Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán môn Toán 8

5 + 402 - 152 
= (45 + 40)2 - 152 
= 852 - 152 
= (85 - 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000
Ví dụ 3 : (Bài 56, trang 25 SGK)
Tính nhanh:
Trong các ví dụ trên ta thấy để thực hiện được việc tính nhanh thì phương pháp chung là: Phân tích các biểu thức cấn tính nhanh ra thừa số rồi tính
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức:
Ví dụ 1 : (Bài 40, trang 19 SGK)
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. 15.91,5 + 150.0,85
b. 5x5(x - 2z) + 5x5(2z - x) víi x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1
Giải
15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5 
= 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500
5x5(x - 2z) + 5x5(2z - x) = 5x5 (x - 2z + 2z - x) = 5x5.0 = 0
Víi x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1 thì biểu thức bằng 0
Ví dụ 2 : Tính giá trị của biểu thức:
a, 
b, 
Giải
a, 
b, 
Trong 2 ví dụ trên đặc biệt là ví dụ 2 nhận thấy nếu như học sinh không sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử thì việc tính toán gặp rất nhiều khó khăn nên cần hướng dẫn cho các em:
- Trước hết hãy phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử.
- Thay giá trị của các biến vào biểu thức đã phân tích để tính.
Ví dụ 3:
Tính giá trị của biểu thức x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2000, y = 1999.
	Nếu theo cách làm thông thường học sinh sẽ thay ngay giá trị của biến vào biểu thức để tính giá trị. Cách làm đó rất phức tạp mới cho kết quả. Vì vậy giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử rồi mới thay số tính giá trị của biểu thức.
Giải:
Ta có x(x - 1) - y(1- x) = x(x - 1) + y(x - 1)
 	 = (x - 1)(x + y)
	Thay x = 2001, y = 1999 ta được
	(2001 - 1) (2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000.
Dạng 3: Tìm x thoả mãn đẳng thức cho trước :
Ví dụ 1: (Bài 50, trang 23 SGK)
Tìm x biết:
x(x - 2) + x - 2 = 0
5x(x - 3) - x + 3 = 0
Giải
x(x - 2) + x - 2 = 0 
Ta có x(x - 2) + x - 2 = x(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x + 1)
 x = 2
Nên (x - 2)(x + 1) = 0 
 x = - 1
5x(x - 3) - x + 3 = 0 
 Ta có 5x(x - 3) - x + 3 = 5x(x - 3) - (x - 3) = (x - 3)(5x - 1)
 x = 3
Nên (x - 3)(5x - 1) = 0 
Ví dụ 2 : Tìm x biết
8x3 - 50x = 0
(x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x2 - 4) - 5(x - 2) = 0
Giải
8x3 - 50x = 2x(4x2 - 25) 
 	 x = 0
= 2x(2x - 5)(2x + 5) = 0 
 (x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x2 - 4) - 5(x - 2)
= (x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x - 2)(x + 2) - 5(x - 2)
= (x - 2)[x2 + 2x + 7 + 2(x + 2) - 5] 
= (x - 2)(x2 + 4x + 6) = 0 v× x2 + 4x + 6 = (x + 2)2 + 2 > 0 ∀x 
nên (x - 2)(x2 + 4x + 6) = 0 x - 2 = 0 hay x = 2
Ví dụ 3: Tìm x biết 
	5x(x - 1) = x - 1
	5x(x - 1) - (x - 1) = 0
	 	x =1 
	 (x - 1)(5x - 1) = 0 
	Trong dạng toán này có thể nhận thấy đây là một cách biến đổi để đưa về phương trình tích với các phép biến đổi chính là phân tích một đa thức thành nhân tử, có thể hướng dẫn các en theo trìng tự sau:
- Chuyển tất cảc các số hạng về vế trái và vế phải bằng 0
 A = 0
- Phân tích vế trái thành nhân tử để được A.B = 0 
 B = 0
- Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A = 0, B = 0 ta được kết quả
Dạng 4: Áp dụng vào số học
Đây là một dạng toán không khó nhưng việc vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải thì lại khó cho các em học sinh, có thể hướng dẫn cho các em giải định hướng sau đây:
- Số nguyên a chia hết cho số nguyên b khác 0 nếu có số nguyên k sao cho a = bk.
- Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia.
Ví dụ 1: (Bài 42, trang 19 SGK)
CMR 55n + 1 - 55n chia hết cho 54 (n là số tự nhiên)
Giải
55n + 1 - 55n = 55n(55 - 1) = 55n.54 chia hết cho 54
Ví dụ 2: (Bài 52, trang 24 SGK)
CMR (5n + 2)2 - 4 chia hết cho 5 ∀n ∈Z
Giải
(5n + 2)2 - 4 
= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2) 
= 5n(5n + 4) chia hết cho 5 ∀n ∈Z
Ví dụ 3: CMR ∀n ∈Z ta có:
n3 - 13n chia hết cho 6
n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120;
n3 - 3n2 - n + 3 chia hết cho 48 với n lẻ
Giải
n3 - 13n = (n3 - n) - 12n = n(n - 1)(n + 1) - 12n
Vì n, n + 1, n - 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 nên tích n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 2.3 = 6
 (2 và 3 nguyên tố cùng nhau), 12n chia hết cho 6 vậy:
n3 - 13n = n(n - 1)(n + 1) - 12n chia hết cho 6 ∀n ∈Z 
n5 - 5n3 + 4n = n5 - n3 - 4n3 + 4n 
= n3(n2 - 1) - 4n(n2 - 1) = n(n2 - 1)(n2 - 4) 
= n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp. Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất 2 số là bội của 2 (Trong đó có một số là bội của 4, một bội của 3 và một bội của 5). Do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8.3.5= 120 (vì 8, 5, 3 đôi một nguyên tố cùng nhau nhau)
n3 - 3n2 - n + 3 = n2(n - 3) - (n - 3) = (n - 3)(n2 - 1) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)
thay n = 2k + 1 (vì n lẻ) vào ta được:
(n - 3)(n - 1)(n + 1) = (2k - 2)2k(2k + 2) = 8(k - 1)k(k + 1)
Vì (k - 1)k(k + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.3 = 6 do đó tích trên chia hết cho 48.
Qua 3 ví dụ vừa nêu ta nhận thấy nếu như các biểu thức đã cho được phân tích thành nhân tử thì việc chứng minh sẽ trở nên đơn giản hơn vì vậy giúp các em phân tích được biểu thức thành nhân tử thì ta đã giúp các em hoàn thành được bài toán.
Trên đây học sinh đã được nhận biết lợi ích của việc phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng trong một số bài toán được nêu trong SGK, tuy nhiên đối với các em học sinh khá, giỏi có thể giới thiệu cho các em thêm một vài lợi ích khác nhằm giúp các em thích thú tìm hiểu trong học toán như các dạng sau:
Dạng 5: Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn đẳng thức cho trước
Ví dụ 1: Tìm các cặp số nguên (x,y) thoả mãn một trong các đẳng thức sau:
x + y = xy.
xy - x + 2(y - 1) = 13
Giải
Ta có x + y = xy được viết thành xy - x - y = 0 nên x(y - 1) - (y - 1) = 1 
 hay (y - 1)(x - 1) = 1 do x, y Z mà 1 = 1.1 = (-1).(-1) nên ta có:
 y - 1 = 1 y - 1 = -1 x = 2 x = 0
 hoặc hoặc hoặc 
 x - 1 = 1 x - 1 = -1 y = 2 y = 0
Vậy hai cặp số nguyên đó là (0, 0) và (2, 2)
b. xy - x + 2(y - 1) = 13
Phân tích vế trái ra thừa số ta có
xy - x + 2(y - 1) = x(y - 1) + 2(y - 1) = (y - 1)(x + 2)
Do x, y Z vế phải 13 = 1.13 = 13.1 = (-1).(-13) = (-13).(-1) nên ta lần lượt có:
 y - 1 = 1 y - 1 = 13 y - 1 = -1 y - 1 = -13
 hoặc hoặc hoặc 
 x + 2 = 13 x + 2 = 1 x + 2 = -13 x + 2 = -1
Hay :
 x = 11 x = -1 x = -15 x = -3
 hoặc hoặc hoặc
 y = 2 y = 14 y = 0 y = -12
Vậy 4 cặp số cần tìm là (11, 2) ; (-1, 14) ; (-15 , 0) ; (-3, -12)
Ví dụ 2 : Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn một trong các đẳng thức sau :
xy + 3x - 2y - 7 = 0
xy + 3x - 4y = 12
Giải
Phân tích vế trái ra thừa số nguyên tố ta có
xy + 3x - 2y - 7 = x(y + 3) - 2(y + 3) - 1 = (y + 3)(x - 2) - 1 = 0 hay 
(y + 3)(x - 2) = 1 Do x, y Z nên (y + 3)(x - 2) = 1 = 1.1 = (-1)(-1) nên ta có
 y + 3 = 1 y + 3 = -1 x = 3 x = 1
 hoặc do đó hoặc 
 x - 2 = 1 x - 2 = -1 y = - 2 y = -4
Vậy hai cặp số nguyên cần tìm là (3, -2) và (1, -4)
xy + 3x - 4y = 12 xy + 3x - 4y - 12 = 0 (xy + 3x) - (4y + 12) = 0
 x(y + 3) - 4(y + 3) = 0 (y + 3)(x - 4) = 0 Do x, y Z nên 
 x - 4 = 0 y + 3 = 0 x = 4 x
 hoặc do đó hoặc
 y x y y = -3
Trong hai ví dụ trên ta thực hiện:
- Phân tích một vế của đẳng thức thành tích của hai thừa số, số còn lại là một số nguyên n.
- Phân tích số nguyên n thành tích hai thừa số bằng tất cả các cách và từ đó tìm ra số nguyên x, y
Như vậy kĩ năng chính trong việc giải các bài toán chính là phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử. Không chỉ dừng lại các bài toán đã nêu, việc phân tích đa thức thành nhân tử còn giúp cho các em học sinh thực hiện giải được các bài toán mang tính chất phức tạp hơn như hai dạng toán sau đây :
Dạng 6: Chứng minh đẳng thức
Ví dụ 1: CMR nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0
Giải
Từ đẳng thức đã cho suy ra a3 + b3 + c3 - 3abc = 0.
Ta có : b3 + c3 = (b + c)(b2 + c2 - bc) 
 = (b + c)[(b + c)2 - 3bc] = (b + c)3 - 3bc(b + c)
 a3 + b3 + c3 = a3 + (b3 + c3) 
= a3 + (b + c)3 - 3bc(b + c)
= (a + b +c) [a2 - a(b + c) + (b + c)2] - 3bc(a + b +c)
= (a + b +c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
Do đó nếu a3 + b3 + c3 - 3abc = 0. Thì a + b + c = 0 hoặc :
a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 0 hay (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a) 2 = 0 
suy ra a = b = c
Ví dụ 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 và a3 + b3 + c3 = 1
CMR a2005 + b2005 + c2005 = 1
Giải
Áp dụng (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) = 0 suy ra trong ba số a, b, c ó một số bằng 1 và hai số còn lại đối nhau nên a2005 + b2005 + c2005 = 1
Qua hai ví dụ trên nhận thấy bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử của vế trái để đưa đẳng thức về dạng tích bằng 0 sau đó xét từng thừa số bằng 0 rồi chứng minh đẳng thức ta có được kết quả cần tìm. Sau đây ta xét một ví dụ ở một dạng khác về ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong việc chứng minh các bất đẳng thức.
Dạng 7: Chứng minh bất đẳng thức
 Trong dạng toán này vấn đề đặt ra là: Để chứng minh A B hoặc A B ta ta lập hiệu A - B và sau đó chứng minh A - B 0 hoặc A - B 0, ở đây ta sử dụng phương án phân tích A - B thành nhân tử để kết luận A B hoặc A B.
Ví dụ: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. CMR:
a3(b2 - c2) + (c2 - a2) + c2(a2 - b2) < 0 víi a < b < c.
a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3
Giải
a3(b2 - c2) + (c2 - a2) + c2(a2 - b2) 
= a3[(b2 - a2) + (a2 - c2)] + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2)
= a3(b2 - a2) + a3(a2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2)
= (a2 - b2)(c3 - a3) + (a2 - c2)(a3 - c3)
= (a - b)(c - a)[(a + b)(c2 + ca + a2)] + (a - c)(a - b)[(a + c)(a2 + ab + b2)]
= (a - b)(c - a)[ (a + b)(c2 + ca + a2) - (a + c)(a2 + ab + b2)]
= (a - b)(c - a)(c - b)(ab + bc + ca).
Vì 0 0, c - b > 0 và ab + bc + ca > 0 do đó
(a - b)(c - a)(c - b)(ab + bc + ca) < 0 
Vậy a3(b2 - c2) + (c2 - a2) + c2(a2 - b2) < 0 víi a < b < c.
Xét hiệu:
a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 - a3 - b3 - c3 
= [a(b - c)2 - a3] + [b(c - a)2 - b3] + [c(a + b)2 - c3]
= a[(b - c)2 - a2] + b[(c - a)2 - b2] + c[(a + b)2 - c2]
= a(b + a - c)(b - c - a) + b(c + b - a)(c - b - a) + c(a + b - c)(a + b + c)
= (a + b - c)(ab - ac - a2 - bc - b2 + ab + ac + bc + c2)
= (a + b - c)(2ab - a2 - b2 + c2)
= (a + b - c)[c2 - (a - b)2]
= (a + b - c)(c + a - b)(b + c - a)
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0 ; c + a - b > 0 ; 
b + c - a > 0 do đó: (a + b - c)(c + a - b)(b + c - a) > 0
Vậy a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3
Nhận xét : 
Trong hai ví dụ trên ta nhận thấy vấn đề quan trọng nhất chính là phân tích được các đa thức thành nhân tử sau đó sử dụng kết quả bất đẳng thức tổng tam giác để kết luận.
Tóm lại:
Qua việc hướng dẫn học sinh các phương pháp phân tích thành nhân tử, khai thác các kết quả của bài toán từ đó có hướng đề xuất và áp dụng trong giải các bài toán tương tự đã tạo ra các bài tập phong phú và đa dạng đồng thời có những hướng đề xuất các cách giải hay giúp học sinh hứng thú trong học tập. Việc khai thác và đề xuất ra những ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử còn nhiều nhưng vì mức độ kiến thức toán THCS còn hạn hẹp nên chưa thể mở rộng hơn được. Tuy nhiên khi áp dụng chuyên đề này vào trong giảng dạy cho các em học sinh khá giỏi lớp 8 thì các em tiếp thu tốt và có hứng thú suy nghĩ, tìm tòi các bài toán có nội dung tương tự và từ chỗ mặc cảm với dạng toán này thì các em có hứng thú học hơn.
III/ KẾT QUẢ:
Chuyên đề "Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán" này tôi đã sử dụng nhiều trong quá trình giảng dạy học sinh và bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Kết quả thu được 100% các em đã biết khai thác, phân tích kết quả của bài toán để tổng kết thành các phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Đối với học sinh đại trà, sau khi được hướng dẫn, chữa bài tập có nội dung đơn giản (Bài tập SGK) thì hầu hết các em đã:
- Nắm được các cách phân tích đa thức thành nhân tử.
- Biết phân loại và sử dụng các phương pháp phân tích thích hợp.
- Tụ chọn được các cách giải và biết trình bày bài làm.
	Thông qua bảng số liệu sau chúng ta có kết quả (Số liệu thống kê qua các năm đối với học sinh khá, giỏi và học sinh đại trà)
BẢNG SỐ LIỆU THỐNG KÊ
Năm học
Số
HS
Phân loại học sinh
Khá - giỏi
Đại trà
Tổng số
Đạt
Không đạt
Tổng số
Đạt
Không đạt
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2006-2007
56
26
26
100
0
0
30
23
76,66
7
23,34
2007-2008
50
26
26
100
0
0
24
19
79,16
5
20,84
2008-2009
61
30
30
100
0
0
31
26
83,9
5
16,1
Qua phân tích bảng số liệu có thể nhận thấy các kết quả áp dụng cho học sinh khá giỏi thì tỷ lệ rất cao, đồng thời khi áp dụng cho học sinh đại trà thì các em đã vận dụng tốt các kết quả và biết vận dụng vào trong các bài toán một cách tương đối có hiệu quả. Song các kết quả thu được chưa phải là mĩ mãn, cần có một thời gian để học sinh vận dụng kiến thức cơ bản và nhận dạng, phân loại bài toán một cách thành thạo. Trên cơ sở đó các em sẽ tìm ra một phương pháp giải thích hợp.
IV. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Đích cuối cùng của dạy toán là học sinh có phương pháp học toán, tìm ra cách giải toán và vận dụng vào thực tế. Để đạt được điều ấy người giáo viên cần chú trọng đến phương pháp tổ chức hoạt động cho học sinh ở mỗi dạng toán, loại toán. Từ chuyên đề này bài học kinh nghiệm sâu sắc là:
* Đối với giáo viên:
Trước hết giáo viên phải chuẩn bị chu đáo phục vụ cho bài dạy. Khi hướng dẫn học sinh giải toán “Phân tích đa thức thành nhân tử” giáo viên phải đưa ra cho học sinh các phương pháp giải để từ đó có thể lựa chọn cách giải thích hợp nhất.
Đầu tiên giáo viên đưa ra hệ thống bài tập có tính chất đơn giản sau đó mới nâng cao dần lên để học sinh tư duy một cách có hệ thống. Trong bất kỳ dạng toán nào học sinh phải tìm cho mình một cách giải thích hợp nhất phù hợp với khả năng của mình. Giáo viên phải năng động biết phối hợp các phương pháp vào từng bài cụ thể để học sinh chủ động giải toán có hiệu quả. 
* Đối với học sinh:
Đối với học sinh thì học sinh là người chủ động tích cực làm việc. Biết phân tích bài toán để tìm hướng giải từ đó có kết luân được bài toán. Bên cạnh đó học sinh luôn có ý thức tự giác học tập trên lớp, làm bài tập ở nhà, phân tích đánh giá, tìm tòi để đi đến kết quả đúng và chính xác. Phải có kiến thức cơ bản luôn tìm ra hướng giải quyết thích hợp.
*Bài học chung:
Thầy phải chuẩn bị cho học sinh vốn kiến thức thích hợp phong phú để làm phương tiện giải toán. Trong mỗi trường hợp, mỗi bài toán đều có điều kiện rõ ràng và dữ kiện chưa rõ ràng thì giáo viên cần giúp cho học sinh phân tích các mối quan hệ giữa các yếu tố đó để biến cái chưa rõ thành cái đã rõ.
Cuối cùng mỗi người giáo viên phải hiểu tâm lý đối với học sinh để chuyền tải những nội dung kiến thức cho phù hợp, vừa sức tạo ra bầu không khí thoải mái trong lớp học, tránh sự gò bó áp đặt đối với học sinh.
V- PHẠM VI ÁP DỤNG - HƯỚNG ĐỀ XUẤT
1. Phạm vi áp dụng:
Bài toán phân tích thành nhân tử chỉ chiếm thời gian khá khiêm tốn song nó chưa đựng nhiều kiến thức cơ bản, trọng tâm và khá quan trọng. Tuy nhiên đối với học sinh khá, giỏi thì áp dụng chuyên đề này khá hữu ích, với học sinh đại trà thì khi hướng dẫn học sinh dạng từ 1 – 4 thì các em dễ hiểu hơn còn các dạng 5 – 7 thì các em gặp nhiều khó khăn nên giáo viên giảng dạy cần chú ý.
Để kinh nghiệm này được áp dụng rộng rãi theo tôi cần có các điều kiện sau:
- Nhà trường cần thường xuyên mở các chuyên đề đề tài kinh nghiệm để giáo viên có diều kiện tham gia hoặc trao đỏi lẫn nhau. Phải có sự phối hợp chặt chẽ trao đổi, bàn bạc tập thể giữa giáo viên giảng dạy của tổ, của khối lớp 8. Giáo viên phải kiên trì biết sử dụng các phương pháp dạy học một cách linh hoạt. Thường xuyên kiểm tra học sinh theo phương pháp mới. Giáo viên cần phải đầu tư thời gian nghiên cứu bài dạy để đạt được hiệu quả cao.
-Bên cạnh đó đối với học sinh phải có đầy đủ phương tiện học đặc biệt là sách giáo khoa. Cần chú ý theo dõi sự hướng dẫn của giáo viên và hăng hái tham gia nêu những ý kiến của mình. Nắm chắc kiến thức từng phần có liên quan đến dạng toán “Phân tích đa thức thành nhân tử” như quy tắc dấu ngoặc, hằng đẳng thức, chia đa thức...
2. Hướng đề xuất:
Giảng dạy môn toán nói chung và giảng dạy các bài toán khó nói riêng là một vấn đề đang được quan tâm nhiều của phụ huynh, của giáo viên dạy...Trong tình hình hiện nay việc học tập của học sinh còn gặp nhiều khó khăn, do vậy việc kích thích học sinh chịu khó học tập, phấn đấu vươn lên đang còn là vấn đề mà nhà trường và xã hội quan tâm nếu chỉ những giáo viên dạy thì không thể đạt được kết quả cao. Song một yếu tố chủ quan hết sức quan trong quyết định nhất là người giáo viên dạy toán. 
* Đối với giáo viên dạy toán:
Phải nhận thức đúng vị trí, vai trò của bộ môn Toán trong toàn bộ hệ thống kiến thức. Người giáo viên trực tiếp giảng dạy phải nắm vững nội dung, phương pháp giảng dạy sát đối tượng học sinh để sử dụng phương pháp thích hợp.
Phải thường xuyên trao đổi chuyên môn nghiệp vụ, tích luỹ kinh nghiệm giảng dạy, biết tổ chức cho học sinh học tập có nề nếp... và đặc biệt phải biết lựa chọn phương pháp giảng dạy một cách thích hợp.
* Đối với nhà trường:
Trước hết tổ chuyên môn phải là chỗ dựa vững chắc, tin cậy cho giáo viên trong việc cải tiến phương pháp giảng dạy, trau dồi chuyên môn nghiệp vụ.
Nhà trường cần cung cấp đủ tài kiệu tham khảo. Thường xuyên tổ chức chuyên đề để giáo viên có điều kiện trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, tích luỹ kinh nghiệm, nâng cao chuyên môn nghiệp vụ.
PHẦN THỨ BA: KẾT LUẬN
Qua nghiên cứu thực nghiệm chuyên đề bản thân tôi thấy kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt cả về chất lượng lẫn với kỹ năng giải toán. Tôi thấy đây là việc làm thiết thực và quan trọng để nâng cao chất lượng học tập toàn diện cho học sinh. Học sinh phát huy được tính tích cực chủ động sáng tạo trong học tập của học sinh.
	 Có được kết quả cao trong dạy và học môn Toán đặc biệt là dạng phân tích đa thức thành nhân tử từ đó vận dụng bài toán này để giải các bài toán khác thì một trong các biện pháp thực hiện đó là xây dựng hệ thống bài tập về dạng phân tích đa thức thành nhân tử. Trong mỗi phương pháp giải tôi luôn đưa ra hệ thống bài tập từ dễ đến khó. Đối với bài dễ dùng cho đối tượng học sinh trung bình, yếu còn đối với bài tập khó nâng cao dùng cho học sinh khá, giỏi để các đối tượng học sinh không cảm thấy chán. Tuy nhiên trong mỗi bài toán đưa ra cần lưu ý cho học sinh không chỉ có một cách giải trong mỗi bài toán đưa ra cần tìm tòi những lời giải khác nhau để tìm ra lời giải thích hợp nhất. Mỗi phương pháp giải tôi đều đưa ra các bài tập khác nhau nhằm mục đích phát triển toán.
	Với kinh nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế chắc chắn không thể tránh khỏi những khiếm khuyết trong quá trình vận dụng. Tôi rất mong nhận được ý kiến của bạn bè đồng nghiệp và bạn đọc để xây dựng và hoàn thiện hơn nữa các phương pháp giải toán “Phân tích đa thức thành nhân tử” Tôi chân thành cảm ơn!
 	Thay cho lời kết tôi xin đưa ra một vài bài toán để quý thầy cô chúng ta cùng tham khảo. Mong sự góp ý trao đổi của quý thầy cô.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1- Chứng tỏ rằng đa thức:
A = (x2 + 1)4 + 9(x2 + 1)3 + 21(x2 + 1)2 - x2 - 31. Luôn luôn có giá trị không âm với mọi giá trị của biến x.
2 - Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng:
B = x4 - 4x3 - 2x2 + 12x + 9 là bình phương của một số nguyên.
3 - Cho x, y, z tự nhiên. Chứng minh rằng :
C = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương.
4 - Chứng minh rằng 5n3 + 15n2 + 10n luôn luôn chia hết cho 30 với mọi n là số nguyên
5- Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là sô nguyên tố:
P = n3 - n2 - n - 2
6- Cho đa thức:
A = (x + y)(y + z)(z + x) + xyz.
a- Phân tích đa thức A thành nhân tử.
b- Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số nguyên và x + y + z chia chia hết cho 6 thì A - 3xyz chia hết cho 6.
7- Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì số
B = n3(n2 - 7)2 - 36n chia hết cho 105.
DANH MỤC THAM KHẢO
Stt
Tên tài liệu tham khảo
1
Chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán THCS
2
Sách giáo viên lớp 8 môn Toán – Nhà xuất bản Giáo dục 2008
3
Sách giáo khoa môn Toán lớp 8 – Nhà xuất bản Giáo dục 2008
4
Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số lớp 8 Nhà xuất bản Giáo dục 2004
5
Những bài toán cơ bản, nâng cao chọn lọc lớp 8 - Nhà xuất bản Đại học sư phạm 2004
Xác nhận của BGH
Trường THCS Đông Phú
.
Hiệu trưởng trường THCS Đông Phú
Người thực hiện
Nguyeãn Thò Thuyø Linh