Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp đổi điểm trong cực trị hình học giải tích

2;30;6 6 2;5;1Q Pn MN n     
Do đó, phương trình của      : 2 3 5 1 0Q x y z     hay 
  : 2 5 11 0Q x y z    
Ta có:    I P Q  nên  ;2;1 2I t t . 
Ta lại có:            
2 2 2 2 2 2
3 1 2 2 1 9 4 2 8 2IM IN t t t t              
   
2 22 2 6 245 10 11 5 50 149 5 1 5
5 5
t t t t t t            
Xét  
30 2 30
' 1; ;0 , ' 5; ;0 , ' ;0;0
5 5
M N I t
   
   
   
 .Khi đó, 5 ' ' ' 'IM IN I M I N   
Mà 'I chạy trên trục hoành và ', 'M N nằm cùng phía với trục hoành 
Do đó, IM IN lớn nhất ' ' ' 'I M I N  lớn nhất 'I là giao điểm của trục 
hoành và đường thẳng ' 'M N . 
Ta có:  
1 1
' ' ' ' 1 5 7.
2 2
I M I N t t t        
Vậy  7;2;13 .I 
Bài tập tương tự 
Bài 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ ,Oxyz cho hai điểm    5; 2;6 , 3; 2;1A B  và mặt 
phẳng  P có phương trình là 2 2 6 0x y z    . Tìm tọa độ điểm M thuộc  P sao cho 
a) MA MB nhỏ nhất. 
b) MA MB lớn nhất. 
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 17 
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : 2 1 0P x y z    và điểm 
 0; 2;3A  ,  2;0;1B . Điểm  ; ;M a b c thuộc  P sao cho MA MB nhỏ nhất. Giá 
trị của 2 2 2a b c  bằng 
A. 
41
4
. B. 
9
4
. C. 
7
4
. D. 3 . 
Bài 3. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm  0;1;3M ,  10;6;0N và mặt phẳng 
  : 2 2 10 0P x y z    . Điểm  10; ;I a b thuộc mặt phẳng  P sao cho IM IN lớn nhất. 
Tính tổng T a b  . 
A. 5T  . B. 1T  . C. 2T  . D. 6T  . 
3.5. Biện pháp tổ chức áp dụng sáng kiến 
- Xây dựng nội dung của sáng kiến như chuyên đề dạy học đem vào trong giảng dạy. 
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 18 
- Cách tổ chức dạy bài toán 1: “ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho tọa độ hai điểm ,A B 
và phương trình (tổng quát hoặc tham số) của đường thẳng  . Tìm tọa độ của điểm M  
sao cho MA MB nhỏ nhất và MA MB lớn nhất” 
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH 
- Giới thiệu ví dụ 1: Trong mặt phẳng với 
hệ tọa độ ,Oxy cho điểm  2;0A và đường 
thẳng  : .
2
x t
d t
y t


 
 Tìm tọa độ điểm 
N nằm trên đường thẳng d sao cho độ dài 
đường gấp khúc NAO ngắn nhất. 
- Yêu cầu học sinh nêu cách tính độ dài 
đường gấp khúc NAO 
- Vậy bài toán trở thành tìm N d sao cho 
NA NO ngắn nhất. 
- Gọi học sinh nêu cách giải bài toán trên 
trong hình học phẳng 
- Nêu nhận xét: Nếu làm theo cách này ta 
phải chuyển phương trình đường thẳng 
sang dạng tổng quát, sau đó kiểm tra vị trí 
tương đối của ,A O so với d và nằm về 
cùng một phía phải thực hiện khá nhiều tính 
toán phức tạp. Bây giờ thầy sẽ giới thiệu 
cho các em cách làm nhẹ nhàng hơn 
+ Ta có N d thì tọa độ N có dạng như 
thế nào? 
+ Gọi học sinh tính NA NO theo t 
- Tiếp nhận ví dụ: đọc kỹ đề, xác định giả thiết, 
yêu cầu bài toán, suy nghĩ ý tưởng làm bài. 
- Độ dài đường gấp khúc NAO bằng NA NO 
- Trả lời 
 Nếu ,A O nằm về hai phía đối với đường 
thẳng d thì NA NO nhỏ nhất  N là 
giao điểm của đường thẳng AO và d . 
 Nếu ,A O nằm về cùng phía đối với 
đường thẳng d và 'A là điểm đối xứng 
của A qua d thì NA NO nhỏ nhất  
N là giao điểm của đường thẳng 'A O và 
d . 
- Làm theo hướng dẫn của thầy 
+ Vì N d nên  ; 2N t t  
+ Độ dài đường gấp khúc NAO bằng NA NO 
Mà 
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 19 
+ Hướng dẫn: 
Xét      ' 0; 2 , ' 1';1 , ' ;0A O N t  . Khi đó, 
 2 ' ' ' 'NA NO N A N O   
Mà 'N chạy trên trục hoành và hai điểm 
', 'A O nằm khác phía với trục hoành. 
Do đó, độ dài đường gấp khúc NAO ngắn 
nhất NA NO  ngắn nhất 
' ' ' 'N A N O  ngắn nhất 'N là giao 
điểm của trục hoành và đường thẳng ' 'A O 
- Gọi học làm tiếp . 
- Nhận xét : Ta có ' 'N x Ox và nằm giữa 
hai điểm ', 'A O cùng với tính chất hai tam 
giác đồng dạng nên 
'
'
' '
' ' . ' ' ' '.
' '
A
O
yN A
N A N O N O
N O y
    
       
2 2 2 2
2 2 2
NA NO
t t t t

          
  
2 2
22
2 8 2 4 4
2 4 1 1
t t t
t t
    
    
+ Quan sát, theo dõi để hiểu được thủ thuật làm 
của giáo viên. 
Ta có: ' ' 2 ' 'N A N O  
 
2
2 1 .
3
t t t

        
Vậy 
2 4
; .
3 3
N
 
 
 
- Giới thiệu ví dụ 2: Trong mặt phẳng với 
hệ tọa độ ,Oxy cho đường thẳng 
: 2 4 0x y    và hai điểm 
   2;5 , 4; 5A B  . Tìm tọa độ điểm M  
sao cho MA MB lớn nhất. 
- Yêu cầu thực hiện tương tự như ví dụ 1, 
điểm khác là chọn hai điểm ', 'A B sao cho 
cùng phía so với trục hoành. 
- Thực hiện ví dụ 2: 
Vì M  nên  2 4;M t t 
Ta có: 
       
2 2 2 2
2 2 5 2 5
MA MB
t t t t

         
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 20 
Nhận xét, hoàn chỉnh bài giải của học sinh. 
 
2 2
2
2
5 2 29 5 10 25
1 144
5 1 4
5 25
t t t t
t t
     
 
      
 
Xét    
1 12
' ; , ' 1;2 , ' ;0
5 5
A B M t
 
 
 
 . Khi đó, 
5 ' ' ' 'MA MB M A M B   
Mà 'M chạy trên trục 'x Ox và ', 'A B nằm 
cùng phía với trục hoành 
Do đó, MA MB lớn nhất ' ' ' 'M A M B  
lớn nhất 'M là giao điểm của trục hoành và 
đường thẳng ' '.A B 
Ta có: 
 
6 1 6
' ' ' ' 1 7.
5 5 5
M A M B t t t         
Vậy  10; 7 .M   
Cho bài tập tương tự cho học sinh rèn luyện Rèn luyện thêm thông qua các bài tập tượng tự 
Bài tập tương tự 
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ,Oxy cho hai điểm    2;5 , 4;5A B  và đường 
thẳng : 2 3 0.d x y   Biết  ;N a b thuộc d sao cho độ dài NA NB đạt giá trị nhỏ nhất. 
Tính .a b 
A. 6.a b  B. 12.a b  C. 
15
.
4
a b  D. 
9
.
4
a b 
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ,Oxy cho hai điểm  1;6P và  3; 4Q   và đường 
thẳng  : 2 1 0x y   . Tọa độ điểm N thuộc  sao cho NP NQ lớn nhất. 
A.  3;5N . B.  1;1N . C.  1; 3N   . D.  9; 19N   . 
- Cách tổ chức bài toán 2: 
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH 
- Giới thiệu ví dụ: Trong không gian với hệ 
tọa ,Oxyz cho  
4 2 1
1;0;1 , ; ;
3 3 3
A B
 
  
 
 và 
đường thẳng d có phương trình tham số 
- Tiếp nhận ví dụ 
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 21 
 .
1
x t
y t t
z t


 
  
 Tìm M thuộc d sao cho: 
a) MA MB nhỏ nhất. 
b) MA MB lớn nhất. 
- Làm minh họa câu a) và hướng dẫn cho học 
sinh hiểu ý tưởng: “quy về bài toán trong mặt 
phẳng” và yêu cầu học sinh làm câu b tương 
tự 
- Bài giải câu a) Vì M d nên  ; ;1 .M t t t 
Ta có: 
   
2 22
2 2 2
1
4 2 4
3 3 3
MA MB t t t
t t t
      
     
         
     
2 2
2 2
3 2 1 3 4 4
1 2 2 8
3
3 9 3 9
t t t t
t t
     
 
            
     
Xét 
 
1 2 2 2 2
' ; ;0 , ' ; ;0 , ' ;0;0 .
3 3 3 3
A B M t
   
   
   
Khi đó,  3 ' ' ' 'MA MB M A M B   
Mà 'M chạy trên trục hoành và ', 'A B nằm 
khác phía với trục hoành. 
Do đó, MA MB nhỏ nhất ' ' ' 'M A M B  
nhỏ nhất 'M là giao điểm của trục hoành 
và đường thẳng ' 'A B . 
Ta có: 
1
' ' ' '
2
1 1 2 4
3 2 3 9
M A M B
t t t
 
 
       
 
Vậy 
4 4 5
; ; .
9 9 9
M
 
 
 
- Khẳng định : ý tưởng này tỏ ra rất hiệu quả 
cho lớp bài toán dạng này. Nếu dựa vào hình 
- Nắm ý tưởng, hiểu cách làm và trình bày lại 
được bài toán. 
- Bài giải câu b) 
b) Tương tự như câu a) ta có: 
   
2 22
2 2 2
1
4 2 4
3 3 3
MA MB
t t t
t t t

    
     
          
     
2 2
2 2
3 2 1 3 4 4
1 2 2 8
3
3 9 3 9
t t t t
t t
     
 
            
    
 
Xét 
 
1 2 2 2 2
'' ; ;0 , '' ; ;0 , '' ;0;0 .
3 3 3 3
A B M t
   
   
   
Khi đó, 3 ' ' ' 'MA MB M A M B   
Mà ''M chạy trên trục hoành và '', ''A B nằm 
cùng phía với trục hoành. 
Do đó, MA MB lớn nhất '' '' '' ''M A M B  
lớn nhất ''M là giao điểm của trục hoành 
và đường thẳng '' ''A B . 
Ta có: 
1
'' '' '' ''
2
1 1 2
0
3 2 3
M A M B
t t t

 
      
 
Vậy  0;0;1 .M 
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 22 
học không gian đây là một dạng rất khó, đòi 
hỏi ta phải vận dụng nhiều kiến thức liên quan 
và thực tính toán khá phức tạp 
Cho bài tập tương tự cho học sinh rèn luyện Rèn luyện thêm thông qua các bài tập tượng 
tự 
Bài tập tương tự 
Bài 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ ,Oxyz cho hai điểm    3;2; 1 , 1; 2;1A B  và 
đường thẳng 
1
:
1 2 1
x y z 
  

 . Tìm tọa độ điểm M  sao cho 
a) MA MB nhỏ nhất. 
b) MA MB lớn nhất. 
Bài 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ ,Oxyz cho hai điểm    1;1;0 , 3; 1;4A B  và 
đường thẳng 
1 1 2
:
1 1 2
x y z  
  

 . Biết điểm  ; ;M a b c  sao cho MA MB nhỏ nhất. 
Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
 A. .a b B. .a b c  C. .b a D. .a b c  
- Cách tổ chức bài toán 3 
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH 
- Giới thiệu ví dụ: Trong không gian với hệ 
tọa độ ,Oxyz cho hai điểm 
   1;1; 1 , 3;5;5A B  và mặt phẳng  P có 
phương trình 2 2 8 0.x y z    Tìm tọa độ 
điểm M thuộc  P sao cho MA MB nhỏ 
nhất. 
- Yêu cầu học sinh nêu cách giải bài toán này 
dựa vào kiến thức hình học không gian. 
- Tiếp nhận ví dụ, hình thành hướng giải. 
- Nêu hướng giải 
+ Nếu ,A B nằm về hai phía đối với mặt 
phẳng  P thì MA MB nhỏ nhất  M là 
giao điểm của đường thẳng AB và  P . 
+ Nếu ,A B nằm về cùng phía đối với mặt 
phẳng  P và 'A là điểm đối xứng của A 
qua  P thì MA MB nhỏ nhất  M là 
giao điểm của đường thẳng 'A B và  P . 
+ Nếu ,A B nằm về cùng phía đối với mặt 
phẳng  P mà AB không song song  P thì 
MA MB lớn nhất  M là giao điểm của 
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 23 
- Nhận xét: 
1) Theo phương pháp hình học ta dễ nhận 
thấy điểm M nằm trên đường thẳng  là 
hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB 
trên mặt phẳng  P . Vì vậy ta có thể thay 
giả thiết  M P thành .M  Đây là ý 
tưởng mới để giải bài toán này. 
2) Việc tìm hình chiếu vuông góc của của 
đường thẳng AB trên mặt phẳng  P có 
nhiều cách. Ở đây ta chọn viết phương trình 
 Q chứa hai điểm ,A B và vuông góc với 
 P . Khi đó    .P Q   
3) Ta cũng không cần thiết viết phương trình 
tham số của  và ta chỉ cần tham số tọa độ 
điểm M theo t . Do đó, ta chỉ việc cho x t 
thay vào hệ phương trình gồm hai phương 
trình tổng quát của  P và  Q từ đó giải tìm 
,y z theo t hoặc ta hoán đổi cho y t rồi tìm 
,x z theo t hoặc cho z t tìm ,x y theo t . 
4) Theo phương pháp này ta đã chuyển bài 
toán số 3 thành bài toán số 2, cách làm này 
hoàn toàn khác so cách ta đã biết (phương 
pháp hình học). 
- Cho học sinh thời gian suy nghĩ và thực hiện 
theo cách mới. 
đường thẳng AB và  P . 
+ Nếu ,A B nằm về hai phía đối với mặt 
phẳng  P và ''A là điểm đối xứng của A 
qua  P mà ''A B cắt  P thì MA MB lớn 
nhất  M là giao điểm của đường thẳng 
''A B và  P . 
- Giải 
Dễ dàng ta thấy M cũng nằm trên hình chiếu 
vuông góc của đường thẳng AB trên  .P 
Ta có:  4;4;6AB   và vectơ pháp tuyến 
của  P là    2; 1;2Pn   
Gọi  Q là mặt phẳng chứa hai điểm ,A B và 
vuông góc với mặt phẳng  .P 
Khi đó, vectơ pháp tuyến của  Q là 
       ; 14;20; 4 2 7;10; 2Q Pn AB n       
Do đó, phương trình của 
       : 7 1 10 1 2 1 0Q x y z      hay 
  : 7 10 2 19 0Q x y z    
Ta có:    
11 3
;3 ;
2
t
M P Q M t t
 
    
 
Ta lại có: 
    
   
2
2 2
2
2 2
3 13
1 2
2
3 1
3 2
2
MA MB
t
t t
t
t t

 
      
 
 
       
 
   
2 2
2 2
17 51 189 17 17 53
. .
4 2 4 4 2 4
17 36 36
3 1
2 17 17
t t t t
t t
     
 
      
 
Xét 
 
6 17 6 17
' 3; ;0 , ' 1; ;0 , ' ;0;0
17 17
A B M t
   
   
   
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 24 
. Khi đó,  
17
' ' ' '
2
MA MB M A M B   
Mà 'M chạy trên trục hoành và ', 'A B nằm 
khác phía với trục hoành. 
Do đó, MA MB nhỏ nhất ' ' ' 'M A M B  
nhỏ nhất 'M là giao điểm của trục hoành 
và đường thẳng ' '.A B 
Khi đó, ta có: 
  ' ' ' ' 3 1 1M A M B t t t          
Vậy  1;2;4 .M 
Cho bài tập tương tự cho học sinh rèn luyện Rèn luyện thêm thông qua các bài tập tượng 
tự 
Bài tập tương tự 
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : 2 1 0P x y z    và điểm 
 0; 2;3A  ,  2;0;1B . Điểm  ; ;M a b c thuộc  P sao cho MA MB nhỏ nhất. Giá 
trị của 2 2 2a b c  bằng 
A. 
41
4
. B. 
9
4
. C. 
7
4
. D. 3 . 
Bài 2. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm  0;1;3M ,  10;6;0N và mặt phẳng 
  : 2 2 10 0P x y z    . Điểm  10; ;I a b thuộc mặt phẳng  P sao cho IM IN lớn nhất. 
Tính tổng T a b  . 
A. 5T  . B. 1T  . C. 2T  . D. 6T  . 
3.6. Thời gian áp dụng sáng kiến: 
 - Trong học kỳ II của mỗi năm học của khối 10 ( áp dụng cho bài toán 1) và khối 12 
(áp dụng cho bài toán 2,3). 
 - Trong ôn tập thi THPT quốc gia của học sinh khối 12. 
3.7. Đơn vị, cá nhân áp dụng sáng kiến lần đầu 
 - Lớp 10C11 và 12C11 năm học 2017-2018 của Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh. 
 - Lớp 10C9, 10C10,10C11 và 12C8 năm học 2018-2019 của Trường THPT Nguyễn 
Hữu Cảnh. 
3.7. Mức độ khả thi 
 - Đối với học sinh khối 10 và 11: chỉ giải quyết được bài toán số 1 vì các em mới 
học xong phương pháp tọa độ trong mặt phẳng . Yêu cầu về kiến thức phải nắm được : 
 + Tọa độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy 
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 25 
 + Kiến thức hình học phẳng: 
 Nếu ,A B nằm về hai phía đối với đường thẳng  thì 
MA MB nhỏ nhất  M là giao điểm của đường thẳng AB và  . 
 Nếu ,A B nằm về cùng phía đối với đường thẳng  và 'A là điểm đối xứng của A qua 
 thì 
MA MB nhỏ nhất  M là giao điểm của đường thẳng 'A B và  . 
 Nếu ,A B nằm về cùng phía đối với đường thẳng  mà AB cắt  thì 
MA MB lớn nhất  M là giao điểm của đường thẳng AB và  . 
 Nếu ,A B nằm về hai phía đối với đường thẳng  và ''A là điểm đối xứng của A qua 
 mà ''A B cắt  thì 
MA MB lớn nhất  M là giao điểm của đường thẳng ''A B và  . 
 - Đối với học sinh khối 12: giải quyết được cả ba bài toán. Yêu cầu về kiến thức phải 
nắm được: 
 + Tọa độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy 
 + Kiến thức hình học phẳng: 
 Nếu ,A B nằm về hai phía đối với đường thẳng  thì 
MA MB nhỏ nhất  M là giao điểm của đường thẳng AB và  . 
 Nếu ,A B nằm về cùng phía đối với đường thẳng  và 'A là điểm đối xứng 
của A qua  thì 
MA MB nhỏ nhất  M là giao điểm của đường thẳng 'A B và  . 
 Nếu ,A B nằm về cùng phía đối với đường thẳng  mà AB cắt  thì 
MA MB lớn nhất  M là giao điểm của đường thẳng AB và  . 
 Nếu ,A B nằm về hai phía đối với đường thẳng  và ''A là điểm đối xứng của 
A qua  mà ''A B cắt  thì 
MA MB lớn nhất  M là giao điểm của đường thẳng ''A B và  . 
 + Kiến thức hình học trong không gian 
 Nếu ,A B nằm về hai phía đối với mặt phẳng  P thì 
MA MB nhỏ nhất  M là giao điểm của đường thẳng AB và  P . 
 Nếu ,A B nằm về cùng phía đối với mặt phẳng  P và 'A là điểm đối xứng 
của A qua  P thì 
MA MB nhỏ nhất  M là giao điểm của đường thẳng 'A B và  P . 
 Nếu ,A B nằm về cùng phía đối với mặt phẳng  P mà AB không song song
 P thì 
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 26 
MA MB lớn nhất  M là giao điểm của đường thẳng AB và  P . 
 Nếu ,A B nằm về hai phía đối với mặt phẳng  P và ''A là điểm đối xứng của 
A qua  P mà ''A B cắt  P thì 
MA MB lớn nhất  M là giao điểm của đường thẳng ''A B và  P . 
 + Tọa độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng 
trong không gian .Oxyz 
IV. Hiệu quả đạt được: 
 - Những điểm khác biệt trước và sau khi áp dụng sáng kiến: 
 + Trước khi áp dụng sáng kiến này: bài giải các bài toán trên khá cồng kềnh do 
thực hiện nhiều bước , tính toán phức tạp dễ sai, phải vận dụng nhiều kiến thức liên quan, đặc 
biệt kiến thức hình học phẳng và hình học không gianlàm cho học sinh rất sợ kể cả học sinh 
khá , giỏi. 
 + Sau khi áp dụng sáng kiến: Lời giải của các bài toán trên gọn hơn, sáng tạo hơn, 
tính toán nhẹ nhàng, ít phức tạp, ít sai, dễ thực hiện hơn; học sinh hứng thú hơn, gặp dạng toán 
đó thì ít sợ, tự tin thực hiện bài giải và làm tốt dạng toán này .. Hiệu quả cách làm này rất tối 
ưu cho bài toán 2. 
 - Lợi ích thu được khi sáng kiến áp dụng: 
 + Học sinh làm tốt các dạng toán trên, hứng thú và say mê hơn trong học toán. 
 + Thể hiện được tư duy sáng tạo trong giải toán. 
 + Thời gian giải nhanh hơn đáp ứng tốt cho hình thức kiểm tra trắc nghiệm như 
hiện nay. 
 + Là tài liệu dùng để giảng dạy, học tập môn toán trong trường học phổ thông; là tài 
liệu bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi THPT quốc gia. 
 + Kết quả thu được qua khảo sát 
Câu hỏi khảo sát dành cho học sinh của lớp 10C11. 
Thời gian làm bài: 10 phút 
Nội dung câu hỏi: 
Trong mặt phẳng cho hai điểm và đường thẳng có phương 
trình là . Tìm tọa độ điểm sao cho nhỏ nhất. 
------HẾT---- 
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 27 
 Kết quả thu được 
 Học sinh làm tốt Học sinh làm chưa tốt 
Số lượng 25 16 
Tỉ lệ % 60,98% 39,02% 
 Kết quả thu được 
 Học sinh làm tốt Học sinh làm chưa tốt 
Câu 1 27 (chiếm 72,97%) 10 (chiếm 27,03%) 
Câu 2 25 (chiếm 67,57%) 12 (chiếm 32,43%) 
 - Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng giải pháp theo ý kiến của tác giả: Học sinh 
làm bài nhanh hơn, ít sai do tính toán ít phức tạp và không cần thực hiện nhiều công đoạn như 
các phương pháp trước đây đối với bài toán 1,2; còn đối với bài toán 3 thể hiện sáng tạo trong 
lời giải. Đặc biệt thể hiện tính tối ưu cho bài toán 2. 
 - Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng giải pháp theo ý kiến của tổ chức, cá nhân 
tham gia áp dụng giải pháp lần đầu: Theo đa số học sinh được áp dụng sáng kiến này thích thú, 
Câu hỏi khảo sát dành cho học sinh của các lớp 12C11. 
Thời gian làm bài: 20 phút 
Nội dung câu hỏi: 
Câu 1: Trong không gian cho hai điểm và đường thẳng 
 Tìm tọa độ của điểm sao cho nhỏ nhất. 
Câu 2: Trong không gian cho hai điểm và và mặt phẳng 
 . Tìm tọa độ của điểm sao cho lớn nhất. 
---HẾT--- 
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 28 
cảm thấy không còn sợ dạng toán này nữa, làm bài tốt ít sai và ít tốn thời do tính toán ít phức 
tạp và bài giải gọn nhẹ. 
 - Cách giải các bài toán trên theo phương pháp này gọn, đơn giản, dễ thực hiện và 
làm nhanh ít tính toán phức tạp rất phù hợp với hình thức trắc nghiệm. 
 V. Mức độ ảnh hưởng: 
 - Khả năng áp dụng của giải pháp cho học sinh THPT đặc biệt các học sinh đang ôn 
thi THPT quốc gia và dùng làm tài liệu bồi dưỡng ôn thi học sinh giỏi môn toán. 
 - Làm cho học rất thích thú, cảm thấy đam mê toán hơn, không còn cảm giác toán 
học là môn khô khan, khó học và sợ học toán. Đem lại cho các em sự sáng tạo, khơi dậy óc tìm 
tòi, phát triển tư duy, 
 - Là tài liệu cho học sinh, đồng nghiệp tham khảo, phục vụ cho việc học tập và công 
tác giảng dạy. 
 - Góp phần vào đổi mới tư duy giải toán, thực hiện cuộc vận động mỗi thầy cô giáo là 
một tấm gương đạo đức tự học và sáng tạo. 
VI- Kết luận: 
 Thông qua giải pháp này, đã góp thêm một phương pháp giải toán độc đáo, sáng tạo, 
đơn giản, gọn nhẹ, tính toán ít phức tạp dễ thực hiện, ít mắc sai lầm. Góp phần nâng cao chất 
lượng dạy và học; khơi dậy tư duy sáng tạo, tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề của học 
sinh, 
 Mong rằng nhận được thêm nhiều ý kiến quý báu từ các quý đồng nghiệp, học sinh 
để giải pháp này được hoàn thiện và phát triển hơn. 
 Tôi cam đoan những nội dung báo cáo là đúng sự thật. 
Xác nhận của đơn vị áp dụng sáng kiến Người viết sáng kiến 
 Võ Thanh Giang