Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức

S = x. (10-x ) = 10x – x2 = - (x2 -10x + 25 ) +25 
	 =- (x – 5)2 + 25 ≤ 25
 Dấu “=” xảy ra x – 5 = 0 x = 5 
 Vậy max S = 25 x = 5 
	 Kết luận : trong tất cả cỏc hỡnh chữ nhật cú chu vi là 20 (m) thỡ hỡnh vuụng cạnh 5m cú diện tớch lớn nhất 
 Cỏch 2 :
 Gọi cỏc kớch thước của HCN là a; b (m) ; ( a;b >0 )
 Ta cú : a + b = 10 và diện tớch của HCN là ab(m2) 
 Nhận thấy 4ab = (a + b )2 – (a-b )2 = 100 – (a – b)2 ≤ 100
 Vậy ab cú GTLN bằng 100/4 = 25 a – b = 0 a = b = 10/2 = 5
 Kết luận : trong tất cả cỏc HCN cú chu vi là 20 m thỡ hỡnh vuụng cạnh 5 m cú diện tớch lớn nhất 
 Cỏch 3 :
 Gọi cỏc kớch thức của HCN là a; b (m) (a; b > 0)
 Ta cú : a + b = 10 và diện tớch của HCN là ab (m2)
 Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho hai số dương a ;b ta cú :
 Dấu bằng xảy ra a = b = 10/2 =5 
 Vậy max(ab) = 25 a = b = 5
 Kết luận : Trong tất cả ỏc hỡnh chữ nhật cú chu vi là 20 m thỡ hỡnh vuụng cạnh 5m cú diện tớch lớn nhất 
 Vớ dụ 2 : Cho x + y = 2 . Tìm GTNN của A = x2 + y2 
 Giải 
 Cỏch 1 :
 Từ x + y =2 y = 2 – x , do đú cú A = x2 + (2 – x )2 = 2x2 - 4x + 4 
= 2( x2 – 2x + 1 ) + 2 = 2(x – 1)2 + 2 
 Đẳng thức xảy ra khi x – 1 = 0 x = 1 
 Với x = 1 thỡ y = 2 – 1 =1 
 Vậy min A = 2 x = y =1 
 Cỏch 2 :
 Từ x + y =2 suy ra x2 +2xy + y2 =4 (1)
 Mặt khỏc ; (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra : 2( x2 + y2 )
 Đẳng thức xảy ra khi x – 1 =0 x = 1 
 Với x = 1 thỡ y = 2 – 1 =1 
 Vậy min A = 2 x = y =1 
 C ỏch 3 :
 A = x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 4 – 2xy
Nhận thấy A cú GTNN xy cú GTNN
 Vỡ x + y = 2 (khụng đổi ) nờn xy cú GTNN x = y =1 
 Vậy min A = 2 x = y =1 
 Cỏch 4:
 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Cụpski (ac + bd)2 ≤ ( a2 + b2)(c2 + d2)
 Dấu “=” xảy ra 
 Ta cú (1.x + 1.y )2 ≤ 2(x2 + y2 ) x2 + y2 
 Vỡ x + y =2 nờn A = x2 + y2 
 Dấu “=’ xảy ra x = y và x + y =2 x = y =1 
 Vậy minA =2 x = y =1 
2)Tỡm điều kiện của tham số để phương trỡnh , hệ phương trỡnh , tam thức bậc hai thoả món điều kiện nào đú 
 Vớ dụ 1 : cho phương trỡnh : . Tỡm giỏ trị của tham số a để phương trỡnh cú đỳng 2 nghiệm trờn tập hợp số nguyờn 
 Giải 
 Ta cú : 
 Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giỏ trị tuyệt đối ta cú :
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi cựng dấu . 
 Do đú ; x2 – 2 và 1- a2x2 
 Nếu a thỡ . Để phương trỡnh cú 2 nghiệm nguyờn trờn tập hợp số nguyờn thỡ x2 chỉ cú thể nhận giỏ trị duy nhất là số chớnh phương trong khoảng ( 2 ; 
 Vậy 
 Vớ dụ 2 : Cho tam thức bậc 2 : ax2 + bx +c thoả món :
 CMR : khi 
 Giải 
 Ta cú : F(1) = a + b + c (1) 
 F(-1) = a – b + c (2)
 F(0) = c (3) 
 Từ (1) ;(2); (3) ta suy ra :
 Và b=
 Thay vào F(x) ta được :
 = 
 = 
Áp dụng và giả thiết ta được 
Ta xột cỏc trường hợp sau :
 + Với thỡ = 1 + x +x2 (*)
 +Với -1 thỡ = 1 + x – x2 (**)
 Từ (*) và (**) chứng tỏ với ta cú 
 vậy F(x) (đpcm)
3.Dựng bất đẳng thức để giải phương trỡnh và hệ phương trỡnh 
 	Vớ dụ 1 ; Giải phương trỡnh sau : 
 Giải 
Ta thấy : = 
 = 
 + 
Dấu “=” xảy ra : 
Vậy nghiệm của phương trỡnh đó cho là ( x = 2 ; y = 2 )
Vớ dụ 2 : Giải hệ phương trình
 Giải 
	Từ (1) suy ra : x3 = -1-2 (y – 1) 2 (*)
	Từ (2) suy ra : x2(1 + y2) =2 
Mặt khỏc ta lại cú : y2 + 1 (**)
 Từ (*) (**) x = -1 . thay x = -1 vào (2) ta cú : y2 – 2y + 1 = 0 y = 1 
Vậy hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm duy nhất ( x =1 ; y =1 )
Phần II: áp dụng giải toán bất đẳng thức trong hình học
I . Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học
1. Một số kí hiệu thường dùng để chỉ các yếu tố của tam giác.
a; b; c tương ứng là độ dài 3 cạnh AB; AC; BC của .
 tương ứng là độ lớn các góc tại 3 đỉnh A; B; C.
ma ;mb; mc tương ứng là độ dài các đường trung tuyến dựng từ các đỉnh A; B; C.
ha ; hb; hc tương ứng là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A; B; C.
la; lb ; lc tương ứng là độ dài các đường phân giác dựng từ các đỉnh A; B; C.
R và r tương ứng là độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của .
SABC là diện tích của .
ra; rb; rc tương ứng là độ dài các bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A; B; C của .
Kí hiệu góc là : “”.
Một số kiến thức cơ bản cần dùng
2.1 Với 3 điểm bất kì A; B; C ta có AB < AC + BC.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C nằm giữa 2 điểm A và B.
Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn: AB AC BC .
 Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông: CA > AB > BC.
 Trong một tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc lớn nhất.
 Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại: AB AC BH HC
 Trong tam giác ABC có :
AB – AC < BC < AB + AC
AB – BC < AC < AB + BC
AC – BC < AB < AC – BC
2.7 Trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau :
+ Cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung lớn hơn
+ Đường kính là dây cung lớn nhất.
CD Ê AB = 2R
2.8 SABC Ê ; SABC Ê ; SABC Ê 
II. Một số cách chứng minh bất đẳng thức hình học
1. Sử dụng bất đẳng thức tam giác
Bài 1: Chứng minh rằng trong một tam giác bất kì ta có : 
Giải:
Gọi M là trung điểm của AC
Xét ABM có : AM > AB- BM
Xét ADM có : AM > AD – DM
Cộng từng vế 2 bất đẳng thức trên ta được:
2AM > AB + AD – (BM + DM)
ị 2AM > AB + AD – BD
ị ma > (1)
Trên tia đối của tia MA lấy điểm C sao cho : 
MA= MC ịABM = CDM (c.g.c)
ị AB = CD. Xét ACD có : AC < AD + CD = AD + AB.
ị 2AM < AD + AB ị ma < (2)
Từ (1)và (2) ị (điều phải chứng minh)
2-Sử dụng bất đẳng thức Côsi
Bài 2: Cho ABC có 3 góc nhọn. Gọi H là trực tâm của ABC, K là chân đường cao vẽ từ A của ABC. Chứng minh rằng : KH.KA Ê 
Giải
Xét AKB và CKH có : AKB = CKH = 900
 BAK = HCK
(Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc).
ịAKB đồng dạng với CKH (g.g)
ịị KA. KH = KB. KC
Theo bất đẳng thức Côsi ta có :
KB.KC Ê . Vậy KH.KA Ê (điều phải chứng minh)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi KB = KC hay K là trung điểm của BC
ị ABC cân tại A.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD. Gọi P là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:
SABCD Ê (AM + BN)2
PN Ê (AD + BC). Dấu “=” xảy ra khi nào?
Giải
1. Gọi I là giao điểm của AM và BD
Ta có : SABCD = SABC + SADC 
Mà ABM và AMC có :
BM = MC (gt)ị SABM = SAMC ị SABC = 2SAMC
ANC và AND có : CN = ND (gt) ị SANC = SAND
ị SADC = 2SACN ị SABCD = 2(SABC + SANC)= 2SMCNA 
 = 2(SAMN + SMNC)
Ta lại có : MN là đường trung bình của CBD 
ị MN // BD 
ịMNC và MDN có đường cao bằng nhau
ịSIMN = SMCN ịSABCD = 2(SAMN + SIMN)
Mặt khác: SIMN Ê SAMN ị SABCD Ê 2(SAMN + SAMN) = 4SAMN Ê 4. .AM. AN= 2AM. AN
ị SABCD Ê 2AM. AN Ê (AM+BN)2. (đpcm)
2. Gọi O là trung điểm của AC, ta có : PN Ê PO + ON = 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AD //BC. Tứ giác ABCD là hình thang.
3. Sử dụng phép đối xứng giải toán bất đẳng thức hình học
Bài 4: Cho ABC bất kì .Chứng minh rằng : haÊ 
Với p là nửa chu vi của ABC, ha là đường cao hạ từ A.
Giải
Qua A kẻ Ax // BC
Thực hiện phép đối xứng trục Ax ta có 
SAx : B B’
 C C’
Ta có : AB + AC = AB’ + AC ³ CB’
Xét tam giác vuông CC’B’ ta có :
CB’ = Û b+ c ³ 
Û (b+ c)2 ³ 4ha2 + a2 Û ha2 Ê [(b+c)2 – a2]
= (b + c- a)(b + c+ a)= p(p-a)Û ha2 Ê p(p-a) Û ha Ê (đpcm)
Bài 5: Gọi a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, các đường cao tương ứng là ha , hb, hc. Chứng minh rằng: 
Giải
Qua A kẻ Cx // AB
Lấy E đối xứng với A qua đường thẳng Cx
ị HE = HA
Nối C với E, B với E ị CAE cân tại C
ị CE = CA = b
Hạ CK AB ị CK = hc. Ta có : CK = AH = HE
ị AE = 2hc
Với 3 điểm E,B, C ta luôn có : BE Ê BC + CE 
ị BE Ê a+ b
Theo định lý Pi tago trong tam giác vuông ABE ta có : AE2 + AB2 = BE2.
Û (2hc)2 + c2 Ê (a+b)2 Û 4hc2 Ê (a+b)2– c2
Tương tự ta chứng minh được: 4ha2 Ê (b+c)2– a2
 4hb2 Ê (a+c)2– b2
ị4(ha2 + hb2+ hc2) Ê (a+b)2-c2 + (b+c)2 –a2 +(a+c)2 – b2
Û4(ha2 + hb2+ hc2) Ê (a+b+c)2 Û³ 4. (ĐPCM)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Û ABC đều.
4.Sử dụng các bất đẳng thức đại số.
Bài 1: Cho ABC và 0 là một điểm bất kì trong tam giác, các tia AO,BO,CO cắt BC,CA,AB lần lượt tại P,Q,R. Chứng minh rằng:
1/ ++ = 1
2/ ++³ 9 . Dấu bằng xảy ra khi nào ?
Giải
1/Từ A kẻ AH BC , OK BC ịOK // AH
Xét AHP có : = ; (Định lí Talet)
SBOC = OK .BC , SABC = OH .BC ị= = 
Tương tự :Ta có =, = ,
ị++ =++=1.
2/ Đặt = a1, =b1 , = c1 . áp dụng bất đẳng thức:
(a +b + c ) ( ++) ³ 9 :Ta được (++)(++) ³ 9
Mà ++ =1.Nên ++³ 9 (ĐPCM).
Bài 2: Cho tứ giác ABCD . Chứng minh rằng AB.CD +AD.BC ³ AC.BD
Dấu bằng xảy ra khi tứ giác ABCD nội tiếp.
Giải
Vẽ tia Ax sao cho :Dax = CBD
Vẽ tia Dy sao cho Ady = BDC
Gọi K là giao điểm của Ax và Dy 
Xét ADK và BDC có 
DAK = DBC (cách dựng)
ADK = BDC (cách dựng)
ịADK đồng dạng với tam giác BDC (gg).
ị = = ị BC.AD = BD.AK (1)
Vì ADB = CDK và = = 
ịADB đồng dạng với tam giác KCD (cgc) .
ị =ÛAB.CD = BD.KC (2)
 Từ (1) và (2) ịAB.CD + BC.AD = BD.AK+ BD.KC = BD.(AK +KC);
 Mà AK +KC ³ AC ị AB.CD + BC.AD ³ AC.BD. (ĐPCM)
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : AK + KC = AC ị k AC
ÛDAK = DAC = DBC ÛDAC = DBC
ÛTứ giác ABCD nội tiếp .
Từ đó ta có định lí Prôtôlêmê:Điều kiên cần và đủ cho một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn là : Tổng các tích những cạnh đối diện bằng tích hai đường chéo.
5.Sử dụng một bài toán để chứng minh các bất đẳng thức khác
Bài toán :
Cho b1 ,b2,bn là các số dương còn a1,a2,..,an tuỳ. Chứng minh rằng ta luôn có :
 +++³ (*). Dấu bằng xảy ra khi nào ?
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có :
( a1+a2++an )2 = (+++)2 Ê ( +
Bài tập tự giải:
Bài 1: Chứng minh với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì ta có:
a) 
b) 
Bài 2: Cho tam giác ABC vớima; mb; mc là 3 đường trung tuyến ứng với 3 cạnh a, b, c. Chứng minh rằng: 
C. Thực nghiệm sư phạm
Để so sánh hiệu quả của hai phương pháp đã tiến hành thực hiện ở 2 lớp 9A và 9B. Dạy theo phương pháp mới ở 9A, dạy theo phương pháp cũ ở 9B
Sau đây là giáo án tiết dạy thực nghiệm:
Luyện tập về chứng minh bất đẳng thức
A. Mục tiêu
- Học sinh vận dụng được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức để giải quyết một số bài tập về chứng minh bất đẳng thức và các bài tập có liên quan.
- Rèn luyện kỹ năng phát hiện, tìm tòi ra những cách giải mới.
- Rèn luyện kỹ năng lập luận chính xác, tư duy linh hoạt, biến đổi chính xác có hệ thống và lôgic.
B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Giáo viên
+ Nội dung bài tập
+ Thước kẻ
2. Học sinh
+ Ôn lại một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
+ Tính chất cơ bản của một bất đẳng thức.
+ Thước kẻ.
C. Tiến trình dạy học
Hoạt động giáo viên
Hoạt động học sinh
Ghi bảng
1. Hoạt động 1:
Kiểm tra bài cũ
+ HS 1: Nêu một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
+ HS 2: Nêu một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Viết dạng tổng quát của bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpxki.
Luyện tập về chứng minh bất đẳng thức
2. Hoạt động 2:
Bài tập 1
+ Giáo viên gọi một học sinh lên bảng làm bài tập 1
- Em dùng phương pháp nào để chứng minh bất đẳng thức này? Tại sao em lại dùng phương pháp biến đổi tương đương?
+ Giáo viên cho HS nhận xét và sửa chữa.
-Ngoài cách chứng minh trên em còn cách chứng minh nào khác không?
- Khi giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức cần quan sát kĩ đề bài, yếu tố đề bài cho để chọn cách làm phù hợp.
+ HS làm bài tập
+ HS1: Lên bảng, cả lớp cùng làm
+ HS: Dùng phương pháp biến đổi tương đương
+ Nhận xét bài làm của bạn ở trên bảng rồi chữa vào vở nếu làm sai.
+ HS lên bảng trình bày cách 2
Bài 1: Cho a,b,c³ 0. CMR: 
a3 + b3 + c3³ 3abc
Giải
Cách 1: a3 + b3 + c3³ 3abc
Û a3 + b3 + c3- 3abc ³ 0
Û(a+ b + c)[(a-b)2+(b- c2)+ (c-a)2] ³0
Vì a, b, c ³ 0 ị a+ b+ c ³ 0
(a- b)2 ³0; (b- c)2 ³ 0; (c- a)2 ³ 0
(a+ b + c)[(a-b)2+(b- c2)+ (c-a)2] ³0
hay a3 + b3 + c3³ 3abc
Dấu “=” xảy ra Û a= b=c.
Cách 2: vì a,b,c ³ 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm:
a3 + b3 + c3³ 3
a3 + b3 + c3³ 3abc
Dấu “=” xảy ra Û a= b=c.
3. Hoạt động 3:
- GV cho HS làm bài tập 2
- Em có nhận xét gì về mỗi thừa số ở vế trái?
- Với những thừa số không âm ta thường áp dụng bất đẳng thức nào?
- Bình phương bất đẳng thức (*) ta được bất đẳng thức nào?
- Muốn chứng minh bất đẳng thức này ta phải có bất đẳng thức phụ nào?
- Gọi 1 HS lên bảng trình bày, HS cả lớp cùng làm
+ Mỗi thừa số là tổng 2 số không âm
+ Bất đẳng thức Côsi.
+ HS cả lớp áp dụng bất đẳng thức Côsi để làm bài tập 2.
+ Ta có :
 (a+ b)2 ³ 4ab
(b+ c)2 ³ 4bc
(c + a)2 ³ 4ca
+ HS lên bảng làm, cả lớp cùng làm.
Bài 2: Cho a,b, c ³ 0. CMR:
(a+ b)(b+ c)(c+ a)³ 8abc. (*)
Giải
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho từng cặp hai số dương ta được:
a+ b ³ 2 Û(a+ b)2 ³ 4ab
Tương tự ta có:
b + c³ 2 Û (b+ c)2 ³ 4bc
c+ a ³ 2 Û (c+ a)2 ³ 4ac.
Nhân từng vế 3 đẳng thức trên ta được:
(a+ b)2(b+ c)2(c+ a)2³ 64a2b2c2
Û(a+ b)(b+ c)(c+ a)³ 8abc.
4. Hoạt động 4: 
Bài tập 3
- Hãy dùng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức (1)
- GV nhận xét, sửa chữa.
- Em nào có cách giải khác?
- GV gọi 1 HS lên bảng trình bày.
- GV nhận xét, sửa chữa
- Bất đẳng thức (1) có dạng bất đẳng thức Bunhiacôpxki không?
Hãy chỉ ra từng thừa số trong bất đẳng thức này
Như vậy bài toán có thể giải theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki được hay không?
- GV cho HS cả lớp suy nghĩ ít phút rồi gọi 1 HS khá lên trình bày.
+ 1 HS lên bảng làm bài, HS cả lớp cùng làm sau đó nhận xét phần bài làm của bạn.
+ Ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi
+ 1 HS lên bảng làm
+ Cả lớp theo dõi nhận xét cách làm của bạn, đồng thời tìm thêm cách giải mới.
+ Bất đẳng thức (1) có dạng bất đẳng thức Bunhiacôpxki và có các thừa số trong bất đẳng thức là :
Vì vậy bài toán có thể giải theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
+ HS lên bảng trình bày
+ Cả lớp theo dõi nhận xét.
Bài 3: cho a>c, b> c, c> 0. CMR:
(1)
Giải
Cách 1: Dùng phép biến đổi tương đương
Cả 2 vế của (1) đều dương nên bình phương 2 vế ta được (1) tương đương với:
c(c-a ) + c(b-c)+ 2c
2c c2 + (a-c)(b-c)
Û [ c -]2 ³ 0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng.
Dấu “=” xảy ra Û c=
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Côsi
(1)Û 
Û
Do 0 <c < a,b nên: 0< < 1
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
Ê
Ê
Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức trên ta được: + Ê 1
Dấu “=” xảy ra Û c = 
Cách 3: Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
Ta có : []2Ê 
 [()2+()2] [()2+()2]= ab
ị điều phải chứng minh
Dấu “=” xảy ra Û c = 
5. Hoạt động 5: 
Bài tập 4
Em có nhận xét gì về các số:
p-a; p-b;p – c?
- Với p-a > 0, p-b > 0, p-c > 0 ta có thể sử dụng bất đẳng thức nào?
- GV yêu cầu HS sử dụng bất đẳng thức cho từng cặp số p- a, p-b; p -b, p-c; p-c,p-a. Sau đó gọi 3 HS lên bảng trình bày.
- Hãy thảo luận nhóm trong 2 phút để tìm điều kiện xảy ra dấu “=”?
- Sau khi các nhóm báo cáo kết quả, GV nhận xét cho điểm.
+ Có: p-a > 0, p-b > 0, p- c > 0
+ Ta có thể sử dụng bất đẳng thức với x>0; y>0
HS cả lớp cùng làm, 3 HS lên bảng làm theo yêu cầu của GV.
+ Thảo luận nhóm trong 2 phút sau đó đại diện các nhóm trình bày kết quả.
Bài 4: cho ABC có 3 cạnh là a; b;c và chu vi là 2p = a+ b+ c. Chứng minh rằng:
Giải
Ta có :
p- a = ( b+c >a)
Tương tự: p-b > 0; p-c > 0.
áp dụng bất đẳng thức : 
cho từng cặp số p-a, p-b; p-b,p-c; p-c,p-a ta có:
(1)
Tương tự ta cũng có :
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được:
2(
do đó: 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở các bất đẳng thức (1)(2),(3) đồng thời xảy ra nghĩa là :
Û ABC đều.
6. Hoạt động 6: 
Củng cố
- GV nhận xét, sửa chữa rồi rút ra lưu ý cho HS
- Lưu ý:
+ Khi chứng minh bất đẳng thức cần xét kĩ các điều kiện đề bài cho để áp dụng các phương pháp hợp lí.
+ Trong khi chứng minh cần sử dụng phương pháp tương đương trước tiên để giải toán (Nếu biến đổi đơn giản). Sau mới áp dụng phương pháp khác.
+ Khi giải xong một bài toán cần phân tích để nhìn nhận bài toán với cách giải khác.
7. Hoạt động 7: 
Hướng dẫn học ở nhà:
+Xem lại các bài tập đã giải
+ Làm bài tập 3 theo phương pháp hình học
Kết quả thực nghiệm
Sau khi tiến hành dạy thực nghiệm ở 2 lớp 9A và 9B kết hợp việc đi thăm lớp, dự giờ của các giáo viên khác để so sánh, đối chiếu rút ra kết luận sau:
Để so sánh hiệu quả của 2 phương pháp dạy học ta dạy theo phương pháp mới của đề tài ở lớp 9A, đồng thời dạy theo phương pháp cũ ở lớp 9B. Kết quả cho thấy điểm trung bình cộng ở lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Để có kết quả trên tôi làm cụ thể như sau:
Trước hết, ta đề ra giả thiết thống kê, H0 là “không có sự khác nhau giữa 2 phương pháp”. Sau đó tiến hành kiệm nghiệm giả thiết H0 này.
Ta chọn xác suất sai lầm (Hay mức ý nghĩa của việc kiệm định) là số rất bé,thường lấy 
Ký hiệu kích thước của hai mẫu là: n1; n2 (Lớp 9A: n2; lớp 9B: n1) Mỗi giá trị của một phần tử, của mẫu ứng với một số xếp hạng 1 trở đi, tổng các số xếp ở hai mẫu R1; R2, Các tham số phải tìm là:
U1 = R1 - 
U2 = R2 - 
Nếu n1, n2 lớn (lớn hơn 20) thì tính : M= ; 
Đại lượng kiểm định: U= 
Giá trị tối hạng cho trong bảng sau:
0.05
1.64
0.01
2.33
0.001
3.09
Kết luận : Nếu thì chấp nhận H0
 Nếu thì bác bỏ H0.
Tôi đã tiến hành kiểm tra 2 nhóm học sinh. Nhóm 1 tôi dạy theo phương pháp cũ, nhóm 2 dạy theo đề tài.
Kết quả như sau: (thang điểm 20)
- Nhóm 1: Gồm 22 học sinh có số điểm như sau: 10,15, 8, 19, 11, 12, 14, 7, 6, 16, 9, 11, 13, 7, 11, 12, 17, 10, 13, 12, 14, 9.
- Nhóm 2: Gồm 22 học sinh có số điểm như sau:15, 14, 14, 12, 11, 13, 17, 13, 14, 16, 12, 14, 11, 11, 13, 16, 14, 10, 13, 12, 10, 13.
Có kết luận rằng: Nhóm 2 tố hơn hay không ? ()
Ta tiến hành lập bảng như sau:
Điểm
Xếp hạng
Nhóm 1
Nhóm 2
Nhóm 1
Nhóm 2
6
1
7;7
2,5; 2,5
8
4
9;9
5,5; 5,5
10;10;10
10;10
8,5; 8,5; 8,5
8,5; 8,5
11;11;11
11;11;11
13,5; 13,5; 13,5
13,5; 13,5; 13,5
12;12;12
12;12;12
19,5; 19,5; 19,5
19,5; 19,5; 19,5
13;13
13;13;13;13;13
22,5; 22,5
22,5; 22,5;22,5; 22,5
14;14
14;14;14;14;14
32;32
32;32;32;32
15
15
36,5
36,5
16
16;16
39
39;39
17
17
41,5
41,5
Cộng
R1 = 377,5
R2 = 508
Ta có Un = 315,5; M = 220; = 39,7; U = 2,4
Tính Un theo bảng với thì U = 2,4 > 2,33 = nên giả thiết H0 bị bác bỏ.
Nhóm 2 thực hiện tốt hơn nhóm 1.
D. Kết luận
Với đề tài “ Phát triển năng lực tư duy của học sinh THCS thông qua việc giải toán bất đẳng thức” thì nội dung tôi đã trình bày ở trên còn rất hạn hẹp so với toàn bộ chuyên đề về bất đẳng thức. Việc áp dụng một số phương pháp giải toán bất đẳng thức vào chương trình toán THCS là một vấn đề rộng, là nội dung phong phú và đa dạng. Nhưng trên tôi chỉ trình bày được một số phương pháp, một số bài tập cơ bản nhất trong chương trình toán THCS.
Chắc chắn rằng đây là cuốn tư liệu có thể giúp tôi hiểu một cách sâu sắc hơn, cơ bản hơn trong việc giải toán bất đẳng thức. Hy vọng đây cũng là một cuốn tham khảo nhỏ cho đồng nghiệp. Qua việc việc làm đề tài tôi càng cảm thấy giải toán bất đẳng thức là một hoạt động trí tuệ cao và gian khổ. Nhưng đồng thời tôi càng thêm sáng tỏ nhiều vấn đề mới bổ ích, những ứng dụng sáng tạo , vững tin hơn trong việc giải toán THCS.
Đề tài này được hoàn thành với sự giúp đỡ quý báu của thầy và mong tiếp tục được sự phê bình,đánh giá của thầy.Tuy nhiên đã cố gắng tìm tòi ,nghiên cứu nhưng do trình độ và thời gian có hạn chắn chắn đề tài còn có thiếu xót ,hạn chế , em rất mong được sự góp ý của thầy và của đồng nghiệp để nội dung đề tài được phong phú và đầy đủ hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
 Xác nhận của hiệu trưởng
 trường THCS Chu Mạnh Trinh
 Hiệu trưởng 
Hưng yên,tháng 03 năm 2007
Người thực hiên đề tài
 Lê Xuân Thuỷ 
E.Tài liệu tham khảo
1) Phương pháp giải toán hình –Trần Văn Kì 
2) Toán nâng cao các chuyên đề đại số 9 –Nguyễn Ngọc Đạm –Vũ Dương Thuỵ 
3) 255 Bài toán hình học chọn lọc –Nguyễn Ngọc Đạm –Vũ Dương Thuỵ
4) Toán bồi dưỡng học sinh giỏi 9-Vũ Hữu Bình –TôngThân 
5) 400 Bài toán đại số chọn lọc –Vũ Dương Thuỵ –Trương Công Thành.
6) 23 Chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp –Nguyễn Văn Vỉnh –Nguyễn Đức Đồng .
7) 23 Chuyên đề giải 1001 bài toán đại số –Nguyễn Văn Vỉnh –Nguyễn Đức Đồng .
8) Giúp học tốt hình học 9 –Nguyễn Bá Kim –Nguyễn Tiến Quang.
9) Các bài toán bất đẳng thức hay vàkhó –Nguyễn Đễ –Vũ Hoàng Lâm 
10) Bài tập xác suất thống kê -Lê Thiên Hương.