Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

 (V× x2 + y2 = 1)
 Do (x-y)2 0 dÊu “=” x¶y ra x= y
 Nªn (x+y)2 2
 ½x+y½ 
 - x +y 
 Khi x = y ta cã x2 + x2 = 1 x2 = x= 
 Vëy max (x+y) = x = y = 
 min (x+y) = - x = y = 
 Ví dụ 2 :
 Cho a, b, c tho¶ m·n a + b + c = 0
 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc
 A = a2 + b2 + c2 
 Gi¶i:
 Ta cã a, b, c 
 	-1 a 2 a +1 0 vµ a – 2 0
 (a+1) (a- 2) 0 a2 a + 2
 T­¬ng tù ta cịng cã : b2 b + 2
 c2 c + 2
 Céng 3 bÊt ®¼ng thøc trªn vÕ víi vÕ ta cã :
 a2 + b2 + c2 a + b + c + 6
 a2 + b2 + c2 6 
 max A= 6 
 Ví dụ 3: 
Cho x – y = 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 C = x3 – y 3 – xy .
 Cho 3x + 5y = 12 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
 D = xy .
Giải : 
a) Từ x – y = 1 x = 1 + y thay vào C ta được : 
 C = (1 + y)3 – y3 – y (1 + y ) 
 = 1 + 3y + 3y2 + y3 – y3 – y + y2 
 = 4y2 + 2y + 1 = . 
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 3/4 đạt được khi y = -1/4 ; x = 3/4.
b) Từ 3x + 5y = 12 thay vào D ta được 
 D = x =
Giá trị lớn nhất của biểu thức D là 12/5đạt được khi x = 2 ; y = 6/5.
Ví dụ 4 :
Chứng minh rằng :
Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau .
Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau .
 Giải :
 	Chứng minh :
Gỉa sử x > 0, y > 0, ta có x + y = k (không đổi ). Aùp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x, y ta có :
Dấu ‘’ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi .
Do đó max(xy) = khi .
Giử x > 0, y > 0 và xy = k ( không đổi ), ta có :
 khi x = y .
b/ Bài tập áp dụng ví dụ 4 :
Bài 1 : 
 a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa : A = (x2 – 3x + 1) ( 21 + 3x- x2)
 b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa : B = víi x > 0
 Gi¶i: 
 a, XÐt (x2 – 3x + 1) ( 21 + 3x- x2) = 22 kh«ng ®ỉi
 khi đó A = 11 .11 = 121
 Vëy max A = 121 khi x = 5 hoỈc x = -2
 b, Ta co ù B = = 
 XÐt 8. (do x > 0) kh«ng ®ỉi nªn tỉng cđa nã nhá nhÊt khi vµ chØ khi 
 8x = (v× x > 0)
 Vëy min B = 
ÁP DỤNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
a/ Các ví dụ:
Ví dụ 1 : 
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
 (1)
 Gi¶i : 
 Ta cã : 
 Mµ 4 – 2x – x2 = 5- (x+1)2 VP 
 Vậy ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm th× VP = VT = 5
 Hay 5- (x+1)2 = 5 (x+1)2 = 0 x= 1
Ví dụ 2 : 
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
 (§iỊu kiƯn 2 )
 Gi¶i: 
 Ta cã: 
	8 +2 (V× hai vÕ cïng kh«ng ©m)
Aùp dơng bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho hai sè kh«ng ©m: x- 2 vµ 10- x
Ta cã : 2 
	8 +2 
Mặt kh¸c : 
x lµ nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh VT = VP = 16
 (Tho¶ m·n ®iỊu kiƯn)
 Vậy tËp nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh: S = .
Ví dụ 3 : 
 Chøng minh ph­¬ng tr×nh sau v« nghiƯm
 x4 – 2x3 + 4x2- 3x + 2 = 0
 Gi¶i : Ta cã : x4 – 2x3 + 4x2- 3x + 2 = 0
 (x4 – 2x3 + x2) + 3 (x2- x + 
 (x2-x)2 + 3(x- (1)
 V× (x2-x)2  ; 3(x- 
 	(x2 - x)2 + 3(x- 
	Kh«ng tån t¹i tho¶ m·n (1)
Vậy ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiƯm.
b/ Bài tập tự luyện:
 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
 a, 
 b, 
 2. Chøng minh r»ng c¸c ph­¬ng tr×nh sau v« nghiƯm:
 a, x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 1 = 0
 b, 2x4 + 4x3 + 8x2 + 6x + 5 = 0
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện :
a, 
 Ta có : 
 Vậy ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm th× VP = VT = 2 x = 2.
 b, 
Đk : x 0 . 
Ta có :
Vậy ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm th× VP = VT = 1 .
2 . a, x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 1 = 0
Ta có : x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 1 = x4 + 2x3 + x2 + 2x + 1+ 2x2 + x2
 = (x2 + x + 1 )2 + x2 > 0 
Vậy ph­¬ng tr×nh v« nghiƯm .
 b, 2x4 + 4x3 + 8x2 + 6x + 5 = 0 
Ta có : x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 1 = 2(x4 + 2x3 + x2 + 2x + 1+ 2x2 ) + 2(x2 + x +1/4) + 5/2
 = 2(x2 + x + 1 )2 + 2(x + 1/2 )2 + 5/2 > 0 
 Vậy ph­¬ng tr×nh v« nghiƯm .
C/. MỘT SỐ SAI SÓT THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC:
	Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy một số học sinh tiếp thu khá dễ dàng các nội dung trên, nhờ cụ thể hóa các phương pháp nên học sinh biết cách vận dụng vào giải bài tập. 
Tuy nhiên, cũng còn một số học sinh vẫn còn sai sót, làm bài thiếu chính xác và cần phải khắc phục, chẳng hạn như: chưa biết cách tách để xuất hiện hằng đẳng thức,
chưa biết cách so sánh hai phân thức cùng tử, với những biểu thức cần phải tìm tập xác định thì học sinh thướng bỏ qua điều kiện để biểu thức có nghĩa 
Sau đây là ví dụ minh họa:
Bài giải của học sinh
Những sai sót
và cách khắc phục
Bài giải đúng
Bài toán 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A = 
Học sinh giải :  
A = =
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng .
Phân tích sai lầm : 
Sau khi chứng minh :
A chưa chỉ ra trường 
hợp xảy ra A = .
Xảy ra đẳng thức khi 
(vô lý )	
Khắc phục :
Nhắc laiï trước khi làm những bài toán có chứa căn thức, chứa phân thức thì phải tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa . 
Để tồn tại phải có x 0. Do đó 0 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0 khi và chỉ khi x = 0.	
Bài toán 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A = 
Học sinh giải :  
Ta thấy phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất .
Ta có : 
x2 – 6x + 15 = ( x – 3)2 + 66
Vậy gía trị nhỏ nhất của A bằng 6 khi x = 3.
Nên giá trị lớn nhất của A bằng x = 3.
Bài toán 3 :
 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa:
 A = x2 +y2 biÕt x+y= 4
Học sinh giải :  
Ta cã : A = x2 + y2 
Do ®ã AMin x2 +y2 = 2xy x = y = 2
Khi ®ã min A= 22 + 22 = 8
Phân tích sai :
Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định A có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất mà chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu đều dương .
Chẳng hạn xét biểu thức 
B = với lập luận “A có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng -4 khi x = 0
giá trị lớn nhất của B bằng điều này không đúng vì không phẩi là gía trị lớn nhất của B .
Chẳng hạn với x = 3 
B = . Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức, đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang so sánh hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên .
Khắc phục :
Gv cần lưu ý cho hs khi so sánh hai phân số .
Ph©n tÝch sai lÇm:
§¸p sè tuy kh«ng sai nh­ng lËp luËn m¾c sai lÇm.
 Ta míi chøng minh ®­ỵc 
f(x,y) g(x,y) chø ch­a chøng minh ®­ỵc f(x,y) m víi m là h»ng sè.
 Ta ®­a ra mét vÝ dơ : 
Víi lËp luËn nh­ trªn, tõ bÊt ®¼ng thøc ®ĩng
 x2 4x- 4 sÏ x2 nhá nhÊt x2 = 4x- 4 (x-2)2 = 0 x = 2 ®i ®Õn min x2 = 4 x = 2
DƠ thấy kÕt qu¶ ®ĩng ph¶i lµ min x2 = 0 x = 0
Bổ sung nhận xét : 
x2 – 6x + 15 = ( x – 3)2 + 66
nên tử và mẫu của A là các số dương do đó A đạt giá trị nhỏ nhất đạt giá trị lớn nhất x2 – 6x + 15 đạt giá trị nhỏ nhất .
C¸ch gi¶i ®ĩng :
Ta cã :
x + y = 4 x2 +2xy +y2 = 16 (1)
Ta l¹i cã : (x - y)2 0 
 x2 + 2xy + y2 0 (2)
Tõ (1) vµ (2) 
2(x2 + y2) 16 x2 + y2 8
MinA = 8 x = y = 2
Trong quá trình giảng dạy, sẽ xuất hiện những trường hợp học sinh mắc phải sai lầm, tuỳ theo đối tượng mà giáo viên chấn chỉnh, uốn nắn hoặc có những biện pháp, phương pháp phù hợp với mục đích các em học sinh hiểu bài và biết cách vận dụng giải bài tập.
 PHẦN III :
KẾT THÚC VẤN ĐỀ 
1) Kết quả: 
² Các “Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất” là một trong những chủ đề toán rất hay, khi nghiên cứu sâu thấy rất là thú vị, nó áp dụng được trong giải toán biện luận phương trình.
² Qua giảng dạy một số phương pháp” giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất”, học sinh nắm vững và vận dụng được các cách giải góp phần 
nâng cao hiệu quả giảng dạy của giáo viên và rèn học sinh khả năng tư duy toán, độ linh hoạt, sáng tạo và kỹ năng thực hành của học sinh. 
 ² Sau khi đề tài này đưa vào áp dụng dạy các tiết luyện tập, ôn tập chương, ôn tập cuối năm học và ôn luyện học sinh giỏi vòng trường tham gia thi vòng thị kết quả học sinh đạt được như sau:
Năm học
Toán 8 chất lượng cuối năm đạt được .
Giỏi
Khá
Trung bình
SL
%
SL
%
SL
%
06- 07
4
12,9
9
29
18
58,1
07 –08
6
13,9
13
30,3
24
55,8
 Kỳ I: 08 - 09
6
16,7
12
33,3
18
52,8
Năm học
Số học sinh giỏi Toán
(số hs đạt giải / số hs tham dự)
Số học sinh giỏi MTBT
(số hs đạt giải / số hs tham dự)
Trường
Thị
Trường
Thị
06 – 07
4
0/4
3
0/3
07 - 08
2
1/2
3
2/3
Kỳ I: 08 - 09
1
1/1
2
2/2
2) Bài học kinh nghiệm:
 - Thường xuyên nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo. 
Sàng lọc các nội dung hay, tâm đắc và biên soạn thành tài liệu riêng cho bản thân.
Luôn luôn trao đổi học hỏi đồng nghiệp, lựa chọn phương án giảng dạy hiệu quả nhất.
Động viên, khuyến khích học sinh cố gắng học tập và tăng cường thời gian luyện tập thực hành.
- Khi tổ chức thực hiện, giáo viên phải quyết tâm, tác phong chuẩn mực, lập thời gian biểu và bám sát nội dung thực hiện.
 - Sau nội dung giảng dạy, phải tổ chức kiểm tra đánh giá học sinh.
3) Lời kết: 
 ² Trªn ®©y lµ mét sè d¹ng to¸n vỊ “giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất”,th­êng gỈp trong ch­¬ng tr×nh Trung häc c¬ së. Trong ®Ị tµi nµy, t«i ®· cè g¾ng ph©n loại c¸c d¹ng to¸n mét c¸ch cơ thĨ. Trong mçi phÇn, mçi d¹ng t«i cịng ®· cã g¾ng nªu lªn nh÷ng c¸ch gi¶i c¬ b¶n, nh÷ng kiÕn thøc cÇn thiÕt. T«i mong r»ng tµi liƯu nµy sÏ gãp phÇn nhá vµo viƯc giĩp häc sinh häc tèt h¬n vỊ d¹ng to¸n tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, ph¸t triĨn ®­ỵc ãc s¸ng t¹o cđa c¸c em qua tõng d¹ng, bµi cơ thĨ.
 ² Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng t×m tßi, nghiªn cøu nh­ng do tr×nh ®é vµ thêi gian cã h¹n ch¾c ch¾n ®Ị tµi cßn cã thiÕu sãt h¹n chÕ. Tôi rÊt mong ®­ỵc sù gãp ý xây dựng của Hội đồng khoa học, c¸c b¹n ®ång nghiƯp ®Ĩ néi dung ®Ị tµi ®­ỵc phong phĩ, ®Çy ®đ h¬n và hoàn thiện hơn. 
Tiến Thành, ngày 4 tháng 2 năm 2009
 Người viết
 Trịnh Thị Lan
Tài liệu tham khảo
Sách giáo khoa và sách bài tập toán 8 (Nhà xuất bản GD).
Nâng cao và phát triển toán 8 (Tập 1)
Tác giả: Vũ Hữu Bình (NXB Hà Nội )
 3. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8. 
Tác giả: Vũ Hữu Bình NXB Hà Nội
Nhận xét của hội đồng khoa học:
 Nhận xét của Tổ Tự nhiên :
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................ Nhận xét của hội đồng khoa học Nhà trường : 
............................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................
Nhận xét của Phòng GD -ĐT- Thị xã Đồng Xoài :
. ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................. .....................................................................................................................................................