Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy toán học cho học sinh Lớp 8 từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy nhằm phát hiện và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi

h thành thạo các thao tác tư duy phân tích , tổng hợp , trừu tượng hoá , khái quát hoá .. . . . Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm . Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tòi , tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề dự đoán được các kết quả , tìm được hướng giải quyết một bài toán ,hướng chứng minh một định lý . . . . .
- Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học toán cho học sinh là một quá trình lâu dài , thông qua từng tiết học , thông qua nhiều năm học , thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoá cũng như ngoại khoá 
Cơ sở thực tiễn :
- Hiện nay trong nhà trường phổ thông nói chung còn nhiều học sinh lười học , lười tư duy trong quá trình học tập .
 - Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập , chưa có những hoạt động đích thực của bản thân để chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ động trong những năm qua các trường trung học cơ sở dã có những chuyển đổi tích cực trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy trên cơ sở thay sách giáo khoa từ khối 6 đến khối 9 . Học sinh cũng đã chủ động nghiên cứu tìm tòi khám phá kiến thức xong mới chỉ dừng lại những bài tập cơ bản đơn giản ở sách giáo khoa .
 Định lý Talét là một phần kiến thức khó đối với các em , đặc biệt là khi vận dụng vào giải quyết các bài tập .
Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã được học trong sách giáo khoa vào giải bài tập còn khó khăn làm sao các em có khả năng sáng tạo khi vận dụng vào các bài tập có nội dung mở rộng , nâng cao .
Ví dụ : Giải bài tập sau “ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của hình thang” 
+ Khi chưa thực hiện chuyên đề này, tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả như sau :
Lúc đầu 100% số học sinh trong lớp không xác định được dùng kiến thức gì để chứng minh . Do đó các em không giải được . Sau đó tôi gợi ý rằng “ Bài toán đề cập đến hình thang mà không phải là tứ giác lồi bất kì thì chúng ta có được gợi ý gì ?” lúc này đã có khoảng 20% học sinh nghĩ đến việc dùng định lý Talét ( vì hình thang có 2 cạnh đáy song song ) . Nhưng các em cũng không thể giải được , bởi vì để giải được bài tập này không phải dùng trực tiếp định lý Talét hay hệ quả của định lý Talét mà gián tiếp thông qua tính chất của chùm đường thẳng đồng quy .
+ Sau đó tôi nghiên cứu, hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% số học sinh trong lớp đã xác định được ngay hướng chứng minh bài toán và có khoảng 60%- 70% học sinh chứng minh được . Ngoài ra các em còn có khả năng áp dụng chùm 
đường thẳng đồng quy vào giải một số bài tập khó hơn , phức tạp hơn . Đặc biệt các em còn biết áp dụng vào giải những bài tập như chứng minh đường thẳng vuông góc,các điểm thẳng hàng, tia phân giác, diện tích, đặc biệt là các đường thẳng đồng quy ... Sau đây là phần trình bày nội dung và các bước tiến hành chuyên đề của tôi :
C/ Giải quyết vấn đề :
I-Bước thứ nhất : Tìm hiểu nội dung kiến thức trong sách giáo khoa và phát hiện ra kiến thức mới tiềm ẩn trong kiến thức của sách giáo khoa mà các em đã biết :
1. Nội dung kiến thức trong sách giáo khoa đã chứng minh được là :
a/ Định lý Talét :
Định lý thuận : Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
Định lý đảo : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳg tương ứng tỷ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác .
b/ Hệ quả của định lý Talét : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho .
2. Tìm hiểu thấy rằng : 
Từ định lý Talét , đã chứng minh được hệ quả , vậy thì một vấn đề đặt ra là : Từ đỉnh A của tam giác ABC ở trên ta kẻ thêm một số đường thẳng cùng cắt đường thẳng a và đường thẳng BC thì có những điều gì xảy ra . Chẳng hạn từ A ta vẽ thêm AD ,Dđường thẳng BC và AD cắt đường thẳng a tại D’ 
Ta có thể suy ra 
vì cùng bằng 
Ngược lại : Nếu có thì ba đường thẳng BB’ , CC’ , DD’ đồng quy tại một điểm A hay không? 
Nếu C là trung điểm của BD thì C’ có là trung điểm của B’C’ hay không ? 
Từ những suy nghĩ đó tôi thấy có thể giúp học sinh giải được những bài tập về đường thẳng đồng quy , các điểm thẳng hàng ...
Nhưng vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao cho học sinh có thể tích cực ,độc lập suy nghĩ , tự xây dựng, tự khái quát hoá, tổng hợp kiến thức cần thiết cho việc giải bài tập có nội dung nói trên .
Sau đây là hệ thống các câu hỏi , bài tập cơ bản dẫn dắt học sinh .
II. Bước thứ hai : 
Xây dựng hệ thống bài tập , giúp cho học sinh tư duy phân tích tổng hợp, khái quát hoá kiến thức mới , từ đó làm cơ sở cho việc vận dụng khi giải bài tập .
 Bài số 1: Cho ba tia 0a, 0b, 0c cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần lượt tại A, A’ 0a ; B, B’ 0b ; C, C’ 0c . 
Chứng minh rằng :
Chứng minh
 - xét tam giác 0AB ta có ( Hệ quả của định lý Talét)
xét tam giác 0BC ta có (Hệ quả của định lý Talét)
 từ đó suy ra : (đpcm) 
Bài số 2 : Vấn đề đặt ra là :
 Bài toán trên còn đúng không nếu có bốn tia 0a, 0b, 0c, 0d cát hai đường thẳng song song m và m’ ? Hãy phát biểu và chứng minh bài toán .
Đến đây học sinh đã có thể dựa vào bài toán 1 để trả lời ; “ cho bốn tia 0a, 0b, 0c, 0d cắt hai đường thẳng song song m và m’ tại các điểm theo thứ tự tại A, A’ 0a ; B, B’ 0b ; C, C’ 0c ; D,D’0d .
Chứng minh rằng : 
Chứng minh :
 Tacó ( như bài số 1)
 ( chứng minh tương tự bài 1)
từ đó suy ra (đpcm) 
Đến đây đặt câu hỏi ? Hãy phát biểu khái quát bài toán trên thành một tính chất ?
Hs trả lời : “ Nếu các đường thẳng đồng quy tại một điểm và cắt hai đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ” 
Gv giới thiệu với học sinh tính chất trên chính là tính chất của ba đường thẳng đồng quy . Sau đó giáo viên cho học sinh lập mệnh đề đảo và chứng minh ( phát biểu thành bài toán đảo của bài toán trên ) chính là nội dung của bài toán 3 sau đây :
Bài số 3 : Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần lượt tại A, A’ a ; B, B’ b ; C, C’ c sao cho 
 Chứng minh rằng các đường thẳng a,b,c đồng quy tại một điểm 
Chứng minh :
Giả sử hai đường thẳng a, b cắt nhau tại 0
ta cần chứng minh đường thẳng c đi qua 0
Gọi giao điểm của đường thẳng 0C với m’
là C” . Khi đó , theo định lý thuận ,ta có :
 Mặt khác theo GT
Từ đó suy ra A’C”=A’C’ và B’C’=B’C” Vậy c đi qua 0 hay a, b, c đồng quy tại 0
Đến đây Gv cho học sinh phát biểu khái quát bài toán trên 
Hs “ Nếu ba đường thẳng cắt hai đường thẳng song song và định ra trên hai đường thẳng đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy” 
Như vậy học sinh đã được phát triển tư duy độc lập, khái quát lên hai nội dung kiến thức cần thiết cho việc chứng minh một số bài tập có liên quan đến định lý Talét. Đến đây Gv cho học sinh làm bài tập vận dụng những điều vừa chứng minh được vào giải quyết bài tập .
Bài số 4 : Chứng minh rằng hai đường thẳng chứa hai cạnh bên và đường thẳng nối trung điểm của hai đáy của một hình thang đồng quy .
 Chứng minh :
Vì M là trung điểm của AB nên :
 MA = MB
Vì N là trung điểm của CD nên :
 NC = ND
từ đó suy ra : 
Theo kết quả bài 3 ta được AD,BC,MN đồng quy 
đến đây Gv cho học sinh tiếp tục làm bài tập sau đây.
Bài số 5 : Chứng minh rằng :Trong hình thang giao điểm hai cạnh bên ,giao điểm hai đường chéo và trung điểm của hai đáy thẳng hàng .
Giải:
Gọi giao điểm của AD và BC là 0 ; giao điểm của AC và BD là I . Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD. 
Ta có : 0,M,N thẳng hàng (áp dụng bài 4)
Ta có I,M,N thẳng hàng (tương tự bài 4)
Suy ra : 0 ,M,N,I thẳng hàng (đpcm)
Đây là bài toán sau khi đã làm được bài 4 học sinh làm được một cách dễ dàng mà không cần phải gợi ý thêm gì cả .Sau đó tôi cho học sinh làm bài toán mà tôi đã đặt vấn đề ở trên :
Bài số 6 :
a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của hình thang .
b/ Hãy nêu ra cách dùng chỉ một cái thước ( không dùng com pa) để dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước khi cho một đường thẳng d song song với AB và dựng qua điểm M cho trước một đường thẳng song song với đoạn thẳng AB cho trước mà đã biết trung điểm I của AB
Lời giải:
a/ Giả sử hình thang ABCD có hai cạnh bên AD,BC
Cắt nhau tại E và hai đường chéo AC,BD cắt nhau tại F . Gọi giao điểm của EF với AB ,CD
theo thứ tự là M,N . Với hai đường thẳng song song AB,CD và ba đường thẳng đồng quy ED,
EN,EC ta có , do đó
 (1) . Với hai đường thẳng song song AB,CD và ba đường thẳng đồng quy AC,MN,BD ta có , do đó (2) Từ (1) và (2) suy ra do đó DN=NC nên N là trung điểm của CD . Từ DN=Nc và (2) suy ra AM=MB nên M là trung điểm của AB .
b/ Nếu có đường thẳng d song song ví đoạn thẳng AB thì ta lần lượt nối A,B với cùng một điểm E nào đó ở ngoài D và khác phía đối với A .Gọi giao điểm của d với EA,EB theo thứ tự là C,D .Nối AD,BC và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là F. Nối F với E thì theo chứng minh ở phần a giao điểm 
của EF với AB là trung điểm M của đoạn thẳng AB 
Nếu điểm M nằm trên đường thẳng AB 
thì không thể có đường thẳng song song 
với AB và đi qua M. Nếu điểm M không nằm trên đường thẳng AB thì ta chọn một điểm 0 tuỳ ý 
trên đường thẳng AM (không trùng với A,M)
gọi K là giao điểm của 0I và MB ,gọi N là giao điểm của
 AK và 0B .Khi đó MN // AB . Thật vậy giả sử đường thẳng
 song song với AB sẽ qua M cắt 0B tại N’và hai đường thẳng 
MB, AN’ cắt nhau tại K’ . khi đó , theo chứng 
minh ở phần a đường thẳng 0K’phải đi qua
 trung điểm I của AB. Do đó K’ trùng với K và vì vậy
 N’ trùng với N nên MN//AB.
Đến đây giáo viên đặt câu hỏi : Hãy phát biểu khái quát 
phần a của bài toán trên :
“ Nếu ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song , tạo ra trên đường thẳng thứ nhất hai đoạn thẳng bằng nhau thì cũng tạo ra trên đường thẳng thứ hai hai đoạn thẳng bằng nhau” .
Làm xong bài tập trên học sinh đã nắm chắc về tính chất của ba đường thẳng đồng quy .Tôi tiếp tục cho học sinh làm một số bài tập vận dụng có yêu cầu cao hơn , phức tạp hơn trong đó có sử dụng đến tính chất của ba đường thẳng đồng quy mà các em đã được chứng minh ở trên . 
III. Bước thứ ba : Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng
Với mục tiêu giúp học sinh hiểu sâu hơn về định lý Talét và áp dụng tính chất của ba đường thẳng đồng quy , phần bài tâp vận dụng tôi chỉ xin đưa ra những ý chính của việc chứng minh :
Bài số 7 : Cho tam giác nhọn ABC ,các đường cao AD,BE,CF. Gọi I,K,M,N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA. Chứng minh rằng bốn điểm I,K,M,N thẳng hàng .
Giải :
Gọi H là giao điểm của AD, BE, CF
ta có (1)
Tương tự MN//FE (2)
Ta lại có (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra I,K,M,N thẳng hàng 
Bài số 8 : Cho hình thang ABCD(AB//CD; AB,CD). Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD tại E, đường thẳng qua B song song với AD cắt CD tại H, đường thẳng qua H song song với BD cắt BC tại I. Chứng minh rằng
a/ EI//AB b/ Ba đường thẳng EI,BH,ACđồng quy 
Giải :
Gọi F là giao điểm của BH và AC ,G là giao điểm của AE và CD 
a/ Vì HI // BD ==> (1)
Vì DG // AB ==> (2)
các tứ giác ABHD, ABCG là hình bình hành nên DH = AB = GC suy ra DG = HC thay vào (1) ==> (3) Từ (2) và (3) ==> 
từ đó suy ra EI // DC hay EI // AB (4)
b/ Từ (2) và (3) ta có 
lại có HC // AB ==> do đó suy ra FI // AB hay FI // CD (5)
từ (4) và (5) ==> EI, BH, AC đồng quy 
Bài số 9 : Cho M,N,P lần lượt nằm trên ba cạnh AB,BC,CA( hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để M,N,P thẳng hàng là ( định lý Mêlênaúyt)
Giải :
Điều kiện cần : Giả sử M,N,P thẳng hàng 
Từ A kẻ AQ // BC cắt MN ở Q ta có :
Từ MBN ==> 
Từ PNC ==> 
Nhân từng vế hai đẳng thức trên ta được nhân 2 vế với 
ta có 
Điều kiện đủ :
Cho ba điểm M,N,P trên ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện 
Nối MP kéo dài cắt BC ở N’, theo (cmt) thì 
Từ đó suy ra Vì N’ và N cùng ở trong đoạn BC nên N’ N, tức là M,P,N thẳng hàng .
Bài số 10 : Trên hai cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD, Lấy hai điểm tương ứng M,N . Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của BN với MD. Chứng minh rằng ba điểm C,P,Q thẳng hàng .
Giải : 
Vì ba điểm N,Q,B thẳng hàng nên theo bài 3 ta có Gọi K là giao điểm của CD với đường thẳng MP . Khi đó BCKM , NDKP là các hình bình hành nên và
 Do đó 
Vì C,P,Q nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác MDK theo bài toán 9 và đẳng thức trên suy ra C,P,Q thẳng hàng .
Bài số 11: Cho ba điểm P,Q,R theo thứ tự ở trên các cạnh BC,CA,AB ( hay các đường thẳng chứa các cạnh ) của tam giác ABC nhưng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy là (định lý Céva)
Giải:
Giả sử ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy tại I
theo bài số 9 vào tam giác ABP và đường thẳng RIC
ta có , áp dụng định lý đó vào tam giác ACP và đường thẳng BIQ, ta có 
Nhân các vế tương ứng của hai đẳng thức đó với nhau, ta được 
 Từ đó suy ra 
Ngược lai, giả sử ba đường thẳng AP,BQ,CR thoả mãn điều kiện 
Khi đó, hai trường hợp có thể xảy ra .
Trường hợp hai trong ba đường thẳng AP,BQ,CR cắt nhau ; chẳng hạn AP cắt BQ tại I .Khi đó CI phải cắt AB tại điểm R’ nào đó . Theo kết quả (cmt) ta có từ hai đẳng thức trên suy ra nên R’ trùng với R .Do đó ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy .
Trường hợp còn lại là trường hợp ba đường thẳng AP,BQ,CR song song với nhau ,trường hợp này không thể xảy ra.
Bài số 12: Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh đối diện với đường tròn nội tiếp thì đồng quy .
Giải : Gọi P,Q,R theo thứ tự là tiếp điểm của BC,CA,AB với đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Khi đó PB = RB, PC = QC, QA = RA nên :
 do đó ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy 
Bài số 13 : Cho tam giác ABC, một điểm D trên cạnh AB, một điểm E trên cạnh AC và trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng DE//BC khi và chỉ khi ba đường thẳng AM,BE,CD đồng quy .
Giải : 
Vì M là trung điểm của BC nên . Do đó 
. Vì vậy, ba đường thẳng AM,BE,CD đồng quy khi và chỉ khi hay 
tức là DE//BC 
Bài số 14 : Chứng minh rằng nếu ba tam giác đều ABD, BCE, CAFnằm phía ngoài tam giác ABC thì ba đường thẳng AE,BF,CD đồng quy .
Giải :
Gọi P là giao điểm của AE và BC, Q là giao điểm của BF và CA, R là giao điểm của CD và AB . Hai tam giác ABE và ACE có chung cạnh AE nên tỷ số diện tích của chúng bằng tỉ số các khoảng cách từ B và C đến cạnh chung AE. Theo định lý Talét trong tam giác, tỉ số khoảng cách đó bằng . Do đó . Tương tự, ta có . Do đó .
Vì ABE = DBC (c.g.c) , ACE = FCB (c.g.c) , FAB = CAD (c.g.c) 
nên theo định lý Céva , ba đường thẳng AE,BF,CD đồng quy .
d/ Kết quả :
Qua phần trình bày trên đây ,ta thấy ở nhiều bài tập khi chứng minh rất cần đến việc áp dụng tính chất của các đường thẳng đồng quy . Những kiến thức này giúp cho học sinh phát triển được tư duy và kĩ năng chứng minh hình . 
Do được trang bị những kiến thức về đường thẳng đồng quy nên việc chứng minh và trình bày ngắn gọn hơn và dễ hiểu hơn làm cho học sinh hứng thú trong học tập , giải các bài tập khó .Qua thử nghiệm tôi nhận thấy có một số kết quả rất phấn khởi như sau :
Khi chưa thực hiện chuyên đề này học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc chứng minh loại bài tập này ,ngay bài tập số 4 tương đối dễ mà có tới 99% các em không giải được còn các bài tập từ bài số 6 đến bài số 14 các em hoàn toàn bế tắc .
Sau đó, tôi nghiên cứu sắp xếp hệ thống bài tập ,câu hỏi như đẫ trình bày ở trên và áp dụng dạy cho học sinh lớp 8 thì thấy rằng : Học sinh hiểu bài hơn, có hứng thú say mê với loại bài chứng minh ba đường thẳng đồng quy . Các em tự mình có thể giải quyết được các bài tập , đồng thời các em còn trình bày ngắn gọn hơn ,xúc tích hơn ngoài những bài tập tôi đưa ra ở trên còn nhiều bài nữa từ 70% đến 80% các em làm được 
Bước đầu xây dựng cho học sinh phong cách say sưa tìm tòi khám phá những điều mới, điều hay qua từng bài tập ,các em nắm chắc kiến thức cơ bản và kĩ năng giải toán của các em được nâng lên ở mức độ cao hơn và sâu sắc hơn . Học sinh không còn hiểu vấn đề một cách máy móc dập khuôn .
Vì không có điều kiện trình bày hết tất cả các bài tập, tôi chỉ xin trình bày một số bài tập trên đây làm ví dụ minh hoạ cho chuyên đề của mình .
e/ Bài học rút ra :
Đổi mới phương pháp dạy học là một quá trình, song mỗi giáo viên cần có ý thức thường trực tìm tòi những phương pháp, phù hợp với từng loại bài tập và từng đối tượng học sinh theo phương hướng tích cực hoá hoạt động của học sinh trong quá trình học tập .
Học sinh trung học cơ sở còn ở tuổi thiếu niên, việc tư duy của các em, khả năng khái quát hoá còn rất hạn chế . Do đó để giải các bài tập khó là cả một công việc nặng nề đối với các em, nhất là các bài tập hình vì vậy đòi hỏi ở người giáo viên một sự đầu tư lớn trong việc nghiên cứu chương trình của sách giáo khoa, hệ thống bài tập áp dụng và bài tập nâng cao, từ đó xây dựng thành những chuyên đề nhằm giúp học sinh có năng lực độc lập tư duy, khái quát hoá các kiến thức . Từ đó mà năng lực và trí tuệ của các em mới được rèn luyện và nâng cao . 
Chỉ qua một ví dụ về “Định lý Talét” ta thấy đã rút ra được nhiều kiến thức bổ ích cho việc giải bài tập hình về chứng minh trung điểm của đoạn thẳng, các điểm thẳng hàng, các đường thẳng song song, các đường thẳng đồng quy Nếu chúng ta tiến hành như vậy ở các nội dung kiến thức khác nữa thì chắc chắn rằng kết quả giáo dục ngày càng được nâng cao hơn, đào tạo được nhiều nhân tài cho đất nước có đủ kiến thức và trình độ để hội nhập cùng quốc tế đó là đích cuối cùng của nghề dạy học .
Quang Trung, ngày10 tháng12 năm 2007
 Người viết
 Bùi Đình Đông
ý kiến đánh giá xếp loại của tổ chuyên môn
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Quang Trung, ngày12 tháng12 năm 2007
 TM tổ chuyên môn
ý kiến đánh giá xếp loại của Ban giám hiệu
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
 Quang Trung, ngày15 tháng12năm 2007
 Ban giám hiệu
ý kiến đánh giá xếp loại của pgd &Đt
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
 An Lão.ngàytháng.năm 2008
	Ban giám khảo