Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp dạy học sinh tìm lời giải cho bài toán

PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC SINH TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN
PHẦN MỞ ĐẦU :
I.Đặt vấn đề :
 Đất nước ta đang ngày càng phát triển nhanh chóng trở thành một nước tiên tiến trên thế giới. Để sự phát triển tiến xa hơn nữa thì cần phải coi “ Giáo dục - Đào tạo là quốc sách hàng đầu” vì Giáo dục & Đào tạo thế hệ trẻ,thế hệ tương lai của đất nước phải được dặt lên hàng đầu . 
Hiện nay sự nghiệp Giáo dục - Đào tạo đang đổi mới trước yêu cầu phát triển của nền Kinh tế – Xã hội theo hướng CNH – HĐH đất nước.Chính vì vậy,mục tiêu của Giáo dục - Đào tạo là đào tạo nên những con người có tri thức khoa học mới,năng động vận dụng những tri thức khoa học mới đó để sáng tạo ra những cái mới để thích ứng với những nhu cầu của sự phát triển của Khoa học – Kỹ thuật trong XH hiện đại ngày nay và mai sau .
Đứng trước nhiệm vụ nặng nề đó những người làm nghề Sư phạm cần phải không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy sao cho phù hợp với sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật.Dạy học không những giúp cho người học có hệ thống kiến thức KH,kỹ năng,kỹ xảo mà còn phát triển năng lực tư duy,sáng tạo,vận dụng kiến vào thực tiễn để cải tạo thực tiễn.
Trong những tri thức khoa học đó thì môn Toán là một môn khoa học tự nhiên có vai trò rất quan trọng trong cuộc sống và trong các lĩnh vực khoa học khác,nó là chìa khoá của sự hình thành và phát triển năng lực tư duy,phẩm chất trí tuệ.Để học tốt các môn khoa học khác thì HS cần phải học tốt môn Toán.
Muốn vậy,người GV không những phải đổi mới phương pháp dạy học,phải biết vận dụng sáng tạo,linh hoạt các phương pháp,hình thức tổ chức dạy học phù hợp với nội dung đơn vị kiến thức để HS lĩnh hội và phát hiện kiến thức một cách chủ động sáng tạo mà còn phải hướng dẫn cho HS cách học sao cho có hiệu quả và có phương pháp tìm lời giải cho một bài toán.
II. Lý do chọn đề tài :
	Có thể nói giải Toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy bởi lẽ việc giải Toán là một việc mà cả người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm.Đặc biệt đối với HS,đó là mục tiêu của việc học Toán.
	Từ việc giải Toán,có thể vận dụng kiến thức đã biết vào các vấn đề cụ thể trong cuộc sống hàng ngày.
	Giải Toán là một hình thức tốt nhất để rèn luyện kỹ năng như kỹ năng tính toán,kỹ năng biến đổi,kỹ năng suy luận và từ đó có kỹ năng Toán học hóc các môn khoa học khác như : Lý,Sinh,Hoá,... 
	Việc tìm lời giải cho một bài toán là một hình thức rất tốt để kiểm tra về năng lực,mức độ tiếp thu kiến thức và việc vận dụng kiến thức của HS.Thông qua việc tìm lời giải cho một bài toán để rèn luyện phương pháp khoa học trong suy nghĩ,trong suy luận,trong giải quyết các vấn đề,....qua đó để rèn luyện trí thông minh sáng tạo,phát triển các năng lực trí tuệ cho HS. Ngoài ra việc giải toán còn rèn luyện cho HS nhiều đức tính tốt như tính cần cù,tính kỷ luật,tính năng động sáng tạo .....
	Việc tìm ra lòi giải của một bài toán khó,phương pháp giải mới,độc đáo sẽ gây lên sự phấn trấn,hào hứng và lòng say mê học Toán ....
	Chính vì những lý do trên,để đào tạo nên những HS giỏi Toán,phát hiện ra những HS có năng khiếu về Toán thì người GV không chỉ đổi mới phương pháp dạy học ở trên lớp học sao cho HS lĩnh hội tri thức một cách chủ động thông qua các hình thức tổ chức dạy học như dạy học theo nhóm,dạy học theo lớp để HS có điều kiện trao đổi kiến thức,học hỏi lẫn nhau và có tinh thần đoàn kết trong tập thể. Khi ở trên lớp GV chỉ là người cố vấn,hướng dẫn,suy nghĩ đặt câu hỏi một cách có hệ thống,phù hợp với từng loại bài,từng đối tượng, kích thích HS phát huy hết khả năng tư duy,khao khát tiến tới thắc mắc để tìm ra vấn đề mới.Từ đó HS hình thành và khắc xâu kiến thức mới một cách chủ động dễ nhớ và khó có thể phai mờ. Không những vậy,GV cần phải có phương 
pháp để hướng dẫn HS tự học ở nhà để tái hiện lại những tri thức đã rút ra trên lớp bằng cách giaỉ bài tập và tìm lời giải,phát triển và mở rộng cho bài toán.Buộc HS không những hoạt động tích cực ở trên lớp mà còn tích cực,ham mê giải toán ở nhà.Từ đó HS sẽ đạt kết quả cao trong học tập.
NỘI DUNG :
I.Thực trạng :
Trong quá trình giảng dạy và sát sao kiểm tra kỹ năng giải toán của HS tôi thấy có rất nhiều HS còn mắc phải những thiếu sót khi giải toán dẫn đến những lời giải sai lầm không có hiệu quả.
Sau đây là một số thiếu sót của HS thường mắc phải trong phương pháp giải toán như sau :
- Một số HS chưa có sự ham mê học toán,vẫn còn lười học,coi việc giải toán là một gắng lặng do đó chưa biết cách giải toán nhưng bên cạnh đó cũng có một số HS mặc dù chăm học,nắm được kiến thức bài học nhưng nắm kiến thức một cách mờ nhạt nên không biết cách làm bài tập hoặc có làm được thì laị làm sai.
- Chưa đọc kỹ đề bài,chưa hiểu rõ bài toán đã lao ngay vào giải.Bởi vậy,khi làm thì không biết bắt đầu từ đâu,khi gặp khó khăn thì không biết làm cách nào để tháo gỡ.
- Không chịu đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau,không chịu nghiên cứu,khảo sát kỹ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của bài toán theo nhiều cách,không sử dụng hết các dữ kiện bài toán .
- Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy luận trong giải Toán,vận dụng một cách máy móc thiếu linh hoạt.
- Không chịu kiểm tra lại lơì giải tìm được,bởi vậy có thể tính toán nhầm hay vận dụng kiến thức một cách nhầm lẫn,không biết cách sửa lại.
- Không chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hay mở rộng bài Toán.Do đó HS luôn bị hạn chế trong việc rèn luyện năng lực giải Toán.
Ví dụ 1 : Một HS TB yếu ở lớp 7 có thể thực hiện phép Rút gọn như sau :
 (sai)
 Còn đối với HS khá - Giỏi có thể gặp những sai lầm khi giải dạng như sau :
Ví dụ 2 :
Tìm GTNN của biểu thức
A = x2 – 3x + 5 với x ³ 2
Lời giải ( của HS )
Ta có : A = x2 – 3x + 5 = ( x2 – 3x + ) + 5 - 
	= ( x - ) 2 + ³ 
Vậy GTNN của biểu thức A là khi x = 
Nhận xét : Lời giải của HS trên là sai vì em HS đó đã không chú ý đến 
ĐK x ³ 2 
Ta thấy ngay nếu x = không thoả mãn điều kiện x ³ 2 .
Vì vơí x ³ 2 thì ( x - ) 2 ³ Þ x = 2
Lời giải đúng của bài toán trên như sau :
Ta có thể tìm GTNN của biểu thức A bằng cách biến đổi khác như sau :
Ta có : A = x2 – 3x + 5 = ( x2 –3x + 2 ) + 3 
	= ( x – 1 ) ( x – 2 ) + 3
Vì x ³ 2 nên x – 1 > 0 và x – 2 ³ 0 
Þ ( x – 1 ) ( x – 2 ) ³ 0 Þ A ³ 3
Vậy GTNN của biểu thức A là 3 khi ( x – 1 ) ( x – 2 ) = 0 
	Û x – 2 = 0 Û x = 2 
Ví dụ 3 : Bài toán 
a/ Cho a ; b ; c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện
	Hãy tính giá trị của biểu thức
Lời giải của HS như sau 
Từ 
b/ CMR nếu abc ¹ 0 và 
	Thì 
Lời giải
Ta có : a3 + b3 +c3 – 3abc
	= ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 - ab – bc – ac ) = 0 ( vì a + b + c = 0 )
a3 + b3 +c3 = 3abc (1)
Từ 
 ( vì a + c = - b )
 Þ ac = b2 Tương tự có bc = a2
	ab = c2
Mặt khác : a6 + b6 + c6 = ( a3 + b3 + c3 )2 - 2 ( a3b3 + b3c3 + c3a3 )
	= ( 3abc )2 – 2 ( c6 + a6 + b6 )
	Þ a6 + b6 + c6 = 3a2b2c2 (2)
Từ (1) & (2) suy ra ( Đpcm )
Nhận xét : ở ví dụ a ; b trên lời giải rất gọn; rất đẹp nhưng sai lầm . Khi hỏi HS thì HS không biết sai ở đâu và sửa như thế nào cho đúng .
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong các ví dụ trên là HS đã quên không xác định các giá trị tương ứng của các biến để đẳng thức trở thành đẳng thức. Đặc biệt,trong trường hợp giá trị của biến tồn tại thì chúng có thoả mãn các điều kiện cho trước hay không . Gặp sai lầm khi giải toán là điều khó tránh khỏi nhưng tìm ra sai lầm và sửa chữa sai lầm cũng không phải dễ chút nào đối với HS trường THCS .
Đó chính là nội dung chính của đề tài này mà tôi muốn trình bày một một phương pháp dạy vừa phát huy được tính tích cực,chủ động,sáng tạo của HS khi trên lớp mà còn giúp cho HS có một phương pháp học toán , một phương pháp giải Toán sao cho han chế được những sai lầm mà HS thường mắc phải như trên.
	Những sai sót của HS như trên không phải là hoàn toàn do HS mà theo tôi thì phần nào do lỗi của người thầy.Sau đây là một số thiếu sót của thầy khi dạy HS giải Toán như sau :
Chưa tạo cho HS thói quen tiến hành đầy đủ các bước cần thiết khi giải một bài toán nhất là những bài toán mới lạ, nhữngbài toán khó .
Bắt HS giải nhiều bài tập nhưng it hiệu quả làm cho HS coi việc giải toán là một gánh nặng. HS chưa nắm được một hệ thống bài tập đa dạng, đầy đủ mà còn đơn điệu lặp lại khiến HS nhàm chán không có hưng thú giải toán.
Thông thường người thầy chỉ chú trọng trình bày lời giải đã tìm ra mà không chú ý đến việc hướng dẫn HS tự mình đến lời giải.Do đó HS 
cùng lắm chỉ hiểu được lời giải cụ thể của bài Toán mà thầy đã giải chứ chưa biết qua đó học tập cách suy nghĩ để giải các bài toán khác ngay cả các bài toán tương tự.
 Chưa chú trọng đến việc phân tích các bài toán theo nhiều khía cạnh để tạo ra phương pháp và các lời giải khác nhau.
Chưa phát triển những bài toán cụ thể thành những bài toán tổng hợp,khái quát hay sử dụng những phương pháp cua rbài toán đã giải, kết quả của bài toán đã giải để phục vụ cho các bài toán khác.
 Chưa chú trọng đến việc rèn luyện cho HS kỹ năng thực hành,kỹ năng giải toán,kỹ năng biến đổi,suy luận ...
II. Giải pháp thực hiện :
Sau đây là một số cách thực hiện của tôi khi hướng dẫn cho HS một phong cách học toán và cách tìm lời giải cho những bài toán.
Trước tiên tôi sử dụng phối hợp các hình thức tổ chức dạy học trong một giờ lên lớp.
Bài dạy:
 Tiết 11 Bài 8: TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU
Mục tiêu của bài là HS nắm vững tính chất của dãy tỷ số bằng nhau và có kĩ năng vận dụng tính chất này vào giải bài toán chia theo tỷ lệ và một số dạng toán có liên quan.
.Để đạt được mục tiêu trên tôi đã tổ chức hoạt dộng dạy học như sau.
Dạy học theo lớp để kiểm tra bài cũ và đặt vấn đề vào bài nhằm đánh giá việc nắm kiến thức về tỷ số và tỷ lệ thức của HS nêu tình huống có vấn đề kích thích tính tò mò và sự thắc mắc của HS.
Kiểm tra bài cũ:
HS1: Tỷ lệ thức là gì?
HS2: Tỷ số của 2 số a và b là gì?
Đặt vấn đề vào bài:
Vậy từ tỷ lệ thức có thể suy ra được không?
Sau đó tôi tổ chức cho cá nhân HS làm bài tập sau:
Cho tỷ lệ thức : 
Hãy so sánh các tỷ số và với tỷ số ?
Đáp án của HS là: Từ suy ra theo nhóm
Trên cơ sở đó tôi cho HS thảo luận theo nhóm câu hỏi: “ Nếu có tỷ lệ thức thì suy ra điều gì?
Tiếp theo yêu cầu đại diện HS một số nhóm trình bày ý kiến để các nhóm khác đối chiếu.
+ Từ đó HS rút ra tính chất của dãy tỷ số bằng nhau.
+ Để HS hiểu rõ tính chất tôi cho HS đọc phần chứng minh trong SGK và yêu cầu HS tự chứng minh.
Đến đây tôi đưa ra 2 bài tập sau để HS cả lớp làm.
Bài 1: Viết tiếp tỷ số bằng các tỷ số sau:
a, 
b, 
Bài 2: Khẳng định nào sau đây là đúng? Vì sao?
a, 
b, 
c, 
(Các tỷ số đều có nghĩa)
Qua bài 1, bài 2 HS sẽ rút ra nhận xét:
+Các tỷ số trong dãy tỷ số bằng nhau đều có nghĩa
+ Khi cộng hay trừ các số hạng của tỷ lệ thức thì phải cùng số hạng.
Tiếp theo tôi cho HS đọc phần “chú ý” trong SGK để HS hiểu ý nghĩa của cách viết ( hoặc a : b : c = 2 : 3 : 5 )Đó là: Các số a; b; c tỷ lệ với 2; 3; 5.
+ Tiếp theo tôi đưa thêm ví dụ để HS diễn đạt.
a, Viết em hiểu như thế nào?
b, Nói x; y; z tỷ lệ với 8; 9; 10 em viết như thế nào?
+ HS làm bài ?2 (SGK)
Bổ sung thêm điều kiện: Cho biết tổng số HS của 3 lớp là 108. Tính số HS của mỗi lớp?
+ HS trả lới câu hỏi.
Để tính được số HS của mỗi lớp em áp dụng kiến thức nào?
Từ đó tôi sẽ tổng kết lại kiến thức của bài, điều chú ý và ứng dụng.
Tôi cho HS làm bài tập 54; 57; 58 (SGK/30)
3 HS lên bảng, các HS khác làm vào vở.
+ Kết thúc tôi hướng dẫn HS học ở nhà và chuẩn bị cho tiết học sau.
Để một giờ lên lớp có hiệu quả, người thầy không chỉ đầu tư thời gian để làm chủ kiến thức mà cần có biện pháp, kỹ năng sư phạm và vận dụng các phương pháp dạy học mới phù hợp với từng loại bài, từng đối tượng HS.
Khi HS nắm được tính chất của dãy tỷ số bằng nhau tôi cho Hs làm bài toán sau:
Ví dụ 1: Bài 78(SGK 7/140)
 So sánh các số a; b ; c biết rằng và a+b+c ¹ 0
Tôi cho HS hoạt động theo nhóm. Sau đó gọi đại diện các nhóm trình bày lời giải.
Tôi thấy đa số HS làm theo 2 cách sau:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau.
Ta có: 
Þ Þ a = b
 Þ b = c
 Þ c = a
Vậy a = b = c
Cách 2: Đặt = m
Ta có: a = b.m; b = c.m; c = a.m
Þ a = m.b = m.( c.m) = m.((a.m).m) = m.(a.m2)
Þ a = m3.a( vì a ¹ 0)
Þ m = 1
Vậy = 1 Þ a = b = c 
Tôi cho Hs suy nghĩ làm cách khác.
Cách 3: Đặt = m
Ta có: a = b.m; b = c.m; c = a.m
Þ a.b.c = (m.a)(m.b)(m.c) = m3.abc
Vì abc ¹ 0 Þ m3 = 1 Þ m = 1
Vậy = 1 Þ a = b = c
Cách 4: Ta có Þ = 
Þ= 1 Þ Þ a = b
Tương tự Þ b = c
 Þ c = a
Vậy a = b = c
Sau khi đưa ra các cách giải khác nhau tôi hỏi: theo em cách nào dễ hiểu nhất, thuận tiện nhất?
Đa số HS đều cho rằng cách 1 là dễ hiểu và thuận tiện nhất.
Như vậy điều đầu tiên tôi nghĩ đến là sau khi giải bài toán này là phải mở rộng bài toán, đưa bài toán về dạng tổng quát hơn.
Vì vậy tôi cho HS ra đề bài toán tương tự bài toán trên như sau: 
ví dụ . a So sánh các số a; b; c; d biết rằng
 và a+b+c+d ¹ 0
b, Cho a+b+c+d ¹ 0 và CMR: a = b = c = d
(Cách giải hoàn toàn tương tự bài toán trên)
Để HS không nhàm chán, tạo tình huống có vấn đề cho HS tôi đã phát triển bài toán trên như sau:
Bài toán 1: Cho a1 +a2 + a3 + ... ...+an ¹ 0 và 
 CMR: a1 = a2 = a3 =...... ...= an 
Với kết quả bài toán ở trên, HS dễ dàng có thể CM được bài toán mà không gặp khó khăn gì. Nhưng nếu HS gặp bài toán 1 mà chưa làm quen với bài toán ở trên thì việc giải không mấy dễ dàng và HS cảm thấy sợ.
( Tôi đã thử nghiệm 2 cách ở 2 lớp tôi dạy và thấy nếu HS giải theo phương pháp tren thì HS có hứng thú và ham mê giải toán hơn, không những trên lớp mà trong giờ giải lao, về nhà HS cũng tìm tòi và say mê giải toán.)
Từ đó tôi đưa ra các bài toán “ lạ” sau và thấy HS giải một cách dễ dàng
Bài toán 2 : Cho ; a+b+c ¹ 0 và a = - 2010
 Tính b ; c ?
Bài toán 3 : Cho ; a+b+c ¹ 0
 Tính giá trị của M = 
Bài toán 4 : Cho ; a+b+c ¹ 0
	 CMR : 
Bài tán 5 : Cho a1 + a2 + a3 + . . . . . . + an – 1 + an ¹ 0 và
Hãy tính : a) 
	b) 
Bài toán 6 : Cho 2005 số dương a1 ; a2 ; ........; a2005 thoả mãn
 Chứng minh rằng a1 + a2 + a3 + . . . . . + a2004 + a2005 = 2005.a2005
Ví dụ 2 : Cũng bắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau
Bài toán A : Tính tổng A = 
Lời giải
Ta có : 
	 ...... ........
Vậy A = 
Vì 1.2 = 2 ; 2.3 = 6 ; 43.44 = 1892 ; 44.45 = 1890
Nên tôi cho HS làm các bài toán sau
Bài 1 : Tính tổng 
 - Bài toán ngược của bài toán trên là :
Bài 2 : Tìm x N biết 
( HS giải bài toán trên không máy khó khăn gì khi đã giải bài toán ở trên )
Hơn nữa ta có :
Ta có các bài toán sau :
Bài 3 : CMR 
Mà ; do đó cho ta bài toán “ tưởng như khó ” nhưng rất dễ sau :
Bài 4 : Chứng tở rằng tổng
	 không phải là số nguyên
Một số dạng toán khó học sinh cần có kiến thức tổng quát để giải 
Bài 5: Phân tích 10000000099 thành tích của hai số tự mhiên khác 1 . 
GV : Hướng dẫn học sinh phân tích đa thức : x5 + x – 1 thành nhân tử 
Bài 6 : Cho ba số x , y , z 0 và x2010 + y2010 + z2010 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của
 A = x2 + y2 + z2 . 
GV : khi gặp bài toán thì ta nhớ đến bất đẳng thức côsi
Bài 7 : Cho a , b , c > 0 . CMR 
Bài 8 : Cho a , b , c 
 Tìm Max F = 
Để giải hai bài toán trên ta áp dụng bất đẳng thức sau : 
Cho : ai 0 , i = 1, 2 ,  , n thì : 
D.KẾT LUẬN :
	Thực tiễn đã chứng tỏ , thành công của một tiết dạy không chỉ phụ thuộc vào việc lựa chọn phương pháp dạy học mà còn còn phụ thuộc vào sự phối hợp hài hoà giữa các hình thức tổ chức dạy học phù hợp với từng loại bài,từng đối tượng học sinh. Giáo viên không những đổi mới phương pháp dạy học,thiết kế bài dạy để HS nắm bắt được hệ thống kiến thức một cách 
chủ động,sáng tạo mà giáo viên còn phải hướng dẫn cho HS cách học,cách tìm lời giải cho các bài toán,trình bày lời giải tức là HS cần phải dùng kỹ năng,tư duy để tái hiện lại kiến thức đã lĩnh hội được trên lớp vào việc giải bài tập .
	Trên đây là những suy nghĩ của tôi, tôi nghĩ rằng không chỉ riêng tôi mà các giáo viên khác đang thực hiện nhiệm vụ dạy học đều phải quan tâm .
	Trong quá trình giảng dạy sẽ không tránh khỏi những vướng mắc,hạn chế. Bởi vậy tôi mạnh dạn báo cáo suy nghĩ này để mong được sự góp ý của các cấp lãnh đạo và đồng nghiệp giúp tôi có phương hướng dạy học hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Pơng Dramg , ngày 03tháng 12 năm 2010
XÁC NHẬN CỦA BGH Người viết
Trường THCS Lý Tự Trọng
 Huỳnh Hồng Ngọc