Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực, tư duy của học sinh THCS thông qua việc áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số

 
Giải 
Xét hiệu: A = 
Vì a > 0; b > 0; (a - b)2 0 nên A 0.
Vậy 
1.3. Bài tập tự giải. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/ 
2/ x3 + 4x + 1 > 3x2 với x 3.
3/ Cho a + b = c + d. Chứng minh rằng: c2 + d2 + cd 3ab.
4/ Với thì 
2. Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức.
2.1. Cơ sở toán học.
- Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.
- Thường là áp dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. (Đã nêu ở phần trên)
2.2 Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho a + b > 1. Chứng minh a4 + b4 > .
Giải
Ta có a + b > 1 > 0. (1) 
Bình phương 2 vế của (1) ta được:
(a + b)2 > 1 a2 + 2ab + b2 > 1. (2)
Mặt khác: (a - b )2 0 a2 - 2ab + b2 0. (3)
Cộng từng vế của (2) và (3) ta được: 2(a2 + b2) > 1 (a2 + b2) > . (4)
Bình phương hai vế của (4) ta được: a4 + 2a2b2 + b4 > . (5)
Mặt khác: (a2 - b2)2 0 a4 - 2a2b2 + b4 0. (6)
Cộng từng vế của (5) và (6) ta được: 2(a4 + b4) > . Hay a4 + b4 > .
Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
++ ++.
Giải
Xét + với a + b - c > 0; b + c - a > 0.
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho x; y > 0, ta có: + . 
Vì vậy ta được: + = 
Tương tự ta có: + 
 + 
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức rồi chia cả hai vế cho 2 ta được:
 ++ ++.
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu thì 
Giải
Ta có: 
Từ 
Suy ra hay 2ab 2.
Mặt khác (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1)
 (2)
 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra hay 
Nhưng nên 
2.3. Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh những sai lầm sau:
1. a > b; c > d a - c > b - d.
2. a > b; c > d ac > bd. (Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có không âm hay không)
3. Bình phương hai vế của một bất đẳng thức mà chưa biết hai vế không âm:
a > b a2 > b2.
4. Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng: > ad > bc.
5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có cùng dấu hay không: a > b > .
6. Khi làm trội một biểu thức đôi khi phải chia biểu thức thành nhiều nhóm rồi làm trội từng nhóm.
Ta xét ví dụ sau:
Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n 2 thì: 1 + + + ... + < n.
Gọi vế trái của bất đẳng thức là A, ta có:
A = 1 + ( + ) + ( + ... + ) + ( + ... + ) + ... + ( + ).
ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số nhỏ hơn trong nhóm bằng phân số lớn nhất trong nhóm ta được:
A < 1 + .2 + .4 + .8 + ... + .2n-1 = = n.
2.4 Bài tập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/ (a > 0; b > 0).
2/ a2 + b2 + c2 + d2 .
3/ Cho a + b =1. Chứng minh rằng: a4 + b4 .
4/ + + ... + < .
3. Phương pháp biến đổi tương đương.
3.1. Cơ sở toán học.
- Để chứng minh bất đẳng thức A B ta biến đổi tương đương (dựa vào các tính chất của bất đẳng thức) A B C D. Và cuối cùng đạt dược bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C D.
Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A B.
- Để dùng phép biến đổi tương đương ta cần chú ý các hằng đẳng thức sau:
 	(A .
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2CA.
3.2. Các ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Chứng minnh x2 + x + 1 > 0 với .
Giải
Ta có: x2 + x + 1 = (x2 + 2.x.1 + = (x + )2 + > 0 với .(Điều phải chứng minh).
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi a, b, c, d, e R thì:
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) (1)
Giải
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (1) với 4 ta được:
4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 4a(b + c + d + e).
 (a2 - 4ab + 4b2) + (a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) 0
 (a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 + (a - 2e)2 0 (2)
Vì 	(a - 2b)2 0 .
 	(a - 2c)2 0 . 
 	 (a - 2d)2 0 .
 	 (a - 2e)2 0 .
Bất đẳng thức (2) đúng với . Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với 4 số bất kì a; b; x; y ta có:
(a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2. (1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Giải 
Ta có: (1) a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a2x2 + 2abxy + b2y2.
 a2y2 - 2abxy + b2x2 0 (ay - bx)2 0 (2).
Ta thấy bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng.
3.3 Chú ý.
- Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giải trên thay các dấu “” bằng các dấu “”.
Thật vậy, nếu (1) (2) mà bất đẳng thức (2) không đúng thì chưa thể kết luận được bất đẳng thức (1) có đúng hay không.
- Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, học sinh thường bỏ qua các phép biến đổi tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ. Vì vậy cần lưu ý các phép biến đổi tương đương có điều kiện.
3.4 Bài tập tự giải
1/ Bài 1: So sánh 2 số A = và B = .
2/ Bài 2: Chứng minh rằng với x > 1 ta có: .
3/ Bài 3: Chứng minh rằng: ta có:
a/ a4 + b4 a3b + ab3.
b/ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca.
4/ Bài 4: Cho a 0. Chứng minh rằng: a5 - a2 - 3a + 5 > 0.
4. Phương pháp quy nạp toán học
4.1 Cơ sở toán học.
Nội dung của phương pháp này là tiên đề quy nạp toán học.
Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n. Nếu:
+ Mệnh đề đúng với n = 1.
+ Từ giả thiết đúng với n = k (kN) suy ra được mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Thế thì mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương.
Như vậy để chứng minh một mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dương bằng phương pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành theo 3 bước:
- Bước 1: Chứng minh mệnh đề T(1) đúng. (Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1)
- Bước 2: Giả sử mệnh đề T(k) đúng.
 Ta phải chứng minh mệnh đề T(k+1) cũng đúng.
- Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n.
4.2 Một số ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với x > -1 thì ( 1 + x)n 1 + nx, trong đó n là số nguyên dương bất kì.
Giải
+ Với n = 1, ta có bất đẳng thức đúng 1 + x 1 + x.
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là (1 + x)k 1 + kx.
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1. Tức là phải chứng minh (1 + x)k+1 1 + (k + 1)x.
Thật vậy, theo giả thiết : 1 + x > 0.
Ta có (1 + x)k(1 + x) (1 + kx)(1 + x) (1 + x)k+1 1 + (k + 1)x + kx2.
Mà kx2 > 0 nên 1 + (k + 1)x + kx2 1 + (k + 1)x.
Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0.
Ví dụ 2: Cho a; b là 2 số dương. Chứng minh rằng: .
Giải
+ Với n = 2 ta dễ dàng chứng minh được .
+ Giả sử bài toán đúng với n = k ta có: (1)
+ Ta phải chứng minh . (2)
Thật vậy: Nhân hai vế của (1) với ta được:
.. Hay .
Để có (2) ta phải chứng minh: 
. (3) ak+1 + bk+1 abk + akb.
Thật vậy, ta có: ak+1 + bk+1 - abk - akb = ak(a - b) - bk(a - b) 
= (a - b)(ak - bk) = (a - b)2(ak-1 + ak-2b + ... + abk-2 + bk-1) (Vì a; b > 0)
Bất dẳng thức (3) đúng.
Mà . . 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
4.3. Chú ý.
Khi chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp này thì phải hiểu kỹ các bước chứng minh, các phép biến đổi tương đương, tính chất của bất đẳng thức.
4.4. Bài tập tự giải
1/ Chứng minh rằng với n 3 ta có: 2n > 2n + 1.
2/ Chứng minh rằng 2n > n4 với mọi số tự nhiên n 10.
5. Phương pháp dùng bất đẳng thức dã biết.
5.1. Cơ sở toán học.
Trong nhiều bài toánđể việc chứng minh bất đẳng thức được gọn ta có thể sử dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh, nhất là các bất đẳng thức: Cô si, Bunhia - Côpxki, ...
5.2. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: với mọi ab > 0.
Giải
Vì đều dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 2: Cho a; b thoả mãn 3a - 4b = 7. Chứng minh rằng 3a2 + 4b2 7.
Giải
Có 3a - 4b = - 2.2.b = 7.
áp dụng bất đẳng thức Bunhia - Côpxki cho bốn số ; -2; 2b ta được:
72 = (3a - 4b)2 = ( - 2.2.b)2 (3 + 4)(3a2 + 4b2) 3a2 + 4b2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi = a = 1; b = -1.
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức Becnuli đối với a thì:
 (1 + a)q > 1 + q.a.
Giải
Do và q > 1 nên q = trong đó m > n, m; n N.
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho m số ta có:
.
(Không xảy ra dấu “=” vì 1 + qa > 1).
Hay 
 Nhưng .
 Vậy ta có 
5.3. Chú ý: 
Khi sử dụng phương pháp này cần chú ý: Sử dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh với điều kiện chặt chẽ để có được bất đẳng thức cần áp dụng. Nếu không sẽ dẫn đến sai lầm, thiếu sót.
Ví dụ: Cho a; b. Chứng minh rằng: . (1)
Có một học sinh giải như sau:
Ta có (1) 
 (2)
	Vì (2) luôn đúng với 
	Vậy (1) luôn đúng với (đpcm)
	Bài toán này sai ở chỗ áp dụng bất đẳng thức với điều kiện a; b không đúng.
Lời giải đúng
	Cách 1: Đặt x = vì và cùng dấu hoặc 
	Khi đó: Bất đẳng thức (1) 
	Xét bất phương trình 
	Từ hoặc x nằm trong miền nghiệm của bất phương trình đã xét.
	Vậy x thoả mãn t2 - 3t + 2 tức là đúng.
	Mà (1) (1) đúng.
	Vậy ta có: .
	Cách 2: 
	(1)
	 (Vì a2b2 > 0)
	(2) luôn đúng. Vậy (1) đúng.
5.4. Bài tập tự giải.
1/ Chứng minh rằng nếu các số dươnng a; b; c có tổng a + b + c = 1 thì:
2/ Cho và . Chứng minh rằng: 
3 Cho Chứng minh rằng: 
6. Phương pháp phản chứng.
6.1. Cơ sở toán học.
Gọi mệnh đề cần chứng minh là luận đề “A B”. Phép toán mệnh đề cho ta:
Như vậy muốn phủ định một mệnh đề ta ghép tất cả các giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó.
Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng như sau:
1/ Dùng mệnh đề phản đảo: 
	2/ Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết.
3/ Phủ định luận đề rồi suy ra 2 điều trái nhau.
4/ Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng.
5/ Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của A
6.2. Ví dụ.
Ví dụ 1:Cho . Chứng minh rằng: a + b 2.
Giải
Giả sử a + b > 2.
Vì hai vế đều dương nên bình phương hai vế ta được: 
(a + b)2 > 4 a2 + 2ab + b2 > 4. (1)
Mặt khác ta có: 2ab < a2 + b2 a2 + 2ab + b2 2(a2 + b2).
Mà (gt) 2(a2 + b2) 4. Do đó a2 + 2ab + b2 < 4. (2)
Ta thấy (2) mâu thuẫn với (1).
Vậy a + b 2.
Ví dụ 2: Cho 3 số thực a; b; c thoả mãn điều kiện:
Chứng minh rằng cả 3 số a; b; c là số dương.
Giải
Vì abc > 0 nên trong 3 số a; b; c phải có một số dương.
Giả sử ngược lại cả 3 số đều âm thì abc < 0. Vô lí.
Không mất tính tổng quát ta giả sử a > 0.
Mà abc > 0 nên bc > 0.
Nếu b < 0; c < 0 thì b + c < 0.
Từ a + b + c > 0
Điều này trái với giả thiết: ab + ac + bc > 0.
 b > 0; c > 0.
Vậy cả 3 số a; b; c là số dương.
6.3. Chú ý.
Với những bài toán chứng minh bất đẳng thức có dạng như trên ta nên sử dụng phương pháp phản chứng. Tuy nhiên để sử dụng phương pháp này cần nắm vững 5 cách chứng minh và các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi, lập luận.
	6.4. Bài tập tự giải.
1/ Cho a > b > 0 và . Chứng minh rằng không thể có a < 1; b < 1.
2/ Cho hai số dương a; b thoả mãn điều kiện a5 + b5 = a3 + b3. 
Chứng minh rằng: 
3/ Cho ba số dương a; b; c thoả mãn điều kiện abc = 1. CMR: .
7. Phương pháp đổi biến.
 7.1 Cơ sở toán học.
B1: Đặt biến mới dựa theo bến cũ.
B2: Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất đẳng thức theo biến mới.
B3: Kết luận và trả lời theo biến cũ.
7.2 Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: . (1)
Với a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Giải
Đặt: b + c - a = x; a + c - b = y; a + b - c = z, ta có x; y; z > 0.
Ta phải chứng minh: 
Ta có: 
Vì hai vế của bất đẳng thức trên không âm nên ta nhân từng vế các bất đẳng thức trên ta được: 	
 (2) được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Vậy (1) được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 2: Cho a + b+ c = 1. Chứng minh rằng: 
Giải
Đặt Do a + b + c = 1 nên x + y + z = 0.
Ta có:
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi 
Ví dụ 3: Cho và a + b + c = 1. CMR:
Giải
Đặt x = 2a + 1, y = 2b + 1, z = 2c + 1.
Dễ thấy: .
Ta có: x + y + z = 2(a + b + c) + 3 = 5.
Ta phải chứng minh: 
.
Mặt khác ta lại có: 
Bởi vậy 
Chửng tỏ (2) đúng. Suy ra (1) đúng.
Vậy: 
7.3 Chú ý: Khi dùng phương pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức cần chú ý:
* Đặt biến mới theo hệ biến cũ, kèm theo điều kiện của biến mới.
* Nắm chắc được các phép biến đổi, các bất đẳng thức cơ bản để áp dụng.
* Đổi về biến cũ.
7.4 Bài tập tự giải.
1/ Cho a; b; c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
2/Cho a; b; c . Chứng minh rằng: 
8. Phương pháp tam thức bậc 2.
8.1. Cơ sở toán học.
Ta có thể dùng định lí về dấu của tam thức bậc 2, dấu của nghiệm của tam thức bậc 2 để chứng minh bất đẳng thức.
Cho tam thức bậc 2: F(x) = ax2 + bx + c với 
+ Nếu thì a.F(x) > 0 với 
+ Nếu thì a.F(x) > 0 với F(x) cùng dấu với a.
+ Nếu thì . Ta có:
x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm: x x2 a.F(x) > 0.
x nằm trong khoảng 2 nghiệm:x1 <x < x2 a.F(x) < 0.
8.2. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Cho và a + b + c = 0. CMR: a2 + b2 + c2 6.
Giải
Theo tính chất về dấu của tam thức bậc 2: (1)
Tương tự ta cũng có: (2)
 (3)
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được:
a2 - a - 2 + b2 - b - 2 + c2 - c - 2 0 a2 + b2 + c2 - (a + b + c) 6.
Vì a + b + c = 0 nên a2 + b2 + c2 6.
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Côsi - Bunhia côpxki.
Cho n cặp số thực bất kỳ (a1; b1); (a2; b2)... (an; bn). Thế thì:
(a1b1 + a2b2+... + anbn) (a12 + a22 +...+ an2)(b12 + b22 +...+ bn2).
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi số kR sao cho: ka1= b1; ka2= b2;...; kan= bn.
Giải:
Với x R ta có:	(a1x- b1)2 0
	(a2x- b2)2 0
	...................
	(anx- bn)2 0
Từ đó suy ra: a12x- 2a1b1x+ b120
	 a22x2- 2a2b2x+ b220
	 ...
	 an2x2- 2anbnx+ bn20
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:
(a12 + a22 +...+ an2)x2- 2(a1b1+ a2b2+...+ anbn)+(b12 + b22 +...+ bn2) 0. 
Vế trái là một tam thức bậc 2
 F(x)= (a1b1+ a2b2+...+ anbn)x2- 2(a1b1+ a2b2+...+ anbn)+(b12 + b22 +...+ bn2).
(Với a12 + a22 +...+ an2 0). Mà f(x) 0, x R nên ta có: ’ 0 tức là:’= B2- AC. Hay:
	’= (a1b1+ a2b2+...+ anbn)2- (a12 + a22 +...+ an2)(b12 + b22 +...+ bn2) 0.
	(a1b1+ a2b2+...+ anbn)2(a12 + a22 +...+ an2)(b12 + b22 +...+ bn2).
(Nếu A=0 thì: a1= a2=...= an= 0, Do đó bất đẳng thức cần chứng minh là tầm thường).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: ’=0 (a1x - b1)= (a2x - b2)=...= (anx - bn) = 0
b1= ka1; 	b2= ka2;...; 	bn= kan Với k R.
Ví dụ 3: Cho các số: a, b, c, d thảo mãn: a + d = b + c. Chứng minh rằng:
Nếu lấy số m sao cho: 2m > thì với mọi x R ta luôn có:
(x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + m2 0 	(1).
Giải
Dựa vào giả thiết cho: a + d = b + c nên ta có: 
(1) 
Vì a + d = b + c nên đặt: y = x2 - (a + d)x = x2 - (b + c)x ta được bất đẳng thức:
Đặt F(y)= y2 + (ad + bc)y + abcd + m2.
Ta có: 
Vì nên 
Hay (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + m2 0. (đpcm)
8.3 Chú ý: Khi sử dụng tam thức bậc hai cần chú ý:
+Nắm chắc định lí về dấu của tam thức bậc 2.
+ Thường dùng các phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng: hoặc 
Trong đó F(x), F(y) là tam thức bậc 2 đối với biến x hoặc biến y.
8.4 Bài tập tự giải
1/ Chứng minh rằng với mọi a R ta đều có 
2/ Cho a; b; c thoả mãn hệ thức: a2 + b2 + c2 = 2 và ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: 
3/ Cho b > c > d. Chứng minh rằng với mọi a R ta luôn có: 
(a + b + c + d)2 > 8.(ac + bd).
4/ Cho 6 số a; b; c; d; m; n thoả mãn: a2 + b2 + c2 + d2 < m2 + n2. Chứng minh rằng:
III. Một số ứng dụng của bất đẳng thức.
A. Một số định lí, bất đẳng thức cần dùng.
1.Mệnh đề 1: Nếu tổng các số thực dương x1; x2; ... xn bằng một số cho trước thì tích của chúng lớn nhất khi: x1= x2= ...= xn.
*Định lí 1: Nếu có n số dương x1; x2; ... xn có tổng bằng S không đổi thì tích 
P = x1. x2. ... .xn có giá trị lớn nhất khi: 
Trong đó mi là các số hữu tỉ dương.
2. Mệnh đề 2: (Đối ngẫu): Nếu tích của các số dương x1; x2; ... xn bằng một số cho trước thì tổng của chúng bé nhất khi x1= x2= ... = xn.
*Định lí 2: Nếu n số thực dương x1; x2; ... xn có tích P = x1. x2. ... .xn không đổi thì tổng S = x1 + x2 + ... + xn có giá trị bé nhất khi 
Trong đó mi (i = 1; 2; ...; n) là các số hữu tỉ dương cho trước.
3. Mệnh đề 3: Cho x1; x2; ... xn R ta có: (1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi xi cùng dấu. Đặc biệt: 
B. áp dụng
1. Tìm cực trị của hàn số. Biểu thức đại số.
Bài 1: Tìm GTNN của hàm số: 
Giải
Dễ thấy hàm số xác định với . Ta có: 
áp dụng bất đẳng thức: ta được: 
Dấu “=” xảy ra 
Do đó ymin = 1.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
Giải
Điều kiện để hàm số xác định là: 
Khi đó: 
Dấu bằng xảy ra 
Vậy ymin = 2.
Bài 3: Cho x; y liên hệ bởi phương trình x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0 (1).
Tìm GTNN của biểu thức S = x + y + 1.
Giải
Ta có (1) x2 + 2xy + y2 +2(x + y) + 1 + 5(x + y) + 5 + 4 = -y2.
 (x + y)2 + 2(x + y) + 12 + 5(x + y + 1) + 4 = -y2.
 (x + y + 1)2 + 5(x + y + 1) + 4 = -y2.
 S2 + 5S + 4 = -y2.
 S2 + 5S + 4 0.
Đặt F(S) = S2 + 5S + 4. F(S) có 2 nghiện S = -1; S = -4.
Mà do đó dựa vào dấu của tam thức bậc 2 ta có 
Vậy GTNN của S = x + y + 1 là -4 
 GTLN của S = x + y + 1 là -1 
2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình, hệ phương trình, tam thức bậc 2 thoả mãn điều kiện nào đó.
Bài 1: Cho phương trình Tìm giá trị của tham số a để phương trình có đúng 2 nghiệm trên tập hợp số nguyên.
Giải
Ta có: 
áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a2x2 - 2a2; 1 - a2x2; 2a2 cùng dấu. Do đó 
Nếu a thì . Để phương trình có 2 nghiệm nguyên trên tập hợp số nguyên thì x2 chỉ có thể nhận giá trị duy nhất là số chính phương trong khoảng
. 
Vậy 
Bài 2: Cho tam thức bậc 2 F(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: ; ; .
Chứng minh rằng: khi 
Giải
Ta có:
Thay vào F(x) ta được:
áp dụng bất đẳng thức (1) và giả thiết ta được:
Ta xét các trường hợp sau:
+ Với thì (*)
+ Với thì (**)
Từ (*) và (**) chứng tỏ với ta có 
Vậy F(x) (đpcm)
3. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 
Giải
Ta thấy: .
Dấu “=” xảy ra 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là (x = 2; y = 2).
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Giải
Từ (1) suy ra: (*)
Từ (2) suy ra:
Mặt khác ta lại có: (**)
Từ (*) và (**) x = -1. Thay x = -1 vào (2) ta có: y2 – 2y + 1 = 0 y = 1.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x = -1; y = 1).
c. thực nghiệm sư phạm- Kết quả bước đầu
	Do mới làm quen với việc viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm, đồng thời trong thời gian qua bản thân tôi mới hình thành ý tưởng, đồng thời mới chỉ bước đầu vận dụng vào quá trình dạy học của mình. 
	Trong thời gian tới, tôi sẽ thực hiện thử nghiệm trên đối tượng lớp học cụ thể để có kết quả so sánh giữa việc vận dụng và không vận dụng một cách có hệ thóng những kiến thức về BĐT.
	Mặc dù mới bước đầu vận dụng những nội dung trên vào dạy học nhưng tôi nhận thấy rằng học sinh đã có nhiều chuyển biến về suy nghĩ và cách học của nhiều em học sinh.Đặc biệt là những em học sinh học khá, giỏi môn Toán.
Trong thời gian tới, tôi sẽ tiếp tục tìm hiểu việc vận dụng BĐT vào giải toán Hình học, nhằm góp phần hoàn thành mục tiêu rộng hơn của đề tài.
D. kết luận
	Việc phát triển năng lực, tư duy của học sinh THCS thông qua việc giải toán bất đẳng thức trong đại số thì nội dung tôi đã trình bày ở trên còn rất hạn hẹp so với toàn bộ chuyên đề về bất đẳng thức. Việc áp dụng một số phương pháp giải toán bất đẳng thức vào chương trình toán THCS là một vấn đề rộng, là nội dung phong phú và đa dạng. Nhưng trên tôi chỉ trình bày được một số phương pháp, một số bài tập cơ bản nhất trong chương trình toán THCS.
	Chắc chắn rằng đây là cuốn tư liệu có thể giúp tôi hiểu một cách sâu sắc hơn, cơ bản hơn trong việc giải toán bất đẳng thức. Qua việc làm đề tài tôi càng thấy giải toán bất đẳng thức là một hoạt động trí tuệ cao và gian khổ. Nhưng đồng thời tôi càng thêm sáng tỏ nhiều vấn đề mới và bổ ích, những ứng dụng sáng tạo, vững tin hơn trong việc giải toán cấp THCS.
	Để hoàn thành được tài này tôi đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo, đồng nghiệp, và sự nổ lực của bản thân. Tuy đã cố gắng tìm tòi, nghiên cứu nhưng do trình độ và thời gian có hạn chắc chắn đề tài còn có thiếu sót, hạn chế, rất mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các đồng nghiệp để nội dung của đề tài được phong phú và đầy đủ hơn.
	Tôi thành cảm ơn!
E. Tài liệu tham khảo
1/ Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 9 - Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ Dương Thuỵ.
2/ Toán bồi dưỡng học sinh giỏi 9 - Vũ Hữu Bình, Tôn Thân.
3/ 400 bài toán đại số chọn lọc - Vũ Dương Thuỵ, Trương Công Thành.
4/ 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp - Nguyễn Văn Vĩnh, Nguyễn Đức Đồng.
5/ 23 chuyên đề giải 1001 bài toán đại số - Nguyễn Văn Vĩnh, Nguyễn Đức Đồng.
6/ Các bái toán bất đẳng thức hay và khó - Nguyễn Đễ, Vũ Hoàng Lâm.