Sáng kiến kinh nghiệm Phát huy trí lực học sinh trong giảng dạy môn Toán

sáng kiến kinh nghiệm 
 “ ph¸t huy trÝ lùc häc sinh 
 trong gi¶ng d¹y m«n to¸n”
LỜI NÓI ĐẦU
Phát hiện và bồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong dạy học nhất là các môn khoa học tự nhiên đặc biệt là môn toán, nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh trong quá trình giải toán và phát hiện những học sinh có năng lưc về toán học. Đúng như tên gọi của tiêu đề, sáng kiến nhằm tổng hợp đưa ra các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức có tính chất chọn lọc và hướng phát triển bài toán này ở trường trung học cơ sở 
Để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học sinh nhiều phương pháp giải những dạng toán khó đã được xây dựng ,một trong những dạng toán đó là dạng toán chứng minh bất đẳng thức và việc phát triển của các bài toán này trong trường trung học cơ sở, nhưng việc biên soạn bài toán này ở các cuốn sách không được tập chung chưa hoàn chỉnh và hệ thống còn hạn chế về phương pháp giải.Với mục đích hệ thống, xây dựng cô đọng những phương pháp giải, hướng phát triển các bài toán, vận dụng kết quả của bài toán này vào giải quyết một số bài toán khác, nhằm mục đích đưa ra một tài liệu cho học sinh, giáo viên tìm hiểu tham khảo thêm và cũng là một tài liệu giúp cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi của giáo viên được tốt hơn
Với rất nhiều mục đích mà sáng kiến đưa ra, nhưng với thời gian, kiến thức và kinh nghiệm của bản thân còn khiêm tốn ,việc biên soạn còn phụ thuộc vào nhiều tài liệu liên quan của các nhà viết sách, chắc chắn nội dung của sáng kiến còn chưa phong phú. Nhưng với sự cố gắng của bản thân chắc chắn sáng kiến là một tài liệu quan trọng cho những người quan tâm đến việc dạy và học Toán
Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của bạn đọc để sáng kiến được hoàn thiện hơn giúp ích cho việc dạy và học toán .
A/ CƠ SỞ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM :
1. Cơ sở lý luận :
- Với mục tiêu phát hiện ,bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực về toán từ đó xây dựng cho học sinh kỹ năng nhận dạng và giải toán 
- Thúc đẩy việc tim hiểu mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng như của học sinh 
- Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng toán khó ở cấp học THCS
- Với nội dung của đề tài không chỉ phù hợp với những học sinh khá giỏi mà những học sinh yếu hơn vẫn có thể tham khảo được 
- Việc vận dụng của đề tài không những giới hạn ở cấp học THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn
2. Cơ sở thực tế
- Thực tế chương trình SGK chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung và phương pháp của một số dạng toán khó ,thường chỉ mang tính chất giới thiệu chưa sâu
- Những học sinh muốn tìm hiểu thêm còn lúng túng trong việc tìm tài liệu nghiên cứu 
- Việc tìm hiểu của giáo viên ở một số chuyên đề ở một số tài liệu còn chưa tập chung và còn mất nhiều thời gian
- Cần thiết phải xây dựng một số chuyên đề về toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học toán được tốt hơn
- Cần phát triển cao hơn , đầy đủ hoàn thiện hơn một số dạng toán cơ bản ở trường THCS
- Việc viết sáng kiến là một định hướng của ngành 
B/ MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU
1. Mục đích 
- Giới thiệu đầy đủ về phương pháp giải và nội dung một dạng toán cơ bản ở cấp học THCS
- Làm cho học sinh yêu thích môn toán hơn,mong muốn được tìm hiểu nghiên cứu sự thú vị và phong phú của môn Toán
- Phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán
- Rèn luyện khả năng tư suy luận lôgic ,phát triển trí tuệ
- Làm tài liệu tham khảo giáo viên và học sinh nghiên cứu thêm
- Ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác
- Phát triển bài toán nhằm nâng cao năng lực tư duy tự học của học sinh
2. Yêu cầu 
- Nắm vững được những định nghĩa , tính chất và một số bất đẳng thức cơ bản
- Hệ thống hoá các kiến thức và phương pháp giải bài toán về bất đẳng thức 
- Có những kỹ năng cần thiết khi biến đổi và chứng minh bất đẳng thức cơ bản
- Có sự đam mê tìm hiểu ,nghiên cứu ,sáng tạo trong việc dạy và học Toán 
C/ NỘI DUNG CHÍNH 
I/ H­íng ®·n cho häc sinh x©y dung bµi to¸n míi tõ mét bµi to¸n trong sgk 
 Bµi to¸n : T×m ph©n sè cã c¸c tÝnh chÊt sau :
 ©) Tö sè cña ph©n sè ®ã lµ mét sè tù nhiªn cã mét ch÷ sè
 b) HiÖu gi÷a tö sè vµ mÉu sè b»ng 4
 c)NÕu gi÷ nguyªn tö sè vµ viÕt thªm vapf bªn ph¶I cña mÉu sè mét ch÷ sè ®óng b»ng tö sã, th× ta ®­îc mét ph©n sè b»ng ph©n sè 
§©y lµ bµi tËp ¸p dông kiÕn thøc vÒ gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn .ViÖc chän Èn, ph©n tÝch ®Ó lËp ®­îc ph­¬ng tr×nh ®èi häc sinh kh«ng ph¶i lµ khã, nh­ng khi gi¶i ph­¬ng tr×nh chän nghiÖm phï hîp vµ tr¶ lêi cã mét sè häc sinh gÆp khã kh¨n lóng tóng 
Lêi gi¶i trong SGV
Gäi tö sè lµ x ; x vµ 4< x < 10.Suy ra mÉ sè lµ x – 4
Ph©n sè ph¶I t×n lµ 
NÕu thªm vµo bªn ph¶i cña mÉu sè mét ch÷ sè ®óng b»ng tö sè th× ta cã mÉ sã míi lµ 10(- 4) +x= 11x-40
Khi ®ã ta cã ph©n sè míi lµ 
Theo bµi rat a cã ph­¬ng tr×nh lµ =
Gi¶I ph­¬ng tr×nh ta ®­îc nghiÖm lµ x= .Nh­ng nghiÖm nµy kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn bµi ra . VËy kh«ng cã ph©n sè nµo th¶ m·n yªu cÇu cña bµ tËp 
VÊn ®Ò mµ häc sinh gÆp khã kh¨n lóng tóng lµ nghiÖm x= kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn x vµ 4< x < 10 nªn kh«ng tr¶ lêi ®­îc kÕt luËn cña bµi to¸n . LÝ do lµ c¸c em quen víi c¸c bµi to¸n cã kÕt qu¶ phï hîp víi ®Ò bµi nªn gÆp bµi to¸n nµy nhiÒu em kh«ng tr¶ lêi ®­îc 
§Î cã nghiÖm phï hîp víi ®iÒu kiÖn c¶ bµi to¸n c¸c em h·y thay ®æi hoÆc bæ sung mét gi¶ thiÕt cña ®Ò bµi
KÕt qu¶ c¶c häc sinh nh­ sau :
Nhãm :1 G÷I nguyªn gi¶ thiÕt a) Vµ b) tay ®æi gi¶ thiÕt c) nh­ sau . Thay ph©n sè 
 b»ng ph©n sè hoÆc ph©n sè 
Nhãm :2 Gìi nguyªn gi¶ thiÕt a) vµ c) thay ®æi gi¶ thiÕt b) nh­ sau . HiÖu gi÷a tö sè vµ mÉu sè b»ng 3 
Yªu cÇu häc sinh lÝ gi¶i c¬ së ®Ó cã sù thay ®æi gi¶ thiÕt ®ã 
LÝ gi¶i cu¶ nhãm :1 NÕu ta thay b»ng ph©n sè (m>0) xuÊt ph¸t tõ ph­¬ng tr×nh = ®­îc thay b»ng ph­¬ng tr×nh = m.x= 11x-40 
(11 – m)x = 40 x= (vãi m 11)
§Ó nghiÖm x tho· m·n ®iÒu kiÖn x vµ 4< x < 10 th× (11-m) cã gi¸ trÞ ph¶i lµ sè tù nhiªn thuéc tËp ¦(40) vµ ph¶I cã 4< 11-m< 10 .khi ®ã ta cã 11- m = suy ra gi¸ trÞ m = T]f ®ã t×m ®­îc gi¸ trÞ x=8 hoÆc x=5 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n) .Do ®ã ph©n sè ®­îc thay ë c©u gi¶ thiÕt c)
 ph¶i lµ ph©n sè hoÆc ph©n sè 
LÝ gi¶i cña nhãm :2 NÕu ta thay hiÖu gi÷a tö vµ mÉu lµ 4 b¨ng hiÖu gi÷a tö vµ mÉu lµ k th× x-4 ®­îc thay b»ng x- k víi k<x . Khi ®ã ta cã ph­ng tr×nh lµ = 11x -10k =5x x= .Do x lµ sè tù nhiªn cã mét ch÷ sè vµ 4<x<10nªn ®iÒu kiÖn cña k lµ 2<k<6, mµ 5 vµ 3 lµ hai sè ng­yªn tè cïng nhau nªn suy ra k=3 .Tõ ®ã ta t×m ®­îc nghiÖm x= 5 tho¶ m·n yªu cÇu cña bµi to¸n
TiÕp nèi c¸h ®Æt vÊn ®Ò nh­ trªn tiÕp tôc cho häc sinh thay ®æi gi¶ thiÕt a) víi c©u sau “NÕu ta thay ®æi gi¶ a) tö sè lµ sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè th× c¸c gi¶ thiÕt b) vµ c) sÏ nh­ thÕ nµo ®Ó bµi to¸n cã nghiÖm phï hîp (lµ t×m d­îc ph©n sè tho¶ m·n yªu cÇu )’’ .Nãi c¸ch kh¸c ta ph¶i thay ®æi hai gi¶ thiÕt cña bµi to¸n vµ khi ®ã chóng ta cã bµi to¸n míi nh­ thÕ nµo?
 KÕt qu¶ cu¶ nhãm :3 Do tö sè cã hai ch÷ sè nªn khi ta thªm vµo bªn ph¶I cña mÉu sè mét sè b»ng tö sè h× sÏ ®­îc mÉ sè míi lµ 100(x-4)+x=101x-400 . Khi ®ã ta cã ph­¬ng tr×nh : ( kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi ra) ,Do ®ã ta ph¶i tiÕp tôc thay ®æi thªm gi¶ thiÕt b) hoÆc gi¶ hiÕt c) .NÕ thay ®æi gi¶ thiÕt c) b»ng c¸h lÝ luËn t­¬ng tù nh­ nhãm 1 ta hu ®­îc 
Thay ph©n sè b»ng ph©n 
Bµi to¸n míÝ lµ “T×m ph©n sè cã c¸c Ýnh chÊt sau :
Tö sè cña ph©n sè ®ã lµ lµ sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè 
HiÖu gi÷a tö sè vµ mÉu b»ng 4
NÕu gi÷ nguyªn tö sè vµ viÕt thªm vµo bªn ph¶i cña mÉu sè mét ch÷ sè ®óng b»ng tö sè, th× ta ®­îc mét ph©n sè b»ng ph©n sè hoÆc 
 Víi c¸ch ®Æ vÊn ®Ò nh­ vËy häc sinh sÏ tù x©y dùng ®­îc mét lo¹t c¸c bµi to¸n b¾t nguån tõ bµi tËp trªn 
II/Tõ mét bµi o¸n quen thuéc , bµi to¸n dÔ nh­ng víi nh÷ng ý t­ëng s¸ng t¹o gióp häc sinh ®i ®Ðn nh÷ng bµi to¸n khã 
Bµi to¸n A: Chøng minh r»ng m2 – mn +n2 0 víi mäi m;n 
H­íng dÉn gi¶i
 m2 – mn +n2 =( m2 – mn+)+3=(m-)2 +30
NhËn ra r»ng nÕu cho m=x-1 ;n=1-y th× cã (x-1)2 –(x-1)(1-y)+(1-y)2 0 
x2-2x+1-x+xy+1-y+1-2y+y2 0 x2 +y2+xy-3x-3y+3 0
Ta ®Õn víi bµi to¸n :1 Chøng min r»ng 
 X2+y2+xy-3x-3y+3 0
Cho m=x-2 ;n =1-y th× (x-2)2 –(x-2)(1-y)+(1-y)2 0 x2 -4x+4-x+xy+2-2y+1-2y+y2 0 x2 +y2 +xy-5x-4y+7 0
Cho bµi to¸n :2 Chøng minh r»ng ; x2 +y2+xy-5x-4y+7 0
TiÕp tôc cho m=a ;n=-b th× ta cã a2 –a(-b)+(-b)2 0 a2 +ab+b2 0
Mµ (a-b)2 >0 víi mäi a ;b .Do ®ã (a2 +ab+b2)(a-b)2 0 
 [(a2+ab+b2)(a-b)](a-b) 0 (a3-b3)(a-b) 0 a4-a3b-ab3+b4 0 
a4 +b4>a3b+ab3
Ta ®Õn víi bµi to¸n:3 Chøng minh r»ng :a4+b4 a3b+ab3 víi mäi a;b
 Tõ bµi to¸n 3 nÕu cho a = x2 ;b = y2 vµ x, y kh¸c 0, ta cã:
 (x2)4 + (y2)4 (x2)3y2 + x2(y2)3 x4+y4
Cho ta bµi to¸n:4 Chøng tá r»ng víi x ,y kh¸c 0, bÊt ®¼ng thøc sau ®óng
 X4+y4< 
Ta cã x8+y8>x6y2+x2y6 0
 0
Vµ víi x 0 ;y 0 ta cã =
Góp ta ®Õn víi bµi to¸n :5 T×m c¸c cÆp sè d­¬ng (x,y) ®Ó 
 nhá nhÊt
Ta cã : x2-xy+y2 0 vµ .Do ®ã (x2-xy+y2) . 
Víi c¸ch d¹y- häc to¸n cã sù khai th¸c s©u từng b­íc nh­ vËy , t«i nghÜ r»ng c¸c giê häc trªn líp ®«I víi häc sinh sÏ kh«ng trë thµnh lèi mßn, sù khai th¸c s©u c¸c bµi to¸n sÏ g©y høng thó häc to¸n cho häc sinh, kh¬i nguån s¸ng t¹o trong ho¹t ®éng tù häc cña häc sinh