Sáng kiến kinh nghiệm Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán

 ( với a < 0 ) (!)
+ Cách giải đúng là:
	 A = = ( với a < 0 )
Ví dụ 2: Tìm x, biết : - 6 = 0
+ Cách giải sai :- 6 = 0 2(1 - x) = 6 1- x = 3 x = - 2.
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
 	 + Cách giải đúng:
- 6 = 0 = 3.
 Ta phải đi giải hai phương trình sau : 
1) 1- x = 3 x = -2
2) 1- x = -3 x = 4. 
Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x = -2 và x = 4.
	+ Nguyên nhân: 
	Học sinh chưa hiểu rõ về số âm và số đối của một số mà học sinh chỉ hiểu a<0 thì 
	+ Biện pháp khắc phục:
+ Khi dạy phần này giáo viên nên củng cố lại về số âm và số đối của một số.
	+ Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối:
4. Sai lầm khi học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức:
Ví dụ: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11)
	Tìm x, biết: 
+ Cách giải sai:
	Vì nên ta có: 3x = 12 x = 4.
+ Cách giải đúng: 
	Vì nên ta có:
	 3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4
Ví dụ 2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5)
	Rút gọn biểu thức: 
+ Cách giải sai:
	Học sinh A: 
	Học sinh B: 
+ Cách giải đúng: 
+ Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức , giá trị tuyệt đối của một số âm.
Ví dụ 3: Khi so sánh hai số a và b. Một học sinh phát biểu như sau: “Bất kì hai số nào cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau:
	Ta lấy hai số a và b tùy ý. Gỉa sử a > b . 
	Ta có : hay (1)
	Lấy căn bậc hai hai vế ta được: 
	 Do đó: 
	Từ đó : 	
	Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau.
	Học sinh này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai hai vế của đẳng thức (1) phải được kết quả: chứ không thể có a - b = b- a.
+ Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức , giá trị tuyệt đối của một số âm.
	Ví dụ 4: Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B = - + + với x -1
+ Cách giải sai :
B = 4-3+ 2+ 
B = 4
16 = 4 4 = 42 = ()2 hay 16 = 
 16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 x = 15
 2) 16 = -(x+1) x = - 17.
 + Cách giải đúng:
B = 4-3+ 2+ (x -1)
B = 4
16 = 4 4 = (do x -1)
 16 = x + 1. Suy ra x = 15.
 + Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x = 15 và x =-17 nhưng chỉ có giá trị x = 15 là thoả mãn, còn giá trị x = -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
 + Biện pháp khắc phục: Qua các bài tập đơn giản bằng số cụ thể giúp cho học sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có = | A|, có nghĩa là :
 = A nếu A 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
5. Sai lầm kỹ năng khi giải bài toán rút gọn.
Ví dụ 1: Bài 47 SGK Đại số 9 tập 1 trang 27
 Rút gọn:  với  
Một học sinh A làm như sau:
Một học sinh B làm như sau:
  (vì )
 Vậy em học sinh nào làm sai? Em học sinh nào làm đúng?
 Dễ thấy em học sinh A làm sai!
 Ví dụ 2: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 )	
	Rút gọn biểu thức sau: 
	+Cách giải sai: 
	+ Cách giải đúng là:
	+ Nguyên nhân:
	Sai lầm ở chỗ học sinh chưa nắm vững công thức biến đổi:
 ( A,B Q+ ; x,y,z,m R )
	- Biện pháp khắc phục:
	Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, giáo viên nhấn mạnh để học sinh khắc sâu và tránh những sai sót.
Ví dụ 3: Bài tập 
	Rút gọn: ( với )
	+Cách giải sai :
	+ Cách giải đúng là : 
	Với . Ta có:
Ví dụ 4: Bài 3b ( SBT toán 9 – trang 27 )
	Rút gọn biểu thức: 
	+Cách giải sai :
	+ Cách giải đúng: 
 . Điều kiện để M xác định là: x < 0.
 Khi đó:
 Ví dụ 5: Giải tập sau:
	Rút gọn biểu thức:
+ Cách giải sai:
	+ Cách giải đúng :
	Đk để M xác định: ; . Ta xét hai trường hợp:
	* ; y < 0 .
	* ; y>0.
	Vậy: 	nếu ; y0 thì 
	+ Nguyên nhân: Học sinh nắm chưa vững quy tắc với , điều kiện để một thừa số đưa được vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để tồn tại, định nghĩa căn bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương.
	+ Biện pháp khắc phục: Khi dạy giáo viên cần cho học sinh nắm vững:
	+ với 
	+ 
	+ tồn tại khi 
	+ , 
	+ Nếu , B > 0 thì 
6. Khi trục căn thức ở mẩu, khai phương một tích, khai phương một thương học sinh thường mắc phải một số sai lầm:
 Ví dụ 1: Bài tập 32b ( SGK toán 9 - tập 1 – trang 19 )
	Tính 
	+ Cách giải sai:
	+ Cách giải đúng:
 Ví dụ 2: Giải các bài tập sau:
	Tính:	a. ;	b.
	+ Cách giải sai:
	a. (!)
	b. (!)
	+ Cách giải đúng:
	a. 
	b. 
Vi dụ 3: Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu
	+ Cách giải sai :
	a. 
	b. 
	hoặc	 
	hoặc 
	hoặc 
	hoặc 
	c. 
	hoặc	 	 	 	
	d. 
	hoặc	 
	- Cách giải đúng:
	a.
 b. 
	 	(với và )
	- Nguyên nhân:
	+ Học sinh chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “ ” tương tự như ( với và ) để tính .
	+ Học sinh hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương một thương.
	+ Học sinh mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức và tính chất cơ bản của phân thức.
	+ Học sinh chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng đẳng thức: 
	- Biện pháp khắc phục:
	+ Giáo viên cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một tích , khai phương một thương và lưu ý học sinh không được ngộ nhận sử dụng tương tự như ( với và ) .
	+ Khi cần thiết giáo viên cũng cố lại kiến thức có liên quan. Chẳng hạn như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức.
	+ Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau.
	+ Cần khắc sâu các công thức:
	, với B > 0
	, với và 
	, với và 
7. Lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số khi giải các bài toán về căn bậc ba :
 Ví dụ 1: Giải bài tập 3c (SBT ĐS9 – trang 19)
	Giải phương trình: 	(2)
	+ Cách gải sai: 	
	Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x1=1; x2=2. (!)
	+ Cách giải đúng: 
	 hoặc x = 1 hoặc x = 2.
	Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: 
	- Nguyên nhân:
	+ Học sinh quá lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số 
	+ HS chưa nắm vững định nghĩa căn bậc ba của một số a.
	- Biện pháp khắc phục:
	Khi giảng phần này giáo viên cần cho học sinh nắm định căn bậc ba của một số a, đồng thời lưu ý học sinh hiểu rõ giữa căn bậc hai của một số ; căn bậc hai số học của một số và căn bậc ba của một số a.
8. Sai lầm trong kĩ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ 1 : Tìm x, biết : 
(4- .
- Cách giải sai :
(4- 2x < ( chia cả hai vế cho 4-) x < .
- Cách giải đúng : Vì 4 = < nên 4 - < 0, do đó ta có:
(4- 2x > x > .
- Nguyên nhân: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
	- Biện pháp khắc phục: Chỉ ra sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - là số âm, dẫn tới lời giải sai.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức :
- Cách giải sai : = = x - .
- Cách giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải có x + 0 hay x -. Khi đó ta có 
 = = x - (với x -).
- Nguyên nhân: Rõ ràng nếu x =- thì x + = 0, khi đó biểu thức sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được.
II/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Ví dụ 1: Giải PT:  (*)
 + Lơì giải sai:
Ta có :  
 + Nhận xét : Rõ ràng x = -2011 không phải là nghiệm của phương trình
 + Lời giải đúng: 
Điều kiện: 
Do đó: (Vì: x + 2011 > 0)
 Û 
Vậy: x = 2010 là nghiệm của phương trình (*).
 Ví dụ 2: 
Giải pt:  (1)
+ Lời giải sai:
(1) Û 
 (Bình phương hai vế )
 (4)
  (5)          
 + Phân tích sai lầm: Không chú ý đến điều kiện căn thức có nghĩa
xác định khi  .Do đó  Không phải là nghiệm
Sai lầm thứ hai là (4) và (5) Không tương đương
Mà (4) 
Phương trình (5) là phương trình hệ quả của phương trình (4), nó chỉ tương đương với phương trình (4) với điều kiện: . Do đó x = 2 cũng không phải là nghiệm của (1).
 + Cách giải đúng:
Cách 1: Giải xong thử lại
Cách 2: Đặt điều kiện căn thức xác định . Do đó khi giải xong kết luận phương trình vô nghiệm.
Cách 3: Chứng minh: Vế trái số âm .Còn vế phải không âm. Kết luận phương trình vô nghiệm.
Ví du 3: Giải phương trình: 
 + Lời giải sai:
 Nhận xét: Rõ ràng x= -3 không phải là nghiệm của phương trình.
   + Cách giải đúng:
   Ghi nhớ : 
Ví dụ 4:Giải phương trình: 
 + Lời giải sai:
Điều kiện: x > 2
 (loại)
Vậy phương trình trên vô nghiệm.
Nhận xét : Phương trình đã cho có nghiệm x= -7?
Ghi nhớ :  Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi: A £ 0; B < 0
Nên mất một nghiệm x= -7
 + Lời giải đúng: 
Điều kiện: x > 2 hoặc x £ -2,5
 (với x > 2 hoặc x £ -2,5)
 (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm x = -7
Ví dụ 5: 
Giải phương trình:   (1)
 + Lời giải sai:
   hoặc 
     Nhận xét: Dễ thấy ngay là x = 0 không phải là nghiệm của (1)
Ghi nhớ: Phép biến đổi thứ 2 từ trên xuống là phép biến đổi hệ quả (suy ra) nên tập nghiệm cuối của phương trình bao giờ cũng nhiều nghiệm hơn ban đầu..
Do đó khi giải phương trình bằng biến đổi hệ quả bao giờ cũng phải thử lại 
Còn bài này chỉ sai có mỗi một cái dấu  Û  ở dòng thứ 2 phải là Þ  mới đúng!
III/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 
+Lời giải sai: Bình phương hai vế :
+ Phân tích sai lầm: Sai lầm ở hai chỗ:
Chưa đặt điều kiện để căn thức có nghĩa.
Chưa đặt điều kiện để trước khi bình phương hai vế.
+ Lời giải đúng: Bổ sung thêm hai điều kiện:
Điều kiện (1) cho 
Điều kiện (2) cho 
Kết hợp các điều kiện:
Nghiệm của bất phương trình đã cho: .
Ví dụ 2: Tìm x để biểu thức có nghĩa:
 + Lời giải sai: Điều kiện của x:
Giải (1) ta được: 
Giải (2) ta được: 
Kết luận: 
 + Phân tích sai lầm: Sai lầm khi giải bất phương trình (2): Khi bình phương hai vế của (2) chưa đặt điều kiện x > 0.
 + Lời giải đúng: 
Điều kiện của x:
Giải (1) ta được: 
Giải (2): 
Vậy biểu thức A có nghĩa khi: 
Ví dụ 3 : Tìm x sao cho: 
 + Lời giải sai: Điều kiện: 
 	 + Phân tích sai lầm: Sai lầm khi biến đổi (2) tương đương với (3).
 Đúng ra phải là: , (Vì: ) 
 + Lời giải đúng:
 Điều kiện: 
 (Vì: )
 Vậy: 
Ghi chú: Hãy chú ý đến dấu “=” khi giải bất phương trình.
IV/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ
Ví dụ 1: Cho A = x2 - 3x +5. Tìm Min A với x ³ 2?
 	 + Lời giải sai: 
Vậy Min A = 
 + Nguyên nhân sai: hiểu chưa đúng khái niệm.
 + Lời giải đúng:
Ta có:
Với x ³ 2 thì 
Vậy Min A= 3 khi x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của với x, y, z > 0
 + Lời giải sai: Giả sử x ³ y ³ z > 0. 
Ta suy ra: x - z > 0 Þ y(x - z) ³ z(x - z)
Þ xy - yz + z2 ³ xz
Chia hai vế cho xz: (1)
Mặt khác, ta có (2)
Cộng (1) và (2): 
Min A = 3 Û x = y =z.
 + Phân tích sai lầm: Khi hoán vị vòng quanh thì biểu thức A trở thành tức là biểu thức không đổi. Điều đó cho phép ta giả sử x là số lớn nhất (hoặc số nhỏ nhất), nhưng không cho phép giả sử x ³ y ³ z. Thật vậy sau khi chọn x là số lớn nhất (x ³ y, x³ z) thì vai trò của y và z không bình đẳng: giữ nguyên x, thay y bởi z, thay z bởi y ta được: không bằng biểu thức A.
 + Cách giải đúng:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương x, y, z:
Do đó Min A = 3 khi và chỉ khi tức là x = y = z.
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 + Lời giải sai: Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Ta có: x2 - 6x + 2019 = (x - 3)2 + 2010 ³ 2010, " x Î R .
Min(x2 - 6x + 2019) = 2010 Û x = 3.
Vậy Max A =
 + Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định “A có tử không đổi nên có giá trị không lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là các số dương.
 Ta đưa ra một ví dụ: Xét biểu thức . Với lập luận “Phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất”, do mẫu nhỏ nhất bằng -2010 khi x = 0, ta sẽ đi đến: max B = . Điều này không đúng: không phải là giá trị lớn nhất của B, Chẳng hạn với x = 200 thì 
Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên. 
 + Lời giả đúng:
 Ta có: x2 - 6x + 2019 = (x - 3)2 + 2010 ³ 2010, " x Î R . Suy ra: . 
Do đó: A lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất Û x2 - 6x + 2019 nhỏ nhất.
Mà: Min(x2 - 6x + 2019) = 2010 Û x = 3.
Vậy Max A =
Ví dụ 4: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9 – trang 18).
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
	+ Cách giải sai:
	Ở bài này học sinh thường không tìm điều kiện để xác định mà vội vàng tìm giá trị nhỏ nhất của A bằng cách dựa vào mà biến đổi 
	 Vậy 	
	+ Cách giải đúng:
	 xác định khi . Do đó: 
 	 + Nguyên nhân: Khi làm bài học sinh chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để tồn tại.
Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
trong đó x, y là các số dương thay đổi, thỏa mãn x + y = 1.
 + Lời giải sai: 
Ta có : 
Mặt khác, vì x > 0 ; y > 0 nên suy ra : 
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 4, khi xy = 1.
 + Phân tích sai lầm: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 4, đạt được khi x.y = 1. Khi đó kết hợp với điều kiện x + y = 1 của đề bài, ta có hệ : 
Dễ dàng nhận thấy hệ vô nghiệm, tức là M không thể bằng 4. Do đó lời giải trên là sai.
 + Lời giải đúng: 
Mặt khác ta có:
 (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (2)
 nên , suy ra: (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng khi và chỉ khi:
 (thỏa mãn )
Ghi chú:
- Nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong các ví dụ trên chính là các bạn đã quên không xác định các giá trị tương ứng của các biến để bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Đặc biệt, trong trường hợp giá trị của biến tồn tại thì chúng có thỏa mãn các điều kiện cho trước hay không.
	PHẦN III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
- Sau khi trực tiếp áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi nhận định rằng: Đề tài áp dụng đã có hiệu quả nhất định vì nó gần gũi và phù hợp với đối tượng học sinh trung bình, khá, giỏi. 
- Dạy trong các tiết bài tập.
- Dạy vào tiết tự chọn.
- Bồi dưỡng học sinh giỏi.
PHẦN IV: KẾT QUẢ
Trong quá trình giảng dạy tôi đã làm phép đối chứng ở các học sinh giỏi toán của trường trong nhiều năm qua tôi đã cho học sinh đọc một số cách giải sai mà học sinh hay mắc phải những chỗ sai và tìm cách khắc phục như thế nào. Kết quả 90% học sinh có thể định hướng và vận dụng giải các bài toán thành thạo một cách có hiệu quả. 
Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong khi giải bài toán về căn bậc hai, các bài toán rút gọn, giải phương trình vô tỉ và bất phương trình vô tỉ thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được nâng lên. 
PHẦN V: KẾT LUẬN
 Thông qua bài viết các bạn có thể phần nào thấy được những sai lầm thường gặp trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy từ đó rút ra được cho bản thân cách dạy, cách học như thế nào cho hiệu quả nhất.
Phần kiến thức về căn bậc hai, các bài toán rút gọn, giải phương trình vô tỉ và bất phương trình vô tỉ các phép biến đổi rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học được tốt thì cần phải nắm vững những sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này.
Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt giữa kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán” tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thường mắc phải một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi đi phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm của học sinh để từ đó định hướng và đưa ra được hướng giải quyết cũng như biện pháp khắc phục các sai lầm đó.
Bên cạnh đó tôi luôn phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các phương pháp khắc phục và định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một cách dễ hiểu. Ngoài ra tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ để các em có thể thực hành kỹ năng của mình.
Do thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tôi chỉ nghiên cứu ở một phạm vi, nên khó tránh khỏi thiếu sót và khiếm khuyết. Đặc biệt gặp sai lầm khi giải toán là điều khó tránh khỏi. Tìm ra sai lầm và sửa chữa sai lầm cũng không dễ chút nào. Nhưng nếu các bạn có ý thức khi giải toán thì chắc chắn các bạn sẽ thành công !
Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học này qua sự đúc rút của các năm học trước đã dạy. Rất mong được lãnh đạo và đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ sung cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể vận dụng được tốt và có chất lượng trong những năm học sau.
Tôi xin chân thành cám ơn !
 Pơng Drang, ngày28 tháng 11 năm 2010.
 Người viết
 Võ Kim Oánh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trong bài viết tôi có sử dụng một số tài liệu
1/ Sách giáo khoa đại số 6, 7, 8, 9 Nhà xuất bản giáo dục.
2/ Để học tốt toán 8 GS Hoàng Chúng. 3/ Tuyển tập đề thi từ 1990-2005 TS: Trần Phương.
4/ Một số vấn đề phát triển đại số 9 Vũ Hữu Bình.
5/ Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số Nguyễn Đức Tấn.
6/ 500 Bất đẳng thức GS: Phan Huy Khải.
7/ Tạp chí Toán học tuôir trẻ.
8/ Tạp chí Toán học tuổi thơ.
9/ Diễn đàn Toán học.