Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực giải toán hình học của học sinh THCS bằng sơ đồ phân tích đi lên

Chuyên đề tổ Toán – Tin Trường THCS Thái Hòa
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC CỦA HỌC SINH THCS BẰNG SƠ ĐỒ PHÂN TÍCH ĐI LÊN
1. Thực trạng
 Về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học toán của học sinh còn rất nhiều thiếu sót; đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn. Tỷ lệ học sinh yếu kém còn cao, các em luôn có cảm giác học hình khó hơn học đại số. Tình trạng phổ biến của học sinh khi làm toán là không chịu nghiên cứu kĩ bài toán, không chịu khai thác và huy động kiến thức để làm toán. Trong quá trình giải thì suy luận thiếu căn cứ, trình bày cẩu thả, tuỳ tiện 
 Trong các môn học ở trường phổ thông, học sinh rất ngán học môn toán và “sợ” môn hình học. Học sinh “sợ”môn hình học cũng có lý do của nó, bởi lẽ các em cho rằng hình học là môn học rất khó, trừu tượng cao đối với học sinh bậc trung học cơ sở và bởi đây là môn học đòi hỏi độ chính xác cao, khả năng lập luận tốt. Ngoài ra, môn hình học còn đòi hỏi học sinh phải có trí tưởng tượng, óc suy xét và tư duy logic. Do vây học sinh đều cảm thấy có ít nhiều khó khăn, bởi vì các em chưa biết vẽ hình, lúng túng khi phân tích một đề toán hình. Bởi vậy chất lượng học tập môn hình của các em còn thấp. Qua kinh nghiệm của bản thân và một số đồng nghiệp tôi rút ra được một số nguyên nhân sau:
-Các em còn yếu trong việc vẽ hình hay vẽ hình thiếu chính xác.
-Khả năng suy luận hình học còn hạn chế dẫn đến việc xây dựng kế hoạch giải bài toán hình học còn khó khăn.
-Việc trình bày bài giải của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ, không chặt chẽ.
- Một số em có thể do tâm lý ngại học hoặc sợ môn hình nên càng làm cho bài toán từ dễ trở thành khó. Học sinh chưa biết nghĩ từ đâu? nghĩ như thế nào? cách trình bày, lập luận ra sao ở một bài toán hình? 
- Trong sách giáo khoa bài toán mẫu còn ít, hướng dẫn gợi ý không đầy đủ nên khó tiếp thu. Hơn nữa khối lượng kiến thức, bài tập trong sách giáo khoa khá nhiều đôi khi thầy và trò không làm hết trong thời gian qui định. Kết quả điều tra thực trạng cho thấy: Thực tế, học sinh học phân môn hình học còn yếu về mọi mặt, tỉ lệ học sinh khá, giỏi bộ môn toán hình trong các trường còn hạn chế, khả năng vẽ hình và tư duy sáng tạo của học sinh còn yếu, nên số học sinh yếu kém chiếm tỉ lệ cao số học sinh yêu thích môn hình còn ít.
2. Ý nghĩa của việc sử dụng sơ đồ phân tích đi lên vào dạy học
 Hình học là môn học mang tính trực quan và trừu tượng phần lớn học sinh rất e ngại trong việc học hình học. Học sinh ngại bởi các em đang yếu trong kĩ năng vẽ hình, bế tắc trong việc tìm ra con đường để suy luận chứng minh một vấn đề hình học, các em chưa nắm bắt được để chứng minh vấn đề hình học đó phải xất phát từ đâu. Để giúp các em vượt qua được những khó khăn trở ngại trong việc học hình học như đã nêu ở trên thì người thầy phải giúp các em tháo gỡ các khó khăn đó. Sử dụng sơ đồ phân tích đi lên giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc nắm bắt bài học đặc biệt giúp các em tìm ra con đường giải quyết vấn đề.
 Dạy học toán thì hoạt động dạy khái niệm, dạy định lí và giải các bài tập là cơ bản. Sử dụng sơ đồ phân tích đi lên gắn liền với dạy học định lí và giải bài tập. Dạy học định lí và bài tập dựa theo hai con đường suy diễn và con đường có khâu suy đoán. Chẳng hạn cần chứng minh một mệnh đề A nào đó người giáo viên phải giúp học sinh tìm ra là các em cần phải chứng minh mệnh đề Bc/m CD.M( mà mệnh đề M đã cho trước hoặc dễ dàng chỉ ra được). Trong dạy học hình học THCS sử dụng sơ đồ phân tích đi lên này giúp học sinh tìm ra con đường suy luận chứng minh đơn giản và giải quyết vấn đề dễ dàng. Điều này giúp các em sẽ không còn e ngại học phân môn hình học nữa và các em ngày càng yêu thích hình học hơn, giúp các em giải quyết các bài tập hình một cách đơn giản hơn đồng thời phát huy khả năng tự học tự tìm hiểu cho các em.
 Có thể nói rằng, phương pháp phân tích đi lên và sử dụng sơ đồ phân tích đi lên luôn có tác dụng gợi mở, tác động mạnh đến tư duy của học sinh (bao gồm cả tư duy logic và tư duy tổng hợp). Từ đó giúp các em hệ thống và nhớ được các kiến thức liên quan đã học trước đó. Trong quá trình giải bài tập, các em vừa đi tìm đáp số vừa có dịp hồi tưởng lại kiến thức mình đã học mà có khi không nhớ hết. Do đó khi dựa vào sơ đồ phân tích đi lên, học sinh dễ hiểu bài và có kĩ năng trình bày bài toán chứng minh chặt chẽ hơn.
 	Trong dạy học hình học sử dụng sơ đồ phân tích đi lên này giúp học sinh tìm ra con đường suy luận chứng minh đơn giản và giải quyết vấn đề một cách dễ dàng hơn. Điều này sẽ giúp các em không còn e ngại trong việc học phân môn hình học nữa mà ngược lại các em ngày càng yêu thích môn học này hơn, giúp các em giải quyết các bài tập hình một cách đơn giản hơn đồng thời phát huy khả năng tự học, tự tìm hiểu cho các em.
 Dựa vào sơ đồ phân tích đi lên trong chứng minh hình học không chỉ giúp học sinh tiếp thu kiến thức dễ dàng sâu sắc mà còn giúp học sinh chủ động tự tìm ra con đường để giải một bài toán hình học chính xác.
 Sơ đồ phân tích đi lên là phương tiện hỗ trợ đắc lực cho việc phát triển tư duy sáng tạo trong toán học của học sinh. 
3. Phần nội dung.
3.1 Sơ đồ phân tích đi lên
A( Mệnh đề cần chứng minh)	
B
C
M ( Mệnh đề đúng đã được chứng minh hoặc dễ dàng có từ giả thiết)
3.2 Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
Muốn có mệnh đề A ta phải có điều gì? Trả lời: Mệnh đề B
Muốn có mệnh đề B ta phải có điều gì? Trả lời: Mệnh đề C
Muốn có mệnh đề C ta phải có điều gì? Trả lời: Mệnh đề D
Muốn có mệnh đề  ta phải có điều gì?
Mệnh M đề đã có sẵn ở đâu?
3.3 Một số ví dụ và bài tập
Ví dụ 1: Chứng minh định lí 2 tr.73 SGK Toán 8 tập I: “Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau”
Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
Sơ đồ phân tích
3. Để chứng minh hai tam giác đó bằng nhau ta cần có các điều kiện nào? 
2. Để chứng minh hệ thức đó ta cần chứng minh hai tam giác nào bằng nhau?
1. Theo định lí ta cần chứng minh điều gì?
DC : cạnh chung
 = 
AD = BC
∆ADC = ∆BDC
AC = BD
Ví dụ 2: Chứng minh định lí 2 tr.77 SGK Toán 8 tập I: “Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy”.
Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
Sơ đồ phân tích
6.Để c/m và AD = CF ta cần c/m hai tam giác nào bằng nhau?
5.Để c/m BD // CF ta cần chứng minh hai góc nào bằng nhau?
4.Để c/m DBCF là hình thang có DB = CF ta cần c/m điều gì?
3.Để c/m DF // BC và DF = BC ta cần c/m tứ giác nào là hình thang? Và hình thang đó cần có thêm điều kiện gì?
2.Ta có DE = DF, vậy để c/m DE // BC và DE = BC ta cần chứng tỏ điều gì?
1.Định lí yêu cầu ta c/m điều gì?
∆AED = ∆CEF
 và AD = CF
BD // CF và AD = CF
DBCF là hình thang có DB = CF
DF // BC và DF = BC
DE // BC và DE = BC
Ví dụ 3: Bài tập 22 tr.80 SGK Toán 8 tập I: Cho hình vẽ:
 Chứng minh rằng: AI = IM. 
Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
Sơ đồ phân tích
4. Vì sao hai đoạn thẳng đó song song với nhau?
3. Để c/m I là trung điểm của AM ta cần c/m thêm điều gì?
2. Để c/m hai đoạn thẳng đó bằng nhau ta cần chứng tỏ điều gì?
1. Bài toán yêu cầu ta chứng minh điều gì?
EM là đường trung bình của tam giác BDC
DC // EM
I là trung điểm của AM
AI = IM
 Ví dụ 4: Bài tập 49 tr.93 SGK Toán 8 tập I: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng: 
 a) AI // CK
 b) DM = MN = NB
Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
Sơ đồ phân tích
a)
4. vì sao AK // CI?
3. Để c/m AKCI là hình bình hành ta cần có thêm điều kiện gì?
2. Để chứng minh hai đoạn thẳng đó song song ta cần c/m điều gì?
1. Bài toán yêu cầu ta chứng minh điều gì?
ABCD là hình bình hành
AK // CI
AKCI là hình bình hành
AI // CK
b)
4. Vì sao các đoạn thẳng đó song song với nhau?
3. Để c/m DM = MN ta cần chứng tỏ thêm điều gì? (hỏi tương tự với MN = NB)
2. Để chứng minh ba đoạn thẳng đó bằng nhau ta cần chứng minh điều gì?
1. Bài toán yêu cầu ta chứng minh điều gì?
AI // CK
IM // CN và KN // AM
DM = MN và MN = NB
DM = MN = NB
 Ví dụ 5: Bài tập 20 tr.68 SGK Toán 8 tập II: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng OE = OF.
Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
Sơ đồ phân tích
6. Vì sao ta có ?
5. Ta có AC = AO + OC, BD = BO + OD, vậy để c/m ta cần c/m những đoạn thẳng nào tỉ lệ?
4. Vậy để c/m ta cần chứng tỏ điều gì?
3. Các tỉ số còn bằng các tỉ số nào?
2.Ta có EF // BC, vậy để chứng minh OE = OF ta cần chứng minh hai tỉ số nào bằng nhau?
1. Bài toán yêu cầu chứng minh điều gì?
AB // DC
Mà 
OE = OF
Ví dụ 6: Chứng minh định lí 2 trang 65 SGK toán 9 tập 1
Định lí: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Bước 1: Dùng phương pháp nêu vấn đề để nêu ra nội dung định lí
Bước 2: Giải quyết vấn đề ( chứng minh định lí)
	 Chứng minh hệ thức :
	 h2 = b’.c’
h
Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
Sơ đồ phân tích
Theo định lí ta cần chứng minh hệ thức nào ? 
Muốn có hệ thức đó ta cần chứng minh 
tỉ lệ thức nào?
Muốn có tỉ lệ thưc đó ta cần chứng minh hai tam giác nào đồng dạng với nhau?
Muốn có hai tam giác đó đồng dạng ta cần chỉ ra điều gì ?
~
 (cùng phụ với)
Ví dụ 7: Chứng minh định lí 2 trang 103 SGK toán 9 tập 1
Định lí: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Bước 1: dùng phương pháp nêu vấn đề đưa ra nội dung định lí
Bước 2: Giải quyết vấn đề ( chứng minh định lí)
Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
Sơ đồ phân tích
Muốn chứng minh I là trung điểm của CD ta phải chứng minh là ta giác gì ?
Muốn chứng minh cân ta cần chỉ ra điều gì ?
Vì sao có OC = OD ?
cân
m
Ví dụ 8: Chứng minh định lí trang 114 SGK toán 9 tập 1
Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến .
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
Bước1: Dùng phương pháp nêu vấn đề đưa ra định lí
Bước 2: Giải quyết vấn đề ( chứng minh định lí)
Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
Sơ đồ phân tích
Để chứng minh các đoạn thẳng đó bằng nhau và các góc đó bằng nhau ta cần chứng minh hai tam giác nào bằng nhau ? 
Muốn có hai tam giác đó bằng nhau ta cần chỉ ra điều gì ?
OB = OC
AB= AC
AOB = AOC
BAO = CAO
cạnh chung
Ví dụ 9: Bài tập 21 trang 111 SGK toán 9 tập 1
Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC =4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn
GV yêu cầu HS đọc kĩ đề ra và vẽ hình, giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh bài toán bằng hệ thống câu hỏi và sơ đồ
Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
Sơ đồ phân tích
Để chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA) ta cần chứng minh điều gì ?
Muốn chứng minh ta cần chứng minh ACB bằng bao nhiêu ?
Để chứng minh BAC = 900 ta cần chứng minh tam giác ABC là tam giác gì ?
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần chứng minh hệ thức nào ? 
AC là tiếp tuyến (B; BA)
ACBA
BAC = 900
ABC vuông tại A
BC2 = AB2 + AC2
(định lí py ta go đảo)
mà 52 = 32 + 42
Ví dụ 10: Bài tập 26 (a, b) trang 115 SGK toán 9 tập 1
Đề bài: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
GV yêu cầu đọc đề vẽ hình bài toán 
Chứng minh
Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
Sơ đồ phân tích
a)Cách 1:
Để chứng minh OA vuông góc với BC ta có thể chứng minh OA là đường gì của đoạn thẳng ?
Muốn chứng minh OA là đường trung trực của BC ta cần chỉ ra điều gì ? 
OABC
OA là đường trung trực của BC
AB = AC
OB = OC
Cách 2:
Để chứng minh OABC ta cần chứng minh ABC cân và điều gì nữa ?
Tam giác ABC cân vì sao ?
OA là phân giác của BAC theo tính chất nào ?
OABC
ABC cân tại A và OA là phân giác của BAC 
Vì AB = AC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
và OA phân giác của BAC
(T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
b) Cách 1:
Ta có OABC vậy muốn chứng minh BD//AO ta cầo chứng minh thêm điều gì ?
Muốn có BD AO thì ta cần chứng minh tam giác BCD là tam giác gì ?
Muốn chứng minh tam giác BCD vuông tai B ta cần chỉ ra điều gì ?
Cách 2:
Để chứng minh BD//AO ta có thể chứng minh BD song song với đoạn nào ?
Muốn chứng minh BD//OH ta cần chứng minh OH là đường gì của tam giác BCD ?
Muốn có OH là đường trung bình BCD ta cần chỉ ra điều gì ?
BD//AO
OABC(c/m trên)
BD AO
BCD vuông tại B
Cách 2:
BD//AO
BD//OH
HO là đường trung bình BCD 
OB=OD(bán kính)
HB=HC (c/m trên)
Ví dụ 11: Bài tập 39 trang 123 SGK toán 9 tập 1
Đề ra: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B(O), C(O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.
Chứng minh rằng BAC = 900
Tính số đo góc OIO’.
Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
Sơ đồ phân tích
a) chứng minh BAC = 900
Để chứng minh BAC bằng 900 ta cần chứng minhABC là tam giác gì ?
Muốn chứng minhABC vuông tại A theo tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông ta cần có điều gì ?
BC
2
Muốn cóIB=IC;IA = ta cần chỉ ra điều gì ?
BAC =900
ABC vuông tại A
BC
2
IB=IC;IA= 
IA=IB; IA=IC
b) Tính OIO’
Em thấy góc OIO’ là góc gì ?
Để chứng minh góc OIO’ là góc vuông ta cần chứng minh hai đoạn thẳng nào vuông góc với nhau ?
Muốn chứng minh OIIO’ thì chúng ta cần chỉ ra điều gì ?
OIO’=900
OIIO’
OI và O’I là phân giác của hai góc kề bù AIB và AIC
Ví dụ 12: Cho ba điểm A, C, B thẳng hàng. Trên nử mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm E. Tia vuông góc với CE tại C cắt By tại K. Đường tròn đường kính EC cắt EK tại P.
Chứng minh AE.BK = AB.CB
Chứng minh APB vuông
Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
Sơ đồ phân tích
a) Chứng minh AE. BK = AC.BC
Muốn chứng minh đẳng thức này ta cần chỉ ra tỉ lệ thức nào ?
Hai tỉ số đó bằng nhau khi hai tam giác nào đồng dạng ?
Muốn chỉ ra hai tam giác vuông này đồng dạng ta cần chỉ ra cặp góc nào bằng nhau ?
Tại sao hai góc này bằng nhau ?
~
b) Chứng minh APB vuông
Để chứng minh APB vuông ta cần chứng minh góc nào vuông ?
Để chứng minh APB =900 thì tồng các góc nào bằng 900 ?
Muốn có điều đó thì các cặp góc nào bằng nhau ?
Các cặp góc đó bằng nhau xuất phát từ điều gì ?
Muốn chứng minh tứ giác PCBK nội tiếp ta cần chỉ ra điều gì ?
Muốn có CPK = 900 thì ta cần có góc nào vuông ?
APB vuông
APB =900
CPA + CPB = CEA + ACE =900
CPB =ACE
CPA=CEA
CPB=CKB
CKB=ACE
PCBK nội tiếp
ACE ~BKC (c/m trên)
CPK =900
EPC =900