Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

 Phòng GD và ĐT
Trường THCS Hoằng ngọc
Sáng kiến kinh nghiệm
“phương pháp giảI các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối”
 Giáo viên: Đễ̃ ĐĂNG SƠN
 Trường THCS HOẰNG NGỌC
Năm 2010
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối
Sáng kiến kinh nghiệm
 “phương pháp giảI các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối”
Đặt vấn đề
 I/ Lý do chọn đề tài.
 Đại số là bộ phận quan trọng của chương trình toán trung học cơ sở, trong đó giá trị tuyệt đối thuộc nhóm kiến thức hẹp nhưng rất quan trọng trong chương trình toán THCS cũng như PTTH. Song vì thời gian dành cho giải bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối còn ít, chủ yếu là đưa ra định nghĩa còn bài tập vận dụng lại ít, không có tính hệ thống, nên nhiều khi đem đến cho học sinh những rắc rối và không hiểu cặn kẽ loại bài toán này. 
Trong bốn năm được phân công giảng dạy ở bốn khối 6,7,8 và 9 tôi thấy giá trị tuyệt đối là phạm trù kiến thức hẹp , tương đối trừu tượng. đây là vấn đề mà học sinh đã được học ở chương trình lớp 6 ( đối với số nguyên ) , lớp 7 ( đối với số thực ) và tiếp tục học ở lớp 8 ( giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ) nhưng không phải là vấn đề đơn giản đối với học sinh . Khi gặp một bài toán có giá trị tuyệt đối không ít học sinh lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu . Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản, song số bài tập để cũng cố khắc sâu, bao quát kiến thức lại không nhiều , không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hứng thú , hăng say học tập của học sinh.
Xuất phát từ những lý do trên , bản thân tôi đã từng băn khoăn trăn trở với bài viết này. Tôi không có tham vọng lớn bàn về phương pháp giảng dạy Đại sốp ở trường THCS , tôi chỉ xin trình bày phương pháp giải một số dạng toán có dấu giá trị tuyệt đối đối nhằm giúp học sinh nắm bắt được kiến thức một cách chặt chẽ và có hệ thống.
II/ Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng : Học sinh lớp 8B, 9A trường THCS Thọ Sơn
 Nhiệm vụ nghiên cứu : Nghiên cứu phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
III/ Nội dung 
Lý thuyết và tính chất về giá trị tuyệt đối.
Phương pháp giải bài toán trong đó có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối.
	 	1
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối
IV/ Phương pháp nghiên cứu 
	Đọc và nghiên cứu tài liệu.
	Phương pháp thực nghiệm.
 Phương pháp so sánh.
V/ Kế hoạch và thời gian nghiên cứu
 Năm 2005 : Tìm hiểu, xây dựng khung chương trình, nghiên cứu tài liệu và xây dựng đề cương.
 Năm 2006 – 2007 thực nghiệm và so sánh.
VI/ tàI liệu tham khảo
SGK Toán 7, SGK Toán 8
Luyện giải và ôn tập Toán 7; tác giả: Vũ Dương Thụy. NXB Giáo duc; xuất bản 9/5005.
Nâng cao và phát triển Toán 7 ; tác giả : Vũ Hữu Bình . NXB Giáo dục; xuất bản 9/2004.
Luyện giải và ôn tậo Toán 8; tác giả: Vũ Dương Thụy - Nguyễn Xuân Bình - Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Hữu Thảo . NXB Giáo duc, xuất bản 9/5005.
Nâng cao và phát triển Toán 8 ; Tác giả : Vũ Hữu Bình . NXB Giáo dục; xuất bản 9/2004.
Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8; tác giả : Bùi Văn Tuyên . NXB Giáo dục; xuất bản 9/2005.
	2
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối
 B. Nội dung
 I/ Lý thuyết về giá trị tuyệt đối.
 Để giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối tốt học sinh cần phải nhớ và hiểu sâu sắc định nghĩa về giá trị tuyệt đối. Từ định nghĩa suy ra một số tính chất để vận dụng vào làm bài tập.
Định nghĩa 
Giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu là , là số đo của khoảng cách từ đIểm a đến điểm góc trên trục số.
Ta thường sử dụng định nghĩa dưới dạng:
 a nếu a 0
+ Với a ẻ R thì a =
- a nếu a < 0
 + Tổng quát nếu A là biểu thức thì:
	A nếu A 0
 	A = 
- A nếu A < 0
 2. Tính chất 
 Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất sau:
.
Nếu a thì > 0.
 .
 .
 . Dấu “=” sảy ra khi ab 0.
 . Dấu “=” sảy ra khi hoặc .
 II/ phương pháp giải bài toán trong đó có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 Để giải loại bài toán này giáo viên cần cho học sinh vận dụng các kiến thức về giá trị tuyệt đối ( chủ yếu là định nghĩa về giá trị tuyệt đối của một số , một biểu thức ) để đưa bài toán về bài toán trong đó không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối , từ đó có thể tiến hành các phép toán đại số quen thuộc. 
	3
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 III/ Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối . 
 1. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức 
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức
 A = tại x=5
 Đối với bài toán này học sinh phải biết thay x=5 vào biểu thức A , sau đó sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để bỏ giá trị tuyệt đối, rồi tính giá trị của biểu thức A.
Giải:
 Với x=5 ta có 
	 = 
 = 
 Vậy khi x=5 thì A=31.
1.2. Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức 
 B = với 
Với loại bài toán này học sinh sẽ gặp lúng túng và có thể thay x= vào biểu thức và thực hiện phép tính , như vậy là thiếu giá trị của biểu thức B. Do vậy giáo viên cần phải lưu ý cho học sinh : Với thì x= hoặc x=-, từ đó sẽ có hai giá trị của biểu thức B tương ứng.
Giải: Với thì x= hoặc x=. Do đó :
Với x= ta có: B = 
 =.
Với x=- ta có: B = 
	= .
Vậy với thì B = -, B = 
	4
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 
2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng toán này rất quan trọng , vì nếu học sinh không thạo dạng toán này sẽ không làm tốt các dạng toán sau. Chính vì vậy giáo viên cần khắc sâu cho học sinh: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó ( nếu biểu thức không âm ), hoặc bằng một biểu thức đối của nó ( nếu biểu thức âm ). Do đó khi bỏ đấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức ta cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức không âm, hay âm. Dấu của biểu thức thường được viết trong bảng xét dấu.
2.1. Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức
 M = 
ở bà toán này khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối cần phải xét hai trường hợp của biến x làm cho < 0.
Giải: 
 x-3 nếu 	x-3 nếu 
 Ta có = 
	-(x-3) nếu <0	3-x nếu x<3
	Do đó :
Với thì M = 
 	 = 
Với x<3 thì M = 
	2 nếu 
Vậy M = 
	2x – 4 nếu x<3
 	2.2. Ví du 2: Rút gọn biểu thức
 N 
ở đây biểu thức N có tới hai biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , do đó để đơn giản trong trình bày giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh lập bảng xét dấu.
	5
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 
Giải:
 	Bảng xét dấu
x
 -3	2
x-2
 0 +
x+3
 0	+
+
 	x-2 nếu 
 = 
	2-x nếu x<2
 	x+3 nếu 
 = 
	-(x+3) nếu x<-3
Do đó ta xét ba trường hợp tương ứng với ba khoảng giá trị của biến x.
Với x < -3 thì : N = = 
	= -2x – 1
Với thì : N = 
Với x>2 thì N = 
 	-2x – 1 nếu x < -3
 Vậy N = 	5 nếu 
	2x+1 nếu x > 2 
 Hoặc giáo viên có thể cho học sinh lập bảng biến đổi sau:
x
 2
2-x
 2-x 0 x-2
 -(x+3) 0 x+3
x+3
N=+
-2x - 1
5
2x+1
	6
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 
	-2x – 1 nếu x < -3
 Vậy N = 	5 nếu 
	2x+1 nếu x > 2
3. Dạng 3: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Đối với dạng toán này, để vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh cần biết bỏ dấu giá trị tuyệt đối, rồi vẽ đồ thị như hàm số thông thường.
3.1. Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số
Giải: Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số ta có: 
 	 x nếu 
 = 
 	nếu x < 0
+ Với thì đồ thị hàm số y = x là tia phân giác của góc phần tư I.
+ Với thì đồ thị hàm số y = x là tia phân giác của góc phần tư II.
	y
1
O
-1
1
	x
	Đồ thị của hàm số gồm hai tia phân giác của góc phần tư I và phần tư II như hình vẽ.
y
3.2. Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số
A
1
Giải:
x
+ Với thì y=x . Đồ thị là tia OA
O
1
+ Với x<0 thì y=0. Đồ thị là tia 
Vậy đồ thị của hàm số gồm hai tia 
 và tia OA như hình vẽ. 
	7
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 
3.3. Ví dụ 3:	vẽ đồ thị hàm số
Giải:
	x nếu x<0 
y
 Ta có : = 
M
2
 2x nếu 
-1
+ Với thì đồ thị hàm số y = 2x là tia OM,
1
O
x
+ Với x< 0 thì đồ thị hàm số y = x là tia ON,
N
-1
Vậy đồ thị hàm số gồm hai tia 
 OM và ON như trên hình vẽ.
Qua ba ví dụ trên giáo viên phải chỉ cho học sinh thấy được, khi vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối cũng phải bỏ dấu giá trị tuyệt đối để đưa về các hàm số đã được học.
4. Dạng 4: Tìm giá trị của biến trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
 ( giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối)
ở dạng này giáo viên cần lưu ý cho học sinh các dạng cơ bản sau:
 () hoặc 
 hoặc 
Ta phải xét hai trường hợp :
	 + Nếu thì 
 + Nếu thì 
 ( ở dạng này phải lập bảng xét dấu để bỏ giá trị tuyệt đối như ở dạng 2 ) 
 Ta xét các ví dụ sau:
	8
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 
4.1. Ví dụ 1: Tìm x, biết ( giải phương trình ) :
Bài toán này thuộc dạng thứ nhất.
Gải:
 x + 2 = 4 hoặc x + 2 = - 4
 x = 2 x = - 6
Vậy x = 2, x = - 6 ( Phương trình có nghiệm: , )
4.2. Ví dụ 2: Tìm x, biết ( giải phương trình ):
Bài toán này thuộc dạng thứ hai.
Gải:
 2x + 1 = - 3x +2 hoặc 2x + 1 = -(-3x + 2)
 5x = 1 - x = - 3
 x = 3
Vậy , x = 3. ( Phương trình có nghiệm: , )
4.3. Ví dụ 3: Tìm x, biết ( giải phương trình ):
Bài toán này thuộc dạng thứ ba , nên giáo viên lưu ý học sinh phải xét hai trường hợp.
Gải: 
 (*)
 	Nếu x – 3 0 hay x 3 thì 
Từ (*) ta có : 2(x – 3) – 2x +1 = 6 
 2x – 6 – 2x +1 = 6
 - 5 = 6 ( vô lý )
 Nếu x – 3 < 0 hay x < 3 thì 
	9
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 
Từ (*) ta có : 2(3 – x) – 2x +1 = 6 
 6 – 2x – 2x + 1 = 6
 - 4x = - 1
 (TMĐK x < 3 )
Vậy ( Phương trình có nghiệm: )
4.4. Ví dụ 4: Tìm x, biết ( giải phương trình ):
Bài toán này thuộc dạng thứ tư , nên giáo viên yêu cầu học sinh lập bảng xét dấu để bỏ giá trị tuyệt đối.
Gải: 
 (**)
Bảng xét dấu
x
 2
1 – 2x 
 + 0 
x – 2 
 0 +
Từ bảng xét dấu ta có:
 Nếu x < thì 
Từ (**) ta có : 
 - 4x = 0 ( TMĐK x < )
 Nếu thì 
Từ (**) ta có : 2x – 1 + 2 – x = x + 3 
 1 = 3 ( Vô lý ) 
 Nếu x > 2 thì 
	10 
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 
Từ (**) ta có : 2x – 1 + x – 2 = x + 3
 2x = 6
 x = 3 ( TMĐK x > 2 )
Vậy x = 0 , x = 3 ( Phương trình có nghiệm: x = 0 , x = 3 )
4.5. Ví dụ 5: Tìm x , biết :
Đối với bài này học sinh có thể lập bảng xét dấu để giải, nhưng cũng có thể giải bằng cách sau
Gải: 
 Vì với mọi 
Do đó : 
 	và 
 	x = 2007, x = 2008 và x = - 2009 
Điều này không thể sảy ra. Vậy không tồn tại x thỏa mãn điều kiện bài toán.
 Sau khi giải xong giáo viên lưu ý học sinh khi gặp bài toán dạng này thì nên giải theo cách ở trên. 
5. Dạng 5: tìm giá trị của biến trong bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tụêt đối ( giải bất phương trình có chứa dấu giả trị tuyệt đối )
ở dạng này giáo viên cần lưu ý cho học sinh các dạng cơ bản sau
Nếu ( a > 0 ) thì 
Nếu thì hoặc 
Khi giải ta phải bỏ dấu giá trị tuyệt đối , rồi tìm giá trị của biến , cuối cùng tổng hợp kết quả để có các giá trị của biến.
5.1. Ví dụ 1: Tìm x, biết :
Gải: + Cách 1: (*)
11 
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 Vậy : 
 + Cách 2: 	x – 3 nếu 
 Ta có = 
	 3 – nếu x<3
 Nếu thì (*) trở thành : x – 3 < 6 x < 9 ( kết hợp với )
 (1)
 Nếu x - 3 (kết hợp với x < 3)
 -3 < x <3 (2 )
Từ (1) và (2) -3 < x < 9 
Vậy : -3 < x < 9 ( Bất phương trình có nghiệm: -3 < x < 9 )
5.2. Ví dụ 2: Tìm x, biết :
 Cách 1: (**)
 2x + 3 > 4 (1) hoặc 2x + 3 < - 4 (2)
 + Giải (1): (1) 2x > 1 + Giải (2): (2) 2x < - 7 
 x > x < 
 Vậy : x . ( Bất phương trình có nghiệm: x )
 Cách 2: 	2x + 3 nếu 
	- 2x – 3 nếu x <	
 Nếu thì (**) trở thành : 2x + 3 > 4 2x > 1 x > (TMĐK)
 Nếu thì (**) trở thành : - 2x – 3 > 4 - 2x > 7 x < (TMĐK)
 Vậy : x . ( Bất phương trình có nghiệm: x )
5.2. Ví dụ 2: Tìm x, biết : 
12
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 
Đối với bài này giáo viên lưu ý hoc sinh lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Gải: (***)
 Bảng xét dấu
x
 1 3
x- 1
 0 +
 +
3 - x
 +
 + 0 
1- x
x - 1
x - 1
3 - x
3 - x
x - 3
Từ bảng xét dấu ta có:
 Nếu x 5 - 2x > 2 
 x < - 1 ( TMĐK x < 1) 
 Nếu thì (***) trở thành : x – 1 + 3 – x > 5 2 > 5 ( Vô lý )
 Nếu x > 3 thì (***) trở thành : x – 1 + x – 3 > 5 2x > 9
 x > (TMĐK x > 3 )
 Vậy : x . ( Bất phương trình có nghiệm x ) 
6. Dạng 6: tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyêt đối.
6.1. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
ở đây học sinh phải biết vận dụng tính chất của giá trị tuyệt đối : ar để giải. 
Gải: 
 Ta có : xr 3 xr 
 3 xr A 7 xr 
 Dấu “ = “ xảy ra khi 2x + 4 = 0 hay x = - 2 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 7 khi x = -2.
6.2. Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 B = 
Gải: 
 Ta có : xr xr 
 xr A -12 xr 
 Dấu “ = “ xảy ra khi x - 3 = 0 hay x = 3 
Vậy giá trị lớn nhất của A là -12 khi x = 3.
6.3. Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 ở đây học sinh phải biết vận dụng tính chất của giá trị tuyệt đối:
 và lưu ý a, b r 
Gải: 
Ta có: 
 Với mọi x với mọi x
Dấu “ = “ xảy ra (x – 2007)(2008 – x)0 2007 
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 1 khi 2007 
6.4. Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Đối với loại bài này ngoài sử dụng tính chất ar, học sinh cần phải biết đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Gải: 
D đạt giá trị lớn nhất khi nhỏ nhất . Ta có với mọi x R. 
. Do đó giá trị lớn nhất của D = khi x = 2.
7. Dạng 7: Một số bài toán liên quan đến giá trị tuyệt đối 
Với loại toán này nhằm phát triển tư duy cho học sinh sau khi học sinh đã được
14
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 
khắc sâu lý thuyết và làm thành thạo các dạng toán cơ bản về giá trị tuyệt đối .
Bài 1: Cho , . Chứng minh rằng : 
Với bài toán này học sinh chỉ cần áp dụng tính chất . 
Gải: 
Ta có : và 
 < 2 + 3 = 5 
 Vậy 
Bài 2: Tìm các số nguyên x và y sao cho 
Gải: ở đây x và y có vai trò bình đẳng . Ta xét x chẳng hạn , do , ta có : vì x nên 
+ Nếu hay x = 0 thì 
+ Nếu hay thì 
+ Nếu hay x= thì 
Vậy có 8 cặp số thỏa mãn điều kiện bài toán:
(x = 0; y=2) , (x = 0; y= - 2) , (x =1; y=1) , (x =1; y= -1) , (x= -1; y = 1)
(x = - 1; y = - 1), (x = 2; y= 0 ) và (x= - 2 ; y = 0) 
Bài 3: Cho đẳng thức 
 ( a, b )
Xác định a và b biết rằng chúng là hai số nguyên khác 0 và trái dấu nhau.
Tính a nếu b = 0.
Tính b nếu a = 0.
Gải: 
a. Giả sử a > 0 thì b < 0 ( vì a và b trái dấu )
 mà 
 mà trái với giả thiết a và b khác 0.
 Vậy : a 0.
b. Khi b = 0 
15
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối
 Vậy khi b = 0 thì 
c. Khi a = 0 thì 
 Vậy khi a = 0 thì b = - 1.
Bài 4: Cho . Chứng minh rằng : 
Gải: 
Ta có : 
 Do: 
Nên . 
Vậy , dấu “ = “ xảy ra khi .
BàI tập vận dụng
1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a. tai x = 1
b. tại 
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a. 
b. 
3. Vẽ đồ thị hàm số sau:
a. 
b. 
4. Tìm x, biết:
a. 
b. 
c. 
16
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 
d. 
e. 
5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a. 
b. 
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 .
17
Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 
Kết luận
I. Kết quả.
Với cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề như trên khi truyền thụ cho học sinh , tôi thấy học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thoải mái , rõ ràng, có hệ thống. Học sinh phân biệt và nhận dạng được các dạng toán có liên quan đến giá trị tuyệ đối , từ đó giải được hầu hết các bài tập có liên quan đến giá trị tụêt đối , xóa đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc giải tổng quát và thấy hứng thú với dạng toán này.
Kết quả cụ thể: Với bài tập giáo viên đưa ra học sinh giải được 88% một cách tự lập.
II. Bài học kinh nghiệm
 Hầu hết học sinh đã nắm được cách trình bày , một số ít còn tỏ ra lúng túng .
 Khi dạy giáo viên phải cho học sinh hiểu sâu lý thuyết , tính chất , nắm chắc các dạng để rồi nhận được dạng trước một bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối . Cần rèn luyện về cách lập luận và trình bày bài làm của học sinh một cách chính xác , khoa học.
Trên đây là một số dạng bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối và phương pháp giảI mà tôi đã rút ra được trong quá trình giảng dạy. Trong quá trình thực hiện đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót . Tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp để những năm học tới được tốt hơn , đáp ứng với yêu cầu đổi mới giáo dục mà Đảng và Nhà nước ta đã thực hiện.
 Xin chân thành cảm ơn !	
 Thọ Sơn, ngày 10 tháng 12 năm 2010
 Người viết
 Đụ̃ Đăng Sơn
Đụ̃ Đăng Sơn– THCS Hoằng Ngọc 18