a. Ta có:
 a2 = 1000. TÂN + a hay a2 – a = 1000. TÂN
 => a.(a-1) 1000
 Ta thấy a-1 và a là hai số liên tiếp
	1000 = 125 . 8 với (125 ; 8 ) = 1
 Vậy có thể xảy ra :
	+) a 125 và a – 1 8	=> a = 625
	+) a 8 và a-1 125	=> a = 376
 Do đó: 	625 . 625 = 390625	(thỏa mãn)
	376 . 376 = 141376	(không thỏa mãn ,vì chữ T khác chữ N)
 Vậy Mùi . mùi = tân mùi	chính là 625 . 625 = 390625
 Bài 2: Đố bạn: số chính phương nào có 4 chữ số được viết bởi các chữ số: 3, 6, 8, 8.
 Với bài toán này, ta phải sử dụng phương pháp loại trừ để tìm ra đáp án:
 Gọi số chính phương phải tìm là n2
 Số chính phương không tận cùng bằng 3, 8 nên n2 có tận cùng là 6
 Số tận cùng là 86 thì chia hết cho 2, không chia hết cho 4 nên không phải là số chính phương. Vậy n2 có tận cùng là 36.
 Do đó số chính phương cần tìm là 8836	
 Bài 3.
	Bạn hãy tìm số chính phương có 4 chữ sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau.
 Gợi ý : Gọi số cần tìm là n => n2 = = 11. 
 => = 11k2 (k )
 Ta có 100 11k2 909 => 4 k 9
 Thử các giá trị của k chỉ có số 704 có chữ số hàng chục bằng 0.
 Vậy k = 8 và số cần tìm là 7744 .
3. Kết quả thực hiện
 Trong năm học vừa qua , kết hợp với công tác giảng dạy chuyên đề cho học sinh khá giỏi, 
 tôi đã hướng dẫn các em học sinh khối 6 học chuyên đề này , Kết quả cho thấy các em không những đã giải tốt các bài toán về lũy thừa mà còn rất hào hứng với chuyên đề này, giúp các em cảm thấy yêu thích môn toán nói chung và phần toán lũy thừa nói riêng.
 Tôi đã cho 50 em học sinh khá , giỏi khối lớp 6 làm bài kiểm tra khảo sát trước và sau khi thực hiện chuyên đề này, kết quả cho thấy :
Khi không áp dụng chuyên đề
Khi áp dụng chuyên đề
 Các em học sinh sau khi được học chuyên đề đã nắm vững được các dạng bài tập về lũy thừa để tìm ra phương pháp giải hợp lý nhất cho các bài tập nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi . Đặc biệt một số em trong đội tuyển học sinh giỏi các em đã giải và vận dụng rất linh hoạt , nhanh và chọn được phương pháp tối ưu khi giải toán . 
	IV. Những vấn đề hạn chế và hướng tiếp tục nghiên cứu
 1. Hạn chế.
	- Do thời gian nghiên cứu hạn chế , kinh nghiệm còn chưa nhiều nên chuyên đề của tôi chắc chắn sẽ còn nhiều những chỗ thiếu sót . Mặt khác, phạm vi nghiên cứu chuyên đề tương đối rộng nên gặp khó khăn cho việc phân loại kiến thức, phân dạng bài tập, hệ thống bài tập chưa tốt, chưa sâu, chưa kĩ, chưa khoa học.
 - Do yêu cầu giảm tải kiến thức đối với học sinh hiện nay của Bộ GD - ĐT nên có rất nhiều kiến thức nâng cao phục vụ việc học chuyên đề này chưa được giới thiệu tới học sinh nên việc tiếp thu chuyên đề ban đầu gặp khó khăn với các em học sinh .
 2. Hướng tiếp tục nghiên cứu.
	Do những hạn chế nêu trên, để đề tài này được hoàn chỉnh hơn , tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu kỹ lưỡng hơn , hệ thống kiến thức khoa học hơn..để đạt hiệu quả giảng dạy cao nhất . Tôi rất mong nhận được sự ủng hộ , đóng góp ý kiến quý báu của hội đồng khoa học , các đồng nghiệp và các em học sinh để trong quá trình giảng dạy sau này tôi sẽ giúp các em học sinh của mình được nhiều hơn nữa trong việc tìm tòi , khám phá môn toán học nói chung , chuyên đề “toán lũy thừa trong Q ” nói riêng.
 V. Điều kiện áp dụng
 Để thực hiện đề tài này :
 - Giáo viên cần soạn bài chu đáo , chọn lọc những kiến thức , những bài tập phù hợp với mức độ tiếp thu của từng đối tượng học sinh , để có thể gây được hứng thú cho học sinh với chuyên đề này.Giáo viên cần hướng dần học sinh khai thác kiến thức từ những kiến thức cơ bản , đơn giản mà các em được học trên lớp thì các em mới dễ dàng tiếp thu kiến thức nâng cao.
 - Học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản về lũy thừa nắm được một số kiến thức mở rộng về lũy thừa, luôn có ý thức tìm tòi , học hỏi .
 C. Kết luận.
	Như đã giới thiệu, “ Toán lũy thừa trong Q” là một mảng kiến thức khá rộng, chứa đựng rất nhiều những bài toán hay và lí thú. Để chiếm lĩnh được nó không phải là việc dễ làm. Với hệ thống bài tập từ dễ đến khó trong từng dạng toán, tôi muốn cung cấp một số phương pháp làm bài tập có liên quan đến lũy thừa, giúp các em yêu thích toán đào sâu kiến thức về mảng lũy thừa dưới dạng các bài tập. Tùy theo khả năng và mức độ nhận thức của học sinh mà giáo viên truyền thụ kiến thức, phương pháp làm bài tập cho phù hợp với từng đối tượng
	Tuy đã rất cố gắng trong công việc nghiên cứu, nhưngdo vấn đề thời gian, kinh nghiệm hạn chế nên chuyên đề này không thể tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự tham gia đóng góp ý kiến từ các đồng nghiệp để chuyên đề này được hoàn chỉnh hơn.
	Tôi xin chân thành cảm ơn.