Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại một số dạng Toán liên quan tới phương trình bậc hai

chương trình toán THCS. Phương trình bậc hai có ứng dụng rất rộng trong khi giải toán đối với học sinh lớp 9. Không những thế phương trình bậc hai còn được ứng dụng nhiều cho học sinh tiếp tục học lên lớp trên. 
Chính vì thế tôi chọn vấn đề “Phân loại dạng toán có liên quan tới phương trình bậc hai ”nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 9.
B - Phạm vi ứng dụng 
Đề tài được áp dụng trong chương trình toán lớp 9, ôn thi vào 10, ôn tập và bồi dưỡng học sinh giỏi. 
Các bài tập phương trình bậc hai rất đa dạng phong phú, nó đòi hỏi học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản và có kỹ năng tổng hợp nhất định. Cho nên ngay từ đầu giáo viên ôn tập ngay cho học sinh các bài tập tổng hợp thì nhiều em khó có khả năng tiếp thu bài học, dẫn đến kết quả bài học thấp.
Vấn đề đặt ra là người thầy phải giảng dạy các bài tập có liên quan đến phương trình bậc hai như thế nào để từng đối tượng học sinh có khả năng tiếp thu được, góp phần nâng cao chất lượng cho học sinh khá giỏi và có kiến thức về phương trình bậc hai đủ để thi vào THPT.
Sau đây tôi xin đưa ra một số nội dung mà tôi đã thực hiện, áp dụng và đạt hiệu quả nhất định trong giảng dạy.
Phần II : biện pháp thực hiện
A - Kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai
Để học sinh làm được các bài tập về phương trình bậc hai, trước tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản sau .
I - Định nghĩa 
1 - Phương trình bậc hai một ẩn số
Là phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0)
x : ẩn ; a, b, c, là các số đã cho
Dạng khuyết 
ax2 = 0 (b = c = 0) 	Ûx1 = x2 = 0 
ax2 + c = 0 (b = 0) Û x2 = 
+ Nếu > 0 ( a , c trái dấu ) , phương trình có 2 nghiệm đối nhau
 	x1 = ; x2 = - 
+ Nếu < 0 (a , c cùng dấu ) ị phương trình vô nghiệm
ax2 + bx = 0 ( c= 0 ) 
 Û x ( ax + b ) = 0
 Û x1= 0 ; x2= 
Dạng đầy đủ : ax2 + bx + c = 0
	D < 0 Phương trình vô nghiệm
 D = 0 Phương trình có nghiệm kép
 	 x1 = x2 = - 
	 D = b2 – 4ac Û D > 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
	 x1 = ; x2 = = 
 Chú ý Nếu a và c trái dấu ị phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
2 - Đặc biệt khi b = 2b ‘ 
 D’ < 0 Phương trình vô nghiệm
 D’ = 0 Phương trình có nghiệm kép
 D = b ‘ 2 – ac Û	 x1 = x2 = - 
	 D’ > 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
	 x1 = ; x2 = 
3 - Chú ý quan trọng 
	Nếu phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì : 
 	ax2 + bx + c = a (x-x1) ( x-x2 )
	Nếu phương trình ax2 + bx + c =0 không có nghiệm thực thì tam thức 
 	ƒ (x) = ax2 + bx + c luôn luôn đồng dấu với hệ số a hay 
 	D < 0 Û ƒ (x) = ax2 + bx + c đồng dấu với hệ số a "x ẻ R 
II - Định lý talét 
1 - Định lý thuận 
	a - Nếu x1 ; x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0)
 thì 	S = x1+x2 = - 
	P = x1.x2 = 
	b – ứng dụng 
+ Nếu a + b +c = 0 thì x1 = 1 ; x2 = 
Ngược lại nếu x1 = 1 thì a + b +c+ c = 0
+ Nếu a - b +c = 0 thì x1 = - 1 ; x2 =- 
Ngược lại nếu x1 = -1 thì a - b +c = 0
2 - Định lý đảo
 Nếu 	S = x1+x2 (S2 ³ 4 P )
 P = x1.x2 
 Thì x1 ; x2 là 2 nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0
III - Phương pháp giải một số bài tập về phương trình bậc hai 
 Cho phương trình ax2 + bx + c =0 (a ạ 0)
	3.1 Phương trình vô nghiệm Û D < 0 ( hoặc D’ < 0 )
	3.2 Phương trình có nghiệm kép 	 Û D = 0 ( hoặc D’ = 0 )
	3.3 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Û D > 0 ( hoặc D’ > 0 )
	3.4 Phương trình có nghiệm 	 Û D ³ 0 ( hoặc D’ ³ 0 )
3.5 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu Û P = <0
3.6 Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu Û D ³ 0
	P > 0
3.7 Phương trình có 2 nghiệm đối nhau Û 	 S = 0
	 P < 0
3.8 Phương trình có 2 nghiệm dương Û D ³ 0
	P > 0
	S > 0
3.9 Phương trình có 2 nghiệm âm Û D ³ 0
	P > 0
	S < 0
	D = 0
	3.10 Vế trái là phương trình của một nhị thức Û a > 0
	3.11 Phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1 = g(x2)
 (áp dụng Viét để giải) 
B - các dạng bài tập cơ bản
I - Phương trình bậc hai chứa tham số 
Yêu cầu 
- Học sinh thuộc công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, hệ thức Viét
- Giải thành thạo các phương trình bậc hai dạng này
Ví dụ 1 : Giải các phương trình 
 a. x2 – 7x + 10 = 0 
b. x2 – 3x + 2 = 0 
x2 – 5x – 6 = 0 
Hướng dẫn kết quả 
D = 9 ị x1 =5 ; x2 = 2
a + b + c = 0 ị x1 =1 ; x2 = 2
a - b + c = 0 ị x1 = – 1 ; x2 = – = 6
Ví dụ 2 : Giải các phương trình sau 
a. 3x2 – 2x – 3 = 0
b. x2 – x(1 + ) + = 0
c.	x2 – - 6 = 0
Hướng dẫn kết quả
D’ = ( )2 – (- 3) .3 = 12
ị 
x1 = ; x2 = - 
 a + b + c = 0 ị x1 =1 ; x2 = 
	c. x2 – - 6 = 0 (1) 
	Nếu x ³ 0 (1) Û x2 – x - 6 = 0 ị x1 =3 ; x2 = -2 (loại)
	Nếu x Ê 0 (1) Û x2 + x - 6 = 0 ị x3 =2 (loại) ; x4 = -3 
	Kết luận phương trình x2 – - 6 = 0 có 2 nghiệm x1 =3 ; x4 = -3
Ví dụ 3 : Giải các phương trình bậc hai sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a. x2 – 11x – 30 = 0
b. 5x2 – 17x + 12 = 0
x2 – (1 + ).x + = 0
Hướng dẫn kết quả
a. 	 P = 30
 	 S = 11
 ị x1 =5 ; x2 = 6
b. 5x2 – 17x + 12 = 0
Ta có 5 + (-7) + 12 = 0 ị x1 =1; x2 = 
c. x2 – (1 + ).x + = 0 
Ta có 1 + – (1 + ). + = 0 ị x1 =1 ; x2 = 
Ví dụ 4 : Giải các phương trình sau ( bằng cách quy về bậc hai )
 	a.	2x4 – 7x2 - 4 = 0 (1)
	b.	2x4 + 8x2 +15 = 0 (2)
	c.	 x4 – 13x2 +36 = 0 (3)
Hướng dẫn
Đặt x 2 = X ( X ³ 0 )
Đưa về phương trình bậc hai ẩn X
Giải phương trình bậc hai tìm X 
- Từ đó suy ra x 
a. 2x4 – 7x2 - 4 = 0 (1) 
 Đặt x 2 = X ( X ³ 0 )
 (1) Û 2X2 – 7X - 4 = 0
 ị X1 = 4 ; X2 = - (loại)
 Với x 2 = 4 ị x = ± 2 Vậy 
 Phương trình (1) có 2 nghiệm x1 =2 ; x2 = -2
b. Phương trình có dạng X2 + 8X +15 = 0 (2’)
 Phương trình (2’) có 2 nghiệm âm X1 = -5 ; X2 = - 3
 Do đó phương trình (2) vô nghiệm
c. Phương trình X2 – 13X +36 = 0 có 2 nghiệm dương X1 = 4 ; X2 = 9 
 Do đó phương trình (3) có 4 nghiệm :
 x1 =2; x2 = -2 ; x3 =3; x4 = -3
Ví dụ 5 : Cho phương trình 5x2 + x - = 0 (1)
Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Không giải phương
 trình hãy tính giá trị của biểu thức sau 
 a. 
 b. x12 +x22
 c. 
 d. x13 +x23
Hướng dẫn : 
Phương trình (1) chắc chắn có 2 nghiệm (a . c <0 )
Theo Vi ét ta có x1 + x2 = - 
	 x1 . x2 = -
 a. . = = 
 x12 +x22 = (x1 + x2 )2 - 2x1.x2 = 3+2
 = = 
 x13 +x23 = (x1 + x2 ).( x12 +x22 - x1 . x2 ) 
 = -3.( +)
II - Biện luận các phương trình bậc hai chứa tham số 
Ví dụ 1 : Cho phương trình (1-m)x2 – 2mx + m - 2 = 0 (1)
Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình bậc hai 
Giải (1) khi m = 0,5
Hướng dẫn : 
1- m ạ 0 ị m ạ 1 
Giải (1) khi m = 0,5
 Với m = 0,5 thì (1) Û x2 – 2x – 3 = 0
 ị x1 =-1 ; x2 = 3
Ví dụ 2 : Giải và biện luạn phương trình sau (ẩn x)
 	x2 – 2(m+1)x +2m+10 = 0 (2)
Hướng dẫn :
 Xét D’ = m2- 9 
+ Nếu m2- 9 < 0 ị m2< 9 ị -3 < m < 3 
 Thì phương trình (2) vô nghiệm 
+ m2- 9 = 0 ị m2 = 9 ị m = ± 3
 Thì phương trình (2) có nghiệm kép x1 = x2 = m +1 
+ m2- 9 > 0 ị m2>9 ị m 3 
Thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt 
 x1 = m +1 +
 x2 = m +1 - 
III - Dạng toán có liên quan tới nghiệm 
1 - Điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai 
Ví dụ : Cho phương trình bậc hai (ẩn x) 
(m+1) x2 – 2(m-1)x +m-3 = 0 (1)
a. Tìm m để phương (1) trình có 2 nghiệm phân biệt 
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm : Cùng dấu, trái dấu , hai nghiệm dương, hai nghiệm âm , hai nghiệm đối nhau .
Hướng dẫn :
a. Để (1) là phương trình bậc hai thì m+1 ạ 0 ị m ạ 1 
 D ‘ = 4 >0 . Vậy với m ạ 1 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt 
b.
+ Để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu thì 
 < 0 ị ị -1 < m < 3 
+ Để phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu thì
 > 0 ị ị m > 3 ; m < -1 
+ Để phương trình (1) có 2 nghiệm dương thì 
 	 S > 0 
 	 P > 0 
	Û 
	 m > 3
 	 Û	 m <-1 
2 - So sánh các nghiệm của phương trình .	 
Ví dụ1 : Cho các phương trình ax2 + bx +c = 0 (1) (a > 0 )
 cx2 +bx +a = 0	(2) (c > 0 )
	Giả sử x1 ; x2 ;x3 ; x4 lần lượt là các nghiệm của phương trình (1) và (2) 
	Chứng minh rằng x1. x2 +x3 . x4 ³ 0
Hướng dẫn
áp dụng định lý Vi-et x1.x2 = 
 x3.x4 =
	x1. x2 +x3 . x4 = 
Ví dụ 2 : Tìm p ẻ R sao cho phương trình x2 +px +12 = 0 có 2 nghiệm thực mà hiệu của chúng bằng1 . Hãy tìm các nghiệm đó
Hướng dẫn: 
Xét phương trình x2 +px +12 = 0 
 D = p2 – 48 
Điều kiện có 2 nghiệm thực phan biệt là : D > 0 
 Û D = p2 – 48 >0
 Û p2 > 0 Û p 4. 
Theo định lý Vi ét và giả thiết ta có
 	x1 + x2 = -p 
	x1. x2 = 12
	x1 - x2 = 1
Từ (1) và (3) ị x1 = ; x2 = 
Thay vào (2) ta có . = 12
p = ± 7 ( thoả mãn )
Với p = 7 ị x1 = -4 ; x2 = -3
 p = -7 ị x1 = -3 ; x2 = -4
Ví dụ 3 : Với a ẻ R nào thì phương trình x2 – (3a+2).x +a2 = 0 có 2 nghiệm thực mà tỉ số của chúng bằng 9.
Hướng dẫn 
x2 – (3a+2).x +a2 = 0
Có D = (3a+2)2 – 4a2 = 5a2 + 12a + 4 
Tam thức 5a2 + 12a + 4 có D’ = 16
Nên có 2 nghiệm là a1= - ; a2 = -2
 Vậy D = 5a2 + 12a + 4 = (a + 2). (a + 2)
	Điều kiện có 2 nghiệm thực là :
 D > 0 hay (a + 2). (a + 2) > 0
 Û a > - hoặc a < -2 (ú)
	Theo Vi ét và giả thiết ta có 
 x1 + x2 = 3a + 2 (1)
	 x1. x2 = a2	(2)
	x2 = 9x1	(3)
 Từ (1) và (3) ị x1 = ; x2 = 
 Thay vào (2) ta có . = a2 
 Û 19a2 – 108a –36 = 0 (4)
 Biệt số ả’ = 3600 ị 
 Vậy (4) có 2 nghiệm a1 = 6 ; a2 = - ( thoả mãn (ú))
 - Với a = 6 ị x1 = 2 ; x2 = 18 
 	- Với a = - ị x1 = ; x2 = 
Ví dụ 3 : Hãy xác định a để phương trình 4x2 – 15.x +4a = 0 có 2 nghiệm thực mà nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia 
Hướng dẫn 
 D = 255- 64a > 0 Û a < 
 áp dụng định lý Vi ét và giả thiết ta có
 x1 + x2 = (1)
	 x1. x2 = a (2)
 Thay x2 = x12 vào (1) có : x12 + x1 = (3)
 Û 4x12 + 4x1 – 15 = 0 (4)
 	ị x1 = ; x1= 
 Với x1 = thì x2 = 
 Từ (2) ị a = x1 . x2 = thoả mãn 
 Với x1 = thì x2 = 
 Tứ (2) ị a = - thoả mãn
 Vậy giá trị của a là : a1 = : a2 = -
3 - Lập phương trình bậc hai từ một số điều kiện cho trước 
Ví dụ 1 : Tìm a và b biết a+b = 5
	 a.b = 6
Hướng dẫn : Vì 52 > 4.6 
 Theo Vi ét a, b là nghiệm của phương trình X2 -5X + 6 = 0 
	ị X 1 = 2 ; X2 = 3 
 	ị a = 2 ; b = 3 
 	 hoặc a = 3 ; b = 2 
Ví dụ 2 : Cho phương trình x2 +bx + c = 0 (1) có 2 ngiệm là x1 ; x2 , hãy lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm y1  ; y2 thoả mãn 
 x1 + y1 = 0 	 x2+  y2 = 0
Hướng dẫn 
áp dụng Vi ét ta có x1 +  x2 = -b 
 	x1.x2 = c
- Từ giả thiết x1 + y1 = 0 ị y1 = -x1
 x2+  y2 = 0 ị y2 = -x2
Do đó y1  + y2 = - ( x1 + x2 ) = b
 y1 . y2 = x1.. x2 = c 
Vậy y1 ; y2 là nghiệm của phương trình y2 – by +c = 0
Chú ý : yêu cầu học sinh vận dụng thành thạo đinh lý Vi ét thuận ;đảo 
4- Một số bài toán tổng hợp 
Ví dụ 1 : Cho phương trình : x2 – (k-3 )x +2k + 1 = 0 (1) 
có các nghiệm x1 ;x2 . Tìm hệ thức giữa x1 ;x2 mà không phụ thuộc vào k
Hướng dẫn 
	Theo Vi ét ta có :
 x1 +  x2 = k-3 
 	x1.x2 = 2k +1
	 k = x1 +  x2 +3
 Û x1.x2 = 2k +1
x1.x2 = 2(x1 +  x2 ) +7 ( là hệ thức cần tìm )
Ví dụ 2 : Cho phương trình x2 – (m+1 )x +m – 4 = 0 (2)
Giải phương trình (2) khi m = 1 
CMR phương trình (2) luôn luôn có 2 nghiệm phan biệt với mọi m
 c. Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của (2) chứng minh 
 A = x1(1-x2) + x2(1-x1) không phụ thuộc vào m 
Hướng dẫn 
 a. Với m = 1 (2) Û x2 - 4x + 3 = 0
 ị x1 = 2 + ; x2 = 2 - 
 b. D’ = (m +1)2 –(m- 4) = m2 + m +5
 	= (m+ )2 + > 0 ( " m)
 ị phương trình (2) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt " m
 c. A = x1(1-x2) + x2(1-x1) = x1-x2x1 + x2 - x1x2
 = x1+ x2 – 2 x1 x2 
áp dụng định lý Vi ét x1+ x2= 2(m+1) 
 x1. x2 = m- 4 
Vậy A = 2(m+1) – 2(m- 4)
 = 2m +2 –2m +8 = 10
	ị Điều phải chứng minh
Ví dụ 3 : Với những giá trị nào của m thì phương trình 
 mx2 + 2(m+1)x + m-1 = 0
Có 1 nghiệm bằng 0 ? tìm nghiệm kia
Có 2 nghiệm thực phân biệt x1 ; x2 thoả mãn 
 điều kiện 
Hướng dẫn
mx2 + 2(m+1)x + m-1 = 0 (3) 
Thay x = 0 vào (3) ta có :
 m-1 = 0 ị m = 1 
Nghiệm còn lại bằng x2 = - = - 4
Kết luận m =1 ; x2 = - 4
Để ( (3) có 2 nghiệm phân biệt thì m ạ 0 ; D > 0 
 D = ( m+ 1) 2 –m(m-1) = 3m + 1 
 	D > 0 Û 3m + 1 > 0 Û m > - 
 Vậy m > - ; m ạ 0 thì (3) có 2 nghiệm phân biệt 
Ta có Û Û - 
Û Û Û 
Vậy ; m ạ 0 là điều kiện cần tìm
5- áp dụng kiến thức về phương trình bậc hai ảê giải một số bài toán khác
a. Dạng 1 : Tìm cực trị 
Ví dụ : Cặp số (x,y) là nghiệm của phương trình :
 	x2y + 2xy –4x + y = 0 (1) 
	tìm giá trị lớn nhất của y 
Hướng dẫn 
 (1) Û x2y + 2(y- 2 )x + y = 0 (ú)
 Nếu y = 0 từ ( ú) ị -4x = 0 ị x= 0 
 Nếu y ạ 0 Thì từ (ú) có nghiệm theo x khi :
 D’ = (y-2)2 –y2 ³ 0 Û 4 - 4y ³ 0 Û y Ê 1 
 Vậy y đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi (ú) có ngiệm kép 
 x1= x2 = 
Kết luận giá trị lớn nhất của y là 1 khi x = 1 
b. Dạng 2 : Giải hệ phương trình 
Ví dụ : Giải hệ phương trình sau 
 	2(x+y)2 –3(x+y ) – 5 = 0 (2)
	x – y – 5 = 0	(3)
Hướng dẫn
Đặt x + y = Z 
 (2) Û 2Z2 – 3Z – 5 =0 ị Z1 = -1 ; Z2 = 
Từ đó ta có x + y= -1 hoặc x + y = 
 - Giải hệ bậc nhất x + y = 	 Û 	x = 
	 x – y = 5 	 y = 
 - Giải hệ bậc nhất x + y = Û x = 2 
	 x – y = 5 	 y = 3 
 Vậy hệ đã cho có 2 cặp nghiệm (x = y = );( x = 2; y = 3)
c. Dạng 3 : Giải phương trình bậc cao 
Ví dụ : Giải hệ phương trình sau 
 	2(x+y)2 –3(x+y ) – 5 = 0 (2)
	x – y – 5 = 0	(3)
Hướng dẫn
Đặt x + y = Z 
 (2) Û 2Z2 – 3Z – 5 =0 ị Z1 = -1 ; Z2 = 
Từ đó ta có x + y= -1 hoặc x + y = 
 - Giải hệ bậc nhất x + y = 	 Û 	x = 
	 x – y = 5 	 y = 
 - Giải hệ bậc nhất x + y = Û x = 2 
	 x – y = 5 	 y = 3 
 Vậy hệ đã cho có 2 cặp nghiệm (x = y = );( x = 2; y = 3)
d. Dạng 4 : Giải phương trình vô tỉ
Ví dụ : Giải phương trình x4 + 
Hướng dẫn 
 Biến đổi phương trình về dạng :
 x4 + x2 + 0, 25 = x2 + 2003 - 
 	Û ( x2 + 0,25)2 = ( 
	Û x2 + 0,25	 = 
 x2 + 1 = 
x4 + 2x2 + 1 = x2 + 2003
x4 + x2 – 2002 = 0
x12 = ; x22 = ( loại )
 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = ±
e. Dạng 5 : Phân tích thành tích
Ví dụ : Cho tam thức a. Ư(x) = x2 -8x + 15 
	 b. g(x) = 2x2 -6x +5 
 c. k (x) = x2 -8x +16 
Hướng dẫn 
a. Tam thức Ư(x) có 2 nghiệm là 3 và 5 ị Ư(x) = (x- 3) (x – 5)
b. D’ < 0 ị g(x) vô nghiệm trên R 
 ị g(x) không phân tích được thành tích của 2 nhị thức bậc nhất
c.D’ = 0 ị x1 = x2 =4 ị k (x) = (x- 4) 2 
g. Dạng 6 : Giải phương trình dạng 
Ví dụ : Giải phương trình 12x4 – 8 x3 – 31x2 – 8x +12 = 0 (1)
Hướng dẫn 
	Vì x = 0 không là nghiệm ; chia 2 vế cho x và biến đổi về dạng:
 (2)
 Đặt ị = y2 – 2 
 (2) Û 12y2 – 8y – 55 = 0 Û y1 = ; y2 = - 
 - Với y = ị x1 = 2 ; x2 = 
Với y = - ị Phương trình vô nghiệm trên R 
 Kết luận Phương trình có 2 nghiệm x1 = 2 ; x2 = 
c - các dạng bài tập ứng dụng
(Giới thiệu một số bài thi về phương trình bậc hai )
Bài1 : Xét 2 phương trình x2 + 2x –2k – 8 = 0 (1) 
	x2 +kx + 2 = 0 	(2)
 a. Giải phương trình (1) khi k = -4 ; k = -1 
Tìm k để phương trình (2) có nghiệm kép ? Tìm nghiệm kép đó ? 
CMR " k thì ít nhất một phương trình có nghiệm 
 ( Đề thi vào 10 - Thái Bình 1996 – 1997)
Bài 2 : Cho phương trình 2x2 -3x +m = 0 
Xác định m để phương trình có mmột nghiệm bằng 3 .Tìm nghiệm kia
Giải phương trình với m = -5 
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 Thoả mãn 
 x1 =2 x2 
 (Đề thi thử tốt nghiệp : 1998 – 1999)
Bài 3 : Cho phương trình x2 –(m-1) x + m2 – 5 = 0
Giải phương trình khi m =-1 
Tìm m để phương trình có nghiệm
 ( Đề thi vào 10 - Thái Bình 1999 – 1999)
Bài 4 : Cho phương trình x2 –2m x + 2m – 1 = 0
CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m 
Tìm giá tri của m để phương trình có 2 nghiệm x1 ;x2
Thoả mãn x1 – x2 = 2
	(Đề thi thử tốt nghiệp : 1999 – 2000)
Bài 5 : a. Giải hệ phương trình 
	2(x+y)2 – 5(x+y) – 7 = 0 
	x – y = 5 
 b.Giải và biện luận phương trình mx2 +2(m+1) x + 4 = 0 	 ( Đề thi vào 10 - Thái Bình 2000 – 2001)
Bài 6 : Cho phương trình x2 +3 x + – m2 = 0
Giải phương trình với m = 1 
CMR phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấuvới mọi m ạ 0 
Tìm giá trị của m để một trong các nghiệm của phương trình bằng 1 . Tim nghiệm còn lại
 	( Tốt nghiệp 2000-2001 )
Bài 7 : Cho phương trình 2 x2 +(2m- 1) x +m – 1 = 0
Giải phương trình với m =1 ; m= 2
CMR phương trình không thể có 2 nghiệm dương với mọi m 
 	 ( Đề thi vào 10 - Thái Bình 2001 – 2002)
Bài 8 : Cho phương trình 2 x2 +2mx +m – 3 = 0 
Giải phương trình với m =5
Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm bằng nhau 
	( Đề thi tốt nghiệp - 2001 – 2002)
Bài 9 : Cho phương trình x2 – 2(m+ 2)x + m + 1 = 0
Giải phương trình khi m = 
Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của m để x1(1-2x2) + x2(1-2x1) = m2
 	( Đề thi vào 10 - Hà Nội 1995 – 1996)
Bài 10 : Cho phương trình x2 -2mx +2m - 1 = 0 
 1.Chứng tỏ phương trình có 2 ngiệm x1 ; x2 " m 
Đặt A = 2( x12 + x22) – 5x1x2 
Chứng minh A = 8m2 – 18 m + 9 
Tìm m sao cho A = 27 
Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 nghiệm kia
 ( Đề thi vào 10 - TP HCM : 1995 – 1996)
Bài 11: Cho phương trình x2 +mx +n - 3 = 0 
1. Cho n = 0 
a. Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Tìm m để phương trình có một nghiệm băng1 .Tìm nghiệm còn lại 
2. Tìm m ; n để 2 nghiệm x1 ; x2 của phương trình thoả mãn hệ thức 
 x1 - x2 = 1
 	x12 –x22 = 7
	( Đề thi TN tỉnh Lâm Đồng 1995 – 1996 )
Bài 12: Cho phương trình x2 – 2(k – 2)x - 2k - 5 = 0 
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi k 
Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của k sao cho 
 x12 + x22 =18 
( Thi vào 10 Nghệ An 1995- 1996 )
Bài 13: Cho phương trình ( 2m –1) x2 – 4mx + 4 = 0 
Giải phương trình với m = 1
Giải phương trình với m bất kỳ
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm bằng m 
( Vĩnh Phú / 1995 – 1996 )
Bài 14: Cho phương trình x2 + (2m – 5 )x - n = 0 
 a. Giải phương trình với m =1 ; n = 4
b. Tìm m ; n để phương trình có 2 nghiệm là 2 và 3 
Cho m = 5 .Tìm n nguyên để phương trình có nghiệm nguyên dương
	(Hà Nam 1999 – 2000)
d - Một số đề luyện học sinh giỏi
Bài 1 : Cho phương trình x2 - (2m +1 )x +2m + 10 = 0 
Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của phương trình . Tìm m để biểu thức
 A = 10x1x2 + x12 + x22 có giá trị nhỏ nhất
Bài 2: Tìm a sao cho phương trình sau có đúng 3 nghiêm phân biệt 
 (x – 1 ) (x2 + 2x + 3 +a) = 0 
Bài 3: Cho phương trình x2 + px + p = 0 Có 2 nghiệm x1 ; x2 hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm là 
3x1 và 3 x2
 và 
 Và 
Bài 4: Tìm số có 2 chữ số thoả mãn xy – 1 = (x + 2)2 + y2 
Bài 5: Giải phương trình 
Bài 6: Giải hệ phương trình
Bài 7 :Giả sử phương trình : a.x4 + bx2+ c = 0 có 4 nghiệm x1;x2;x3;x4 
	 a. CMR 	 x1+x2+x3+x4 = 0
 x1x2x3x4 = 
 b. Trường hợp nào phương trình có 3 nghiệm 
Bài 8 : Giải các phương trình sau 
	a. 
	b. 
	c. 
	d. 
Bài 9 : Giải phương trình 
Bài 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
Bài 11: Cho các phương trình 
 	 x2 + ax +3 = 0
	 x2 + bx +7 = 0
	 x2 + cx +2005 = 0 (ẩn x ; a , b , c ẻ Z ) 
Hãy giải phương trình trên khi biết chúng có nghiệm duy nhất 
Bài 12: Tìm (x; y ) ẻ Z .Biết 
Phần III : Kết luận
 Trên đây là đề tài tôi đã ấp dụng trong quá trình giảng dạy ôn thi học sinh giỏi lớp 9 cũng như hoc sinh vào THPT. Hệ thống phân dạng bài tập đưa đến cho học sinh từng loại bài tập từ dễ đến khó, giúp học sinh hình thành tốt kỹ năng ở từng dạng bài tập 
 Qua việc áp dụng đề, bản thân tôi cũng rút ra một số kinh nghiệm nhất định. Đó là giáo viên phải bám sát học sinh, tìm hiểu thông tin ngược từ phía học sinh, để có phương pháp giảng dạy tốt người thầy cần phát huy được tính chủ động tích cực sáng tạo của học sinh. Từ đó các em có điều kiện, có khả năng nhìn nhận, bao quát toàn diện, định hướng đúng đắn và nắm kiến thức sâu sắc. Làm như thế chúng ta mới góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường THCS. 
 Đề tài này của tôi có thể có nhiều tác giả đã đề cập tới khía cạnh này hay khía cạnh khác, cho nên không có sáng tạo hoàn toàn mà chỉ mang tính hệ thống dựa trên cơ sở các kiến thức đã biết .
	Trong quá trình nghiên cứu, sưu tầm tài liệu tôi đã nhận được sự cộng tác, đóng góp nhiệt tình của các đồng nghiệp trong tổ KHTN, đặc biệt là sự quan tâm của ban giám hiệu nhà trường đã giúp đỡ tôi rất nhiều để tôi hoàn thành đề tài này. Chắc chắn đề tài của tộ không thể tránh khỏi những hạn chế, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn .
Người thực hiện