Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải phương trình vô tỉ

	Theo lược đồ Hoocle ta có :
	1	-1	6	- 6
	1	1	0	6	0	
Vậy (5) được phân tích thành :
	(u - 1)(u2 - 6) = 0 ⇔ u – 1 = 0 ⇔ u = 1
Với u = 1 thế vào (4) ta được v = 3 – 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 2)
	Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3.
	Ví dụ 5 : Giải phương trình
	Lời giải:
Đặt 
Phương trình (1) tương đương với phương trình sau:
Thế (1) vào (2) ta được:
	3(u + v) = 9 ⇔ u + v = 3 ⇔ u = 3 – v (4)
Thế (4) vào (2) ta được:
	(3 – v)2 + v2 – (3 – v)v = 3
 ⇔ 9 – 6v + 2v2 – 3v + v2 = 3 
 ⇔ 3v2 – 9v + 6 = 0
 ⇔ v2 – 3v + 2 = 0 (5)
Phương trình (5) có : 1 – 3 + 2 = 0
Nên phương trình có nghiệm là : v = 1 ⇒ u = 2 hoặc v = 2 ⇒ u = 1.
Vậy hệ (I) có hai nghiệm : (1 ;2) và (2 ; 1).
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt : x = - 6 ; x = 1.
	Ví dụ 6 : Giải phương trình
	Lời giải:
Điều kiện để phương trình có nghĩa:
Vậy phương trình (1) tương đương với phương trình sau:
Từ (2) ta có: x = 2y + 1 (3)
Thế (3) vào (2) ta được :
Vì 3 + 4 – 7 = 0 nên phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt :
	Với y = 1, thế vào (2) được x = 3. Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất.
Vì 2 + 5 – 7 = 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: 
 đều thoả mãn.
Ví dụ 7 : Giải phương trình 
	Lời giải:
Đặt 
	Vậy từ (1) và (2) ta có phương trình: 
	vì 
 ⇔ (u – v).uv = 0 vì u, v không đồng thời bằng 0
Kết hợp (3) và (2) ta có: 
Kết hợp (4) và (2) ta có :
Kết hợp (5) và (2) ta có :
Với 
Với 
Với
Vậy phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt : x = 6 ; x = 7 ; x = 5.
	Ví dụ 8 : Giải phương trình
 	Lời giải:
Điều kiện để phương trình có nghĩa là:
Đặt 
Vậy phương trình (1) tương đương với hệ sau:
Từ (2) ta có : uv = -3 + (u + v), thế (4) vào (3) ta đợc:
	(u + v)2 – 2(u + v) + 6 = 9 ⇔ (u + v)2 – 2(u + v) – 3 = 0
Đây là phương trình bậc hai với u + v, mà 1 + 2 – 3 = 0 nên phương trình có nghiệm.
Vậy ta có : 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt : x = - 3 ; x = 6.
	Ví dụ 9 : Giải phương trình
	Lời giải:
Điều kiện để phương trình có nghĩa là:
Đặt 	vì
 ⇒
Vậy phương trình (1) tương đương với:
⇔ (u – v).(u + v) – 5.(u – v) = 0
⇔ (u – v).(u + v – 5) = 0
Vậy ta có hai hệ :
Giải ra ta được x = 2 là nghiệm.
Ví dụ 10 : Giải phương trình
	Lời giải:
Tập xác định của phương trình D = R.
Đặt 	
Thay thế vào phương trình ta được:
	t2 + 3x = (x + 3).t ⇔ t2 – (x + 3).t + 3x = 0 (2)
Đối với phương trình này ta coi t là ẩn, còn x là tham số, ta có:
	∆ = (x + 3)2 – 43x = x2 + 6x + 9 – 12x
	= x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 ≥ 0
 với x = 3 không phải là nghiệm của (1).
	⇒ ta lấy ∆ = (x – 3)2 > 0 ⇒ 
Với
Ta có
Thế vào (2) ta được:
Với 
Ta có 
Thế vào (2), ta được:
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 
	Ví dụ 11: Giải phương trình
	Lời giải:
Điều kiện để phương trình có nghĩa: 
Đặt 
Ghép (1) và (2), ta có hệ:
Thế (3) vào (4) ta được :
	(9 – xy)2 – 2xy = 17 ⇔ (x.y)2 – 20xy + 64 = 0
	△’= 102 – 64 = 36
Phương trình có hai nghiệm phân biệt :
Vậy hệ phương trình trên tương đương với hai hệ :
 	⇒ x, y là nghiệm của phương trình :
	X2 – 7.X +16 = 0
	△ = 49 – 4.16 = -15 < 0 (loại)
	⇒ x, y là nghiệm của phương trình :
	X2 – 5X + 4 = 0
	Ta có : 1 – 5 + 4 = 0 ⇒ Nghiệm của phương trình là : X1 = 1 ; X2 = 4	hoặc
với 
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x = 1; x = 4.
	Ví dụ 12: Giải phương trình
	Lời giải:
Điều kiện để phương trình có nghĩa:
Đặt 
Vậy phương trình (1) tương đương với hệ sau:
Thế (3) vào (4) ta được: (2xy)2 – 2xy – 2 = 0 ⇔ 2(xy)2 – xy – 1= 0 (5)
Vậy (5) là phương trình bậc hai đối với ẩn là (x; y).
vì có 2 – 1 – 1 = 0, nên (5) có nghiệm:
Hệ (I) tương đương với hai hệ sau:
Vậy nghiệm của phương trình (1) là:
 Chú ý: Với bài này nhiều khi gặp sai lầm vì khi đặt điều kiện 
(thói quen khi đặt ẩn phụ).	
Ví dụ 13: Giải phương trình
	điều kiện 4x + 9 ≥ 0
	Lời giải: Đặt 
Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
Với x = t, ta có:
 	△’= 36 +14= 50;
Với 
 △ = 
 △ =
bài tập chương III
Bài 1: Giải các phương trình sau:
	Hướng dẫn giải:
1. Đặt 	đ/s: x = 3
2. Đặt 	đ/s: x= - 7; x = 2.
3. Đặt	đ/s: x = 1; 
4. Đặt t = x2 – 2x + 2 	đ/s : x = - 2 ; x = 1
5. Đặt 	đ/s : x = 2
6. Đặt	đ/s: x = 1 	
7. Đặt t = x2 + 5x	đ/s: x = 0; x = - 5.
8. Đặt	đ/s: x = 0; x = - 1.
9. Đặt 	đ/s: x = 0; x = 1.
10. Đặt 	đ/s: x = 3
Bài 2: Giải các phương trình vô tỉ sau
Hướng dẫn 
Đặt 
	đ/s: x = -15; x = 13.
Hướng dẫn:
Đặt 
	đ/s: x = 41; x = - 24.
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
Hướng dẫn:
1. Đặt
Và ta chuyển về hệ:
đ/s : x = 1 ; x = 4.
2. Đặt 
Ta chuyển về hệ :
đ/s : x = 2 ; x = 3.
Bài 4 : Giải phương trình sau
Hướng dẫn:
Đặt 
 Ta chuyển về hệ: 
ta được 	hoặc 
đ/s: 
Chương IV
phương pháp áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc
I. bổ túc về kiến thức:
	Cho phương trình: f(x) = g(x)	TXĐ là D
 Nếu phương trình f(x) ≤ a ∀ x ∊ D
	 g(x) ≤ a ∀ x ∊ D
 Ta sẽ chuyển bài toán về hệ sau:
 Và giải hệ đó ta được nghiệm của phương trình.
 Để tìm số a ta thường sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc.
* Bất đẳng thức Côsi:
	Với a, b ≥ 0 ta có 	
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
* Bất đẳng thức Bunhiacopxki :
	Cho 4 số a, b, c, d ∊ R
	Ta có (a.b + c.d) ≤ (a2 + c2)(b2 + d2)
	Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
* Phân tích hàm bậc hai :
	(với a ≥ 0) và quay dấu (≤) với (a < 0)
II. Ví dụ: 
Đẳng thức xảy ra khi 
Đẳng thức xảy ra khi 
	Ví dụ 1: Giải phương trình
	Lời giải:
 TXĐ của phương trình 
	Ta thấy 	VP = - (x – 2)2 ≤ 0 ∀ x ∊ R, đẳng thức xảy ra khi x = 2.
	VT = 	∀ x ∊ R, đẳng thức xảy ra khi x = 2.
	Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2.
	Ví dụ 2: Giải phương trình
	Lời giải:
 Điều kiện để phương trình có nghĩa là:
 Xét vế phải của phương trình ta thấy:
 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
	Đẳng thức xảy ra khi x = 3.
 Xét vế trái:
	VT = x2 – 6x +11 = x2 – 6x + 9 + 2 = (x – 3)2 + 2 ≥ 2
	Đẳng thức xảy ra khi x = 3.
Vậy (1) ⇔
Nghiệm của phương trình là: x = 3.
Ví dụ 3: Giải phương trình
	Lời giải:
 Ta thấy: 3x2 + 6x + 7 = 3(x + 1)2 + 4 ≥ 4 ∀ x ∊ R.
 Đẳng thức xảy ra khi x + 1 = 0 ⇔ x = - 1.
 Mặt khác: 5x2 + 10x + 14 = 5(x + 1)2 + 9 ∀ x ∊ R.
 Đẳng thức xảy ra khi x + 4 = 0 ⇔ x = - 1.	 
Đẳng thức xảy ra khi x = - 1 
Mặt khác 4 – 2x – x2 = - (x - 1)2 + 5 ≤ 5 ∀x ∊ R
Đẳng thức xảy ra khi x + 1 = 0 ⇔ x = - 1
	Vậy ta thấy : VP ≥ 5 và VP ≤ 5 
Vậy để phương trình (1) có nghiệm thì
Vậy nghiệm của phương trình là x = - 1 
Chú ý : Khi áp dụng phương pháp này cần phải khéo léo thì mới có đáp án đúng theo yêu cầu, một điều kiện cần chú ý khi áp dụng bất đẳng thức Côsi là các số phải thoả mãn điều kiện dương, việc thêm bớt ở phương trình bậc 2 phải thật chuẩn xác. Nếu không sẽ không thể có đáp số đúng. 
	Ví dụ 4 : Giải phương trình
	Lời giải:
 Điều kiện để phương trình có nghĩa:
 Ta thấy 
 Đẳng thức xảy ra khi 
(Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki)
 Mặt khác, theo bất đẳng thức Côsi ta có:
Và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 3 + x = 6 – x ⇔ 
 Vậy 	và đẳng thức xảy ra khi 
 Xét vế trái 
 Đẳng thức xảy ra khi 
 Vậy ta có: 
 Do đó để có nghiệm thì : 
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: 
	Chú ý: Nếu ta có f(x) ≤ a và g(x) ≤ b thì f(x) – g(x) ≤ a – b (điều đó chưa chắc đã xảy ra). Ví dụ: 	 thì (-8).(-2) < 1.2 là vô lý.
bài tập chương iv
Bài 1: Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn:
 1. Ta thấy 
 Đẳng thức xảy ra khi x = 0.
 Và 	đẳng thức xảy ra khi 1 – x2 = 0 ⇔ x = ± 1
 ⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm.
 2. Ta thấy 
 Đẳng thức xảy ra khi x = 1.
Bài 2 : Giải các phương trình sau.
	Hướng dẫn
Câu 1, 2 làm như câu 3.
3. Ta thấy
 Mà - (2x + 3)2 + 5 ≤ 5 ⇒ xảy ra dấu bằng khi
 Đ/s : 
Phần III : Kết luận chung
Việc nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ là một trong những vấn đề tương đối hay và khó. Mỗi một phương pháp giải như là một chìa khóa giúp chúng ta tìm được những con đường đi ngắn nhất trong quá trình khám phá chân lý của tri thức nhân loại.
Quá trình nghiên cứu của đề tài đã phần nào đó giúp cho học sinh có cách nhìn một cách khái quát hơn về một cách giải một phương trình vô tỉ.
Ngay từ phương pháp lũy thừa là phương pháp rất hay được sử dụng trong quá trình giải, đề tài đã đi vào phân tích được những vướng mắc cơ bản mà đa số học sinh hay nhầm lẫn trong khi sử dụng phương pháp này.
Tiếp theo là phương pháp đặt ẩn phụ cũng là một công cụ mạnh trong quá trình khử căn thức. Đa số học sinh đã biết cách đặt và chuyển phương trình đã cho về phương trình hữu tỉ mới, song các em vẫn chưa biết tìm mối liên hệ hữu cơ giữa ẩn mới và ẩn cũ. Đề tài này đã phần nào giúp các em việc nhìn nhận được mối tương quan giữa ẩn cũ và ẩn mới.
Đề tài đã giúp cho các em hệ thống được các phương pháp giải một phương trình vô tỉ, trên cơ sở đó mà các em có được tất cả các công cụ khi đứng trước một bài toán và có thể lựa chọn phương pháp nào hữu hiệu nhất.
Tóm lại, đề tài này đã phần nào giải quyết được những vướng mắc cơ bản khi giải một phương trình vô tỉ. Trên cơ sở đó hệ thống được cho các em các phương pháp giải và có tầm nhìn bao quát hơn về phương trình vô tỉ.
bài soạn
Luyện tập:
Phương trình vô tỉ
A. Mục tiêu:
- Củng cố các kiến thức về phương trình vô tỉ.
- Rèn luyện kĩ năng giải phương trình vô tỉ bằng một số phương pháp:
+ Phương pháp nâng lên lũy thừa.
+ Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp hệ phương trình.
+ Phương pháp bất đẳng thức.
- Giáo dục tính cẩn thận, chính xác trong làm việc.
- Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc lựa chọn phương pháp thích hợp để giải từng phương trình.
B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
- Giáo viên: Máy chiếu, giấy trong ghi đề bài tập và lời giải và một số kiến thức cần nhớ – Máy tính bỏ túi – Phiếu học tập.
- Học sinh: Giấy trong, bảng nhóm, bút viết bảng, giấy nháp, ôn tập các phương pháp giải phương trình vô tỉ. Máy tính bỏ túi.
C. Hoạt động dạy học:
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
Ghi bảng
I, Hoạt động 1 : Kiểm tra và nhắc lại một số kiến thức cơ bản.
HS 1: Thế nào là phương trình vô tỉ. Lấy ví dụ?
Hãy nêu một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.
HS 2: Hãy phân tích sai lầm trong lời giải sau:
* Giải phương trình:
Lời giải:
HS 1 lên bảng trả lời
- PTVT là phương trình chứa ẩn trong dấu căn.
VD: Phương trình
- Nêu vài phương pháp giải phương trình vô tỉ.
HS 2 lên bảng phân tích những sai lầm trong lời giải.
- Sai lầm thứ nhất là không 
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
Ghi bảng
Chuyển vế:
Bình phương hai vế:
Rút gọn:
Bình phương hai vế:
 4 – 14x + 49x2 =
 4(15x2 – 13x + 2)(5)
Rút gọn:
11x2 – 24x +4 = 0
(11x – 2)(x – 2) = 0
GV: Đưa đề bài và lời giải lên màn hình.
GV Gọi HS ở dưới lớp lần lượt nhận xét phần trả lời của HS 1 và HS 2.
GV đưa lời giải đúng trên màn hình để HS dưới lớp theo dõi và rút kinh nghiệm.
GV cho điểm 2 HS
II, Hoạt động 2:
Luyện tập
1. Phương pháp nâng lên lũy thừa.
GV : đưa bài tập 1 lên màn hình
chú ý đến điều kiện để căn thức có nghĩa. ở đây ta phải có điều 
kiện x ≥ 1. Do đó giá trị
 không là nghiệm của (1).
- Sai lầm thứ hai là không đặt điều kiện để biến đổi tương đương. Các phương trình (4) và (5) không tương đương. Phương trình (4) tương đương với hệ:
Vì vậy x = 2 cũng không là nghiệm của (1)
HS: Cả lớp theo dõi và nhận xét bài của từng bạn trên bảng.
HS: Cả lớp theo dõi lời giải đúng trên màn hình.
HS đọc to đề bài
HS: Cả lớp suy nghĩ tìm ra phương pháp giải.
Bài tập 1:
Giải phương trình:
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
Ghi bảng
Gọi 1 HS đọc đề bài
GV cho cả lớp suy nghĩ tìm
phương pháp giải. Nói rõ kiến thức cần áp dụng khi giải phương trình này.
GV cho HS hoạt động theo nhóm (Mỗi nhóm 2 bài).
GV gọi đại diện ba nhóm nêu phương pháp giải của nhóm mình.
GV gọi 1 nhóm cử đại diện đem bảng nhóm lên bảng trình bày (bằng phương pháp nâng lên lũy thừa).
GV : Tại sao trong phương trình này ta không đặt điều kiện cho sự tồn tại của căn thức và không đặt điều kiện trước khi bình phương hai vế.
GV tổng kết.
2. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
GV đưa đề bài tập 2 lên màn hình.
Gọi 1 HS đọc to đề bài
HS hoạt động nhóm theo yêu cầu của đề bài.
Đại diện ba nhóm nêu phương pháp làm. Nói rõ kiến thức được áp dụng.
HS : 1 em đại diện cho nhóm có lời giải bằng phương pháp nâng lên lũy thừa đem bảng nhóm lên bảng trình bày.
HS trả lời.
- 1 HS đọc đề bài tập 2.
HS nêu phương pháp giải bài tập 2.
- Cả lớp làm bài vào giấy trong
Giải :
Lập phương hai vế (áp dụng HĐT):
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Được:
Vậy phương trình có hai nghiệm:
x1= - 1; x2 = 7.
Bài tập 2: Giải phương trình
Giải:
Điều kiện xác định: x ≥ 1
Ta có: (1)
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
Ghi bảng
GV gọi HS nêu phương pháp giải bài tập này.
GV cho HS hoạt động cá nhân, làm BT vào giấy trong.
Gọi 1 HS lên bảng làm bài.
GV thu bài của vài em đưa lên màn hình để cả lớp nhận xét.
GV tiếp tục cho cả lớp nhận xét bài của HS làm trên bảng.
Nêu vấn đề: Ngoài phương pháp trên, ta còn có thể giải phương trình này theo cách nào khác?
GV chốt lại: Đối với bài tập 2 ta nên chọn phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là tốt hơn.
3. Phương pháp đặt ẩn phụ
GV đưa đề bài tập 3 lên màn hình
Gọi 1 HS đọc to đề bài.
GV cho HS suy nghĩ và hỏi phương pháp giải phương trình này. Theo em ta nên chọn phương pháp nào? Vì 
1 HS lên bảng làm bài.
Ba HS thu bài để GV cùng cả lớp nhận xét.
HS nhận xét bài của bạn trên bảng.
Một vài HS trả lời.
HS nghe để linh hoạt vận dụng.
HS 1 đọc to đề bài bài tập 3.
HS 2: Nêu phương pháp giải bài tập 3.
Nên chọn phương pháp đặt ẩn phụ, đưa phương trình vô tỉ về giải phương trình hữu tỉ.
+ Nếu x > 2
Thì có phương trình:
(không thuộc khoảng đang xét)
+ Nếu 1 ≤ x ≤ 2, ta có phương trình:
Phương trình có vô số nghiệm 
1 ≤ x ≤ 2
Vậy phương trình (1) có nghiệm:
1 ≤ x ≤ 2
 Bài tập 3: Giải phương trình
Giải:
Điều kiện x2 + 7x + 7 ≥ 0
Đặt
⇒ x2 + 7x + 7 = y2 (*)
(1) ⇔ 3y2 + 2y – 5 = 0
a + b + c = 3 + 2 – 5 = 0
- Thay y = 1 vào (*), ta có: 
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
Ghi bảng
sao?
GV gọi 1 HS lên bảng làm.
GV yêu cầu HS cả lớp hoạt động nhóm
- Một nửa lớp làm theo phương pháp đặt ẩn phụ.
- Một nửa lớp thực hiện chuyển vế và bình phương hai vế rồi giải bằng cách quy về phương trình bậc hai.
(Nhờ phương pháp nhẩm nghiệm).
GV gọi nhóm làm theo phương pháp đặt ẩn phụ nhận xét bài làm của bạn trên bảng (bổ sung cho hoàn thiện).
GV gọi nhóm làm theo phương pháp 2 đem bảng nhóm lên bảng trình bày.
Cho cả lớp nhận xét và rút ra phương pháp tối ưu cho cách giải bài tập này.
4. Phương pháp hệ phương trình.
GV đưa bài tập 4 lên màn hình.
Gọi 1 HS đọc to đề bài.
GV cho cả lớp suy nghĩ tìm phương pháp giải.
HS 3: Lên bảng giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
- Nửa lớp hoạt động nhóm theo phương pháp đặt ẩn phụ.
- Nửa lớp làm theo cách 2 như yêu cầu của GV (2 bàn 1 nhóm).
Nhóm I: Nhận xét bài của bạn trên bảng.
Nhóm II: Cử đại diện lên bảng trình bày cách 2
HS cả lớp nhận xét, rút ra phương pháp giải ngắn nhất.
Một HS đọc to đề bài
Một HS nêu vài phương pháp giải bài tập 4
x2 + 7x + 7 = 1
⇔ x2 + 7x + 6 = 0
 a – b + c = 1 – 7 + 6 = 0
nên x1 = - 1 ; x2 = - 6 (thỏa mãn điều kiện x2 + 7x + 7 ≥ 0).
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm : x1 = - 1 ; x2 = - 6.
Bài tập 4 : Giải phương trình
Giải:
ĐKXĐ: x ≥ - 1 (1)
Đặt
Khi đó x – 2 = y3
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
Ghi bảng
GV: ở bài tập này có một số cách giải khác nhau, song chúng ta cùng nhau giải theo phương pháp hệ phương trình.
GV gọi 1 HS nêu ĐKXĐ của phương trình.
GV yêu cầu HS đặt ẩn phụ và đưa đến việc giải hệ phương trình.
GV lần lượt gọi HS đứng tại chỗ làm miệng giải phương trình.
GV ghi trên bảng.
5. Phương pháp bất đẳng thức.
GV ghi và đưa đề bài tập 5 lên màn hình.
Gọi 1 HS đọc đề bài.
GV cho HS suy nghĩ 2 phút rồi nêu câu hỏi:
Để giải phương trình này ta có nên dùng phương pháp:
- Nâng lên lũy thừa.
- Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Đặt ẩn phụ.
được không?
Theo em, ta dùng phương 
Một HS nêu ĐKXĐ.
Ba HS trình bày hệ phương trình đã lập được.
HS trả lời theo yêu cầu của GV.
HS đọc to đề bài tập 5.
HS: Em nên sử dụng phương pháp bất đẳng thức (dùng tính đối nghịch ở hai vế).
Một HS lên bảng làm BT 5.
- 5 HS làm bài vào phiếu học tập.
 x + 1 = z2 (**)
Nên Z2 – Y3 = 3
Phương trình đã cho đưa được về hệ :
Rút Z từ (2) ta có Z = 3 – y (5). Thay vào (3) ta được :
y3 – y2 + 6y – 6 = 0
⇔ (y – 1)(y2 + 6) = 0
⇔ y = 1 (còn y2 + 6 ≥ 6).
Thay y = 1 vào (5) có Z = 2 (TM (4))
Thay z = 2 vào (**) ⇒ x = 3 (TM (1)).
Bài tập 5: Giải phương trình
Giải:
Vế trái:
Vậy vế trái có giá trị ≥ 5 (1)
Dấu “=” xảy ra ⇔ (x + 1)2 = 0
 ⇔ x = - 1
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
Ghi bảng
nào hay hơn để giải phương trình này?
Gọi 1 HS lên bảng làm.
Phát 5 phiếu học tập cho 5 học sinh làm.
Yêu cầu cả lớp làm sau đó nhận xét bài của bạn trên bảng.
GV gọi HS nhận xét bổ sung cho bài của bạn trên bảng
Thu 5 phiếu học tập để nhận xét và chấm điểm.
Cả lớp làm và nhận xét bài của bạn trên bảng.
Vế phải: 
 4 – 2x – x2 = -(x2 + 2x + 1) + 5
 = - (x + 1)2 + 5 ≤ 5 (2)
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = - 1.
Từ (1), (2) ⇒ VP có giá trị bằng VT thì chúng cũng bằng 5.
Tại x = - 1.
Vậy phương trình (*) có nghiệm 
x = - 1.
III. Hoạt động 3: Củng cố
Giáo viên chốt lại :
Chúng ta đã được học về phương trình vô tỉ và cách giải các phương trình vô tỉ. Mỗi phương trình có thể có nhiều cách giải khác nhau, song chúng ta thường gặp một số phương pháp giải cơ bản sau:
- Phương pháp nâng lên lũy thừa.
- Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
- Phương pháp đặt ẩn phụ.
- Phương pháp hệ phương trình.
- Phương pháp bất đẳng thức...
Các em cần nghiên cứu sâu sắc các phương pháp này và tùy từng bài tập cụ thể mà sử dụng phương pháp giải cho phù hợp để đạt hiệu quả tốt. Một điều vô cùng quan trọng là ĐKXĐ của phương trình.
IV. Hoạt động 4: Hướng dẫn về nhà.
Xem kĩ các bài tập vừa luyện.
Làm các bài tập sau:
Bài tập 1: Giải phương trình
Bài tập 2: Giải phương trình
Tài liệu tham khảo
1 – Phương pháp thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học trong sinh viên – NXB Khoa học và Kĩ thuật.
2 - Đại số lớp 8 và lớp 9 – NXB Giáo dục.
3 – Toán bồi dưỡng Đại số 8, 9, 10 – NXB Hà Nội.
4 – 630 bài toán Đại số – Giải tích – NXB Trẻ-TP Hồ Chí Minh.
5 – 45 đề thi toán lớp 9 – NXB Giáo dục.
6 – Bộ đề tuyển sinh môn Toán – NXB Giáo dục.
7 – Các dạng toán luyện thi đại học – NXB Hà Nội.
8 – Các phương pháp giải phương trình – NXB Hải Phòng.
9 – Chuyên đề Đại số – NXB Trẻ TP Hồ Chí Minh.
10 – Các phương pháp giải phương trình và bất phương trình – NXB Khoa học và Kĩ thuật.
11 – Tuyển tập giới thiệu đề thi môn toán vào các trường cao đẳng và đại học năm 1997, 1998, 1999, 2000, 2001 – NXB Giáo dục & NXB Trẻ TP Hồ Chí Minh.
mục lục
Trang
phần i: những vấn đề chung
1
I. Lý do chọn đề tài
1
1 – Cơ sở lý luận
1
2 - Cơ sở thực tiễn
1
II. Mục đích nghiên cứu của đề tài
2
III. Đối tượng nghiên cứu của đề tài
2
1 - Đối tượng nghiên cứu
2
2 – Khách thể nghiên cứu
2
3 – Phạm vi nghiên cứu
2
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
2
V. Phương pháp nghiên cứu của đề tài
2
phần ii: Nội dung chính của đề tài
3
Chương I: Những kiến thức cơ bản
3
I. Những vấn đề chung của phương trình
3
II. Cách giải các phương trình và bất phương trình cơ bản
4
III. Phương trình vô tỉ
4
Chương II: Phương pháp biến đổi tương đương
6
I. Phương pháp nâng lũy thừa
6
1 - Các dạng cơ bản
6
2 - Các ví dụ
6
II. Phương pháp đưa về hằng đẳng thức
9
III. Phương pháp dùng miền xác định
11
IV. Phương pháp dùng lượng liên hợp
12
Bài tập chương II
16
Chương III: Giải phương trình vô tỉ
17
I. Đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình hữu tỉ
17
II. Đặt ẩn phụ, chuyển phương trình vô tỉ về hệ phương trình hữu tỉ
21
Bài tập chương III
33
Chương IV: Phương pháp áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc
35
I. Bổ túc về kiến thức
35
II. Các ví dụ minh hoạ
35
Bài tập chương IV
39
phần iii: kết luận chung của đề tài
40