Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NGÃI 
TRƯỜNG THCS – DTNT BA TƠ 
========== 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN MỚI TỪ 
BÀI TOÁN BAN ðẦU 
 Môn : TOÁN 
 Người thực hiện: Trần Ngọc Duy 
 Giáo viên: Trường THCS – DTNT Ba Tơ 
Năm học : 2005 - 2006 
 Sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển bài toán mới từ bài toán ban ñầu” 
 Trần Ngọc Duy Trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 2 
MỞ ðẦU 
 Vì sao phải soạn thêm các câu hỏi và bài tập mới ? 
húng ta ñã biết hệ thống câu hỏi và bài tập trong sách giáo khoa và 
sách bài tập ñã ñược biên soạn và chọn lọc, sắp xếp một cách công 
phu và có dụng ý rất sư phạm, rất phù hợp với trình ñộ kiến thức và 
năng lực của học sinh, phản ảnh phần nào thực tiễn ñời sống xã hội 
và học tập gần gũi với học sinh, phù hợp với tâm lý lứa tuổi học sinh. 
Tuy nhiên, SGK và SBT là tài liệu dành cho tất cả học sinh thành thị cũng như 
nông thôn, miền núi cũng như miền xuôi, vùng kinh tế phát triển cũng như vùng 
gặp khó khăn  với các ñặc trưng khác nhau. Vì vậy ñể có những bài tập phù 
hợp với yêu cầu của từng tiết dạy, phù hợp với từng ñối tượng học sinh của 
mình, phù hợp với hoàn cảnh thực tế ñịa phương mình, ngoài việc khai thác triệt 
ñể các bài tập trong SGK, SBT. Giáo viên phải tự mình biên soạn thêm những 
câu hỏi và bài tập mới. 
 Trong việc ra ñề kiểm tra chất lượng ñầu năm, kiểm tra học kì , thi lên 
lớp, thi chọn học sinh giỏi  thì Giáo viên ra ñề cần phải có năng lực sáng 
tác các ñề Toán mới vừa ñáp ứng ñược các yêu cầu kiểm tra, ñánh giá vừa ñảm 
bảo tính khách quan, công bằng và bí mật ( vì các ñề này không nằm trong bất 
cứ tài liệu nào ñã có ). 
 Hơn nữa, ta ñã biết “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, 
tự giác chủ ñộng, tư duy sáng tạo của người học: Bồi dưỡng năng lực tự học, 
lòng say mê học tập và ý chí vương lên “ ( Luật GD 1998, chương I , ñiều 4). ðó 
là một trong những ñịnh hướng quan trọng ñổi mới phương pháp dạy học Toán 
là rèn luyện cho HS năng lực phát hiện và giải quyết vấn ñề. Muốn vậy, GV phải 
bồi dưỡng cho HS phải có kĩ năng tự học ñộc lập, thực chất là thói quen ñộc lập 
suy nghĩ, suy nghĩ sâu sắc khoa học. Một hình thức cao của công việc học tập 
 C
 Sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển bài toán mới từ bài toán ban ñầu” 
 Trần Ngọc Duy Trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 3 
ñộc lập ñòi hỏi nhiều sáng tạo là việc HS tự ra lấy ñề toán. Hình thức này yêu 
cầu HS phải nắm vững kiến thức, phải có thực tế, phải có trình ñộ phân tích tổng 
hợp cao ñể làm sao vừa ñặt vấn ñề vừa giải quyết vấn ñề thích hợp và trọn vẹn. 
Việc cho HS tự ra lấy ñề Toán là một trong những biện pháp gắn liền nhà trường 
với cuộc sống, tạo ñiều kiện sau này có khả năng vận dụng kiến thức. 
Toán học ñể giải quyết thành thạo những vấn ñề do cuộc sống thực tế ñặt 
ra. ðó cũng là biện pháp ñể bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho HS trong quá trình ñi 
tìm cái mới, các phẩm chất tư duy sáng tạo ñược nảy nở và phát triển. 
 Muốn rèn luyện cho HS khả năng tự ñặt ra các ñề Toán mới theo những 
yêu cầu nào ñó, bản thân GV phải có ý thức tự rèn luyện cho mình khả năng 
này. Việc rèn luyện này sẽ giúp nâng cao tiềm lực của mỗi GV làm cho chúng 
ta cảm thấy vững vàng và tự tin hơn trong quá trình dạy học. 
CƠ SỞ KHOA HỌC 
 Sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển bài toán mới từ bài toán ban ñầu” 
 Trần Ngọc Duy Trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 4 
 KHI TẠO RA BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI 
TOÁN BAN ðẦU 
Bài Toán mới có thể là bài Toán hoàn toàn mới, cũng có thể là sự mở 
rộng, ñào sâu những bài Toán ñã biết. Thực chất khó có thể tạo ra một bài Toán 
hoàn toàn không có quan hệ gì về nội dung hoặc về phương pháp với những bài 
Toán ñã có. 
 Vì vậy ñể tạo ra một bài Toán mới từ bài Toán ban ñầu thì phải tuân theo 
các con ñường sau: 
1. Lập bài Toán tương tự . 
2. Lập bài Toán ñảo. 
3. Thêm một số yếu tố rồi ñặc biệt hóa. 
4. Bớt một số yếu tố rồi khái quát hóa. 
5. Thay ñổi một số yếu tố. 
NỘI DUNG 
 Chúng ta bắt ñầu từ bài toán sau: 
 Cho a, b Z∈ , b > 0 . So sánh hai số hữu tỉ 
b
a
 và 
2001
2001
+
+
b
a
 ( Bài 9, trang 4 SBT Toán 7, tập một NXB Giáo dục 2003 ) 
 Bài Toán này chúng ta ñã có lời giải sau 
 Xét tích a(b+2001) = ab + 2001a 
 b(a+2001) = ab + 2001b 
 Sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển bài toán mới từ bài toán ban ñầu” 
 Trần Ngọc Duy Trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 5 
 Vì b>0 nên b + 2001 > 0 
- Nếu a>b thì ab + 2001a > ab + 2001b 
 a(b + 2001) > b(a + 2001) 
2001
2001
+
+
>⇒
b
a
b
a
- Tương tự, nếu a<b thì 
2001
2001
+
+
<⇒
b
a
b
a
- Nếu a=b thì rõ ràng 
2001
2001
+
+
=
b
a
b
a
ðiều ñó cho ta bài toán mới tương tự như bài toán trên 
Bài 1: Cho a,b Z∈ , b > 0 . So sánh hai số hữu tỉ 
b
a
 và 
2005
2005
+
+
b
a
 ðến ñây chúng ta cũng ñến bài toán tổng quát sau. 
Bài 2: Cho a,b Z∈ , b > 0 và n *N∈ . So sánh hai số hữu tỉ 
b
a
 và 
nb
na
+
+
 Giải: 
 Xét tích a(b+n) = ab + an 
 b(a+n) = ab + bn 
 Vì b > 0 và n *N∈ nên b + n > 0 
- Nếu a>b thì ab + an > ab + bn 
 a(b + n) > b(a + n) 
 ⇒ 
nb
na
b
a
+
+
> 
 - Tương tự, nếu a<b thì ⇒ 
nb
na
b
a
+
+
< 
 - Nếu a=b thì rõ ràng 
nb
na
b
a
+
+
= 
 Từ lời giải của bài toán này chúng ta lại có bài toán mới sau 
Bài 3: Cho a,b Z∈ , b>0 và n *N∈ . CMR: 
a) Nếu 1>
b
a
 thì 
nb
na
b
a
+
+
> 
b) Nếu 1<
b
a
 thì 
nb
na
b
a
+
+
< 
 Giải: 
a) Ta có 1>
b
a
 ⇔ a > b 
 ⇔ an > bn vì n *N∈ 
 ⇔ ab + an > ab + bn 
 ⇔ a(b+n) > b(a+n) 
 ⇔ 
nb
na
b
a
+
+
> 
b) Chứng minh tương tự như câu a. 
 Sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển bài toán mới từ bài toán ban ñầu” 
 Trần Ngọc Duy Trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 6 
ðiều này cho ta ñề xuất các bài toán lạ sau ñây: 
Bài 4: So sánh hai phân số 
a) 
1931
1941
 và 
1995
2005
b) 
1945
1930
 và 
2005
1990
 Giải: 
a) Ta có: 
1931
1941
>1 nên theo bài 3 a) Suy ra 
1931
1941
>
641931
641941
+
+
=
1995
2005
b) Ta có: 1
1945
1930
< nên theo câu 3 b) Suy ra 
1945
1930
<
601945
601930
+
+
= 
2005
1990
Bài 5: So sánh hai số hữu tỉ sau: 
a) A = 
11975
11975
1975
1976
+
+
 và B = 
11975
11975
1974
1975
+
+
b) C = 
12005
12005
2005
2004
+
+
 và D = 
12005
12005
2004
2003
+
+
Giải: 
a) Rõ ràng A>1 vì theo câu a bài 3 
Ta có: A =
11975
11975
1975
1976
+
+
> 19751975
19751975
1974)11975(
1974)11975(
1975
1976
1975
1976
+
+
=
++
++
 =
11975
11975
)11975(1975
)11975(1975
1974
1975
1974
1975
+
+
=
+
+
= B 
 Vậy : A>B 
b) Rõ ràng C<1 vì theo câu b bài 3. 
Tacó:
)12005(2005
)12005(2005
20052005
20052005
2004)12005(
2004)12005(
12005
12005
2004
2003
2005
2004
2005
2004
2005
2004
+
+
=
+
+
=
++
++
<
+
+
=C
 = D=
+
+
12005
12005
2004
2003
 Vậy: C<D 
 Sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển bài toán mới từ bài toán ban ñầu” 
 Trần Ngọc Duy Trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 7 
 Từ cách giải của bài toán này ta có bài toán tổng quát sau 
Bài 6: Với n,m *N∈ . So sánh hai số hữu tỉ 
 a) A = 
1
11
+
++
n
n
n
n
 và B = 
1
1
1 +
+
−n
n
n
n
 b) C = 
1
1
1 +
+
+m
m
m
m
 và D = 
1
11
+
+−
m
m
m
m
 Giải: 
a) - Nếu n =1 thì A = B. 
- Nếu n > 1 thì ta thấy A>1. Vì nn+1+1 > nn+1 
 Theo bài 3 câu a . Ta có: 
 B
n
n
nn
nn
nn
nn
nn
nn
n
nA
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
−++
−++
>
+
+
=
−−
+++
1
1
)1(
)1(
)1()1(
)1()1(
1
1
11
111
 Vậy: A>B. 
b) - Nếu m = 1 thì C = D. 
- Nếu m > 1 thì ta thấy C<1. Vì mm+1<mm+1+1 
Theo bài 3 câu b. Ta có 
D
m
m
mm
mm
mm
mm
mm
mm
m
mC
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
−++
−++
<
+
+
=
−−
+++ 1
1
)1(
)1(
)1()1(
)1()1(
1
1 11
111 
 Vậy: C<D 
Từ cách giải của bài 6 giúp ta ñến với bài toán tổng quát hơn khái 
quát hơn. 
Bài 7: Cho a, b, m, n, x, y *N∈ thỏa mãn x ≥a, y≥ b . So sánh hai số hữu tỉ 
 a) A = 
ax
ax
n
n
+
++1
 và B = 
ax
ax
n
n
+
+
−1 
 b) C = 
by
by
m
m
+
+
+1 và D = by
by
m
m
+
+−1
 Bài Toán có còn gì nữa chăng ! 
 Sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển bài toán mới từ bài toán ban ñầu” 
 Trần Ngọc Duy Trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 8 
 Sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển bài toán mới từ bài toán ban ñầu” 
 Trần Ngọc Duy Trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 9 
KẾT LUẬN 
=============== 
 Biết rằng bài Toán này ñã ñược phát triển từ bài toán ñã có. Nhưng nó 
ñã nâng lên một bước phát triển mới trong phương pháp giảng dạy hiện nay. 
Khởi ñầu của sự sáng tạo mới của GV bộ môn ñưa ñến cho HS tiếp thu những 
cái mới lạ, tạo hứng thú trong học tập và phát triển tư duy Toán học. 
 Trên ñây là nội dung sáng kiến mà bản thân tôi ñã tích luỹ ñược trong 
quá trình giảng dạy. Vì khả năng và thời gian có hạn nên sáng kiến này xin 
ñược tạm dừng ở ñây. 
 Rất mong sự góp ý của các ñồng chí, ñồng nghiệp ñể sáng kiến này ñược 
phát huy tốt hơn. 
 Ba Tơ, ngày 20 tháng 10 năm 
2005. 
 NGƯỜI VIẾT 
 Trần Ngọc Duy