Sáng kiến kinh nghiệm Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳng

nh), hình vuông này luôn đồng dạng với hình vuông trong đề bài. Tìm các mối quan hệ về góc, khoảng cách và xây dựng cách giải cụ thể.
Phần C: Một số kiến thức thường dùng
1. Tính chất hình học đã học
* Phép đồng dạng tỉ số k:
	+ Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
	+ Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;
	+ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;
	+ Biến đường tròn thành đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính kR.
* Nhận xét: Hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng với nhau.
2. Kiến thức hình học dạng tọa độ
	Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm biết vtcp, vtpt; song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước, biết góc giữa hai đường, khoảng cách,
	Bài toán tìm điểm cơ bản: tìm giao điểm hai đường thẳng, điểm hình chiếu, điểm đối xứng,
	Bài toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng:
	Bài toán vectơ: tích vô hướng, góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ
Phần D: Mô tả quá trình thực hiện nội dung xây dựng hoạt động học tập của học sinh trong các bài toán hình giải tích gắn với các nội dung hình học.
Bước 1: vẽ hình 
Bước 2: phân tích hình vẽ, tìm yếu tố: khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa hai đường thẳng,
Bước 3: Xây dựng hình vuông cơ sở (có tọa độ cụ thể) đồng dạng với hình vuông đã cho. Các điểm biến thành điểm tương ứng trên hình vuông cơ sở
Bước 4: Tìm tỉ số đồng dạng hoặc xác định góc giữa hai đường thẳng (quy về góc giữa hai vectơ)
Bước 5: Chuyển về bài toán ban đầu, giải toán.
Phần E: MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
1. Hình vuông có các điểm trên hình xác định rõ tỉ lệ
	Ta tạm gọi các hình vuông có các điểm nằm trên các cạnh có vị trí cụ thể và có tỉ lệ cho trước.
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD có A(1;1), điểm M thuộc CD sao cho DM = 2CM. Biết phương trình cạnh BM: x + 3y - 19 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C của hình vuông biết C thuộc d: x - y = 0.
Phân tích:
Bài toán cho điểm A và điểm M có tỉ lệ nằm trên CD và phương trình BM. Dó đó ta hoàn toàn có thể tính khoảng cách từ A đến BM, khi đó bằng cách xét hình vuông cơ sở A’B’C’D’ đồng dạng với hình vuông đã cho ta sẽ tìm được cạnh của hình vuông
Bài giải:
Ta có: 
Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1. Gắn vào hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm như hình vẽ.
Phương trình B’M’: 3x - y - 2 = 0. Suy ra: 
Do hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng nên ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng với nhau theo tỉ số k = 
Khi đó gọi C(c,c). Mà AC = 
Vậy có hai điểm C(-4; 4) và C(6; 6)
Bình luận: đây là bài toán mà điểm M thuộc CD có tỉ lệ cho trước, biết điểm và đường thẳng cố định cho trước.
Ví dụ 3. (Nho Quan B - 2016) Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M đối xứng với B qua C. Từ D, C kẻ các đường vuông góc với AM lần lượt cắt AM tại P và Q. Biết Q(-1; 0), đường thẳng đi qua P và tâm I của hình vuông có phương trình d: x - y - 3 = 0 và điểm P có hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Phân tích:
	Hướng 1: giả thiết cho đường thẳng PI với P có vị trí cố định, I đặc biệt và điểm Q cố định cho trước. Do đó có thể tính được khoảng cách từ Q đến PI. Nhưng nếu xét hình vuông cơ sở liệu rằng có tìm được P’ và Q’ không? Câu trả lời là có, vì có thể lập được phương trình A’M’, tìm được hình chiếu của C’ và D’ lần lượt là Q’ và P’ trên A’M’. Do đó tính được khoảng cách từ Q’ đến P’I’. Cuối cùng là tìm được tỉ số đồng dạng và tìm được độ dài PQ dựa vào tỉ số đồng dạng.
	Hướng 2: quan sát thấy PI chính là trung trực của DQ. Khi đó ta hoàn toàn có thể chứng minh điều này từ hình vuông cơ sở. 
Bài giải 1: (theo hướng 1)
Ta có 
Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1. Gắn vào hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm như hình vẽ.
Phương trình A’M’: x + 2y - 2 = 0. Đường thẳng qua D’ và vuông góc với A’M’: 2x - y = 0. Khi đó P’ là giao điểm của A’M’ và đường thẳng trên, có tọa độ là nghiệm của hệ: 
Đường thẳng qua C’ và vuông góc với A’M’ cắt A’M’ tại Q’ có phương trình: 2x - y - 2 = 0. Suy ra Q’ 
Phương trình P’I’: 3x + y - 2 = 0. Ta có: 
Do hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng nên ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng với nhau theo tỉ số k = 
Dễ dàng tính được PQ = . Từ đó ta tìm được M(-5;0)
Tiếp tục ta tìm được A(5;0), B(1;2), C(-1;-2), D(3;-4)
Bài giải 2: (theo hướng 2)
	Bài toán xoay quanh 3 điểm P, I và Q. Như vậy hoàn toàn cho ta một gợi ý: phải đi tìm mối liên hệ giữa 3 điểm này, có thể là quan hệ vuông góc, có thể là quan hệ tạo góc,.
Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1. Gắn vào hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm như hình vẽ.
Phương trình A’M’: x + 2y - 2 = 0. Đường thẳng qua D’ và vuông góc với A’M’: 2x - y = 0. Khi đó P’ là giao điểm của A’M’ và đường thẳng trên, có tọa độ là nghiệm của hệ: 
Đường thẳng 	qua C’ và vuông góc với A’M’ cắt A’M’ tại Q’ có phương trình: 2x - y - 2 = 0. Suy ra Q’ 
Khi đó dễ dàng thấy nên P’I’ là đường trung trực của D’Q’
Do hai hình vuông bất kỳ luôn đồng dạng nên ta suy ra PI là đường trung trực của DP
Từ đó dễ dàng viết được phương trình DQ, tìm ra giao điểm J = DQ PI. Suy ra điểm D(3;-4)
Mặt khác , suy ra điểm M(-5; 0), từ đó suy ra C(-1;-2) 
Tiếp tục ta tìm được các điểm còn lại một cách dễ dàng.
Bình luận: Như vậy qua ví dụ 2 này ta có thể thấy việc sử dụn tính chất của phép đồng dạng với nhận xét hai hình vuông bất kỳ luôn đồng dạng giúp ta giải quyết bài toán một cách nhanh chóng. Ngoài ra ta có thể dùng hình vuông cơ sở để chứng minh tính vuông góc, xác định góc của hai đường.
Ví dụ 4: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, đỉnh A(-1;2). Gọi N là trung điểm của AD, điểm H là hình chiếu vuông góc của B lên CN. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông, biết trung điểm M của BC nằm trên đường thẳng x + 2y + 6 = 0.
Phân tích: ta suy luận bài toán theo hai hướng như sau
	Hướng 1: Rõ ràng bài toán cho biết điểm cố định A và H là hình chiếu của B lên CN, N cho trước vị trí trung điểm AD. Như vậy nếu lầm bì toán theo cách hình vuông cơ sở A’B’C’D’ đồng dạng với ABCD thì ta hoàn toàn có thể tìm được H’. Do đó tính được A’H’ và tìm được tỉ số đồng dạng. Suy ra độ dài cạnh và tính được AM, tìm ra điểm M.
	Hướng 2: ta thấy bài toán xoay quanh 3 điểm A, H, M và bằng trực quan thấy AH vuông góc với HM. Ta đi chứng minh điều này bằng hình vuông cơ sở A’B’C’D’ đồng dạng với hình vuông đã cho ABCD.
Bài giải:
Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1. Gắn vào hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm như hình vẽ.
Phương trình C’N’: x + 2y - 1 = 0. H’ là hình chiếu của B’ lên C’N’ nên có tọa độ là 
Lúc này ta có 2 hướng giải bài toán:
Hướng 1: tính độ dài AH = 6, A’H’ = 1
Do hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng nên ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng với nhau nên suy ra tỉ số đồng dạng k = 
Suy ra: 
Điểm M thuộc đường thẳng x + 2y + 6 = 0 nên từ đó suy ra điểm M. 
Tương tự như trên ta tìm ra được các điểm của hình vuông.
Hướng 2: Để ý thấy bài toán xoay quanh 3 điểm H, A, M nên ta xét:
 nên A’H’ M’H’
Do hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng nên ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng với nhau nên suy ra AH MH.
Từ đó viết được phương trình HM, suy ra tọa độ điểm M(2;-4).
Do CH//AM nên CH: 2x + y - 6 = 0.
Gọi N là trung điểm AD, N thuộc CH và ANMN từ đó suy ra N(2;2)
Suy ra D(5;2), B(-1; -4), C(5;-4).
Bình luận: bài toán này đi theo hai hướng khá đơn giản, dễ dàng khai thác như ví dụ 2.
Ví dụ 5. Trong hệ trục Oxy cho hình vuông ABCD, có điểm N(1; 2) là trung điểm BC, trung tuyến kẻ từ A của tam giác AND có phương trình d: 5x - y + 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Phân tích: 
Giả thiết cho điểm N cố định có vị trí cho trước, đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác AND cho trước. Vậy ta có thể tính khoảng cách từ N đến đường trung tuyến này. Trong hình vuông cơ sở ta cũng viết được đường trung tuyến của tam giác A’N’D’ một cách dễ dàng, do đó cũng tính được khoảng cách từ N’ đến đường trung tuyến này.
Bài giải: 
	Hướng 1: dùng hình vuông đồng dạng
Ta có 
Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1. Gắn vào hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm như hình vẽ.
Phương trình đường trung tuyến hạ từ A’ của tam giác A’D’N’ là d’: 3x + 2y - 2 = 0.
Ta có: . 
Do hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng nên ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng với nhau nên suy ra tỉ số đồng dạng k = 
Suy ra: AN = . Vì A thuộc d nên A(a, 5a + 1), từ đó có phương trình AN = . Tìm được A.
Từ đó tìm được tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.
Ví dụ 6. Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi F là điểm trên cạnh AB thỏa mãn: 7BF = 5FA, đường thẳng đi qua trung điểm E của cạnh AD và trọng tâm G của tam giác ABC có phương trình là 11x - 7y + 6 = 0, F, điểm B có hoành độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Bài giải: 
Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 12. Gắn vào hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm như hình vẽ.
Ta có: 
Từ đó ta có sơ lược cách giải:
Ta có: d(F’,G’E’) = , d(F,GE) = . 
Hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng nên ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng theo tỉ số 
k = 
Ta có B’J’ = , suy ra BJ = k.=. Từ đó suy ra phương trình BL, suy ra B do BL = k .B’L’. 
Với mỗi B suy ra A, suy ra AD, BC. Suy ra C và D
Nhận xét chung: 
Qua các ví dụ trên ta thấy khi một hình vuông cho trước, có các điểm thỏa mãn yêu cầu nào đó cho trước những vị trí cố định tỉ lệ thì ta hoàn toàn có thể giải bài toán nhanh chóng bằng hướng giải như đã nêu. Phương pháp này giúp học sinh không phải quá nặng nề về việc phát hiện yếu tố vuông góc, tạo góc hay đường đặc biệt, mà chỉ phải tính độ dài cạnh, khéo léo lồng ghép vào hình vuông để tìm ra lời giải ngắn gọn. 
Ngoài ra với phương pháp xét hình vuông cơ sở này ta có thể tìm được góc, chứng minh được vuông góc, chỉ ra đường trung trực, phân giác một cách dễ dàng.
2. Hình vuông có các điểm trên hình không xác định rõ tỉ lệ
	Với hình vuông dạng này, việc tính toán có phức tạp hơn vì một số điểm không cố định ta phải xác định tọa độ các điểm này bằng một số thực chưa xác định. Từ đó ta tiếp tục khai thác dữ kiện để tìm ra khoảng cách, góc hay mối tương quan cần thiết khác. Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 7. Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, có C(1; -1), N nằm trên AD, M thuộc AB sao cho AN + AM + MN = 2AB. Điểm H là hình chiếu của B lên MN. Tìm tọa độ điểm B.
Phân tích:
Bài toán đã cố định điểm N, nhưng N không ở vị trí đặc biệt hoặc biết tỉ lệ rõ ràng. Để tìm tính chất đặc biệt của bài toán. Ta thử N vào các vị trí đặc biệt:
. Dễ thấy cả hai trường hợp này góc . Từ đó ta có thể phán đoán góc .
Bài giải:
Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1. Gắn vào hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm như hình vẽ. 
Đặt A’M’ = a, A’N’ = b. Ta có:
a + b + 
Ta có tan
Vậy: = 450 
Do hai hình vuông bất kì đồng dạng nên ABCD đồng dạng với A’B’C’D’, suy ra góc tương ứng . Ta có lược đồ cách giải:
Ví dụ 8: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, có điểm C thuộc đường x + 2y - 6 = 0. Điểm M ( 1; 1 ) thuộc canh BD. Hình chiếu của M lên AB, AD đều nằm trên đường thẳng x + y - 1 = 0. Tìm tọa độ điểm C.
Phân tích: 
Gọi F, G lần lượt là hình chiếu của M lên AB, AD 
	Bài toán xoay quanh các điểm C, M, G và F. Xây dựng hình vuông cơ sở ta dê dàng suy ra CM vuông góc với GF
Bài giải:
Gọi F, G lần lượt là hình chiếu của M lên AB, AD 
Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1. Gắn vào hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm như hình vẽ.	M’(a ; a), F’ (a; 1) , G’ ( 0; a)
Ta có: 
hay suy ra 
	C thuộc đường thẳng x + 2y - 6 = 0 nên gọi C(6-2t; t). Vì 
Bình luận: đối với bài toán này việc xác định độ dài cạnh là rất khó khăn vì vướng tham số của các điểm không cố định.
Ví dụ 9: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, hai điểm E, F tương ứng thuộc hai cạnh AD và AB sao cho AE = AF. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BE. CH cắt AD tại M. Tính tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết , F(2; 0) và C thuộc đường thẳng d: x - 2y + 1= 0
Phân tích:
	Bài toán xoay quanh 3 điểm F, M và C. Bằng cách dựng hình vuông cơ sở ta suy ra được MF vuông góc với FC.
Bài giải:
Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1. Gắn vào hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm như hình vẽ. M’(0;b), F’(1-a;1), E’(0;a)
Ta tìm tọa độ H’ như sau:
Phương trình B’E’: (a - 1) x + y - a = 0, phương trình C’M’: bx + y - b = 0
Khi đó H’ = B’E’ C’M’ H’
Ta có H’C’M’ 
Từ đó tính được . 
Do hai hình vuông bất kỳ đồng dạng nên: FM FC. Từ đây ta định hướng giải như sau: 
+ Tìm được C
+ Giải sử CB: a+, CD: -b+ a= 0
+ Ta có d(M, CB) = d(F, CD), suy ra a và b và tìm được B, D, A
Ví dụ 10: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, có đỉnh C(-4; -3) và điểm M là điểm nằm trên cạnh AB (M không trùng với các đỉnh). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A, C lên DM và I là giao điểm của CE và BF. Tìm tọa độ A, B, C biết I(2; 3) và đỉnh B nằm trên đường thẳng x - 2y + 10 = 0.
Phân tích: 
	Bài toán xoay quanh 3 điểm B, I, C. Dựng hình và dự đoán CI vuông góc với IB. Ta đi chứng minh điều dự đoán.
Bài giải: 
 Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1. Gắn vào hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm như hình vẽ. M’(a; 1)
Ta có D’M’: x - ay = 0. Từ đó suy ra điểm E’và F’
Tính được C’E’F’B’ 
Do hai hình vuông bất kỳ luôn đồng dạng nên CE BF.
Ta có định hướng cách giải như sau:
+ Viết phương trình BI suy ra điểm B và phương trình BA, CD
+ Có BA = CD = BC suy ra A và D
Nhận xét chung: với bài toán trên, điểm M và N không ở vị trí đặc biệt hoặc là ở vị trí xác định rõ tỉ lệ, thông thường ta thường đặt tọa độ theo tham số rồi chứng minh, chỉ ra các tính chất trong hình. Việc sử dụng tính đồng dạng của hai hình vuông để chứng minh các tính chất cũng là một nét mới và điển hình trong việc giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng.
Đối với các bài toán về tam giác ta hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp trên, tuy nhiên nó chỉ có thể hạn chế ở tam giác vuông, cân hay đều. Đối với hình chữ nhật khi biết tỉ lệ độ dài hai cạnh thì bài toán được xây dựng tương tự như hình vuông, nhưng khi không biết tỉ lệ độ dài hai cạnh thì ta có thể cố định cạnh bằng 1, cạnh còn lại tùy ý thì vấn đề cũng được giải quyết như hình vuông.
Ví dụ 11: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có tâm I, AB = 2AD và đường thẳng AB có phương trình x - 2y + 2 =0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết đỉnh A có hoành độ âm.
Phân tích:
Bài toán cho hình chữ nhật có tỉ lệ hai cạnh, có tâm I, đường thẳng AB. Như vậy ta hoàn toàn có thể dựng hình chữ nhật cơ sở đồng dạng với hình chữ nhật đã cho và tính được độ dài cạnh hình chữ nhật đã cho.
Bài giải:
Dựng hình chữ nhật cơ sở A’B’C’D’ đồng dạng với hình chữ nhật ABCD. Gắn vào hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta có phương trình A’B’: y - 1 = 0, d(I’, A’B’) = 
Mặt khác d(I, AB) = . 
Từ đó suy ra tỉ số đồng dạng k = 
Suy ra AD = . Vì A
Giải phương trình IA = , B(2;2), C(3;0),D(-1;-2)
Bình luận: Đối với bài toán này rất thuận lợi là tỉ số hai cạnh đã biết, do đó dễ dàng tìm được đỉnh A và suy ra các đỉnh còn lại.
Ví dụ 12: Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Hai điểm D, E lần lượt thuộc CA và CB sao cho CD = CE. Đường thẳng qua C vuông với AE cắt AB tại L. Đường thẳng qua D vuông với AE cắt AB tại L. Chứng minh LK = LB
Hướng dẫn: 
Xét tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC và gắn vào hệ trục như hình vẽ.
A’B’: x + y - 1 = 0, 
Suy ra: 
Gọi I’ là trung điểm K’B’, K’nên suy ra K’ suy ra I’hay IL
Điều phải chứng minh
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có các đỉnh ; . Gọi E là trung điểm của cạnh AD, BM là đường thẳng vuông góc với CE tại M ; N là trung điểm của củaBM và P là giao điểm của AN với DM. Biết phương trình đường thẳng BM: .Tìm tọa độ điểm P
Bài 2. Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, hai điểm E, F tương ứng trên hai cạnh AB, AD sao cho AE = AF. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BE. CH cắt AD tại M. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết M, F(2; 0), C thuộc đường thẳng d: x - 2y + 1 = 0.
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ, cho hình vuông có điểm là trung điểm của đoạn và là điểm thuộc đoạn sao cho . Viết phương trình đường thẳng , biết rằng và .
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình vuông . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng .
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình vuông . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Biết rằng và đường thẳng có phương trình . Tìm tọa độ các điểm biết rằng điểm có hoành độ âm.
Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình vuông . Có đường chéo AC: x + y - 5 = 0. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho DN = AM. Đường thẳng song song với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt nhau tại F(0; -3). Biết điểm M thuộc trục hoành, hãy tìm các đỉnh của hình vuông.
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình vuông có M(7; 3) là trung điểm AB. Gọi E là giao điểm của MC và AD, N là hình chiếu vuông góc của A lên MC, I(2; 5) là giao điểm của AN và BE. Biết B thuộc đường thẳng d: 2x + 3y - 44 = 0, tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(-1; 2). Gọi N là trung điểm AD; điểm H là hình chiếu vuông góc của B lên CN. Xác định tọa độ đỉnh hình vuông, biết trung điểm M của BC nằm trên đường thẳng: x + 2y + 6 = 0. 
Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có A(4;6). Gọi M, N là các điểm nằm trên BC, CD sao cho , M(-4;0) và đường thẳng MN có phương trình 11x + 2y + 44 = 0. Tìm tọa độ các điểm B, C, D.
Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I, gọi G là trọng tâm tam giác ADC, điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AGB, M là trung điểm của đoạn BI. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết G có hoành độ là số nguyên.
Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(-1;2), C(3;-2). Gọi E là trung điểm AD, BM là đường thẳng vuông góc với CE tại M, N là trung điểm BM và P là giao điểm AN và DM. Biết phương trình đường thẳng BM: 2x - y - 4 = 0. Tìm tọa độ điểm P
VII. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG
Trên đây là một số ví dụ điển hình về sử dụng tính chất đồng dạng và tọa độ hóa để giải bài toán hình học giải tích đối với hình vuông, tuy nhiên chưa thể diễn tả hết được ý định của người viết đề tài này. Tôi nhận thấy rằng: trong những bài tập cụ thể ta phải linh hoạt sử dụng phương pháp cho hợp lí, việc chứng minh tính chất nào đó, khi tọa độ hóa đôi khi làm cho bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều so với việc dùng hình học thuần túy.
Trong quá trình giảng dạy chúng tôi đã hướng dẫn học sinh nắm các ý tưởng, cách thức thực hiện giải toán đối với phương pháp đã trình bày ở trên. Qua thực hành học sinh rất thích thú và đam mê giải toán, những bài toán trong hình vuông trở thành những bài toán giải ngắn gọn, đơn giản và không mất quá nhiều công sức suy nghĩ, phân tích và chứng minh các tính chất.
VIII. KẾT LUẬN
Sáng kiến đã trình bày một số kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ hóa ứng dụng phép đồng dạng, nghiên cứu các bài toán về hình vuông trong hình học giải tích lớp 10.
Sáng kiến đã xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập về Hình học 10.
Kết quả thực nghiệm cho thấy tính khả thi và hiệu quả của sáng kiến. Việc tự giải quyết hệ thống bài tập, giúp các em hiểu rõ bản chất, phương pháp giải dạng toán này, từ đó các em có thể tự xây dựng các bài toán tương tự, hoặc các bài toán mới. Chính điều đó kích thích sự say mê, tìm tòi khám phá, nâng cao năng lực tự học ở mỗi học sinh.
Sáng kiến trước hết rất có ý nghĩa đối với tác giả vì nó là một nội dung quan trọng trong chương trình giảng dạy. Hi vọng sáng kiến là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh, cũng như các bạn đồng nghiệp.
Sáng kiến đã cố gắng trình bày vấn đề một cách chi tiết, rõ ràng, dễ hiểu, có nhiều hình vẽ minh họa thông qua một hệ thống các bài tập phong phú.
Qua đây rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp cũng như những ai quan tâm đến toán học nói chung, hình học giải tích trong mặt phẳng nói riêng để chúng tôi hoàn thiện sáng kiến này được tốt hơn.
Xác nhận của cơ quan
Nho Quan, tháng 5 năm 2016
Người viết sáng kiến
Đỗ Thị Bích Thảo
Nguyễn Văn Sáng