Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh, khả năng khái quát hóa, trừu tượng hóa và biến đổi bài tập Toán

PGD Long Đất CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Tr THCS Phước Tỉnh Độc lập- Tự do- Hạnh phúc
 & 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Ngưới viết: NGUYỄN VĂN THẾ
Chức vụ: 
Giảng dạy: Toán 9 và đội tuyển HS giỏi Toán 9 năm học 2001-2002
ĐỀ TÀI: 
PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH, KHẢ NĂNG KHÁI QUÁT HÓA, TRỪU TƯỢNG HÓA VÀ BIẾN ĐỔI BÀI TẬP TÓAN
 I- ĐẶT VẤN ĐỀ:
Toán học giữ vai trò then chốt trong công cuộc cách mạng về khoa học kỹ thuật; do đó việc giải bài tập toán là khâu thực hành quan trọng để rèn luyện tư duy phát huy sáng tạo, điều này rất cần thiết trong khoa học và công nghệ.
Vì vậy nếu dạy tóan trong trường phổ thông thiên về dạy kiến thức theo cách truyền đạt và rèn luyện kỹ năng theo mẫu là một thiếu sót lớn bởi sau đó HS sẽ vận dụng một cách máy móc kiến thức đã học. Cũng vì thế mà những năm gần đây Nhà nước ta đã tổ chức học tập, nghiên cứu lý luận và thực hành đổi mới PPGD theo hướng lấy HS làm trung tâm, thầy chủ đạo- trò chủ động. Do đó vấn đề phát triển năng lực tư duy, tính năng động sáng tạo trong học tập của HS trở nên đặc biệt quan trọng. Nếu ở mỗi con người có thể rèn luyện được những tập tính thói quen tốt thì cũng có thể rèn luyện ở mỗi HS thói quen tự học và tư duy độc lập; nhất là biết phát huy sáng tạo; khả năng khái quát hóa, trừu tượng hóa; biết giải bài toán tổng quát, nhìn bài toán theo cách biến thiên, biết cách biến đổi đề bài toán, tránh được lối suy nghĩ vận dụng kiến thức một cách máy móc, sáo mòn, thỏa mãn với một cách giải khuôn mẫu vốn thường phổ biến ở HS trong việc học và giải bài tập toán.
II- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Để thực hiện được yêu cầu nêu trên thì người thầy ngoài các phương pháp sư phạm phù hợp trong việc giải mỗi loại bài tập; còn phải tập cho HS hiểu vấn đề theo nhiều hướng, giải bài tập theo nhiều cách và cách nào là tối ưu. Vấn đề không chỉ là giải được bài tập toán mà còn giải theo cách nào thể hiện sự linh hoạt, sáng tạo. Đơn cử các ví dụ minh hoạ cụ thể sau:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 
Thông thường học sinh chú ý vế trái, lấy tử chia cho mẫu hay đúng hơn là trục căn thức ở mẫu, làm như sau:
(hai lần nhân tử và mẫu với lượng liên hiệp để trục căn thức ở mẫu) 
Đây là cách giải vận dụng đúng theo lý thuyết về trục căn thức ở mẫu. Tuy nhiên nếu muốn nhanh gọn mà làm theo cách như trên sẽ bị mất thời gian; GV gợi ý HS làm theo cách 2:
	Rõ ràng: 
Nên 
Û
Chắc chắn HS sẽ thấy bất ngờ thú vị. GV cho các em tự giải (ở nhà) các bài tương tự; yêu cầu làm theo hai cách:
 Chứng minh rằng:
 a) 
 b)
 c)
Nếu dạy ở lớp những bài này GV nên gợi ý HS giải theo cách thứ ba chẳng hạn bài a) chuyển thành bài chứng minh
: 
 rất dễ thấy cách giải
 	Bài c) được suy ra dễ dàng từ 2 bài a) và b) điều này cũng rèn HS tránh thói quen máy móc mà phải biết vận dụng linh hoạt.
Ví dụ 2: So sánh với
	Theo thói quen thông thường các em đem bình phương hai vế hòng làm mất dần đi căn thức bậc hai. Để HS tự làm xem, làm việc một cách máy móc các em sẽ gặp khó khăn, có khi bế tắc. GV gợi ý HS: Với hai số dương A và B ta có 
Do đó thay vì so sánh với
 ta đem so sánh 
 với
công việc là trục căn thức ở mẫu rồi suy ra kết quả; không có gì khó khăn.
Tới đây GV yêu cầu HS so sánh hai hiệu tương tự nào đấy; chẳng hạn so sánh
 với
tạo tình huống cho các em dẫn ra bài toán khái quát: 
	Chứng minh (1) với 
Các em dùng phương pháp nghịch đảo rồi trục căn thức ở mẫu như trên không có gì khó khăn. Tuy nhiên GV cần lưu ý HS nhìn ra 2 căn thức đồng dạng, làm gọn rồi dùng phương pháp bình phương hai vế:
(1) 
 (bình phương hai vế, ước lược)
 điều này đúng, vậy (1) đúng. 
Bài tập tự giải: Học sinh phải biết khái quát hóa- giải bài toán tổng quát hoặc biến đổi bài toán
a) So sánh với 20 ( không dùng phép khai căn)
	Bài toán tổng quát: So sánh với ( n nguyên dương)
b) Chứng minh 
 Bài toán tổng quát:
 Chứng minh:
Có thể cắt ra những bài toán nhỏ,ví dụ:
Chứng minh tổng: là một số nguyên
 v.vqua đó GV ra một câu đố giáo dục cái đẹp cho các em: Hãy tìm các số vô tỉ sao cho tổng của chúng là một số nguyên.
Ví dụ 3: Qua một điểm E bên trong đường tròn tâm O bán kính R ta vẽ hai dây cung vuông góc nhau AEB và CED. Chứng minh EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2
(h.1)
O
E
F
D
C
B
A
C
B
D
O
E
B
A
y
C
D
F
O
x
E
A
	 (h.2) (h.3)
Chỉ cần vẽ một đường kính chẳng hạn AOF (=2R), lưu ý các góc ABF, ADF là những góc vuông, BF song song với CD => BC = DF . Hai lần áp dụng định lý Pi- ta- go trong hai tam giác vuông BEC và ADF ta suy ra kết quả. Bài toán vẫn không thay đổi nếu cho hai dây cung AEB và CED vuông góc quay quanh điểm E bên trong đường tròn (O) (h.1).
	GV hướng dẫn HS giải bài tóan trong trường hợp điểm E nằm bên ngoài đường tròn (O), cách giải tương tự, kết quả vẫn không thay đổi.
Nếu một trong hai dây cung trên là đường kính, ví dụ CD là đường kính, qua A ta vẽ tiếp tuyến xAy của đường tròng tròn (O); ta có ngay một bài toán mới: chứng minh AD và AC lần lượt là phân giác của 2 góc xAB và BAy (áp dụng hệ quả củađịnh lý “ Góc giữa một tia tiếp tuyến và một dây cung”) (h.2).
Nếu ta cho một đường thẳng đi qua E và trung điểm G của AC thì được một bài toán mới: chứng minh GE vuông góc với BD tại H. Đây là nội dung của định lý Prahma-Gupta (h.3).
B
D
O
A
C
G
H
E
GV hướng dẫn HS chứng minh định lý này sau đó tập cho các em phát biểu định lý theo cách khái quát “Nếu một tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm hai đường chéo và trung điểm của một cạnh sẽ vuông góc với cạnh đối diện”. 
 (h.4)
Biến đổi bài toán , nâng cao hơn một bước, bằng cách áp dụng định lý Prahma- Gupta, GV có thể gợi ý HS chứng minh bài toán tổng quát sau “ CMR nếu một tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc nhau thì khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến trung điểm một cạnh bằng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện”.(chứng minh tứ giác OGEH là hình bình hành- hình 4).
Lại có thể biến đổi bài toán ban đầu theo cách khác:
 Cho 2 dây cung AB và CD cắt nhau tại một điểm E bất kỳ bên trong đường tròn (O). Chứng minh tích EA.EB = EC.ED = R2 - OE2 (Phương tích điểm E bên trong đường tròn). (HD: gọi I là trung điểm của AB, dùng Đl Pi-ta-go và phân tích đoạn AB)
GV hướng dẫn HS chứng minh phương tích điểm E bên ngòai đường tròn (O):
EA.EB = EC.ED = ET2 = OE2 - R2 (T là tiếp điểm của tiếp tuyến vẽ từ E tới đường tròn).
Bài tập áp dụng:
Từ một điểm A bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm), từ trung điểm C của AB ta vẽ một cát tuyến cắt đường tròn tại D và E. AD cắt đường tròn tại F; AE cắt đường tròn tại G. 
Chứng minh GF song song với AB.
Như vậy từ một bài toán thông thường GV có thể hướng dẫn học sinh biến đổi thành những bài toán hay hơn, nâng dần từ thấp đến cao, từ đơn giản tới phức tạp, phát triển năng lực tư duy sáng tạo. Giúp HS khái quát hóa, hệ thống hoá bài toán, góp phần giáo dục HS thế giới quan duy vật biện chứng về sự vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng.
Tóm lại, để phát huy tính tích cực sáng tạo, rèn luyện tư duy cho HS; tránh lối suy nghĩ máy móc, rập khuôn trong việc giải bài tập toán, GV cần giúp các em giải bài toán theo nhiều cách khác nhau, biến đổi bài toán thành nhiều bài toán khác, khái quát hoá bài toán để rút ra bài học bổ ích qua việc giải các bài toán đó. Phải tập luyện cho các em biết vận dụng các kiến thức cơ bản, bao gồm các khái niệm quan trọng, các định lý và các bài toán gốc, trên cơ sở đó phát huy năng lực tư duy, tìm tòi sáng tạo; đáp ứng với mọi tình huống trong việc giải bài tập toán; cũng là mọi tình huống trong thực tiễn khoa học và công nghệ của các em sau này.
III- KẾT QUẢ CHỨNG MINH:
Với hướng suy nghĩ và thực hiện theo nội dungđề tài SKKN nêu trên; đáp ứng được yêu cầu đổi mới PPGD, đã có tác dụng phát huy tích cực; kích thích tư duy sáng tạo của HS qua việc giải bài tập toán, giúp các em biết khái quát hoá, trừu tượng hoá vấn đề, có óc phân tích và tổng họp giải quyết tốt những bài tập khó. Bản thân tôi đã tham gia giảng dạy học sinh giỏi toán 9 năm nào cũng có HS đạt giải nhất, nhì tỉnh, riêng năm nay có 3 HS đạt giải ba giỏi toán Tỉnh. Và một lớp 9 tôi dạy Toán có 90% HS thi tốt nghiệp THCS môn toán đạt điểm 9; 10, số còn lại đạt điểm 8.
Phước Tỉnh ngày 02 tháng 06 năm 2002
 Người viết
 NGUYỄN VĂN THẾ