Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải Toán cơ bản có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Mục lục
A. Mở đầu............................................................................................
2
B. Nội dung.........................................................................................
4
Chương I: Định nghĩa và các tính chất cơ bản về giá trị 
 tuyệt đối
4
Chương II: Các dạng toán và phương pháp giải
6
 1. Dạng 1:Rút gọn biểu thức:
 2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức:..
 3. Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:..
 4. Dạng 4: Hệ phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.
 5. Dạng 5: Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 
6
8
9
14
17
C. Kết luận:.......................................................................................
d.Tài liệu tham khảo.
20
21
A. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
Trong dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp giảng dạy phù hợp với trình độ học sinh là một yêu cầu rất quan trọng đòi hỏi người giáo viên phải biết chọn lọc, phối hợp tốt các phương pháp giảng dạy. Việc lựa chọn những ví dụ điển hình mang bản chất lí thuyết, hệ thống các bài tập minh hoạ, áp dụng và khắc sâu kiến thức nâng cao là rất quan trọng.
Thông qua dạy học Toán, người học được cung cấp những kĩ năng tính toán, những thao tác tư duy, đặc biệt là có điều kiện rèn luyện và phát triển tư duy lôgíc. Điều này được thể hiện rõ trong việc giải các bài tập toán mà việc giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối là điều kiện tốt để phát triển những phẩm chất nói trên.
Thực trạng hiện nay khi dạy giải các bài toán có liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối ở trường THCS là:
Thời lượng và kiến thức đưa vào chương trình THCS tương đối ít, không liền mạch, phương pháp giải còn hạn chế. Giáo viên khi dạy về vấn đề này thường chỉ chữa các bài tập chứ ít chú ý đến việc khai thác, phân tích, đưa ra phương pháp cho từng dạng toán cơ bản.
Học sinh thường ngại giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối, các hiện tượng giải thiếu trường hợp, dài dòng dẫn đến sót nghiệm, sai lời giải là rất phổ biến.
Qua tìm hiểu thực tế, từ giảng dạy và học tập bản thân tôi đã tích luỹ được một số dạng toán cơ bản có chứa dấu giá trị tuyệt đối và phương pháp giải những dạng bài toán đó, xin được trình bày một khía cạnh nhỏ.
2. Mục đích nghiên cứu:
2.1. Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và việc giải các bài tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối, các phương pháp giải cơ bản làm công cụ cho các em phát huy trong việc giải các bài toán liên quan khó, phức tạp hơn.
2.2. Tập được hứng thú cho học sinh khi giải các bài tập trong SGK, các tài liệu tham khảo, giúp học sinh tự giải được các bài tập liên quan.
2.3. Giải đáp được một số thắc mắc, sai lầm hay gặp ở giải toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Đề tài áp dụng đối với học sinh khá giỏi các lớp 7,8,9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập, ôn tập cuối kì, ôn tập cuối năm, kì thi học sinh giỏi THCS, thi vào PTTH...
5. Những đóng góp về mặt lý luận, thực tiễn của đề tài:
5.1. Về mặt lý luận:
- Tạo cho học sinh có được một phương pháp phù hợp khi giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
5.2. Về mặt thực tiễn:
Đề tài giúp học sinh THCS có được những kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối khắc phục những sai lầm khi giải bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối, có hứng thú nghiên cứu tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này.
B .nội dung
Chương I: Định nghĩa và các tính chất cơ bản về giá trị tuyệt đối
1. Định nghĩa:
 Giá trị tuyệt đối của một số thực x là một số thực không âm, kí hiệu là và được xác định như sau:
 	 x nếu x 0
 - x nếu x < 0
 * Mở rộng: Với A(x) là một biểu thức tuỳ ý ta cũng có: 
 	 A(x) nếu A(x) 0
- A(x) nếu A(x) < 0
2. Hệ quả:
2.1. 
2.2. 
2.3. 
2.4. hoặc 
2.5. 
2.6. 
2.7. 
2.8. 
2.9. 
3. Tính chất cơ bản về giá trị tuyệt đối.
3.1. Định lý 1: Nếu x, y là hai số thực thì dấu " = " xảy ra khi và
 chỉ khi x.y .
Chứng minh: Ta có:
Vậy 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
3.2. Định lý 2: 
 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi và 
Chứng minh: Tương tự định lý 1
3.3. Định lý 3:
Nếu x, y là hai số thực thì 
Chứng minh: 
Ta có = 	(áp dụng định lý1)
Mặt khác (áp dụng định lý2)
Nên 
 - 
 	(1)
Ta lại có	(2)
Từ (1) và (2) có 
* Chú ý: Nếu thay y bằng - y ta có
 Trên đây là những vấn đề cơ bản về giá trị tuyệt đối, việc nắm vững
 vấn đề này sẽ góp phần làm đơn giản hoá việc giải các bài toán có chứa dấu 
 giá trị tuyệt đối.
Chương II: Các dạng toán và phương pháp giải
1. Dạng 1:Rút gọn biểu thức:
1.1. Phương pháp giải.
	- Cách 1: Dùng các phép biến đổi
 Nội dung biến đổi để nhằm loại bỏ các dấu trị tuyệt đối khỏi biểu thức để có
 tiến hành các phép tính đại số quen thuộc. Các phép biến đổi thường dùng là 
 sử dụng định nghĩa của giá trị tuyệt đối, các hệ quả đã nêu ở trên.
- Cách 2: Lập bảng xét dấu: Sử dụng quy tắc về dấu của nhị thức bậc nhất 
“Nhị thức ax + b(a 0) cùng dấu với a khi x > -, trái dấu với a khi x < - ”
1.2.Ví dụ:
Bài 1: Rút gọn biểu thức: 
Giải: Điều kiện x3.Ta có 
Nếu x < 0 thì 
Nếu thì 
Nếu x > thì 
-1 nếu x < 0
Vậy: A=	 nếu 
 1 nếu x > và x 3
Bài 2: Rút gọn 
Giải: Để giải bài toán này có thể lập bảng xét dấu như sau:
 x
- -3/2 0 3/2 +
-x
-x
x
x
3-2x
3-2x
3-2x
2x-3
-2x-3
2x+3
2x+3
2x+3
Tử
3-x
3-x
3-3x
x-3
Mẫu
-5
4x+1
4x+1
4x+1
 Kiểm ta lại các kết quả tại các đầu mút ( ta đi đến kết luận sau:
 với 
B = 	 với 
 với 
 với 
Bài 3: Rút gọn
Giải:
Đặt: 
Khi đó: 
Nhận xét:
* Đối với những bài toán dạng rút gọn mà biểu thức chỉ chứa một hoặc hai dấu
 trị tuyệt đối ta nên xét trực tiếp các khoảng dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối.
* Đối với những bài toán có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối ta nên dùng
 phương pháp lập bảng. Lập bảng cần chú ý xét các giá trị đầu mút.
* Đối với dạng toán tương tự bài 3 thì phương pháp xét trực tiếp, hoặc lập bảng
 sẽ cho ta lời giải khá phức tạp nên việc đặt như trên lời giải sẽ ngắn gọn hơn.
1.3.Bài tập luyện tập:
 Rút gọn các biểu thức sau:
1. 
2.
3. 
2.Dạng 2: Chứng minh đẳng thức:
2.1. Phương pháp giải:
Để chứng minh A = B ta có thể chứng minh A - B = 0 hoặc 
biến đổi : AB hoặc BA hoặc AC và BC
2.2. Ví dụ:
 Cho hai số x, y thoả mãn xy 
Chứng minh rằng: (*)
Giải: (*) 
Đặt A = .Ta có:
A2 = xy + + + x + y + + xy - x - y + 
 + + + 2xy - 2()2 
= x2+2xy+y2 (Do nên = 
 A2 = (x+y)2 VT = 
Do xy 0 => 
Vậy VT = 0 .Bài toán được chứng minh
2.3. Bài tập luyện tập:
 Chứng minh thì 
Hướng dẫn: Đặt , , 
3.Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
3.1. Phương trình dạng 
3.1.1 Phương pháp giải:
3.1.2. Ví dụ.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
Giải:
a. hoặc 
Giải (1): 
Giải (2): 
Vậy phương trình có 2 nghiệm là và x = -11
b. 
Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm thoả mãn 
Bài 2: Giải phương trình sau: 
Giải: 
 hoặc 
Ta có (3) 
Ta có (4) (loại)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 
Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m
 (1)
Giải: (a) hoặc (b)
Ta có (a) 
Như vậy để phương trình (1) có nghiệm thì từ (a) ta phải có . 
Tương tự để phương trình có nghiệm thì từ (b) ta phải có 
Nếu thì 
Nếu thì 
Tóm lại: - Nếu m phương trình đã cho có nghiệm là 
 - Nếu m phương trình đã cho có nghiệm là 
3.1.3. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
Bài 2: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
3.2. Phương trình dạng 
3.2.1. Phương pháp giải:
3.2.2. Ví dụ:
Bài 1: Giải phương trình 
Giải: 3x-9 = 9x-3 (1) hoặc 3x-9 = -(9x-3) (2) 
Giải (1): 3x-9 = 9x-3	 Giải (2): 3x-9 = -9x+3
6x = -6 12x = 12 
 x = -1 x = 1
Vậy phương trình có nghiệm là x = 
Bài 2: Giải phương trình: 
Giải: Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:
Vậy PT đã cho có nghiệm là x = 
Bài 3: Giải phương trình: (3)
Giải: 
(3) (3’) hoặc (3’’)
Giải phương trình (3’) 
 hoặc 
 hoặc 
Giải phương trình (3’’) 
 hoặc 
 hoặc 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x1 = 1; x2 = -3/5; x3 = 3/5; x4 = -5
Bài 4: Giải và biện luận phương trình: 
Giải: Phương trình đã cho tương đương với 2 phương trình sau:
 3mx+1 = m-2x hoặc 3mx+1 = -(m-2x)
(a) hoặc 
Giải (a) ta có: 
- Nếu 3m + 2 = 0 hay m = -2/3 thì (a) vô lí.
- Nếu hay m, phương trình có nghiệm là .
Tương tự đối với phương trình (b):
- Nếu 3m - 2 = 0 hay m = 2/3 thì phương trình vô nghiệm 
- Nếu 3m - 2 0 hay m , phương trình có nghiệm là 
 Tóm lại: - Nếu thì phương trình vô nghiệm
 - Nếu thì phương trình có 2 nghiệm là và 
3.2.3. Bài tập luyện tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau
Bài 2: Giải và biện luận các phương trình sau:
3.3 Phương trình dạng .Trong đó A,B,C là các nhị thức bậc nhất
3.3.1. Phương pháp giải:
- Cách 1: Sử dụng phương pháp lập bảng.
- Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức dấu " = " xảy ra x.y .
3.3.2. Ví dụ
Bài 1: Giải phương trình (1)
Giải: Đặt f(x) = 
Ta lập bảng như sau:
x
- -1 3 +
 -x-1 0 x+1 
x+1
3-x
 3-x 0 x-3
f(x)
-2x+2
4
2x-2
Từ bảng trên ta có các trường hợp sau:
- Nếu , phương trình (1) (thoả mãn)
- Nếu do => PT (1) vô nghiệm
- Nếu phương trình (1) (thoả mãn)
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là x= -3 và x = 5
Bài 2: Giải phương trình: + = 1 
Giải:
Với x -1 phương trình đã cho tương đương với phương trình sau
Ta nhận thấy rằng: 
Để xảy ra dấu "=" thì phải có 
KL: Phương trình đã cho có nghiệm 
	3.3.3. Bài tập luyện tập:
	Giải các phương trình sau: 
 1. 
 2. 
 3.
 4.
 5.
 6. 
4. Dạng 4: Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
(ở đây ta chỉ xét hệ phương trình bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối)
4.1. Phương pháp giải:
Để giải dạng toán này ta có thể làm theo phương pháp biến đổi tương đương hoặc dùng phương pháp lập bảng để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Đối với những bài phức tạp ta cần xem một ẩn là tham số và lập bảng theo các khoảng của ẩn còn lại.
4.2. Ví dụ:
 Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 
Giải: 
- Nếu thì (I) 
- Nếu thì (I) 
- Nếu thì (I) 
- Nếu thì (I) 	
Tóm lại hệ (I) có 3 cặp nghiệm là:
 (x;y) = (2;1) , (0;3) , (-6;9)
Bài 2: Giải hệ phương trình 
Giải: Từ (2) => 
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ x + 1 + y -1 = 5
 x + 1 = 4y - 4
Từ đó suy ra -y + 6 = 4y - 4 => y= 2
Thay y = 2 vào phương trình 
=> x = 3 hoặc x= -5
Vậy nghiệm của hệ là: 
Bài 3: Giải hệ phương trình sau: 
Nhận xét: Để giải hệ phương trình này nếu sử dụng phương pháp biến đổi
 tương đương sẽ cho ta lời giải dài và nhiều khả năng dẫn đến nhầm lẫn. ở đây
 ta có thể giải bằng cách lập bảng để loại bỏ dấu trị tuyệt đối (coi y là tham số).
 Ta có bảng sau:
f(x)
 - 2/3 3/2 
-2x+3
 -2x+3 0 2x-3
 -3x-2 0 3x+2 
3x+2
PT(1)
PT(2)
- Nếu x < - Ta có hệ cần có vô lý
- Nếu ta có hệ cần có vô lý
- Nếu Ta có hệ cần có thỏa mãn
Ta có 4 hệ phương trình tương đương với hệ III đó là:
i. (thoả mãn) 
ii. (không thoả mãn)
iii. (thoả mãn)
iv. (không thoả mãn)
Vậy hệ đã cho có nghiệm là: 
Bài 4: Giải và biện luận hệ phương trình sau:
Giải: Từ (1) => 2y = x-m thay vào (2) được 
- Nếu thì (*) x(m+2) = 2m+1 (3)
+Với m = -2 => (3) vô nghiệm 
+Với m -2 Từ (3) => x = hoặc 
- Nếu x < 0 thì (*) x(2-m) = 2m+1 (4)
+ Với m = 2 => (4) vô nghiệm 
+ Với m 2 Từ (4) => 
Tóm lại: - Nếu m < -2, hệ IV có nghiệm là 
 - Nếu , hệ IV có nghiệm là 
 - Nếu hoặc , hệ IV vô nghiệm 
4.3. Bài tập luyện tập.
1. Giải các hệ phương trình sau:
2. Giải và biện luận hệ phương trình sau:
5. Dạng 5: Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 
5.1. Bất phương trình dạng 
5.1.1. Phương pháp:
Sử dụng tính chất: 
hoặc dùng phương pháp lập bảng để loại bỏ dấu trị tuyệt đối từ đó đưa về giải
các bất phương trình bậc nhất trên các khoảng
5.1.2. Ví dụ:
Bài 1: Giải bất phương trình (1)
Cách 1: (1) -5 < 2x-1 < 5
Cách 2: (1) 
Lập bảng như sau:
x
 - -1/2 +
-4-2x
2x-6
Nghiệm 
Vậy bất phương trình có nghiệm là -2 < x < 3
Bài 2: Giải bất phương trình (2) 
Giải: (2) 
Ta lập bảng như sau:
x
 - 3 +
x - 1
3x - 7
Nghiệm 
1< x < 3
x 3
 Kết luận: Bất phương tình có nghiệm là x > 1
Bài 3: Giải và biện luận bất phương trình sau: (3)
Giải:
- Nếu m = -2 Ta có 0 bất phương trình vô nghiệm
- Nếu m <-2 Ta có (3) hoặc 
- Nếu m > -2 Ta có (3) 
Vậy: 
	- Nếu m m-2
- Nếu m > 2 thì bất phương trình có nghiệm là 2-m < x < m-2 
- Nếu m = -2 hoặc -2<m<2 thì bất phương trình vô nghiệm.
5.1.3. Bài tập luyện tập.
Giải các bất phương trình sau:
1. 
2. 
3. 
4. 
5.2. Bất phương trình dạng hoặc
5.2.1. Phương pháp:
Đối với các bài toán dạng này dùng phương pháp lập bảng để loại bỏ dấu trị
 tuyệt đối.
5.2.2. Ví dụ:
Bài 1: Giải bất phương trình sau 
Giải: Ta lập bảng như sau:
x
- -1 3 +
3-x
 3-x 0 x-3
 -x - 1 0 x + 1
x + 1
-2x + 2
4
2x - 2
Nghiệm 
-2<x<-1
3 < x < 4
 - Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: x (-2;4)
Bài 2: Giải bất phương trình sau: 
Giải: Ta lập bảng sau:
x
- 0 1/2 +
1-2x
 1-2x 0 2x-1
 -x 0 x
x
1-x
1-3x
x-1
Nghiệm 
x < - 4
Vô nghiệm 
x > 6
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: 
Bài 3: Giải và biện luận bất phương trình sau: (2)
Giải: (2) 
- Nếu 3m+4 0 hay m -=> (2) vô nghiệm 
- Nếu ta có (2) (do )
+ Với m 0 => Bất phương trình có nghiệm là 
+ Với => Bất phương trình có nghiệm là: 
KL: 	* Nếu m - thì bất phương trình vô nghiệm 
* Nếu thì bất phương trình có nghiệm là: 
* Nếu m 0 thì bất phương trình có nghiệm là: 
5.2.3. Bài tập luyện tập:
Giải các bất phương trình sau:
1. 
2. 
3. 
4. 
C. Kết luận
 Trong quá trình giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp cũng như quá trình nghiên cứu tìm hiểu về mảng đề tài '' Phân dạng và phương pháp giải các bài toán có chứa dấu trị giá trị tuyệt đối'' bản thân rút ra được một số điều như sau:
 - Đây là một trong những dạng toán phức tạp. Cần có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết tương đối linh hoạt thì học sinh mới có thể hiểu được bản chất của vấn đề và từng bước mở rộng hiểu biết đó. Do vậy trong qua trình giảng dạy mảng kiến thức này cho học sinh, giáo viên cần trang bị cho các em đầy đủ các đơn vị kiến thức liên quan, cần cho HS nắm vững các phương pháp giải các dạng toán cơ bản để từ đó có khả năng vận dụng tự giải được những bài tập phức tap hơn.
 - Đây là một dạng toán khó nên nhiều học sinh ngại và hạn chế hiểu biết về nó, do vậy khi giảng dạy giáo viên cần chú ý tạo cho các em niềm đam mê hứng thú học tập. Trân trọng những suy nghĩ, những ý kiến phát biểu cho dù sai cho đễn những sáng tạo nhỏ, luôn luôn động viên, khích lệ, kịp thời. Có biện pháp để kích thích khả năng tự nguyện nghiên cứu tìm tòi của các em.
 - Giáo viên phải thường xuyên kiểm tra, đánh giá, có biện pháp khắc phục kịp thời những sai lầm thiếu sót, nên chia mảng kiến thức này thành các dạng cụ thể, dạy sâu và chắc từng dạng toán đó, từ đó tìm ra logic của các bài khác nhau.
 - Khi nghiên cưú về mảng đề tài này bản thân luôn nghĩ rằng nó sẽ là động lực giúp cho chính mình có thêm những hiểu biết mới bổ sung vào vốn kiến thức còn hạn chế của cá nhân. Nhưng sẽ là niềm hạnh phúc lớn nếu đề tài này được đồng nghiệp và các em học sinh đón nhận, đặc biệt hy vọng rằng đề tài này sẽ giúp các em học sinh yêu thích và tự tin hơn khi gặp các bài toán liên quan đến dấu trị giá trị tuyệt đối và có những kinh nghiệm cần thiết trong thực tế.
 Tuy có nhiều cố gắng nhưng trong quá trình nghiên cứu mảng đề tài này, bản thân không thể tránh khỏi những khiếm khuyết.Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý đồng nghiệp.
 Xin chân thành cảm ơn ! 
Lê Sỹ Sơn
d.Tài liệu tham khảo
1. Phương trình và bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 
2. Phương pháp giảng dạy môn toán 
3. Tuyển tập các bài toán sơ cấp.
4. Tuyển chọn các đề toán hay và khó.
5. 1001 chuyên đề giải các bài toán sơ cấp 
6. Đại số sơ cấp.
7. Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực
Hết