Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp dạy học chứng minh định lí

“chỉ”.
 Đối với định lí: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì:
 a) Chúng bằng nhau nếu cả hai đều nhọn hoặc đều tù;
 b) Chúng bù nhau nếu một góc nhọn, một góc tù”
 học sinh phải biết tách ra thành ba phần:
 - Hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song thì bằng nhau;
 - Hai góc tù có cạnh tương ứng song song thì bằng nhau;
 - Một góc nhọn và một góc tù có cạnh tương ứng song song thì bù nhau.
 Không yêu cầu học sinh phải học thuộc lòng nguyên văn cách phát biểu định lí trong sách giáo khoa. Nên khuyến khích học sinh, trên cơ sở nắm được các ý của định lí, nắm được nội dung của giả thiết và kết luận, phát biểu định lí khác chút ít với cách phát biểu trong sách giáo khoa ( dù có thể dài) nhằm chống lối học vẹt và phát triển ở học sinh năng lực diễn đạt độc lập những ý nghĩ của mình.
 Ví dụ: định lí dấu hiệu chia hết cho 9: “Những số mà tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9” (toán 6 tập 1) học sinh có thể phát biểu theo nhiều cách khác, chẳng hạn như:
- Tất cả các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 đều chia hết cho 9 và tất cả các số khác thì không chia hết cho 9.
- Nếu một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9 và ngược lại, nếu một số chia hết cho 9 thì nó có tổng các chữ số chia hết cho 9.
 - Một số chia hết cho 9 khi nó có tổng các chữ số chia hết cho 9 và không chia hết cho 9 khi nó có tổng các chữ số không chia hết cho 9.
 Sau đây là một vài cách phát biểu khác nhau của một số định lí trong hình học 7:
 - “Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng kia”, “Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này cũng vuông góc với đường thẳng kia.”
 - Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.”, “Một tam giác ,có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì đó là tam giác vuông.”, “Một tam giác là vuông nếu nó có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy”.
 Mặt khác cần cho học sinh phân tích sai lầm, thiếu sót trong phát biểu định lí như: “Góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong của nó:, “Hai góc có cạnh tương ứng song song thì bằng nhau”, “Trong một tam giác cân, Phân giác đồng thời là đường cao và trung tuyến”...
 III. DẠY HỌC CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ:
 1. Ta biết rằng phép chứng minh một mệnh đề T là một dãy mệnh đề:
 T1T2......TN – 1TNT (*)
 ( T là mệnh đề cuối cùng của dãy), trong đó mỗi m,ệnh đề Ti (i = 1,...,n) là tiền đề, giả thiết, định lí đã biết ( đã được chứng minh) hoặc là mệnh đề được suy ra từ một mệnh đề đứng trước nó (trong dãy) bằng một quy tắc suy luận.
 Ta sẽ gọi mỗi mệnh đề Tk (1 < k ≤ n) của dãy (*) mà không phải là tiên đề, giả thiết hoặc định lí đã biết là một mệnh đề trung gian đề chứng minh T( nếu không có mệnh đề trung gian nào thì phép chứng minh chỉ có một khâu).
 Nhiều công trình nghiên cứu cho thấy rằng học sinh trung học cơ sở, nhất là học sinh đầu cấp, có thể hiểu được những chứng minh đơn giản, theo nghĩa là :
Dãy (*) gồm rất ít mệnh đề, không có hoặc chỉ có một mệnh đề trung gian (nói cách khác, phép chứng minh chỉ gồm một hoặc hai khâu)
Mệnh đề trung gian và T được suy ra bằng chứng minh trực tiếp (không phải là chứng minh gián tiếp, chứng minh bằng phản chứng).
Học sinh thường gặp khó khăn, có khi đến mức không khắc phục nổi, với những chứng minh mà dãy (*) gồm nhiều mệnh đề trung gian (có nhiều khâu), và với phép chứng minh bằng phản chứng.
 2. để giúp học sinh hiểu và dần dần biết chứng minh, nên trình bày (và yêu cầu học sinh trình bày lại) các chứng minh thành dãy các mệnh đề (*), mỗi mệnh đề có ghi chú rõ do đâu mà có (căn cứ)
 Ví dụ 1 : chứng minh hằng đẳng thức :
 (a + b)2 = a2 +2ab + b2
Mênh đề
Căn cứ
1.(a + b)2 = (a+b).(a+b)
2. =a.(a+b)+b(a+b)
3. =aa + ab + ba + bb
4. =aa + ab + ab + bb
5. =aa + 2ab + bb
6. =a2 + 2ab + b2
1. theo định nghĩa lũy thừa
2. theo luật phân phối của phép nhân đối với phép cộng
3. theo luật phân phối của phép nhân đối với phép cộng
4. theo luật giao hoán của phép nhân
5. theo định nghĩa của hệ số 
6. theo định nghĩa của lũy thừa
 Ví dụ 2: Chứng minh định lí “Trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhau”.
 GT: AB//CD, ADC = BCD
 KL: AC = BD
Chứng minh:
Mênh đề
Căn cứ
1. AD = BC
2. ADC = BCD
3.CD = CD
4. DADC = DBCD
5.AC = BD
1. theo định lí đã biết (trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau)
2. giả thiết
3. hiển nhiên
4. từ 1,2,3 và trường hợp bằng nhau (c.g.c) của hai tam giác.
5. từ 4 (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau)
 Chứng minh định lí trên còn có thể trình bày cách khác:
 (1) AD = BC (định lí đã biết)
 (2) ADC = BCD (giả thiết)
 (3) CD = CD (hiển nhiên)
Từ (1), (2) và (3) => DADC = DBCD (c.g.c) => AC = BD
 Ví dụ 3: Chứng minh định lí:
 “Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy”.
 Trong sách giáo khoa hình học 8 trang 79 định lí được chứng minh như sau:
GT
Hình thang ABCD (AB//CD)
AE = ED, BF = FC
KL
EF//AB, EF//CD
Chứng minh: Gọi K là giao điểm các đường thẳng AF và DC.
 DFBA và DFCK có:
 (đối đỉnh)
 BF = CF (giả thiết)
 (so le trong,AB//DK)
Do đó DFBA = DFCK (g.c.g), suy ra AF = FK và AB = CK
E là trung điểm của AD, F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của DADK, suy ra EF//DK (tức EF//CD và EF//AB) và EF=DK.
Mặt khác DK = DC + CK = DC + AB. Do đó EF=
 Cách trình bày này ngắn gọn ( trong sách giáo khoa có thể là cần thiết), nhưng nếu giáo viên giảng nguyên như vậy thì nhiều học sinh sẽ không hiểu được: “EF là đường trung bình của tam giác ADK” suy ra được từ đâu? Từ AF = FK và AB = CK? còn DK = DC + CK hay DK = DC + AB là do đâu?
 Vì vậy giáo viên cần giảng giải cách chứng minh kỹ hơn, chẳng hạn như:
AB // CD (gt) => (1)
 BF = CF (giả thiết ) (2)
 (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) => DFBA = DFCK (g.c.g)
 => AF = FK (4) và AB = CK (5)
Từ EA = ED (gt) và(4) => EF//DK (//AB) và EF=DK (6)
Từ (5)=>DK = AB + CD (7)
Từ (6) và (7) => EF= (đpcm).
 Cách trình bày này có vẻ dài nhưng nó giúp học sinh thấy rõ căn cứ của mỗi kết luận, mối liên hệ giữa mệnh đề này với mệnh đề khác trong chứng minh. Điều này càng thể hiện trực qua hơn nếu ta dùng sơ đồ như sau:
AB//CD
FB=FC
 , (gt) (đối đỉnh)
 DFBA = DFCK (g.c.g)
 ß
EA=ED
 (gt) AF = FK AB = CK
 EF//DK (//CD) DK = CD + AB
 3. Trong số học, có nhiều định lí được công nhận, không chứng minh. Ví dụ định lí : “Nếu hai số a và b đều chia hết cho m (m ≠ 0) thì tổng a + b cũng chia hết cho m (toán 6 tập 1).
 Bên cạnh đó, có một số định lí được coi như được chứng minh bằng cách suy luận trên một ví dụ tiêu biểu. Chẳng hạn các định lí về dấu hiệu chia hết ch 2,5,9,3 (toán 6 tập 1) được giải thích trên ví dụ cụ thể; lập luận trên số cụ thể đó có thể áp dụng cho bất kì số nào có tính chất tương tự. 
 Khi dạy học các định lí này, nên cho học sinh lập luận trên một số cụ thể, khác với số trong sách giáo khoa. Đối với học sinh khá giỏi, có thể cho các em chứng minh tổng quát.
 4. Điều hết sức quan trọng là giúp học sinh hiểu được ý chính của chứng minh, vì sao phải chứng minh mệnh đề trung gian này, vì sao phải vẽ thêm đường này, vì sao phải biến đổi một biểu thức nào đó ra dạng khác v.v... Trong nhiều trường hợp, có thể áp dụng phương pháp tìm tòi trong việc dạy học định lí
 Chú ý rằng do yêu cầu phải trình bày gọn, theo khuôn khổ có hạn của cuốn sách, sách giáo khoa thường không thể giải thích ý chính của mỗi chứng minh được; điều này phải do giáo viên quan tâm thực hiện thường xuyên.
 Khi dạy định lí : “Tổng số đo ba góc của của tam giác bằng 1800” cần hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ và thấy được rằng: để chứng minh định lí, ta phải vẽ một góc bằng tổng ba góc của tam giác. Điều hợp lí là giữ nguyên một góc đã có sẵn (góc C chẳng hạn) và vẽ hai góc kề với góc C (một góc chung cạnh CA, một góc chung cạnh CB với góc C) lần lượt bằng hai góc A và B .
 Để vẽ một góc bằng góc A và kề với góc C, ta có thể vẽ tia CD sao cho góc ACD bằng góc A lúc đó CD//AB. Do CD//AB nên để vẽ tiếp góc kề với góc C (có chung góc C cạnh BC) mà bằng góc B, ta chỉ cần xét tia đối của tia CD ( hình trên). Đó là ý chính chứng minh trong sách giáo khoa (hình học 7). Việc lấy trung điểm M của cạnh AC, rồi lấy điểm D trên tia BM sao cho M là trung điểm của BD (hình b) chỉ là một cách để dựng góc ACD kề với góc C và bằng góc A.
 Ta cũng có thể vẽ hai góc kề với góc C và bằng góc A, góc B theo cách khác hoặc từ C vẽ đường thẳng song song với AB (hình sau)
 Công tác thực hành hoặc thí nghiệm cũng có thể giúp gợi ý về cách chứng minh một định lí. Trong ví dụ trên đây về tổng các góc của một tam giác, trước khi chứng minh ta cho học sinh kiểm nghiệm định lí như sau: Từ một hình tam giác ABC bằng bìa các em cắt các góc B và C rồi ghép kề lại với góc A như trong hình b, từ đó các em nhận xét rằng ở A ta có một góc bẹt. Cách kiểm nghiệm này gợi ra cách chứng minh định lí: Từ A vẽ đường thẳng song song với BC...
 Trên đây là một ví dụ về cách dẫn dắt học sinh hiểu được lí do vẽ các đường phụ trong chứng minh một định lí. Điều này có thể làm được trong rất nhiều trường hợp. Sau đây là hai ví dụ khác.
 Xét dịnh lí:
 “ Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy (chương 1 hình học 8, tập 1)
 Để chứng minh định lí này trong sách giáo khoa đã chứng minh như sau:
GT
DABC,AD=DB, AE=EC
KL
DE//BC, DE=
 Chứng minh: Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF.
DAED = DCEF(c.g.c, học sinh tự chứng minh)
ÞAD = CF và .
Ta có AD = DB (gt) và AD = CF nên DB = CF.
Ta có , hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // CF, tức BD//CF, do đó DBCF là hình thang
 Hình thang DBCF có hai đáy BD và CF bằng nhau nên hai cạnh bên DF, BC song song và bằng nhau.
 Do đó DE//BC, .
 Có lẽ trong môn hình học ở trung học cơ sở không có định lí nào khó chứng minh đối với học sinh hơn là định lí về tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác:
 “Ba trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm”(hình học 7 tập 2)
 Học sinh không sao hình dung nổi (kể cả học sinh giỏi) việc chứng minh mệnh đề trung gian: hai trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G với. Có lẻ nên phát biểu định lí dưới dạng:
 “Ba trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng trung tuyến đi qua đỉnh ấy”
 Cách phát biểu này thống nhất cách phát biểu các định lí về tính chất các phân giác và đường trung trực của tam giác, đặt luôn ra cho học sinh một điều cụ thể phải chứng minh. Để chứng minh hay AG= 2GM và BG = 2GN, điều dễ hiểu là ta lấy trung điểm I của AG và trung điểm K của BG và thêm đoạn thẳng IK.
 5. Kí hiệu và hình vẽ là công cụ đắc lực giúp cho việc chứng minh, nhưng có thể làm cho học sinh hiểu vấn đề một cách hình thức, không nắm được ý chính của chứng minh.
 Sau đây là một ví dụ khá tiêu biểu mà giáo viên dễ kiểm tra lại. Ta hãy chú ý đến định lí : “Trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau”.(chương 1, hình học 8, tập 2)
 Khi dạy học các định lí, phải chú ý thay đổi các kí hiệu, các hình vẽ , tập cho học sinh có thói quen khi học các định lí thì tự mình chứng minh lại với kí hiệu và hình vẽ khác trong sách giáo khoa.
 6. Phép chứng minh bằng phản chứng là vấn đề quá khó đối với học sinh ,đặc biệt là do cấu trúc giáo trình hình học, rất nhiều định lí được chứng minh bằng phản chứng ngay từ lớp 6. Thực ra ngay từ tiểu học, học sinh đã gặp vài bài toán giải bằng phương pháp phản chứng, ví dụ các bài toán về điền số (các lâp luận đại loại như: “ không thể bằng 5, vì nếu a bằng 5 thì vô lí”) hoặc bài toán đơn giản sau đây:
“Bạn An có 15 hòn bi xanh, đỏ, vàng; số bi đỏ gấp 7 lần số bi vàng. Hỏi bạn An có bao nhiêu bi mỗi màu?”
Giải: số bi vàng không thể là 2 vì nếu có hai bi vàng thì sẽ có 2.7 = 14 bi đỏ và tổng số bi nhiều hơn 15. Vậy chỉ có một bi vàng từ đó có 7 bi đỏ và 15 – 1 – 7 = 7 bi xanh.
Những bài tập loại này khó đối với học sinh tiểu học nói chung, tuy vậy các em còn có thể nhận thức được vì nó gắn với những đối tượng khá cụ thể. Nhưng mới bắt đầu học hình học có hệ thống ở lớp 7 và cũng ngay sau khi được học về “chứng minh định lí” ( chương 1, hình học 7), học sinh đã gặp những lập luận như: “Đó là điều trái với kết luận của bài toán” hoặc “do đó nếu giả sử a và b có điểm chung thì chúng ta đi đến kết luận (1) và (2) mâu thuẫn với nhau. Vậy a và b không có điểm chung nào. Đó là điều phải chứng minh”. 
Để chứng minh các định lí này, không có cách trình bày nào khác, đó ,là điều khó tránh nếu muốn dạy một giáo trình hình học có hệ thống và tương đối chặt chẽ, nhưng đó là điều mà phần đông học sinh không thể hình dung nổi.
Vài biện pháp sau đây có thể giúp học sinh khắc phục phần nào khó khăn này:
+ cho học sinh giải các bài toán số học trên đây, với yêu cầu chứng minh rằng “chỉ có một hòn bi vàng”. Hướng dẫn để học sinh thấy có thể lập luận như sau: Giả sử có một hòn bi vàng là sai, tức là có ít nhất 2 hòn bi vàng. Nếu có 2 bi vàng thì phải có 2.7 = 14 bi đỏ và tổng số bi lớn hơn 15, trái với giả thiết của bài toán. Từ đó chuyển qua chứng minh định lí hình học bằng phản chứng.
+ Trước mỗi phép chứng minh bằng phản chứng, cần nêu thật rõ ý của chứng minh, vạch rõ điều mà ta “giả sử là sai” là gì và từ đó suy ra điều gì (trái với giả thiết, trái với định lí đã biết,)
+ Đối với một số định lí, quy về chứng minh mệnh đề phản đảo của mệnh đã cho (điều này có thể dễ hiểu đối với học sinh hơn).
7. trên cơ sở hướng dẫn học sinh hiểu được ý chính trong chứng minh các định lí, nên khuyến khích học sinh tìm cách chứng minh khác với chứng minh trong sách giáo khoa; có thái độ trân trọng đối với cả những chứng minh dài hơn, phức tạp hơn.
Ví dụ có học sinh nêu ra một cách chứng minh của định lí: “Đường thẳng nối trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của nó” (chương 1, hình học 8)
Trước hết ta dễ thấy rằng đường trung tuyến (cũng là đường phân giác, đường cao) xuất phát từ đỉnh của tam giác cân là trục đối xứng của tam giác. Để sử dụng kết quả này, ta kéo dài hai cạnh bên của hình thang cân ABCD, gặp nhau ở E. Tam giác ECD cân ( do ) nên trung tuyến EK là trục đối xứng của tam giác ECD. Tam giác EAB cũng cân ( do ) nên trung tuyến EH là trục đối xứng của tam giác EAB. Suy ra EH trùng với EK và EHK là trục đối xứng của hình thang cân ABCD. Rõ ràng đây là một cách chứng minh hay ( tuy còn phải xét thêm trường hợp AB // CD).
Đối với định lí về đường trung bình của hình thang, học sinh có thể nghĩ đến việc kẻ đường phụ như trong các hình sau trong đó hai cách b và c có thể chưa hợp lí, nhưng có thể dung làm bài tập bổ ích cho cả lớp.
Đối với định lí về tứ giác nội tiếp( “Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800”, chương 2, hình học 9), học sinh có thể nghĩ nhiều cách chứng minh khác:
(1) không cần vẽ các bán kính OB, OD (hình a), mà đựa và định lí đã biết (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn) để nói ngay rằng .
(2) Kẻ tiếp tuyến của đường tròn từ A (hình b) và kẻ CA
(3) kẻ CA và BD (hình c),
Mỗi cách làm xuất phát từ một ý tưởng ( tạo một góc bằng 2v, đưa về tính tổng các góc của một tam giác)
IV.DẠY HỌC HỆ THỐNG HÓA CÁC ĐỊNH LÍ:
Cũng như việc giảng dạy các khái niệm, việc giảng dạy các định lí phải nhằm giúp học sinh nắm được một hệ thống kiến thức. Đối với mỗi định lí, cố gắng nêu lên mối liên hệ với các định lí đã học, định lí này đã được chứng minh dựa vào định lí nào; nó có thể dùng để chứng minh một cách khác định lí nào đã biết; nó là mở rộng hay là trường hợp đặc biệt của một định lí khác cần giúp học sinh hệ thống hóa các định lí sau từng phần, từng chương, nêu rõ được mối liên hệ giữa các định lí, vị trí, tác dụng của mỗi định lí
Sau đây là ví dụ về hệ thống hóa các định lí trong một chương ở hình học 8:
Ôn tập chương I – Tứ giác (hình học lớp 8)
I-Mối quan hệ giữa tập hợp các hình: Tứ giác – hình thang (T) – hình thang cân (Tc) – hình bình hành (B) – hình chữ nhật (C) – hình thoi (Th) – hình vuông (V) có thể minh họa qua sơ đồ như sau:
Ta thấy:
Tập hợp V các hình vuông là tập hợp con của tập hợp Th các hình thoi (), đồng thời V cũng là tập hợp con của tập hợp C các hình chữ nhật (), nghĩa là V là giao của hai tập hợp Th và C (). Do đó hình vuông có mọi tính chất của hình thoi và mọi tính chất của hình chữ nhật.
C là tập hợp con của tập hợp B các hình bình hành (), do đó hình chữ nhật có tất cả tính chất của hình bình hành và hình thang cân.
Th là tập hợp con của B (), nên hình thoi có mọi tính chất của hình bình hành.
v.v
II-Tóm tắt tính chất của các hình tứ giác:
1. Tính chất về cạnh:
+ Hình thang ABCD ó AB//CD hoặc AD//BC
+ Hình bình hành ABCD ó AB//CD và AD//BC
 ó AB = CD và AD = BC
 ó AB//CD và AB = CD
+ Hình thoi ABCD ó AB = BC = CD = DA.
2. Tính chất về góc:
+ Hình thang ABCD ó hoặc 
+ Hình bình hành ABCD ó 
+ Hình chữ nhật ABCD ó .
3. Tính chất về đường chéo:
+ Hình thang ABCD cân óAC = BD
+ Hình bình hành ABCD ó OA = OC và OB = OD
+ Hình chữ nhật ABCD ó OA = OC = OB = OD .
+ Hình thoi ABCD ó Oa = oc, OB = OD và AC ^ BD.
4. Tính chất đối xứng:
+ Hình bình hànhó tứ giác có tâm đối xứng.
+ Hình thang cân ó tứ giác có một trục đối xứng.
+ Hình chữ nhật ó tứ giác có hai trục đối xứng.
+ Hình thoi ó tứ giác có hai trục đối xứng.
+ Hình vuông ó tứ giác có bốn trục đối xứng. 
PHẦN III. KẾT LUẬN
 Trên đây tôi đã trình bày một số vấn đề cơ bản về phương pháp dạy học định lí ở trường phổ thông trung học cơ sở. Đây là những vấ đề mà theo tôi các giáo viên toán cần tìm hiểu kỹ trước khi giảng dạy cũng như vận dụng trong điều kiện thực tế. Tôi cố gắng lấy những ví dụ cụ thể (phần lớn từ sách giáo khoa chỉnh lí) để phân tích những kinh nghiệm và làm rõ cơ sở lí luận.
Tôi không giới thiệu những xu hướng gần đây trong phương pháp dạy học toán gắn liền với những tiến bộ của khoa học và công nghệ thông tin, đặc biệt là máy tính vì đó là những vấn đề rất rộng và vô cùng phong phú.
Qua thời gian thực hiện đề tài này tôi đã nhận thấy được nhiều vấ đề rất hay và rất bổ ích cho việc dạy học các định lí toán học trong trường phổ thông trung học cơ sở. Hiểu rõ hơn một số định lí, đồng thời cũng qua nghiên cứu mà tôi phát hiện ra những sai xót thường gặp ở học sinh từ đó rút ra được kinh nghiệm cho việc dạy học.
Tôi hy vọng nội dung đề tài này sẽ là một tài liệu tham khảo cho các bạn và các đồng nghiệp dạy học môn toán.
Tôi ý thức rõ rằng đề cập đến phương pháp dạy học toán là đề cập đến lĩnh vực rất phong phú, luôn có những vấn đề phải xem xét và tranh luận, cũng như khả năng còn hạn chế cho nên chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu xót. Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến nhận xét, đóng góp quý báu của bạn đọc.
PHẦN V . KIẾN NGHỊ
 I. Trên đây là một số đúc kết kinh nghiệm của tôi qua nhiều năm giảng dạy, có thể nói đây chỉ là một sáng kiến , một kinh nghiệm nho nhỏ của riêng tôi, nhưng tôi rất muốn được bạn bè đồng nghiệp tham khảo, đóng góp, xây dựng để có một phương pháp dạy học tốt nhất, đặc biệt đối với môn toán THCS.
 II. -Tuy nhiên với khó khăn hiện thời về phương tiện thiết bị dạy học sẽ làm cho tiến trình dạy chưa đạt hiệu quả tốt.
 - Hoàn cảnh của học sinh đi học còn rất khó khăn, cho nên việc học toán của các em cũng có phần bị hạn chế.
 - Thời gian của tiết học cũng là một vấn đề mà giáo viên cũng rất quan tâm vì cứ phải tính toán sao cho đủ nội dung của bài học trong một tiết
 III. Đề xuất:
 Qua thời gian ,nghiên cứu đề tài này tôi nhận thấy khả năng kiến thức của học sinh học khi học về các định lí còn rất hạn chế. Các em mắc phải nhiều thiếu xót sai lầm trong chứng minh. vì vậy mà tôi có một số đề xuất nhỏ:
 1. Nên đi chuyên sâu hơn đối với chủ đề này
 2. Cần có phương pháp dạy phù hợp hơn.
 3. Cần mở chuyên đề cho nội dung này.
 HẾT
****
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa toán 6 tập 1, tập 2
Sách giáo khoa toán 7 tập 1, tập 2
Sách giáo khoa toán 8 tập 1, tập 2
Sách giáo khoa toán 9 tập 1, tập 2
Sách giáo viên
Sách bài giảng
Sách chuẩn kiến thức kỹ năng
Phương pháp dạy học toán học ( Hoàng Chúng)
Số học bà chúa của toán học ( Hoàng Chúng