Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp chứng minh bài toán hình học thông qua cách vẽ đường phụ

lời nói đầu
Học toán mà đặc biệt là môn hình học, mỗi học sinh đều cảm thấy có những khó khăn riêng của mình.
Nguyên nhân của những khó khăn đó là:
Nhiều học sinh chưa nắm vững các khái niệm cơ bản của các định lý, tính chất của các hình đã học. Một số chỉ “học vẹt” mà không vận dụng vào giải các bài tập.
Sách giáo khoa cung cấp cho học sinh một hệ thống các kiến thức cơ bản nhưng không thể có đầy đủ các bài tập mẫu cho các kiến thức đã học thuộc các dạng khác nhau.
Do vậy cũng không có điều kiện hướng dẫn chi tiết cho học sinh cách vận dụng các kiến thức đó vào giải các bài tập cụ thể mà các em sẽ gặp trong quá trình học tập.
Đối với bộ môn hình học, ngoài các bài toán về trí thông minh hình học còn có các bài toán về dựng hình và quỹ tích là những dạng toán đặc biệt khó mà thời gian để học các dạng toán này trên lớp lại không nhiều , học sinh ít được luyện tập ở lớp cũng như ở nhà nên gặp các loại bài tập này các em thường rất lúng túng . Để khắc phục những nguyên nhân trên và giúp học sinh có cơ sở học và giải quyết tốt các bài tập về hình học , tôi xin đề cập đến một khía cạnh rất nhỏ về một phương pháp chứng minh bài toán hình học thông qua cách vẽ đường phụ. Đề tài nhằm giúp các em hiểu thấu đáo cách vận dụng kiến thức cơ bản để giải quyết các bài toán chứng minh hình học .
 Nội dung đề tài gồm 4 phần :
 Phần I : Những điều cần chuẩn bị trước khi chứng minh .
 Phần II : Suy nghĩ tìm phương pháp chứng minh .
 Phần III : Những điều cần chú ý khi chứng minh .
 Phần iV : Cách vẽ đường phụ và vai trò của đường phụ trong toán chứng minh
 Với một số bài toán minh hoạ cho bài toán chưng minh hình học lời giải chi tiết , chính xác chặt chẽ, hy vọng đề tài sẽ góp phần giúp các em học sinh khắc phục được các nguyên nhân đã đề cập ở trên để có khả năng giải các bài toán chứng minh hình học ngày một tốt hơn .
 Tuy tôi đã cố gắng hết sức sự suy nghĩ và cân nhắc kỹ càng trong khi viết đề tài song chắc chắn không tránh khỏi những sai sót do năng lực hạn chế. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp và chỉ bảo của quý đồng nghiệp.
 B. Nội dung 
Những điều cần chuẩn bị trước khi chứng minh :
 Để giải được một bài toán chứng minh hình học ta cần phải làm những gì ? Nắm vững lí thuyết đã đủ để đảm bảo cho ta giải được một bài toán chứng minh hình chưa ? Câu trả lời là : Chưa . Đó mới chỉ là điều kiện cần nhưng chưa đủ cho việc giải một bài toán chứng minh hình học .
 Chuẩn bị trước khi chứng minh: 
 1/ Đọc kỹ đề bài để hiểu hết ý của đề ( gọi là nắm vững đề ) . Nên đọc nhiều lần , có thể vừa đọc đề vừa vẽ hình sơ bộ ra vở nháp để hiểu rõ ý nghĩa của của các từ ngữ toán học dùng trong bài .
 2/ Phân tích sơ bộ giả thiết , kết luận của bài , dựa vào đề bài vẽ hình chính xác vào vở . Hình vẽ chính xác giúp ta quan sát tốt, gợi ý cho ta suy diễn đúng và tìm được cách chứng minh dễ dàng . Vẽ hình tuỳ tiện, không chính xác lại là điều thường xảy ra đối với những người mới chứng minh hình học . Vì vậy học hình học điều cần thiết là phải rèn luyện kỹ năng vẽ hình , không được vẽ các hình ở dạng đặc biệt . Ví dụ : Cho hai đường thẳng cắt nhau thì không dược vẽ chúng vuông góc . Cho một tam giác thì không được vẽ tam giác vuông, cân hoặc đều ...
 Đặt tên cho các yếu tố trong hình có liên quan đến bài giải , dùng kí hiệu đánh dấu các yếu tố bằng nhau( cạnh , góc ) 
 3/ Dựa vào đề bài và vẽ hình , dùng các kí hiệu toán học thay cho các ngôn ngữ toán học thông thường để tóm tắt thành giả thiết , kết luận của bài ghi bên cạnh hình vẽ.
 Sau khi đã làm xong ba bước trên bạn nhìn vào hình vẽ và giả thiết kết luận đọc lại đề bài một lượt theo ngôn ngữ và cách diễn đạt của bạn rồi bắt đầu tìm cách chứng minh .
II/ Suy nghĩ để tìm phương pháp chứng minh:
 Muốn chứng minh một bài toán hình học ta phải nắm vững phương pháp suy xét vấn đề tìm hiểu và suy đoán từng bước một . Phương pháp chủ yếu để tìm lời giải của một bài toán chứng minh hình học thường là phương pháp bắt đầu từ kết luận . Ta thừa nhận kết luận , dùng đó làm cơ sở suy xét . Giả sử Z là kết luận ta thừa nhận Z . Nếu Z đúng thì dẫn đến mệnh đề Y đúng , vì từ Y suy ra được Z . Nếu có Y thì một mệnh đề tiếp theo X chẳng hạn cũng đúng , vì từ X suy được ra Y . Tiếp tục nếu có X thì lại có một mệnh đề X1 khác cũng đúng vì từ X1 suy dược ra X .....Cứ như vậy suy ngược cho đến cuối cùng ta được một mệnh đề A chẳng hạn phù hợp với giả thiết , hoặc chính mệnh đề A là giả thiết thì thôi.
Phương pháp suy luận trên gọi là phương pháp phân tích đi lên và có thể tóm tắt như sau: 
 Z ← Y← X← X1← .......← A
Đây là phương pháp bằng suy luận có lý ta đi ngược từ kết luận lên giả thiết . Nó không phải là một phương pháp chứng minh . Vì xuất phát từ một mệnh đề chưa biết đúng sai , bằng suy luận có lý ta suy ra được một mệnh đề đúng thì chưa thể có kết luận gì về tính đúng sai của mệnh đề xuất phát ( Z ) . Do vậy sau khi vận dụng phương pháp trên để tìm được cách chứng minh ( Gọi là tìm được chìa khoá giải bài toán ) ta phải trình bày lời giải theo quá trình ngược lại gọi là phương pháp tổng hợp 
 Sơ đồ như sau: A→......→ X1→ X → Y → Z 
Với A là giả thiết của bài , mệnh đề này luôn luôn đúng. Bằng suy luận có lý dựa vào các khái niệm cơ bản , các định lí và các tiên đề đã học ta khẳng định tính đúng đắn của Z.
Phương pháp chứng minh như trên gọi là phương pháp chứng minh trực tiếp .
 III.Những điều cần chú ý khi chứng minh :
 Chứng minh một bài toán hình học đòi hỏi việc suy luận chặt chẽ và chính xác . Sau khi đã có phần chuẩn bị và suy nghĩ để tìm ra phương pháp chứng minh như trên thì việc trình bày lời giải bài toán theo phương pháp tổng hợp là rất quan trọng , Để giúp người học làm tốt phần này tôi nêu thêm những điểm cần chú ý khi diễn đạt lời giải bài toán chứng minh như sau :
 1/ Mỗi một câu , một mệnh đề , một hệ thức nào đó được nêu ra trong bài chứng minh của mình đều phải có lý do , có căn cứ xác đáng , không mơ hồ, không qua loa . Vì vậy khi trình bày lời giải bài toán chứng minh mặc nhiên hình thành hai phần. Phần bên trái là những mệnh đề , những hệ thức toán học thường nên mở đầu bằng các từ : “ Xét” ; “ Ta có” ; “Mà” ; “Nên” ; “Suy ra” ; “Rút ra” ; “ Vậy”. Phần bên phải là những lí do ghi những cơ sở , những căn cứ để có được những mệnh đề , những hệ thức toán học đó . Không được bỏ qua phần này .
 2/ Những lí do dùng làm căn cứ cho phần chứng minh hình học là : Giả thiết , những định nghĩa đã học, những tiên đề đã học , những định lí đã học , cũng có khi lấy từ kết quả câu chứng minh trước của bài . Những điều chưa học hay trong phạm vi chương trình không dạy thì không được dùng làm căn cứ . Càng không thể tự đặt ra lí do để làm căn cứ .
 3/ Khi chứng minh nếu phải vẽ thêm đường phụ thì bắt đầu vào bài phải nói ngay vẽ đường phụ nào , vẽ như thế nào và tên gọi của nó .
 4/ Gặp những phần chứng minh giống nhau trong một bài ta không cần lặp lại cả quá trình chứng minh đó mà chỉ ghi “ Chứng minh tương tự”rồi ghi kết quả chứng minh vào .
 5/ Dùng kí hiệu đánh đấu trên hình vẽ những yếu tố bằng nhau.
 6/ Lời lẽ diễn đạt phải ngắn gọn , không thiếu không thừa . Trong trường hợp có thể nên dùng kí hiệu ,dùng hệ thức để diễn đạt thay cho lời nói để bài chứng minh được rõ ràng mạch lạc và không dài dòng.
 Ngoài ra còn nhiều điều khác nữa phải chú ý như tính cẩn thận , tính chính xác trong vẽ hình ..... Thực hiện tốt các điều đó các em học sinh sẽ tránh được những sai sót và sau một thời gian luyện tập sẽ có tiến bộ rõ rệt.
 IV. Cách vẽ đường phụ và vai trò của đường phụ trong toán chứng minh:
 Khi giải một bài toán chứng minh hình học , trừ một số bài dễ còn lại phần lớn các bài toán đều cần phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh dược . Vậy vẽ đường phụ như thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì ? Đó là điều mà người học cần phải biết được đối với mỗi bài toán cụ thể . Không thể có một phương pháp chung nào cho việc vẽ đường phụ trong bài toán chứng minh hình học. Ngay đối với một bài toán cũng có thể có những cách vẽ đường phụ khác nhau tuỳ thuộc vào cách giải bài toán. Dưới đây tôi chỉ xin nêu ra một số cách vẽ đường phụ thông qua một bài toán cụ thể để giúp phần nào cho bạn đọc làm quen.
 1/Vẽ đường phụ để tạo mối liên hệ giữa các điều kiện đã cho hoặc giữa các yếu tố trong kết luận của bài toán với nhau:
 Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD, (BC//AD) có góc A nhỏ hơn góc C. Chứng minh rằng đường chéo AC<BD.
 Hướng giải: Bình thường 2 đường chéo AC và BD không có mối liên hệ nào giúp ta so sánh. Nếu đưa hai đoạn thẳng ấy về chung một tam giác ta có thể vận dụng mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác để so sánh.
Muốn vậy ta có nhiều cách vẽ đường phụ. 
E
Có thể từ B hoặc từ C vẽ đường thẳng A
B
D
C
song song với AC hoặc BD.
 Cũng có 
thể ở giữa A và D ta chọn một 
điểm E sao cho BE=AC (hoặc
 sao cho CE=AB, tuỳ cách
 vẽ của bạn). Điều này hoàn
 toàn có thể làm được bằng
 phương pháp dựng hình
 và như vậy ta đã làm xuất hiện ∆BDE có BE=AC. 
Việc so sánh AC với BD được chuyển thành so sánh BE với BD trong ∆BDE. Để so sánh BE với BD ta so sánh các góc đối diện chúng trong ∆BDE lấy A>D làm trung gian.
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD, lấy một điểm M tuỳ ý trên CD. Vẽ phân giác của góc BAM cắt cạnh BC tại E. Chứng minh: DM+BE=AM.
Hướng giải: Từ kết luận cần chứng minh của bài toán, gợi ý cho ta cách vẽ thêm đường phụ sao cho hai đoạn thẳng BE và DM về cùng một đường thẳng tạo ra một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng liên tiếp có độ dài bằng BE+BM.
Trên tia MD ta đặt đoạn DF liên tiếpC
B
E
D
F
M
A
với MD sao cho DF=BE để có
FD+DM=BE+DM=MF. Hoặc đặt
BF liên tiếp với EB sao cho BF=DM
để có BE+BF=BE+DM=EF. Với cách
vẽ đường phụ ở hình trên ta chuyển
từ chứng minh AM=DM+BE
thành chứng minh AM=MF.
Còn với cách vẽ đường phụ ở hình dưới ta phải thêm một bước chứng minh AM=AF sau đó mới chứng minh AF=FE.
C
B
E
D
F
M
A
 2. Vẽ thêm đường phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa các yếu tố cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau:
 Ví dụ 3: Cho hình hình hành ABCD, trên AB và BC lấy 2 điểm E,F sao cho AE = CF (E thuộc AB, F thuộc BC) Kể DH^AF và DK^CE. Chứng minh rằng DH=DK.
Hướng giải: Ta thừa nhận ngay việc chứng minh cho DH=DK thực chất 
là chứng minh cho ∆ AFD=∆CED có diện tích bằng nhau vì 2 tam giác 
này đã có hai cạnh đáy AF và CE bằng nhau. Nếu hai tam giác có 
hai cạnh đáy bằng nhau và có đường cao thuộc hai cạnh đáy đó
 cũng bằng nhau thì diện tích bằng nhau, Vì vậy nếu ta vẽ đường chéo
 AC và lấy ∆ ACD làm trung gian để so sánh diện tích ∆ CED và 
diện tích ∆ AFD. Ta thấy ngay diện tích ∆ AFD = diện tích ∆ ACD
(cùng đáy AD, cùng chiều cao hạ từ F và C xuống AD)
Diện tích ∆ AFD=∆CED (cùng đáy CD, cùng chiều cao hạ từ A, E xuống CD)
Suy ra diện tích ∆ AFD=∆CED hay 1/2 DH.AF=1/2DK.CE Mà AF=CE Suy ra DH=DK
H
K
F
E
D
C
B
A
 Ví dụ 4: Chứng minh rằng đường trung bình của một hình thang cân thì nhỏ hơn đường chéo của nó. 
 Hướng giải : E
N
M
D
C
B
A
 Gọi hình thang cân ABCD có BC // AD , AB = CD và BC< AD, MN là đường trung bình của hình thang .
 Ta phải chứng minh MN < BD nhưng giữa MN và BD không có mối liên hệ nào giúp ta so sánh được . Nếu từ M kẻ đường thẳng song song với cạnh bên CD, cắt AD tại e và dùng DE làm trung gian để so sánh MN với DE và DE với BD bằng cách chứng minh MNDE là hình bình hành và ∆BDE vuông tại E.
 3/ Vẽ đường phụ để tạo nên một hình mới, biến đổi bài toán để bài toán dễ chứng minh hơn .
 VD 5 : Cho ∆ABC có AB > AC . Vẽ hai đường cao BE và CD . Chứng minh rằng AB + CD > AC + CE.
 Hướng giải :
H
F
D
C
B’
B
A
 ở bài này nếu ta biến đổi để có một đoạn thẳng khác bằng AB + CD và một đoạn thẳng khác bằng AC + BE thì cũng chẳng giúp gì cho việc chứng minh . Nhưng nếu ta dựa vào đề bài cho AB > AC để biến đổi kết luận bằng cách chuyển vế AC và CD trong bất đẳng thức của kết luận ta có AB – AC > BE – CD . Như vậy bài toán có thể biến đổi thành một bài toán mới tương đương ‘ Cho ∆ABC có AB >AC. Chứng minh rằng hiệu hai cạnh AB và AC thì lớn hơn hiệu 2 đường cao tương ứng thuộc hai cạnh đó”.
 - Biến đổi đề toán như vậy sẽ gợi ý cho ta vẽ đường phụ bằng cách đặt đoạn AB chồng lên đoạn AC để làm xuất hiện đoạn thẳng hiệu của AB và AC. Đó là CB’ = AB’ – AC.Ta có ∆ ABB’ cân tại A . Từ B’ kẻ B’H ^ AB và CF ^ B’H .Đến đây ta thấy việc giải bài toán trở nên rất dễ dàng . Ta chỉ cần chứng minh cho BE = B’H và CDHF là hình chữ nhật , sẽ suy ra được B’F = BE – CD. Cuối cùng bài toán đưa về việc so sánh BF’ và B’C trong ∆B’FC.
4/ Vẽ thêm những đại lượng bằng nhau hoặc thêm vào những đại lượng bằng nhau mà đề bài đã ra để tạo mối liên hệ giữa các đại lượng cần chứng minh giúp cho việc chứng minh được dễ dàng .
Ví dụ 6 : Cho ∆ABC, P là một điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác sao cho góc PAC = góc PBC , và M, N là hình chiếu tương ứng của P xuống AC và BC . Nối M, N với trung điểm D của AB . Chứng minh MD = ND.
 Hướng giải :
I
P
N
M
D
C
B
A
K
 Giữa MD và ND chưa có mối liên hệ nào giúp ta so sánh . Nếu ta xác định thêm hai trung điểm I và K của BP và AP rồi nối DK, MK, nối DI, NI ta thấy xuất hiện 2 tam giác ∆DMK và ∆DNI . Gợi ý cho ta nghĩ đến việc tìm cách chứng minh cho 2 tam giác đó bằng nhau để rút ra MD = ND . 
 Mà ∆DMK = ∆DNI là điều dễ thấy .
Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh ấy .
 Hướng giải : Tam giác ABC có góc B = 1v , AM = MC = . Chứng minh rằng BM = .
 D
M
C
B
A
 Tia ac và tia BM cắt nhau tại M .Khai thác tính chất đường chéo của hình bình hành gợi ý cho ta lấy trên tia BM một đoạn MD = BM .
 Ta sẽ được tứ giác ABCD là hình bình hành . Hình bình hành ABCD lại có góc B = 1v nên là hình chữ nhật . Đến đây suy ra BM = là quá dễ dàng ( dựa vào tính chất hình chữ nhật)
 5/ Vẽ thêm đường phụ để bài toán có thể áp dụng một định lí nào đó .
 Ví dụ 8 : Cho ∆ABC và một đường thẳng xy không cắt tam giác . Chứng minh rằng khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến đường thẳng xy bằng tổng khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác tới đường thẳng đó .
 Hướng giải : ∆ABC có G là trọng tâm . Kẻ AA’ , BB’ ,CC’ và GG’ vuông góc với xy . Ta phải chứng minh GG’ = .
Dựa vào tính chất đường trung tuyến của tam giác ta nghĩ ngay đến việc nối một đỉnh nào đó của ∆ABC với trọng tâm G thì đường thẳng nối hai điểm đó 
phải đi qua trung điểm cạnh đối diện 
 E’
N
E
G
A’
N’
C’
C
B
A
B’
y
x
G’
 Giả sử nối B với G thì BG sẽ đi qua trung điểm N của AC . Và lấy một điểm E là trung điểm BG ta sẽ có BE = EG = GN = BN . Khai thác tính chất này và dựa vào định lí “ Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau” . Ta tiếp tục vẽ các đường thẳng EE’ và NN’ vuông góc với xy tạo nên các hình thang AA’CC’ ; EE’NN’ ; BB’GG’. Vận dụng tính chất đường trung bình của hình thang để tính chất đường trung bình của mỗi hình thang trên so với hai đáy của nó biến đổi dần ta sẽ được kết quả cần tìm .
 * Những điểm cần lưu ý khi vẽ đường phụ :
Vẽ đường phụ phải có mục đích , không vẽ tuỳ tiện . Phải nắm thật vững đề bài , định hướng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục vụ cho mục đích chứng minh của mình.
Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dựng hình cơ bản .
Với một bài toán nhưng vẽ đường phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác nhau . Có khi với cùng một đường phụ nhưng cách vẽ khác nhau như trong ví dụ 7 nên không lấy MD = BM mà ta lại lấy D là trung điểm AB ( hình 
bên )
 B
A
D
M
C
 chẳng hạn thì không vận dụng tính chất 2 đường chéo của hình chữ nhật mà phải chứng minh ∆ADM = ∆DBM , hoặc ở ví dụ 2 vẽ đường phụ theo hai cách ta cũng có hai cách chứng minh .
 Thông qua một số ví dụ đã nêu , bạn đọc được hiểu phần nào vai trò của việc vẽ đường phụ trong chứng minh hình học . Có nắm vững được kiến thức cơ bản một cách chắc chắn , biết vận dụng linh hoạt mới biết khai thác dữ kiện của bài ra mà tìm cách vẽ đường phụ thích hợp để giải toán . Như vậy vẽ đường phụ cũng là một kỹ năng trong giải toán hình học .
*Một số loại đường phụ thường vẽ như sau :
 1) Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước ( VD 2 ) .
 2) Vẽ thêm một đường thẳng song song với đoạn thẳng cho trước từ một điểm cho trước .
 3) Từ một điểm cho trước vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước ( VD 8 ).
 4) Nối 2 điểm cho trước hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trước .
 5) Dựng đường phân giác của một góc cho trước .
 6) Dựng một góc bằng một góc cho trước hay bằng nửa góc cho trước
 7) Vẽ tiếp tuyến với một đường tròn cho trước từ một điểm cho trước .
 8) Vẽ tiếp tuyến chung, dây chung hoặc đường nối tâm khi có hai đường tròn giao nhau hay tiếp xúc ngoài với nhau.
 * Một số bài toán tham khảo .
 Bài 1: ở miền ngoài hình bình hành ABCD lấy một điểm P sao cho góc PAB = góc PCB . Các đỉnh A và C nằm trong những nửa mặt phẳng khác nhau đối với đường thẳng PB. Chứng minh rằng góc APB = góc DPC.
 Bài 2: Cho ∆ABC cân tại A . Từ trung điểm H của BC kẻ HE ^ AC ( E) . Gọi O là trung điểm của HE . Chứng minh AO ^ BE.
 Bài 3 : Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C kẻ các đường thẳng CE, CF tương ứng vuông góc với AB, AD . 
Chứng minh : AB. AE + AD. AF = AC2 .
 Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng cắt AB tại E , AD tại F và đường chéo AC tại G .
 Chứng minh: 
 Bài 5: Cho ∆ABC có góc A = 1v . Chọn trên AB một điểm D, kẻ Dx // AC nó cắt BC tại E thoả mãn AE ^ CD tại K và cho . 
 Tính 
 C/ kết luận :
 Trong quá trình nghiên cứu về phương pháp chứng minh một bài tập hình học, tôi chỉ đưa ra một phương pháp cơ bản thường dùng trong chương trình phổ thông cơ sở. Đề tài này đã hệ thống hoá các tình huống vẽ hình phụ trong bài tập hình học . Bên cạnh đó là một số các ví dụ minh hoạ cho các tình huống đó , các bài tham khảo . Tuy nhiên đề tài cũng có ít nhiều hạn chế về thể loại , chưa đáp ứng được các đối tượng nhất là học sinh giỏi . Trong phương pháp nêu trên cũng còn hạn chế cả về nội dung và phương pháp .
 Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của các đồng chí ,đồng nghiệp để đề tài được củng cố, sửa chữa , đáp ứng được yêu cầu của bạn đọc .
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Đông Hoàng ngày 8 tháng 6 năm 2007
 Người viết
 Phí Ngọc Thi
 Tài liệu tham khảo
Sách giáo khoa, sách giáo viên hình 7, 8.
Bài soạn hình 7, 8
Để học tốt hình 7, 8
Một số vấn đề phát triển hình 7, 8
Phương dạy học toán học- Nguyễn Bá Kim , Vũ Dương Thuỵ 
Phương pháp chứng minh trong hình học –Nguyễn Phúc Trình
Tuyển chọn các bài toán cấp 2- Nguyễn Hải Châu