Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử

h nhân tử 
Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0
Nên chia Q cho (x + 2), ta được :
Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9)
 = (x + 2)(x – 3)2
Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2
1.2.5. Phương pháp đặt ẩn phụ
Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12
Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành :
 A = y2 + 4y – 12
 	= y2 – 2y + 6y – 12
 	= y(y – 2) + 6(y – 2)
 	= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x2 + x vào (1) ta được :
A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)
 = (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)
Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Đặt y = (x2 + x + 1). Đa thức đã cho trở thành :
A = y(y + 1) – 12
 = y2 + y – 12
 = y2 – 3y + 4y – 12
 = y(y – 3) + 4(y – 3)
 = (y – 3)(y + 4) (*)
Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta được :
A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
 = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)
 	 	 = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)
Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x12 – 3x6 + 1
Giải: B = x12 – 3x6 + 1
Đặt y = x6 (y )
Đa thức đã cho trở thành :
B = y2 – 3y + 1
 = y2 – 2y + 1 – y
 = (y – 1)2 – y
 = (y – 1 - )(y + 1 +) (*)
Thay : y = x6 vào (*) được :
B = (x6 – 1 - 
 = (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x3 - 3x2 + 3x + - 2
Giải: Đặt : y = x - , ta có x = y + 
 A = (y + )3 - 3(y + )2 + 3(y + ) + - 2 
 = y3 + 3y2 + 3y.2 + 2 - 3(y2 + 2y + 2) + 3(y + ) + - 2 
 = y3 - 3y – 2
 = y3 - y – 2y – 2
 = y(y2 – 1) – 2(y + 1)
 = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)
 = (y + 1)(y(y – 1) – 2)
 = (y + 1)(y2 – y – 2)
 = (y + 1)(y + 1)(y – 2)
 = (y + 1)2(y – 2) (*)
Thay : y = x - vào (*), được :
A = (x - + 1)2(x - - 2)
Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Giải: Ta có: 
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15
 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15
Đặt : y = (x2 + 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành :
M = y(y + 8) + 15
 = y2 + 8y + 15
 = y2 + 3y + 5y + 15
 = y(y + 3) + 5(y + 3)
 = ( y + 3)(y + 5)
Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta được :
M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)
 = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12)
 = (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))
 = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m
Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành :
A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)
Bằng cách biến đổi tương tự như bài 36, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử.
Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
Giải: Giả sử x , ta viết đa thức dưới dạng :
A = x2((x2 + ) + 6( x - ) + 7 )
Đặt y = x - thì x2 + = y2 + 2
Do đó : A = x2(y2 + 2 + 6y + 7)
	 	= x2( y + 3)2 
	 	= (xy + 3x) 2 
Thay y = x - , ta được 
A = 
 = (x2 + 3x – 1)2 
Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0
Nhận xét : 
Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = a0x2n + a1xn – 1 +.+ an – 1xn – 1 +anxn + an – 1xn – 1 + ..+ a1x + a0 
Bằng cách đưa xn làm nhân tử của A, hay :
A = xn(a0xn + a1xn – 1 + .+ an – 1x + an + +..+ + 
Sau đó đặt y = x + ta sẽ phân tích được A thành nhân tử một cách dễ dàng như bài tập trên.
Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12
Giải: Ta có: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12
 	 = (x + y)2 – (x + y) – 12 
- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành :
A = X2 – X – 12
 = X2 - 16 – X + 4
 = (X + 4)(X - 4) - (X - 4)
 = (X - 4)(X + 4 - 1)
 = (X - 4)(X + 3) (1)
- Thay X = x + y vào (1) ta được :
A = (x + y – 4)( x + y + 3)
Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2
Giải: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 
Đặt : 	x2 + y2 + z2 = a
xy + yz + zx = b
 	( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b
Đa thức A trở thành :
A = a(a + 2b) + b2 
 = a2 + 2ab + b2 
 = (a + b)2 (*)
Thay : a = x2 + y2 + z2 
 b = xy + yz + zx vào (*) ta được :
	A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2
Bài 40: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 
Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x
Ta có : A + B + C = 0. Nên
	A + B = - C
Lập phương hai vế :
	(A + B)3 = - C3
	 A3 + 3AB(A + B) + B3 = - C3
	 A3 + B3 + C3 = - 3AB(A + B) 
	 A3 + B3 + C3 = 3ABC
Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta được :
 	(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)
1.2.6. Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng)
	Phương pháp đề xuất bình phương đủ là phương pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2 – 6x + 5
Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau:
Cách 1: A = x2 – 6x + 5
 	= x2 – x – 5x + 5
 	 	= x(x – 1) – 5(x – 1)
 	= (x – 1)(x – 5)
Cách 2 : A = x2 – 6x + 5
 = (x2 - 2x + 1) – 4x + 4
 = (x – 1)2 – 4(x – 1)
 	= (x – 1)(x – 1 - 4)
 	= (x – 1)(x – 5)
Cách 3 : A = x2 – 6x + 5
 = (x2 – 6x + 9) – 4
 = (x – 3)2 – 4
 = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 4 : A = x2 – 6x + 5
 = (x2 – 1) – 6x + 6
 = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)
 = (x – 1)( x + 1 – 6)
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 5 : A = x2 – 6x + 5
 = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2
 = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1)
 = 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1))
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 6 : A = x2 – 6x + 5
 = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4
 = (x – 1)2 – 4x(x – 1)
 = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x))
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 7 : A = x2 – 6x + 5
 = (6x2 – 6x) – 5x2 + 5
 = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1)
 = (x – 1)(6x – 5(x + 1))
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 8 : A = x2 – 6x + 5
 	Đặt f(x) = x2 – 6x + 5
Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho 
(x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5). Vậy
A = (x – 1)(x – 5)
Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c0) bằng phương pháp tách số hạng ta làm như sau :
Bước 1 : lấy tích a.c = t
Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qi
Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b
Bước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c
Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc.
Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x4 + 2x2 - 3
Giải:
Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3
 = x4 – x2+ 3x2 – 3
 = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)
 = (x2 – 1) (x2 + 3)
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 2: B = x4 + 2x2 - 3
 = x4 + 3x2 – x2– 3
 = x2(x2 + 3) - (x2 + 3)
 = (x2 + 3)(x2 – 1) 
 = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 3 : B = x4 + 2x2 - 3
 = (x4 ) + 2x2 – 1 – 2
 = (x4 – 1) + 2x2– 2
 = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1)
 = (x2 – 1)(x2 + 3)
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 4 : B = x4 + 2x2 - 3
 = (x4 + 2x2 + 1) - 4
 = (x2 + 1)2 – 4
 = (x2 + 1)2 – 22 
 = (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2)
 = (x2 – 1) (x2 + 3)
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 5 : B = x4 + 2x2 - 3
 = (x4 – 9) + 2x2 + 6
 = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3)
 = (x2 + 3)( x2 - 3 + 2)
 = (x2 + 3)(x2 – 1)
 = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 6 : B = x4 + 2x2 - 3
 = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2
 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1)
 = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1)
 = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2)
 = (x2 – 1) (x2 + 3)
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Bài 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
 	A = x4 + x2 + 1
Giải:
Cách 1 : A = x4 + x2 + 1
 = (x4 + 2x2 + 1) - x2
 = (x2 + 1)2 - x2
 = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Cách 2 : A = x4 + x2 + 1
 = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
 = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Cách 3 : A = x4 + x2 + 1
 = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1)
 = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = 5x2 + 6xy + y2
Giải: 
Cách 1 : F = 5x2 + 6xy + y2
 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2)
 = 5x(x + y) + y(x + y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 2 : F = 5x2 + 6xy + y2
 = (6x2 + 6xy) – (x2 - y2)
 = 6x(x + y) – (x – y)(x + y)
 = (x + y)(6x – x + y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 3 : F = 5x2 + 6xy + y2
 = (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 )
 = 4x(x + y) + (x + y)2 
 = (x + y)(4x + x + y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 4 : F = 5x2 + 6xy + y2	
 = (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 )
 = 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 )
 = (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 5 : F = 5x2 + 6xy + y2	
 = (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2)
 = 5(x + y)2 – 4y(x + y)
 = (x + y)(5(x + y) – 4y))
 = (x + y)(5x + y)
Cách 6 : F = 5x2 + 6xy + y2	
 = (5x2 - 5y2) + (6xy + y2)
 = 5(x2 – y2) + 6y(x + y)
 = 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y)
 = (x + y)(5x – 5y + 6y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 7 : F = 5x2 + 6xy + y2	
 = (9x2 + 6xy + y2) – 4x2
 =(3x + y)2 – 4x2
 = (3x + y – 2x)(3x + y + 2x)
 = (x + y)(5x + y)
Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x4 + x2y2 + y4
Giải:
Ta có : P = x4 + x2y2 + y4
 = (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2
 = (x2 + y2)2 – (xy)2
 = (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy)
Bài 45: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
Giải: Ta có : A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
 	= x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x
 	= (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1))
	= (x2 – x + 1)(2x2 + 2)
Bài 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x4 + 81
Giải: Ta có : P = 4x4 + 81
 	= 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2
 	= (2x2 + 9)2 – (6x)2
 	=(2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)
Bài 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
Giải: Ta có : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
 	= 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5
 	= x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)
 	= (3x – 1)(x2 – 2x + 5)
 Bài 48: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x3 – x2 – x - 2
Giải: Ta có : A = x3 – x2 – x - 2
 	= x3 – 1 – (x2 + x + 1)
 	= (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1)
 	= (x2 + x + 1)(x – 1 – 1)
 	= (x2 + x + 1)(x – 2)
Bài 49: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x3 + x2 – x + 2
Giải: Ta có : B = x3 + x2 – x + 2
 	= (x3 + 1) + (x2 - x + 1)
 	= (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)
 	 	= (x2 - x + 1)(x + 1+ 1)
 	= (x2 - x + 1)(x + 2)
Bài 50: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x3 – 6x2 – x + 30
Giải: Ta có : C = x3 – 6x2 – x + 30
 	= x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30
 	= x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2)
 	= (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1)
 	= (x + 2)((x – 4)2 – 1))
 	= (x + 2)(x – 4 – 1)(x – 4 + 1)
 	= (x + 2)(x – 5)(x – 3)
1.2.7. Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính được các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phương trình sơ cấp.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 51 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :
Xét bd = 3 với b, d , b với b = 3; d = 1
Hệ điều kiện trở thành :
Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2
 	Vậy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
 = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)
Bài 52: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
A = ( ax + by + c )( dx + ey + g )
 = adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg
 = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg
 = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :
Vậy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
 = ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )
Bài 53: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x4 – 8x + 63
Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng :
B = x4 – 8x + 63
 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
 = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức ta được hệ điều kiện: 
 Vậy : B = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9)
1.2.8. Phương pháp xét giá trị riêng
Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt” thì có thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh. Trong phương pháp này ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 54: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)
Giải: Thử thay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2(z – y) = 0
Như vậy P chứa thừa số x – y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh xyzx . Do đó nếu P chứa thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy P có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Ta thấy k phải là hằng số, vì P có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z, còn các tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z.
Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = 0 (*), ta được:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)
 2 = -2k
 k = -1
Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
 = (x – y)(y – z)(x – z)
Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác nhau để (x – y)(y – z)(z – x) 0.
Bài 55: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z)
Giải: 	Thay x = y thì P = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = 0
Như vậy P chứa thừa số x – y.
Ta thấy đa thức P có thể hoán vị vòng quanh xyzx. Do đó nếu P chứa thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy P có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia A cho 
(x – y)(y – z)(z – x) thương là hằng số k, nghĩa là :
 	P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k là hằng số.
Cho : x = 1; y = -1; z = 0 ta được :
12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k. 2.(-1).(-1)
 -2 = 2k
 k = -1
Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
 = (x – y)(y – z)(x – z)
Bài 56: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
Giải: 
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì A không thay đổi. Thay a=b vào A ta có:
A = 0 + bc(b – c) + cb(c – b) = 0
Do đó A (a – b)
Suy ra A (b – c) và A (c – a). Từ đó :
A (a – b)(b – c)(c – a)
Mặt khác A là đa thức bậc ba đối với a, b, c, nên trong phép chia A cho 
(a – b)(b – c)(c – a) thương là hằng số k, nghĩa là :
A = k(a – b)(b – c)(c – a)
Cho a = 1; b = 0; c = 1 ta được 2 = -2k hay k = - 1
A = -1(a – b)(b – c)(c – a)
 = (a – b)(b – c)(a – c)
Bài 57: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3)
Giải: 
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh x, y, z thì P không thay đổi. Thay z = y vào P ta có:
P = 0 + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = 0
Do đó : P (y – z)
Suy ra P (z – x) và P (x – y). Từ đó :
P (y – z)(z – x)(z – x)
Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia P cho 
(y – z)(z – x)(z – x)được thương là hằng số k, nghĩa là :
P = k(y – z)(z – x)(z – x)
 Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta được :
2.13 + 1.(-2)3 + 0 = k.1.(-2)
 - 6 = - 2k
 k = 3
Vậy P = 3(y – z)(z – x)(z – x) 
Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x) 
Bài 58: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b)
Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì M không thay đổi.
Thay a = 0 vào M ta có :
M = 0 + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = 0
Do đó M a
Suy ra M b và M c. Từ đó :
M abc
Mặt khác M là đa thức bậc ba đối với a, b, c nên trong phép chia M cho abc thương là hằng số k, nghĩa là :
M = k.abc
Cho a = b = c = 1, ta được :
1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1
k = 4
Vậy M = 4.abc
Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc
2. Kết quả
	Tôi đã ứng dụng nội dung nêu trên vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên máy tính tại Trường THCS Nguyễn Thái Học và Trường THCS Dân tộc Nội trú. Kết quả mà tôi đã thu được như sau:
	- Cấp Huyện: Có 11 học sinh tham dự. Kết quả: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 3 giải ba, 4 giải khuyến khích
	- Cấp Tỉnh: Có 9 học sinh tham dự. Kết quả: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 3 giải ba, 4 giải khuyến khích
	- Cấp Quốc gia: Có 3 học sinh tham dự. Kết quả: 1 giải khuyến khích
3. Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện
	Trong quá trình thực hiện đề tài và bản thân tôi là người trực tiếp thực hiện việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi đã rút ra một số bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện như sau:
	- Để thực hiện tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết giáo viên cần phải có một trình độ chuyên môn vững vàng, nắm vững các thuật toán, giải được các bài toán khó một cách thành thạo. Cần phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích được sự tò mò, năng động, sáng tạo, tích cực của học sinh.
	- Toán học là một bộ môn khó, các vấn đề của toán là rất rộng. Chính vì vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành một giáo trình ôn tập cơ bản bao gồm tất cả các chuyên đề. Với mỗi chuyên đề cần phải chọn lọc ra những bài toán điển hình, cơ bản nhất để học sinh từ đó phát huy những khả năng của mình, vận dụng một cách sáng tạo vào giải các bài toán khác cùng thể loại.
	- Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, theo dõi và động viên kịp thời sự cố gắng, nỗ lực của từng học sinh. Đồng thời, kích thích các em phát huy tối đa khả năng của mình trong quá trình ôn luyện, học tập. Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời những sai sót mà học sinh có thể mắc phải, giúp các em có niềm tin, nghị lực và quyết tâm vượt qua những khó khăn bước đầu khi học tập các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi mà giáo viên đưa ra.
	- Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cũng cần hết sức tránh cho học sinh những biểu hiện tự đắc, cho mình là giỏi. Điều này sẽ làm cho các em khó tránh khỏi những thất bại khi tham dự những cuộc thi lớn. Chính vì vậy, giáo viên cần luôn có những bài toán khó, những yêu cầu cao để các em thấy được quá trình học bồi dưỡng học sinh giỏi là một quá trình không thể diễn ra trong ngày một, ngày hai, mà là cả một quá trình lâu dài, thường xuyên, liên tục. Tuy nhiên, cũng cần tránh cho học sinh sự tự ti, vì liên tục không giải được các bài toán khó sẽ gây ra cho các em những sự nản chí, mất niềm tin vào khả năng của mình.
4. Kết luận
	Bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS là cả một quá trình lâu dài, bền bỉ. Bởi vì các em đã có cả một quá trình 9 năm học toán. Để có được những học sinh giỏi, chúng ta cần phải tập trung bồi dưỡng cho các em ngay từ năm học lớp 6. Với 4 năm liên tục, cùng với sự nỗ lực của cả thầy lẫn trò, chắc chắn chúng ta sẽ có được những học sinh giỏi thực sự về bộ môn Toán.
	Do năng lực còn hạn chế, và năm học này cũng là năm học thứ hai bản thân tôi tham gia việc bồi dưỡng học sinh giỏi, nên đề tài của tôi không thể tránh được những thiếu sót, bản thân tôi rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các bạn đồng nghiệp, các nhà quản lý giáo dục để đề tài của tôi có thể hoàn thiện hơn. 
Trên đây, đề tài của tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi – Tuy nhiên, theo tôi đây cũng là một trong những mạch kiến thức rất trọng tâm của chương trình toán.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn tới BGH, các đồng nghiệp của Trường THCS Nguyễn Thái Học và Trường THCS Dân tộc Nội trú đã có những ý kiến đóng góp, chỉ đạo thực hiện giúp tôi hoàn thành đề tài này.
5. Kiến nghị đề xuất
	- Tăng thêm thời gian bồi dưỡng cho học sinh giỏi môn Toán 9 vì thời gian một tuần 2 buổi không đủ thời gian để thực hiện công tác bồi dưỡng.
	- Nếu có thể khi chọn lọc từ đầu vào chúng ta nên chọn ra hai lớp: Chuyên về các môn tự nhiên và một lớp chuyên về các môn xã hội.
đánh giá, nhận xét của tổ chuyên môn và nhà trường