Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS

+ y2 . 
Có nhiều cách giải ở đây , ví dụ :
K = x2 + (1-x)2 = . Min K = khi .
Bài số 10 .
Tìm min của L = x2 + y2 + z2 biết rằng x + y + z = 3 .
Giải:
Ta có : x + y + z = 3 ( x+ y + z)2 9 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx ) = 9 
 L + 2(xy + yz + zx ) = 9 (*) .
Ta luôn có : x2 + y2 + z2 xy + yz + zx x,y,z , dấu = khi x=y=z nên từ (*) suy ra :
3L 9 L 3 min L = 3 khi x=y=z = 1 .
C . bài tập tự luyện .
Bài số 1 .
Tìm max ( min ) của mỗi biểu thức sau :
a) A = x2 -5x + 1 .
b) B = 1 – x2 + 3x .
Bài số 2 .
Tìm min của mỗi biểu thức sau :
a) C = ( x-1)(x- 3)(x2 - 4x + 5) .
b) D = x2 – 2xy + 2y2 + 2x -10y + 17 .
Bài số 3 .
Tìm max của biểu thức sau :
 E = xy + yz + xz biết x+y+z=12 .
Bài số 4 .
Tìm max ( min ) của mỗi biểu thức sau :
a) F = ; b) G = ; c) H = .
II- Phương pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt đối .
A . Lí thuyết cơ bản .
 Ta biết rằng : với A , B là những biểu thức đại số thì :
i) 
ii) 
Dấu bằng xảy ra khi A.B 0 .
B. bài tập áp dụng .
Bài số 1 .
Tìm min của A = .
Giải :
Ta có : A = = .
Suy ra minA = 10 khi (2-x)(x+8) 0 .
Bài số 2.
Tìm max của B = .
Giải :
Tập xác định của B là x -1 (*) .
Ta có : B = 
Suy ra max B = 2 khi ( (thoả(*)) .
C . Bài tập tự luyện .
Bài số 1 .
 Tìm max của biểu thức :
a) C = 
b) D = 
Bài số 2 .
Tìm min của biểu thức :
a) E = 
b) F = .
III – Phương pháp tìm cực trị dựa vào điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai ( phương pháp miền giá trị hàm số ) .
A.Lí thuyết cơ bản .
 Ta đã biết : phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm nếu .
Nếu biểu thức A = xác định trên miền D có thể qui về dạng : 
f(A)x2 + g(A)x + k = 0 (1) ( k là một số thực ) thì rõ ràng với mỗi x thuộc tập nguồn D thoả (1) sẽ cho một ảnh h(A) của tập đích E của A . Vì vậy bằng cách gián tiếp dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình (1) ta sẽ xác định được tập đích E và do đó
chỉ ra giới hạn miền giá trị của A hay chỉ ra maxA , minA .
B. bài tập vận dụng .
Bài số 1 .
Tìm max , min của A = .
Giải :
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm :
a = (1) .
(a-1)x2 + (a+1)x + (a-1) = 0 ( Do x2 +x +1 > 0 x ) . (2) 
* Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0 .
* Nếu thì để (2) có nghiệm ta cần có .
Với hoặc a=3 thì nghiệm (2) là : .
Với thì x = 1 , với a=3 thì x = -1 .
Kết hợp hai trường hợp trên ta có : min A = ; maxA = 3 x=-1 .
Bài số 2 .
Tìm max , min của B = .
Giải :
Điều kiện để B có nghĩa là (*) .
B nhận giá trị m phương trình m = (1) có nghiệm .
(1) (m-1)x2 – (m-3)x – 5 = 0 (2) .
*Nếu m=1 x = 2,5 .
*Nếu m 1 thì để (2) có nghiệm ta cần có : 
 hoặc .
Với m = thì x= ; với m = thì x= .
Kết hợp hai trường hợp trên và điều kiện (*) ta có :
maxB = 1 khi x = 2,5 ; min B = khi x= .
C. Bài tập tự luyện .
Tìm max , min của những biểu thức sau :
a) C = ; b) D = ; c) E = .
IV – Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Cô- si 
( Cauchy) .
A. Lí thuyết cơ bản .
 Cho n số không âm : a1 , a2 , a3 , ..., an thì ta luôn có :
Dạng 1 : .
Dạng 2 : 
Dạng 3 : .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = ...= an .
Từ đây ta dễ dàng suy ra : 
i) Nếu a1 . a2 . a3 . ... an = A không đổi thì và do đó :
min khi a1 = a2 = a3 = ...= an .
ii) Nếu a1 + a2 + a3 + ...+ an = B không đổi thì và do đó :
max khi a1 = a2 = a3 = ...= an .
B. Bài tập áp dụng .
Bài số 1 .
Cho a.b.c = 1 . Tìm min của A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2) .
Giải :
Theo BĐT Cô- si ta có :
 dấu bằng xảy ra khi a=b=c .
Suy ra A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2) 
Vậy min A = 8 a=b=c=1 .
Bài số 2 .
Cho tìm max a.b.c.d ?
Giải :
Từ giả thiết và theo BĐT Cô-si ta có : 
Tương tự : ; 
 . Nhân vế với vế 4 BĐT trên ta được :
 . Vậy maxabcd = khi
a=c=b=d .
Bài số 3 .
Với a>b0 , tìm min của B = .
Giải :
Ta có : B = 
 . 
Vậy minB = 3 khi a = 2; b = 1 .
Bài số 4 .
Cho . Tìm max C = .
Giải :
Ta có :
Từ các BĐT trên suy ra : C .
Dấu bằng khi . Vậy max C = .
Bài số 5 .
Cho a,b,c là 3 số dương bất kỳ . Tìm min của D = 
Giải :
Ta có : D + 3 = 
2D + 6 = 
 ( theo Cô-si) 2D + 6 9 D . Vậy min D = khi a=b=c .
C. bài tập tự luyện .
Bài số 1 .
Cho a,b là những số không âm và a.b = 1 .
Tìm min của A= (1+a+b)(a+b+ab) .
Bài số 2 .
Cho a là số thực bất kỳ . Tìm min của B = .
Bài số 3 .
Cho a,b là những số không âm và a+b = 1 .
Tìm max của C = 16ab(a-b)2 .
V – phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpki ( B-C-S) .
A . Lí thuyết cơ bản .
 Cho a1 , a2 , a3 , ..., an và b1,b2,b3,...., bn là 2n số thực tuỳ ý . Khi đó ta có :
Dạng 1 : (a12+a22+a32+....+an2)(b12+b22+b32+...+bn2) ( a1b1+ a2b2+a3b3+...+anbn)2 (1)
Dạng 2 : (2)
Dấu bằng xảy ra ở (1) và (2) khi .
Hệ quả :
i) Nếu a1x1+a2x2+.....+anxn= C = const thì min ( x12+x22+...+xn2) = 
Dấu bằng khi .
ii) Nếu x12+x22+...+xn2 = C2 thì 
max (a1x1+a2x2+.....+anxn) = . Dấu bằng khi .
min (a1x1+a2x2+.....+anxn) = - . Dấu bằng khi .
B. bài tập vận dụng . 
Bài số 1 .
Cho xy + yz + xz = 4 . Tìm min A = x4+y4+z4 .
Giải :
Ta có : 
A = ( 12+12+12)( x4+y4+z4) (x2+y2+z2)2 = ( x2+y2+z2)(y2+z2+x2) 
(xy+yz+xz)2 = . 
Suy ra minA = đạt được khi x=y=z= . 
Bài số 2.
Cho a2 + b2 + c2 = 1 . Tìm max B = a + 3b + 5c .
Giải :
Ta có : 
B = a + 3b + 5c .
Từ đó ta được minB = khi .
Bài số 3 .
Tìm min C = (x-2y+1)2 + ( 2x+ay+5)2 .
Giải :
Ta có : 
C = [(-2)2 + 12 ][(x-2y+1)2 + (2x+ay+5)2] [(-2)(x-2y+1) + 1.(2x+ay+5)]2
= [(a+4)y +3 ]2 0 nếu a - 4 hoặc nếu a =- 4 .
Vậy : nếu a - 4 thì min C = 0 ; nếu a = - 4 thì max C = .
Bài số 4 .
Cho . Tìm min D = a2+b2+c2 .
Giải :
Theo BĐT B-C-S ta có :
 .
Vậy minD = khi a=b=c=6 .
C. Bài tập tự luyện .
Bài số 1.
Cho . Tìm min A = .
Bài số 2 .
Cho . Tìm max (x+y) . 
Bài số 3 .
Cho x2+4y2 =1 . Tìm max .
Bài số 4 .
Cho 3x-4y=7 . Tìm min của 3x2+4y2 . 
Bài số 5 .
Cho 36x2 + 16y2 = 9 . Tìm max , min của y-2x .
Bài số 6 .
Cho . Tìm max , min của .
 O
Chương 3 .
cực trị hình học .
I – phương pháp tìm cực trị dựa vào mối quan hệ đường vuông góc - đường xiên- hình chiếu ; bất đẳng thức tam giác ; khoảng cách giữa hai đường thẳng song song .
A. Lí thuyết cơ bản .
1) Từ một điểm M ở ngoài đường thẳng d , kẻ MH d tại H , kẻ MA với A thuộc d và A không trùng H , kẻ MB với B thuộc d và B không trùng H .
Ta luôn có : MH MA dấu bằng khi H A . M
MA MB dấu bằng khi và chỉ khi HA = HB .
2) Với 3 điểm A,B,C bất kỳ trong mặt phẳng ta luôn có :
 AB + AC BC . (1)
AC + BC AB . (2)
AB + BC AC . (3)
Dấu bằng ở ( 1) khi A thuộc đoạn BC .
Dấu bằng ở ( 2) khi C thuộc đoạn BA . B H A d
Dấu bằng ở ( 3) khi B thuộc đoạn AC . A a
3) Nếu a || b và A a , B , C b và 
AB a,b thì ta có :
AB AC . Dấu bằng khi B C .
 B C b
b. bài tập vận dụng .
Bài số 1 .
Cho hình vuông ABCD . Trong các hình vuông nội tiếp nó , hãy xác định hình vuông có diện tích nhỏ nhất .
Giải : A E K B
Gọi EFGH là hình vuông nội tiếp trong hình vuông ABCD 
Tâm của hai hình vuông này phải trùng nhau tại O .
Ta có : . F
Như vậy S nhỏ nhất OE nhỏ nhất . Gọi K là trung điểm 
của AB , ta có : OE OK = const . H
OE = OK E K .
Vậy SEFGH nhỏ nhất khi các đỉnh E,F,G,H là các trung điểm D G C
các cạnh của hình vuông ABCD .
Bài số 2 .
Cho tam giác ABC . Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC của tam giác sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến d có giá trị nhỏ nhất .
Giải :
Gọi D là giao điểm của d và cạnh BC . Vẽ BM , CN vuông A
góc với d . Với mọi vị trí của D trên cạnh BC ta có :
 SBAD + S CAD = S ABC M 
 BM + CN = . Do đó BM + CN min
 min AD max . B D C
Giả sử AC AB thì trong hai đường xiên AD , AC N
đường xiên AD có hình chiếu nhỏ hơn do đó AD AC không đổi 
AD = AC D C .
Vậy đường thẳng d phải dựng là đường thẳng chứa cạnh lớn nhất trong hai cạnh AB,AC .
Bài số 3 .
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Ax và By là các tiếp tuyến của nửa đường tròn ( A , B lần lượt là các tiếp điểm ) . M là điểm bất kì của nửa đường tròn 
( M khác A và B ) , qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax tại C , cắt By tại D . Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất .
Giải :
Theo tính chất tiếp tuyến ta có : x y
Ax AB , By AB 
 ABCD là hình thang vuông . M D
CA = CM ; DB = DM . C’ D’ 
Do M là điểm nằm giữa C và D nên : C
AC + BD = CM + DM = CD .
 A B
Do AC || BD và AB là khoảng cách giữa hai tia
Ax || By nên CD AB min SABCD = CD = AB khi đó M là điểm chính giữa cung AB của nửa đường tròn đang xét .
Bài số 4 .
Cho hình thang có diện tích là a ( đvdt) . Hỏi độ dài đường chéo của nó là bao nhiêu .
Giải :
Đặt AC = m , BD = n . Gọi M , N lần lượt là A B
hình chiếu của A , B lên CD .
Đặt MC = x , ND = y . n m
Không mất tính tổng quát ta giả sử : D C
m n x y . 
Ta có : 2x x+ y = MC + ND = CD + MN . M N 
 O
Tứ giác ABNM là hình chữ nhật nên : AB = MN 2x x + y = CD + AB .
Xét tam giác vuông AMC có : AC2 = AM2 + MC2 hay m2 = h2 + x2 2xh trong đó 
h = AM = BN .
Mặt khác 2xh ( DC + AB ).h = 2SABCD = 2a m2 2a 
 m .
Vậy đường chéo của hình thang có độ dài nhỏ nhất là khi AM = MC .
Bài số 5 .
Cho tam giác ABC có góc A = 900 , đường cao AH . Lấy E thuộc AB , lấy F thuộc AC sao cho góc EHF = 900 . Hỏi E , F phải có vị trí như thế nào để độ dài EF có giá trị nhỏ nhất ?
 Giải : 
Gọi I là trung điểm EF . 
Ta có : IA = IH = EF ( tính chất đường trung tuyến A 
trong tam giác vuông ) . 
 EF = IE + IF = IA = IA + IM AH = const . E F
Suy ra EF nhỏ nhất khi EF = AH , khi đó A,I,H I
thẳng hàng hay I là trung điểm AH 
AEHF là hình chữ nhật . B H C
Bài số 6 .
Cho góc nhọn xOy . Điểm A nằm trong góc đó . 
Xác định B trên Ox và C trên Oy sao cho chu vi tam M 
giác ABC nhỏ nhất ?
Giải :
Gọi M là điểm đối xứng của A qua Ox , x
N là điểm đối xứng của A qua Oy . 
Suy ra MN cố định .
Chu vi tam giác ABC = AB + BC + AC . B A 
Ta có : NB + BC NC 
NB + BC + CM NC + CM MN . O
Dấu bằng khi B là giao điểm của MN với Ox , C
C là giao điểm của MN với Oy , khi đó 
chu vi tam giác ABC = MN . y
 N
C. Bài tập tự luyện .
Bài số 1.
Cho tam giác ABC có góc A = 900 , AH BC . Điểm M chuyển động trên BC . Vẽ MD AB , ME AC . Xác định M để DE nhỏ nhất .
Bài số 2 .
Cho ABC . Tìm đường thẳng d đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến d là nhỏ nhất , lớn nhất .
Bài số 3 .
Cho hai điểm A và B trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d cho trước .
a) Tìm trên d một điểm C sao cho chu vi ABC nhỏ nhất .
b) Tìm trên d hai điểm M,N có khoảng cách MN = a sao cho độ dài đường gấp khúc AMNB nhỏ nhất .
II – Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức trong đường tròn .
A . Lí thuyết cơ bản .
1) Trong một đường tròn , đường kính là dây lớn nhất .
2) Trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau :
i) Dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn .
ii) Dây lớn hơn trương cung lớn hơn .
B. Bài tập vận dụng .
Bài số 1.
Cho ABC cân tại A . Đường tròn (O) tiếp xúc với AB tại B, tiếp xúc AC tại C . Qua A vẽ cát tuyến ADE bất kỳ . Vẽ dây CK song song DE . Xác định vị trí cát tuyến ADE để tam giác AKE có diện tích lớn nhất . 
 Giải : A
 Gọi R là bán kính của (O) . Kẻ EH AC .
Ta có : CK || DE nên SAKE = SACE = AC.EH B C
 AC.EC AC.2R = AC.R . 
Do đó maxSAKE = AC.R EC là đường K 
kính của (O) . H
Cát tuyến ADE ở vị trí AMN hình bên thì 
AKE có diện tích lớn nhất . N E 
Đó là tam giác ANP . P 
Bài số 2 .
Trong các ABC có BC = a , góc BAC = , tam giác nào có :
a) Diện tích lớn nhất ? b) Chu vi lớn nhất ? 
 Giải : D
Xét các tam giác ABC có BC = a , góc BAC = . A
Khi đó A nằm trên cung chứa góc dựng trên BC . 
a) Gọi D là điểm chính giữa cung chứa góc nói trên . A
Kẻ AH , DG BC . Hiển nhiên AH DG , do đó 
SABC SGBC . Vậy trong các tam giác nói trên , tam giác 
cân tại A có diện tích lớn nhất . B C 
 H G
 O
 O
 I
 M
 A
b) Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD = AC . Khi đó góc BDC = nên D di chuyển trên cung chứa góc dựng trên BC( có giới D N
hạn bởi tiếp tuyến tại B ) . Chu vi tam giác ABC 
lớn nhất BA + AC max BD max .
Lưu ý rằng , tâm của cung chứa góc là điểm K
chính giữa M của cung chứa góc .
Gọi giao điểm BM với cung chứa góc là N ( khác B) B C
thì BD BN ( đường kính là dây lớn nhất ) . E
Do đó BA + AC BM + MC .
Vậy MBC cân tại M là tam giác có chu vi lớn nhất trong các tam giác ABC thoả đề bài .
Bài số 3 .
Cho (O) cắt (I) tại A,B . Một cát tuyến d qua A cắt (O) tại M và (I) tại N . Xác định vị trí cát tuyến d sao cho BMN có chu vi lớn nhất ?
Giải :
Gọi C là điểm đối xứng của B qua O , D
D là điểm đối xứng của B qua I thì dễ dàng M A
chứng minh được C , A , D thẳng hàng .
Ta có : BMN đồng dạng BCD ( g-g) C N
nên : 
 . 
Do BM BC ( đường kính là dây lớn nhất ) B 
nên Chu vi BMN Chu vi BCD .
Vậy chu vi tam giác BMN lớn nhất bằng chu vi tam giác BCD và bằng BC+BD+CD =const khi BM là đường kính của (O) hoặc BD là đường kính của (I) .
C. Bài tập tự luyện .
Bài số 1 .
Cho (O,R) và điểm A nằm trên (O) . Xác định vị trí cát tuyến d qua A để độ dài MN lớn nhất , nhỏ nhất ( M là giao của d với (O) ).
Bài số 2 .
Cho ABC vuông tại A . Tìm vị trí của M thuộc (O) là đường tròn ngoại tiếp ABC sao cho nếu gọi D,E là các hình chiếu của M trên AB , AC thì DE có độ dài lớn nhất.
Bài số 3 .
Cho nửa (O) đường kính AB , dây CD . Tìm M thuộc cung CD sao cho các tia MA, MB cắt dây CD ở I,K và IK có độ dài lớn nhất .
C – phần kết luận .
 Đề tài “ Dạy học sinh THCS phương pháp giải một số dạng toán cực trị ” theo cá nhân tôi là rất khó , nghiên cứu tổng hợp dạng toán đã là một vấn đề nhưng dạy học sinh nắm được dạng toán và giải chúng là vấn đề không đơn giản . Trong quá trình nghiên cứu đề tài này đã giúp tôi rất nhiều kiến thức và kinh nghiệm dạy toán cực trị .
 Sau khi áp dụng đề tài tại trường THCS Bình Minh – Tp Hải Dương , tôi đã giúp các em học sinh hiểu được bản chất vấn đề của dạng toán cực trị và các em đã bước đầu biết giải các dạng toán cực trị đơn giản và quan trọng là đã gây được hứng thú học toán nhất là toán cực trị cho các em , rèn luyện được tư duy logic sáng tạo cho các em trong quá trình tự học .
 Tôi sẽ cố gắng hoàn thiện đề tài trong các năm tiếp theo để phục vụ thật tốt việc dạy học của thầy và trò .
 Để hoàn thành bước đầu đề tài này , ngoài việc tích cực tham khảo tài liệu , lấy ý kiến đóng góp của đồng nghiệp , thực nghiệm sư phạm tôi còn được sự giúp đỡ , chỉ bảo tận tình của các thầy cô khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội . Đặc biệt là sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Tống Trần Hoàn . 
Tôi xin chân thành cảm ơn !
 Đề tài là một vấn đề khoa học , trong quá trình thực hiện tất nhiên không thể tránh khỏi thiếu sót . Tôi rất mong được sự bổ xung , góp ý kiến của các thầy , cô giáo , của bạn đọc để tôi có thể hoàn chỉnh đề tài trong những lần sau .
 Hải Dương , ngày 10 tháng 06 năm 2006 .
 Người viết 
 TRần Trung Long
Tài liệu tham khảo
 Tên tài liệu Chủ biên ( Tác giả )
1. Giải tích toán học T1 Khoa Toán ĐHSP Hà Nội II 
 & ĐHSP Vinh 
2. Bất đẳng thức và toán cực trị Trần Đức Huyên
3. 30 đề thi học sinh giỏi toán cấp II Nguyễn Vũ Thanh
4. Số học – Bà chúa của toán học Hoàng Chúng 
5. Nâng cao và phát triển toán 8 T1, 2 Vũ Hữu Bình 
6. Nâng cao và phát triển toán 9 T1, 2 Vũ Hữu Bình 
7. 255 bài toán hình học chọn lọc Vũ Dương Thuỵ
8. Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Trần Phương
9. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất Phan Huy Khải 
10. Bất đẳng thức chọn lọc cấp II Nguyễn Vũ Thanh
Trường ĐHSP Hà Nội 
Khoa Toán - Tin 
Lớp Toán K7
Sinh viên : Trần Trung Long 
Bài soạn môn Đại số 9 
 Tiết 67 : ôn tập cuối năm .
I – Mục tiêu .
- Giúp học sinh hiểu khái niệm giá trị lớn nhất ( max) , giá trị nhỏ nhất (min) . Học sinh nắm được một số phương pháp tìm cực trị đại số qua các dạng bài .
- Rèn được kỹ năng tìm cực trị từ đó phát triển tư duy logic , sáng tạo của học sinh .
II – Chuẩn bị .
 Máy chiếu ( MC ) , giấy trong , bút dạ , phấn màu .
III – tiến trình lên lớp .
1. ổn định tổ chức .
Sĩ số : 
2. Tổ chức các hoạt động dạy học .
hoạt động 1 .
Kiểm tra
GV : gọi hai HS lên bảng đồng thời .
HS1 : Tìm GTNN của biểu thức :
A = x2 -2x + 5 
HS2 : Tìm GTLN của biểu thức :
B = -x2 + 4x + 3 .
GV đặt vấn đề : ta đã gặp nhiều bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất từ các lớp dưới nhưng chưa được phân dạng phương pháp cụ thể . Giờ hôm nay chúng ta sẽ nghiên cứu thế nào là bài toán cực trị , một số phương pháp tìm cực trị đại số .
HS1 : Ta có : A = x2 -2x + 5 = (x-1)2 + 4
4 x . Do đó : minA = 4 x-1 = 0 
 x = 1 .
HS2 : Ta có : B = -x2 + 4x + 3 = 7 – ( x2 -4x + 4) = 7 – ( x-2)2 7 x .
Do đó : max B = 7 x-2 = 0 x= 2.
hoạt động 2 .
Tìm hiểu khái niệm cực trị đại số .
GV đưa lên MC khái niệm max , min rồi yêu cầu HS đọc .
HS nghe giảng , ghi bài .
Khái niệm cực trị đại số :
 Nếu một biểu thức A của biến x xác định trên tập D thoả mãn : 
 thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của A , viết minA=m .
Hoặc :
 thì M gọi là giá trị lớn nhất của A , viết maxA = M .
Một bài toán tìm max , min của một biểu thức gọi chung là bài toán cực trị .
Sau đó GV lấy vídụ qua bài HS1, HS2 .
hoạt động 3 .
Phương pháp tìm cực trị theo tính chất của luỹ thừa bậc hai .
GV : qua bài HS1, HS2 , để tìm cực trị của một biểu thức nào đó ta thường làm thế nào ?
GV đưa lên MC ví dụ , giảng cho HS hiểu phương pháp .
Ví dụ :
 Tìm min của A = x - +2 từ đó tìm min của B = 
Giải :
Điều kiện : x 0
* Ta có : A = x - +2= x . Vậy min A = .
* B = = , B đạt min đạt min -x + -2 đạt max mà min A = x= nên minB = 
HS : Ta biến đổi biểu thức để được một biểu thức luôn không âm cộng với một số hoặc một số trừ một biểu thức luôn không âm .
HS nghe GV giảng cách làm , ghi bài .
GV đưa lên MC đề bài :
Tìm max C = .
GV yêu cầu HS làm theo nhóm , sau 5 phút thu bài 2 nhóm chữa cho HS trên MC .
Bài làm của HS :
ĐK : x 0
C = = . C max max min , mà -2 x 0 nên min 
=- 2 x = 0 
 max C = 1 + x=0 .
hoạt động 4 .
Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Cô-si .
GV gới thiệu BĐT Cô-si cho hai , ba số không âm :
* Cho a,b 0 thì ta có :
 dấu bằng xảy ra a = b .
Suy ra , nếu a+b không đổi thì 
max ab = , nếu ab không đổi thì 
min (a+b) = .
* Tương tự cho ba số không âm a,b,c ta có :
 .
GV đưa ví dụ lên MC giảng cho HS .
Ví dụ :
Tìm min của P = 
Giải :
ĐK : x 0 .
Ta có : P = 
áp dụng BĐT Cô-si ta có :
Dấu = khi .
HS nghe giảng , ghi bài .
 P -6+12=6 minP = 6 x = 9 .
GV đưa đề bài lên MC cho học làm theo nhóm , khoảng 5 phút thu bài 2,3 nhóm chữa trên MC .
Tìm min của M = 
Kết quả :
Bằng cách giải tương tự thì được 
minM = -2+ .
hoạt động 5 .
Phương pháp tìm cực trị dựa vào miền xác định của hàm số .
GV đưa ví dụ lên MC giảng bài .
Ví dụ :
Tìm max , min của N = 
Giải :
N nhận giá trị là a thì phải tồn tại x sao cho : 
 a = ax2 –x+2a+1 = 0 .
 = 1 – 4a(2a+1) = -8a2- 4a +1 
 0 -8a2- 4a +1 0 .
 min N = 
maxN = .
GV đưa bài tập cho HS làm cá nhân :
Tìm max , min của :
Q = .
(Nếu không đủ thời gian thì cho HS làm ở nhà ) .
HS nghe giảng , ghi bài .
hoạt động 6 .
Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxki .
GV giới thiệu BĐT Bunhiacopxki ( BĐT B-C-S) trên MC :
* TH cho hai cặp số (a1 , a2), (b1,b2) bất kì thì ta có :
(a1b1 + a2b2)2 (a12 + a22)(b12+b22) 
Dấu bằng khi .
Tương tự cho a1 , a2 , a3 , ..., an và b1,b2,b3,...., bn là 2n số thực tuỳ ý . Khi đó ta có : (a12+a22+a32+....+an2)(b12+b22+b32+...+bn2) ( a1b1+ a2b2+a3b3+...+anbn)2 
Dấu bằng xảy ra khi .
GV giảng ví dụ trên MC :
Ví dụ :
Cho 3x-5y = 1 . Tìm min của 
E = 3x2 + 5y2 .
Giải :
áp dụng BĐT B-C-S ta có :
12 
=8(3x2 + 5y2) E = (3x2 + 5y2) 
 minE = .
HS nghe giảng , ghi bài .
hoạt động 7 .
Củng cố .
GV : Qua bài học hôm nay , ta thấy : muốn tìm cực trị của một biểu thức đại số ta có thể sử dụng các phương pháp như dùng tính chất của luỹ thừa bậc hai , dùng miền xác định của hàm số , dùng BĐT Cô-si , dùng BĐT B-C-S . Ngoài ra chúng ta sẽ tìm hiểu các phương pháp khác trong các bài sau .
Lưu ý khi sử dụng BĐT Cô-si thì biểu thức số phải không âm , mỗi bài toán có một đặc trưng riêng nên khi giải cần áp dụng linh hoạt , phù hợp .
hoạt động 8 .
Hướng dẫn về nhà .
Bài số 1.
Tìm max , min của : A = , B = 
Bài số 2.
Cho 7x-5y = 9 . Tìm max , min của C = 7x2 + 5y2 .