Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực toán học cho học sinh Phổ thông qua bài toán xác định số nghiệm của phương trình dựa vào tương giao của đồ thị các hàm số

át triển năng lực toán học dựa trên nguyên tắc
của quá trình nhận thức qua các giai đoạn từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp
đến cao, từ cụ thể đến trừu tượng, từ hình thức bên ngoài đến bản chất bên
trong.
 Sau đây là một số dạng bài toán được phân tích, suy luận, tương tự hóa,
đặc biệt hóa và tổng quát hóa từ đó giúp học sinh phát triển được năng lực toán
học. 
1.Bài toán 1. Bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng , .
Ta xét với các bài toán a là hằng số hoặc là tham số.
Kiến thức cơ sở:
w là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị . Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị .
w là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị , Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị , 
Ví dụ 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình là
	A. 2.	B. 0.	C. 3.	D. 1.
Hướng dẫn giải: 
Ta có . Số nghiệm của phương trình chính là số hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thằng (song song với trục hoành). Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt. 
Ví dụ 2. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
 HƯỚNG GIẢI: 
B1: Từ phương trình chuyển về phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị .
B2:Dựa vào đồ thị giá trị của giá trị của .
B3: Chọn đáp án.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Ta có 
Các phương trình và đều vô nghiệm.
Xét đồ thị hàm số trên 
Ta thấy phương trình có 4 nghiệm phân biệt và phương trình có 2 nghiệm phân biệt đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn .
Trình bày theo hướng khác:
Phân tích hướng giải
Đây là dạng toán dùng bảng biến thiên của hàm số để tìm số nghiệm thuộc đoạn của phương trình .
 HƯỚNG GIẢI: 
B1: Đặt ẩn phụ . Với 
B2: Với 
B3: Sử dụng BBT của hàm số để giải bài toán số nghiệm thuộc đoạn của PT 
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Đặt thì PT trở thành .
BBT hàm số :
Dựa vào BBT, số nghiệm của PT là 2 nghiệm phân biệt .
BBT hàm số , 
+ Với PT có 4 nghiệm .
+ Với PT có 2 nghiệm .
Vậy số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là . Đáp án: chọn B
Sau đây là một số bài tập liên quan đến các dạng hàm khác nhau. Học sinh cần thực hiện được các hành động như: Phân tích được vấn đề; nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết; biết đặt câu hỏi, lựa chọn giải pháp; biết lập luận và đánh giá được giải pháp. Từ đó học sinh hình thành và phát triển được các năng lực toán học. 
Ví dụ 3. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Gọi là số nghiệm của phương trình . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có: .
Suy ra: .
+) Xét (1): , ta có đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại điểm phân biệt nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
+) Xét : , ta có đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại điểm phân biệt nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
+) Xét : , ta có đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại điểm nên phương trình có nghiệm.
Do các nghiệm không trùng nhau nên tổng số nghiệm là: .
Đáp án: Chọn B
Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trình ?
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy khi thì 
Do đó nếu đặt thì khi đó 
Dựa vào đồ thị, ta có 
Phương trình 
Vậy phương trình đã cho có điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Ví dụ 5. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau.
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là bao nhiêu biết rằng .
Hướng dẫn giải :
Ta xét phương trình 
Từ đó ta có.
Ta lập BBT của hàm số với 
Nhìn BBT ta thấy phương trình vô nghiệm
Phương trình có nghiệm duy nhất 
Xét trên khoảng , ta có phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 6. (Câu 50- Đề thi THPTQG mã 103-2020)
Cho hàm số bậc bốn có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Hướng giải 1:
 .
.
Do nên từ phương trình suy ra . Từ đó .
Đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Tương tự, mỗi phương trình , đều có hai nghiệm phân biệt. 
Do các số đôi một khác nhau nên các phương trình , , , đôi một không có nghiệm chung.
Vậy phương trình có 9 nghiệm phân biệt.
Hướng giải 2:
+) Phương trình đã cho 	
+) Dựa và đồ thị ta được phương trình ,với là các số dương phân biệt
+) Ta có 
+) Dựa vào đồ thị ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt và 
+) Với các phương trình , và , ta xét phương trình đại diện.
Ta có: với 
Do vế phải của phương trình dương nên vế phải của phương trình cũng phải dương nên ta xét phương trình trên tập .
Ta có 
Xét hàm số trên tập với 
Ta có 
Bảng biến thiên của hàm số 
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt.
+) Tương tự các phương trình và , mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt đồng thời các nghiệm của phương trình , , và là khác nhau. Vậy phương trình có 9 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 7. Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn điều kiện và có đồ thị như hình dưới đây
Với giả thiết, phương trình có nghiệm. Giả sử khi tham số 
thay đổi, phương trình đã cho có nhiều nhất nghiệm và có ít nhất nghiệm.
Giá trị của bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Dễ thấy điều kiện của phương trình đã cho là .
Đặt .
Dễ thấy phương trình luôn có nghiệm duy nhất .
Phương trình đã cho có dạng: .
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số nghiệm của (2).
Đồ thị hàm số có dạng:
Do đó:
(2) vô nghiệm khi .
(2) có hai nghiệm khi .
(2) có nghiệm duy nhất khi hoặc .
Vậy .
Đáp án: chọn C
Ví dụ 8. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có nghiệm thuộc khoảng là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Đặt . Với thì .
Do đó phương trình có nghiệm thuộc khoảng khi và chỉ khi phương trình có nghiệm thuộc nửa khoảng .
Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số là .
Đáp án: Chọn D.
Ví dụ 9. Cho hàm số xác định và liên tục trên , có đồ thị như hình
vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có đúng 6 nghiệm phân biệt?
Lời giải
ĐK. .
Đặt .
.
.
;
.
.
Phương trình đã cho trở thành với .
Với mỗi cho 2 giá trị .
Với cho 1 giá trị .
Do đó phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt có 3 nghiệm phân biệt .
Mà nên . Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số 
Ví dụ 10. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình sau.
Tìm để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.
Hướng giải.
Đặt . Khi đó ứng với mỗi nghiệm , ta được hai nghiệm .
Từ đồ thị của hàm số , ta thấy phương trình có đúng một nghiệm khi và chỉ khi 
- Nhận xét: Các bài toán có được bằng cách thay đổi bởi và linh hoạt trong cách giải , từ đó hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
* Với các bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng , . Học sinh cần nắm vững tính chất của hàm số 
Ví dụ 11. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm thực?
Lời giải
Ta có: .
Do đó: có nghiệm 
.
Mà có 7 giá trị nguyên của thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 12. Cho đồ thị hàm số như hình vẽ. Để phương trình có nghiệm thì điều kiện của tham số là . Hỏi điểm thuộc đường tròn nào sau đây?
A. .	B. .
C. .	D. 
Lời giải
Đặt . Vì .
Khi đó 
Dựa vào đồ thị thấy hàm số nghịch biến với .
Do đó phương trình (*) vì .
Để phương trình có nghiệm thì điều kiện của tham số là .
Tọa độ điểm , ta có: 
Đáp án: Chọn B
Ví dụ 13. Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên:
Tính tổng các giá trị nguyên dương của để phương trình có nghiệm.
Lời giải
Đặt thì phương trình trở thành với .
Để phương trình có nghiệm thì đường thẳng có phương trình phải cắt đồ thị hàm số tại ít nhất một điểm với mọi . Vì nguyên dương nên tổng các giá trị nguyên dương của thỏa mãn bài toán là .
2.Bài toán 2. Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng 
Ta xét với các bài toán a là hằng số hoặc là tham số.
Ví dụ 1. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm các giá trị của m để phương trìnhcó hai nghiệm phân biệt.
Lời giải
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng .
Hàm số là hàm số chẵn nên nhận làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số gồm 2 phần:
+ Phần 1: Đồ thị hàm số với .
+ Phần 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số với qua trục .
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì đường thảng cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt. Từ đồ thị ta có 
Ví dụ 2. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Phương trình .
* Phương trình .
* Phương trình .
Đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ sau:
Dựa vào đồ thị trên ta có:
- Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
- Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
- Phương trình có 1 nghiệm.
- Phương trình có 1 nghiệm.
Vậy phương trình có 8 nghiệm phân biệt.
Đáp án: Chọn A
Ví dụ 3. Cho hàm số trùng phương có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thuộc của phương trình bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có 
Phương trình có 8 nghiệm thuộc .
Đáp án: Chọn D
Ví dụ 4. Cho hàm số xác định trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm?
Lời giải
+ Trước tiên tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị để được đồ thị hàm số . 
+ Tiếp theo xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái đường thẳng .
+ Cuối cùng lấy đối xứng phần đồ thị còn lại ở trên qua đường thẳng . Ta được toàn bộ phần đồ thị của hàm số (hình vẽ bên dưới) 
+ Dựa vào đồ thị hàm số , ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Với bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng . Với là tham số
Ví dụ 5. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn ?
Lời giải
Ta có bảng biến thiên của hàm số trên đoạn 
Phương trình có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn khi và chỉ khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .
Do nguyên nên . Vậy có 2 giá trị của thoả mãn bài toán.
Ví dụ 6. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị để phương trình có nghiệm.
Lời giải
Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thi của hàm là
Đặt ; .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy .
Vậy phương trhhh có nghiệm khi và chỉ khi phương trình có nghiệm .
3.Bài toán 3. Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng .
Ví dụ 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình là
A. vô số.	B. .	C. .	D. .
Lời giải
.
Với thì nên phương trình vô nghiệm.
Với ta có . Ta có:
 nên hàm số đồng biến và liên tục trên .
Lại có: nên phương trình có nghiệm duy nhất trên .
Đáp án: Chọn D
Ví dụ 2. Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ
Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm?
Lời giải
Điều kiện: 
Phương trình ban đầu . Đặt 
Ta có Sau đây là BBT của hàm số trên đoạn 
Vậy phương trình có đúng một nghiệm.
Ví dụ 3. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Đặt . Tìm số nghiệm của .
Lời giải
Xét 
Ta có: 
Từ (1): 
Từ (2): 
Dựa vào đồ thị suy ra: (1) có 3 nghiệm phân biệt
(2) Ta xét lần lượt đường thẳng: cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt
 cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt
 cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt
Nên (2) có 6 nghiệm phân biệt
Vậy phương trình có 9 nghiệm phân biệt.
4. Bài toán 4. Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số , xét các bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình chứa 
Ví dụ 1. Cho hàm số có đồ thị là hình vẽ dưới đây.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của trong khoảng để bất phương trình có nghiệm?
Lời giải
Đặt Ta có tập xác định của hàm số là 
Từ đồ thị ta thấy trên khoảng hàm số đồng biến và hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại .
Suy ra 
Vậy bất phương trình có nghiệm
Kết hợp suy ra có 2019 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán Ví dụ 2. Cho hàm số có bảng biến thiên
Đặt . Bất phương trình có tập nghiệm là
A. 	B. .	C. .D. 
Lời giải
Ta có 
Với ( nghiệm bội chẵn).
Với ( nghiệm bội chẵn).
Với phương trình vô nghiệm.
Nhận xét với 
Với 
Ta có bảng xét dấu
Từ bảng xét dấu suy ra bất phương trình có tập nghiệm là .
Đáp án: Chọn D
Ví dụ 3. Cho hàm đa thức bậc ba có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm?
Lời giải
Đặt .
.
Dựa vào đồ thị ta có:
.
Suy ra .
Ta có
.
Dựa vào độ thị hàm số ta suy ra phương trình có 2 nghiệm và phương trình có 3 nghiệm. Các nghiệm của 2 phương trình này không trùng nhau. Do đó phương trình có 5 nghiệm.
Ví dụ 4. (Câu 49-Đề thi thử THPTQG chuyên Phan Bội Châu lần 2 năm 2020)
	Cho hàm số . Có bao nhiêu giá
trị nguyên của tham số thuộc đoạn để phương trình
có nghiệm phân biệt ? 
A..	B..	C..	D..
Lời giải
Ta có: Dễ thấy phương trình không có nghiệm .
Xét hàm số 
Bảng biến thiên: 
Để phương trình đã cho có 2020 nghiệm thì đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 2020 điểm phân biệt. 
Nhìn vào BBT ta thấy : hoặc tức là .
Vậy có 4040 giá nguyên của thuộc đoạn để phương trình có nghiệm phân biệt.
Đáp án: Chọn B
5. Bài toán 5. Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng 
Ví dụ 1. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , và đồ thị hàm số được cho như hình vẽ bên dưới
Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Từ đồ thị hàm số đã cho, ta có bảng biết thiên của hàm số  :
Qua BBT và ta thấy phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ, biết . Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
Lời giải
Xét 
Vì 
Dựa vào đồ thị của hàm số , ta có bảng biến thiên của hàm như sau:
Vì do đó từ bảng biến thiên ta có phương trình có đúng 3 nghiệm.
Ví dụ 3. Cho hàm số bậc bốn thỏa mãn , và đồ thị của hàm số có dạng như hình dưới đây. Phương trình có bao nhiêu nghiệm thực?
Lời giải
Từ đồ thị và giả thiết, ta có bảng biến thiên của :
Xét hàm số ta có .
Ta có bảng biến thiên của hàm số :
Do 
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt.
Ta xét với các bài toán vế phải là tham số có dạng: , 
Ví dụ 4. Cho hàm số với . Biết hàm số có đồ thị như hình vẽ, đạt cực trị tại điểm và cắt truc hoành tại . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải
Quan sát đồ thị như hình vẽ. Ta thấy rằng đây là hàm bậc qua không đổi dấu và qua đổi dấu 1 lần. 
Nên suy ra (vì nên )
Do 
Suy ra 
Mà theo đề ta có phương trình
Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) và (2) lần lượt có 2 nghiệm phân biệt 
Mà Vậy có 2 giá trị nguyên thoả mãn bài toán.
Ví dụ 5. Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Tìm điều kiện của m đề phương trình có nghiệm ?
Lời giải
Gọi , , , lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với và trục hoành.
Quan sát hình vẽ, ta có
² 
² 
² 
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán . 
6. Bài toán 6. Cho biết số nghiệm của phương trình , xét các bài toán liên quan đến phương trình có chứa .
Ví dụ 1. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị là đường cong trơn (không bị gãy khúc), hình vẽ bên. Gọi hàm Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
Lờigiải
.
.
Kết luận phương trình có nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2. Cho hàm số có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ bên.
Đặt . Tìm số nghiệm của phương trình .
Lời giải
Ta có:.
.
vDựa vào đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị nên có hai nghiệm phân biệt ; với .
vPT :.
w Dựa vào đồ thị của hàm số thì có ba nghiệm phân biệt.
w Kẻ đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba diểm phân biệt nên phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Nên phương trình có 6 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình có tất cả 8 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:
Tìm số nghiệm của phương trình , biết .
Lời giải
Ta có =0
Dựa vào đồ thị hàm số ta được
+ Phương trình có 3 nghiệm phân biệt là 
+ Phương trình có 4 nghiệm phân biệt
+ Phương trình có 8 nghiệm phân biệt (để tìm nghiệm phương trình ta kẻ đường thẳng , thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 8 điểm phân biệt )
Vậy phương trình có tất cả 15 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 4. Cho hàm số . Tìm số nghiệm của phương trình, biết .
Lời giải:
Tập xác định : 
Ta có: có TXĐ: 
Phương trình 
+) Giải (1) vô nghiệm
+) Giải (2): 
Ta có (3) vô nghiệm. PT(4) ó 
Từ (5) ta có Dựa vào dạng đồ thị của ta có PT chỉ có 1 nghiệm
Ví dụ 5. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ và thỏa mãn đẳng thức sau:. Cho hàm số và . Tìm nghiệm của phương trình .
Lời giải
Với thì .
Vì và đồ thị hàm số đi qua , nên ta có hệ phương trình:
.
Vậy .
Ta có 
Do đó .
.
Vậy .
Ví dụ 6. Cho hàm số . Nếu phương trình có nghiệm phân biệt thi phương trình có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
Lời giải
Giả sử có nghiệm phân biệt là .
Xét 
 .
Khi đó 
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nhiều nhất nghiệm.
7. Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tự ôn luyện
Câu 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau.
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau.
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3. Cho hàm số có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau.
Số nghiệm dương của phương trình là.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau.
Số nghiệm của phương trình là.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 7. Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 8. Cho hàm số có đồ thị như sau. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 9. Cho hàm hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốđể phương trình có nghiệm phân biệt.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 11. Cho hàm số có liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12. Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình dưới
Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 13. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ, biết . Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 14. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây.
Phương trình có bao nhiêu nghiệm thực trên khoảng ?
A. 2.	B. 3.	C. 4.	D. 6.
Câu 15. Cho hàm số bậc ba có đạo hàm là hàm số với đồ thị như hình vẽ sau đây:
Biết rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 16. Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A
B
A
C
D
C
D
C
C
B
C
C
B
A
A
B
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa,sách bài tập 12(cơ bản và nâng cao), NXB Giáo Dục Năm 2007
[2]. Phan huy Khải- Nguyễn Đạo Phương .Các phương pháp giải toán sơ cấp Hình học không gian. Nhà xuất bản Hà Nội Năm 2000.
[3]. IF.Sharygin. Tuyển tập 340 bài toán hình học không gian. Nhà xuất bản tổng hợp Nghĩa Bình Năm 1988.
[4]. Phan Huy Khải .Toán nâng cao hình học lớp 11. Nhà xuất bản Hà Nội Năm 2002.
[5]. Đỗ Thanh Sơn .Phương pháp giải toán hình học 12 theo chủ đề .Nhà xuất bản Giáo dục Năm 2008
[6].Tuyển trọn theo chuyên đề chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT và thi vào ĐH- CĐ môn toán,Nhà xuất bản Giáo dục Năm 2017
[7].  diễn dàn toán học.net
[8]
[9].