Sáng kiến kinh nghiệm Phân dạng và hệ thống các bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian

là trung điểm cạnh SA,SB, N là điểm tùy ý trên cạnh SD.
a) Tìm giao điểm M của SC và (IKN).
b) CMR: Ba đường thẳng IK, MN, SE đồng quy.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M,N lần lượt là trung điểm SA,SC. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M,N,B
a) Tìm giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SAB),(SBC).
b) Tìm giao điểm I của SO với (P), giao điểm K của SD với (P).
c)Xác định giao tuyến của (P) với (SAD) và (SCD).
d)Xác định các giao điểm E,F của các đường thẳng DA,DC với (P). CMR: E,B,F thẳng hàng.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, có I, M là hai điểm nằm trên AD và SB.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAC) và (SBI).
b) Tìm giao điểm K của IM và (SAC).
c) Tìm giao điểm L của DM và (SAC).
d) CMR: A,K,L thẳng hàng.
3.5) Dạng 5: Chứng minh hai đường thẳng song song.
3.5.a) Lý thuyết 
 Các phương pháp thường dùng để chứng minh hai đường thẳng song song:
 ·	Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung (áp dụng các tính 
 chất của hình học phẳng)
	· 	Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba 
	·	Sử dụng các định lý .
	· Chứng minh bằng phản chứng.
3.5.b) Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng: IJ ∕ ∕ CD
 Giải: 
Gọi E là trung điểm AB 
	Ta có : Þ IJ và CD đồng phẳng 
	Do đó : (tính chất trọng tâm)
	Vậy : IJ // CD .
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB >CD). Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB 
	a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD
	b. Tìm P = SC Ç (ADN)
	c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I .Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . 
 Tứ giác SABI là hình gì ?
Giải: 
a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD :
	Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB 
	 Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình thang )
	Vậy : MN ∕ ∕ CD
	b. Tìm P = SC Ç (ADN):
· Chọn mp phụ (SBC) É SC
· Tìm giao tuyến của (SBC ) và (ADN)
	Ta có : N là điểm chung của (SBC ) và (ADN)
	Trong (ABCD), gọi E = AD Ç AC
	Þ ( SBC) Ç (ADN ) = NE	
·	Trong (SBC), gọi P = SC Ç NE	
	Vậy : P = SC Ç ( ADN )
c. Chứng minh : SI // AB // CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
	Ta có : 
	Xét D ASI , ta có : SI // MN ( vì cùng song song AB), M là trung điểm AB
	Þ SI//MN, SI 2MN
	Mà AB//MN, AB 2.MN
	Do đó : SI AB, SI=AB
	Vậy : Tứ giác SABI là hình bình hành. 
 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M ,N ,P , Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, SC, SD,AD sao cho MN // BS, NP//CD, MQ // CD	
	a. Chứng minh : PQ // SA.
	b.	Gọi K = MN Ç PQ , Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.
Giải:
a. Chứng minh : PQ // SA.
	Xét tam giác SCD :
	Ta có : 	NP // CD	
	Þ	(1)
	Tương tự : 	MN // SB
	Þ	(2)	
	Tương tự : 	MQ // CD
	Þ	(3)
	Từ (1) , (2) và (3), suy ra:	 Vậy : PQ // SA
b.	Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC
	Ta có :	 	
	Þ	giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng St qua S song song BC và AD
	Mà 	K Î (SBC) Ç (SAD)
	Þ	K Î St (cố định ) Vậy : K Î St cố định khi M di động trên cạnh BC. 
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’,B’,C’ ,D’ lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD .
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành. 
b. Gọi M là điểm bất kì trên BC. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD
Giải: 
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành :
	Trong tam giác SAB, ta có : 
 A’B’=AB, A’B’//AB	
	Trong tam giác SCD, ta có : 
C’D’=CD , C’D’//CD
	Mặt khác AB =CD. AB=CD. 
	Þ 	A’B’ // C’D’, A’B’ =C’D’
	Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành
 b. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD:
	Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD)
	Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’
	Gọi N = Mx Ç AD
Vậy : 	thiết diện là hình thang A’B’MN.
3.5.c) Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, có M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của BC,CD,SB,SD.
a) CMR: PQ//MN.
b) Gọi I là trọng tâm tam giác ABC, K là điểm thuộc cạnh SA sao cho . CMR: IK//SM.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB, Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SB.
a) Chứng minh rằng MN//CD.
b) Tìm giao điểm P của SD và (AND).
c) AN cắt DP tại I. CMR: SI//AB//CD. Tứ giác SABI là hình gì?
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SC, N là trung điểm OB.
a) Tìm giao điểm I của SD và (AMN).
b) Tính tỉ số .
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M,N,P là trung điểm AB,BC,SC, SB=AC.
a) Tìm giao điểm E của SA và (MNP).
b) CMR: NP//ME//SB. Tứ giác MNPE là hình gì?
c) Tìm giao tuyến (ANP) và (SMC)
3.6) Dạng 6: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
3.6.a) Lý thuyết
 Bài toán: Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng : 
	Phương pháp : Vận dụng định lý: 
3.6.b) Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD .
	a. Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD)
	b. Gọi P là trung điểm cạnh SA. Chứng minh SB và SC đều song song với (MNP)
	c. Gọi G,Glần lượt là trọng tâm của DABC và DSBC. Chứng minh rằng: 
 // (SAB)
Giải: 
	a. Chứng minh MN // (SBC):
	Ta có : 
	Tương tự : 
b. Chứng minh SB // (MNP):
	Ta có : 
 Chứng minh SC // (MNP):
 Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD)
	Ta có : P là điểm chung của (MNP) và (SAD),	MN // AD 
	Do đó giao tuyến là đường thẳng qua P song song MN, cắt SD tại Q	Þ PQ = (MNP) Ç (SAD) 
	Xét D SAD , Ta có : PQ // AD
 P là trung điểm SA Þ Q là trung điểm SD
	Xét D SCD , Ta có : QN // SC
c. 	Chứng minh // (SAB)	: 
	Xét D SAI , ta có : 
	Þ	 // SA
	Do đó : 
Ví dụ 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M¢, N¢.
	a) Chứng minh: 
	b) Chứng minh: M’N’//(DEF) .
	c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.
Giải: 
a) Ta có :
 AD // BC; AF // BE
 mà và 
nên (CBE) // (ADF).
b) Vì MM' // AB nên MM' // DC
 ; 
mà ( vì AC = BF)
nên 
Mà: nên M’N’//(DEF) .
 c) Phần thuận: 
 * Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AB; CF.
 Nếu nên I P.
 Nếu nên I Q.
 Vậy quỹ tích của I là đoạn thẳng PQ.
 3Phần đảo: Gọi I PQ bất kì. Chứng minh t tồn tại 2 điểm M; N: v và MN nhận I làm trung điểm.
 Thật vậy: Trong mặt phẳng (CPF). 
 Qua I, dựng đường thẳng song song với FC,
 cắt PC; PF lần lượt tại M1; N1.
 Qua M1; N1 dựng các đường thẳng song song với AB cắt AC; BF tại M và N.
 Áp dụng đlí Ta let, ta có : 
 Suy ra : (1)
 + Suy ra : (c-g-c) .
 Định lí Talet. Ta có : hay IM = IN (2)
 Vậy điểm I thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b . Gọi I , J lần lượt là trung điểm AB và CD. Giả sử AB ^ CD , mặt phẳng (a) đi qua điểm M nằm trên đoạn IJ và song song với AB và CD.
	a. 	Tìm giao tuyến của (a) với ( ICD ) và (JAB) .
	b.	Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng (a). Chứng minh thiết diện là 
 hình chữ nhật .
 c. 	Tính diện tích thiết diện của hình chữ nhật biết IM = IJ .
Giải:
a. 	Tìm giao tuyến của (a) với mặt phẳng ( ICD ):
	Ta có :	
	Þ	 giao tuyến của (a) và ( ICD ) là đường thẳng đi qua M và song song với CD cắt IC tại L và ID tại N 
 Tương tự :	
	Þ	 giao tuyến của (a) và ( JAB ) là đường thẳng đi qua M và song song với AB cắt JA tại P và JB tại Q
b.	 Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng (a):
	Ta có :	Þ	EF // AB (1) 
	Tương tự :	Þ HG // AB	 (2)
	Từ 	(1) và 	(2) , suy ra 	EF // HG // AB	(3)
	Ta có :	 Þ	FG // CD	 (4) 	
	Tương tự :	Þ	 EH // CD	(5)	
	Từ 	(4) và 	(5) , suy ra 	FG // EH // CD	(6)
	Từ 	(3) và 	(6) , suy ra 	EFGH là hình bình hành 
	Mà 	AB ^ CD	(*)	
	Từ 	(3) , (6) và (*), suy ra 	EFGH là hình chữ nhật 
	c. 	Tính diện tích thiết diện của hình chữ nhật biết IM = IJ 
	Ta có : 
	Xét tam giác ICD : Ta có :	LN // CD Þ (7)
	Xét tam giác IJD : Ta có :	MN // JD Þ (8)	
	Từ 	(7) và (8), suy ra	
	Tương tự : 	Þ	
	Vậy : 
3.6.c Bài tập tương tự 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của SB,SO,OD.
a) CMR: MN//(ABCD); MO//(SCD).
b) CMR: NP//(SAD); Tứ giác NPOM là hình gì?
c) Gọi I là điểm thuộc SD sao cho SD=4ID. CMR: PI//(SBC).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD . M,N là hai điểm trên AB, CD . Mặt phẳng (a) qua MN, song song với SA. 
	a. 	Tìm các giao tuyến của (a) với (SAB) và (SAC).
	b.	Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (a) 
 c. 	Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang
Bài 3: Cho tứ diện ABCD .Trên cạnh AD lấy trung điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N bất kỳ . Gọi () là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .
	a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng () với tứ diện ABCD.
 b. Xác định vị trí của N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành .
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi I,M lần lượt là trung điểm BC,SC.
a) CMR: OM//(SAD).
b) CMR: OI//(SCD); IM//(SBD).
3.7) Dạng 7: Chứng minh hai mặt phẳng song song.
3.7.a) Lý thuyết 
 Các phương pháp thường dùng để chứng minh hai mặt phẳng song song:
 +) 
 Thông thường tính chất trên được áp dụng dưới dạng sau:
+) 
+) 
3.7.b) Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA ,SD 
	a. 	Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC)
	b.	Gọi P, Q , R lần lượt là trung điểm của AB ,ON, SB. Chứng minh : 
 PQ // (SBC), (MOR) // (SCD)
Giải: 
a. 	Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC):
	Xét tam giác SAC và SDB : 
	Ta có : 
	b.	Chứng minh : PQ // (SBC)	
	Ta có : 
	Þ	M, N, P, O đồng phẳng 
	Þ	PQ Ì (MNO)
Mà 	 Vậy : PQ // (SBC)
b) Chứng minh: PQ // (SBC), (MOR) // (SCD)
	Ta có : 	(1)
	Xét tam giác SDB : ta có 	(2)
	Từ (1) và (2) , ta được 
 Ví dụ 2: Cho các hình bình hành ABCD , ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau .Trên các đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy các điểm M,N sao cho:
 MC = 2AM , NF = 2BN . Qua M, N lần lượt kẻ các đường thẳng song song với cạnh AB, cắt các cạnh AD, AF theo thứ tự tại M, N.
	Chứng minh rằng :
	a.	
	b.	
	c.	
Giải:
	a.	:
	Giả sử EN cắt AB tại I
	Xét 	D NIB ~ D NEF
	Ta có : 
	Þ	I là trung điểm AB và (1)
	Tương tự : Xét D MAI ~ D MCD
	Ta có : 
	Þ	I là trung điểm AB và (2)
	Từ (1) và (2) , suy ra 	 
 Þ
	Vậy :	
 b.	:
	Ta có : 	Þ (3)	(3)
Tương tự : Þ(4)	
	Từ (3) và (4) , suy ra 	 Þ	
	Ta được : 
	Vậy :	
	c.	:
	Ta có : 
	Vậy :	 
 Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD . Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ACD , ADB
	a.	Chứng minh : 	
	b.	Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng 
 Tính diện tích thiết diện theo diện tích của tam giác BCD.
 Giải: 
a.	Chứng minh : 	
	Gọi M , N , L lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CD và BD
	Ta có : 
	Þ	
	Vậy : 
 b.	Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng :
	Ta có : 	Giao tuyến của (G1G2G3) và (ABC) là đường thẳng đi qua và song song với BC cắt tại E và F
	Tương tự : 	cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD 
	 cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BD
	Xét tam giác AMC và tam giác ABC
	Ta có : 	Þ	(1)
	Þ	(2)
	Từ (1) và (2), ta được 	
	Þ	
	Tương tự : 	 	
	Þ	
 	Diện tích thiết diện: 
	 	 ==
	Vậy : 	
 Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của AB , BC và I , J , K theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ADF , ADC , BCE . Chứng minh (IJK) // (CDFE)
Giải: 
Xét tam giác MFC :
	Ta có : 
	Þ 	(1)
	Xét hình bình hành MNEF :
	Ta có : 
	Þ	(2)
	Từ (1) và (2) , ta có:
 	Þ 	
	Vậy : 	
 3.7.c) Bài tập tương tự 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I,M,G,P,Q lần lượt là trung điểm của DC,AB,SB,BG,BI.
a) CMR : (IMG)//(SAD).
b) CMR : PQ //(SAD).
c) Tìm giao tuyến của (SAC) và (IMG).
d) Tìm giao tuyến của (ACG) và (SAD).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. M là trung điểm cạnh bên SA, N là trung điểm cạnh bên SC.
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng đi qua M và song song với (SBD), mặt phẳng đi qua N và song song với (SBD) .
 b) Gọi I,J là giao điểm của hai mặt phẳng nói trên với AC. CMR : .
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SA,CD,AD.
a) CMR : (OMN)//(SBC).
b) Gọi I là điểm trên MP. CMR : OI//(SCD).
CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AD, M là điểm thuộc cạnh CD, N là điểm thuộc cạnh SB.
 a) Kí hiệu (a) là mặt phẳng đi qua MN và song song với AB. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (a).
 b) Ký hiệu là mặt phẳng đi qua M và song song với BD,SC. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
Giải: 
 a) Do AB//, qua M kẻ đường thẳng song song với Ab cắt AD, Bc lần lượt tại K,L.
 Trong (SBC) LN cắt SC tại P.
 Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt SA tại P.
 Thiết diện là ngũ giác MPNQK.
b) Trong mặt phẳng (ABCD), qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, AD tại R,I.
 Trong mặt phẳng (SBC) qua R kẻ đường thẳng song song với SC cắt SB tại T.
 Trong mặt phẳng (SCD) kẻ đường thẳng đi qua M song song với SC cắt SD tại V.
 Trong mặt phẳng (SAD) IV cắt SA tại U.
 Ta có : ngũ giác MRTUV là thiết diện cần tìm
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I là trung điểm cạnh B’C’.
a) Chứng minh rằng AB’//(A’IC).
b) M là điểm thuộc cạnh A’C’, AM cắt A’C tại P, B’M cắt A’I tại Q. Chứng minh 
PQ//AB’. Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác A’PQ bằng diện tích tam giác 
A’CI.
c) J là điểm thuộc cạnh AC : JA=3JC. Kí hiệu là mặt phẳng đi qua J và song song với AB’,IC. Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (a).
 Giải: 
a) Gọi O là trung điểm của A’C ta có: AB’//IO mà IO(A’IC)
 Do đó AB’//(A’IC).
b) Ta có PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’M) và (A’IC) nên PQ//A’B//IO.
 Vậy Q là trọng tâm tam giác A’B’C’ suy ra M là trung điểm A’C’.
c) Do AB’//(A’IC) nên là mặt phẳng đi qua J và song song với (A’IC).
 Trong mặt phẳng (ACC’A’) kẻ đường thẳng đi qua J song song với A’C cắt AA’, A’C’, C’C lần lượt tại N,R,S.
 Trong mặt phẳng (BCC’B’), kẻ đường thẳng qua S và song song với IC cắt BC,B’C’ lần lượt tại K,H.
 Ngũ giác JKHLN là thiết diện cần tìm.
 Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’B’ và M là một điểm thay đổi trên đoạn B’C 
( không trùng với hai đầu mút).
a) Chứng minh rằng: D’M//(A’BD).
b) Xác định giao điểm K của AM với (A’B’C’D’). Chứng minh rằng K luôn thuộc một đường thẳng cố định. 
c) N là điểm thuộc đoạn AC: AN=2CN. Kí hiệu là mặt phẳng đi qua N và song song với DA’,D’M. Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (a).
Giải: 
a) Ta có:
 (CB’D’)//(A’BD) mà D’M(CB’D’) 
nên D’M//(A’BD).
b) Trong mặt phẳng (BCC’B’) kẻ đường thẳng đi qua M và song song với BB’ cắt BC,B’C’ lần lượt tại E,H.
 Trong mặt phẳng (AA’HE), AM cắt A’H tại K. Ta có .
 K là điểm chung của hai mặt phẳng (ACB’) và (A’B’C’D’) nên K thuộc giao tuyến d =(ACB’) ∩ (A’B’C’D’) là đường thẳng đi qua B’ song song với A’C’
c) Ta có :
 song song với (CB’D’) và (A’BD), do đó nếu qua D vẽ đường thẳng song song với BD trong mặt phẳng (ABCD) cắt BC,CD,AB,AD lần lượt tại P,Q, R,L thì PQ là đoạn giao tuyến của với (ABCD).
 Trong mặt phẳng (ABB’A’) đường thẳng đi qua R song song với BA’ cắt A’B’, BB’ lần lượt tại U,V.
 Trong mặt phẳng (ADD’A’) đường thẳng qua L và song song với DA’ cắt DD’, D’A’ lần lượt tại S,T.
 Ta có lục giác PQSTUV là thiết diện cần tìm.
Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Trên AB lấy một điểm M sao cho AM = x(0<x<a). Gọi (a) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB , SC, CD lần lượt tại N, P, Q.
	a. 	Tìm thiết diện của (a) với mặt phẳng hình chóp . Thiết diện là hình gì ?
 b.	Cho = 900 và SA = a. Tính diện tích của thiết diện theo a và x .Tính x để diện tích thiết diện bằng 
 Giải: 
a. 	Tìm thiết diện của (a) với mặt phẳng hình chóp:
	Ta có : 	
	· Với	 	
	· Với	 	
 · Với	 	
 	(1)
 ·Vì 	
	(2)
	Từ (1) và (2) , suy ra : là hình thang 
	Vậy : là hình thang.
b. Tính diện tích của thiếtdiện theo a và x : 
Ta có : 	
	Mà 	
	Nên: 	
	Tính :	
	Ta có: 	D SAD vuông cân tại A 
	Do đó :	
	 Tính :	
 Đường thẳng qua B song song với SA cắt tại S0
	Xét tam giác SBC , tam giác SBSvà tam giác SAB
	Ta có : 	Þ	(1)
	Þ	(2)
	Þ	(3)
	Từ (1) , (2) và (3) , ta được 	Þ
	Þ	D INP vuông cân tại N 
	Do đó 	: 
	Þ 	
	 Û Û	
	 Û Û
 Bài tập tương tự 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành , E là trung điểm cạnh bên SC và M là điểm thay đổi trên cạnh bên SA. Kí hiệu là mặt phẳng đi qua EM và song song với BD.
a) Chứng minh đi qua một đường thẳng cố định. Xác định giao điểm của SB,SD với .
b) F là điểm thuộc mặt bên (SAB). Kí hiệu là mặt phẳng đi qua EF và song song với BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
 Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’B’ và I là trung điểm AB’.
a) Chứng minh rằng: C’I//(ACD’).
b) M là điểm thuộc cạnh DD’ ( không trùng hai đầu mút) Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (C’IM) và (ACD’). Tìm vị trí điểm M để giao tuyến này đi qua trung điểm của AD’.
c) N là điểm thuộc cạnh C’D’ không trùng với C’,D’. Xác định giao điểm của AB,AD với mặt phẳng (IMN).
 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1/Kết luận:
 Kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian là những kiến thức nền tảng của môn hình học không gian trong chương trình môn Toán THPT. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó và học sinh hay thiếu tự tin vào bản thân khi làm bài tập dạng này.
 Sau khi thực hiện đề tài, để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi tiến hành cho học sinh làm bài tập kiểm tra với đề bài tương tự kết quả thu được như sau:
Lớp
Tổng số
Điểm 8 trở lên
Điểm từ 5 đến 8
Điểm dưới 5
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
11A3
45
14
31,1%
24
53,3%
07
15,6%
11A4
45
12
26,7%
26
57,7%
07
15,6%
11A10
44
9
20,5%
27
61,4%
08
18,1%
 Qua bảng số liệu thu được ta thấy đề tài đã có tác dụng định hướng cho học sinh trong quá trình giải bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian, đó là nền tảng để học sinh tiếp tục học, nghiên cứu về hình học không gian. Các em không còn lúng túng khi vẽ hình, tưởng tượng không gian mà đã có nhìn nhận bài toán đúng đắn hơn, tổng quát hơn. Đề tài được học sinh đồng tình đã có kết quả tốt cho học sinh ba lớp được khảo sát. Các em nâng cao được khả năng giải toán và hứng thú trong học tập hơn.
2/ Kiến nghị:
 Sau khi thực hiện đề tài này tôi thấy đề tài có xuất phát điểm là những kiến thức tương đối đơn giản, tư duy rõ ràng, tự nhiên, dễ hiểu có thể áp dụng cho các học sinh có học lực từ trung bình, hiệu quả của đề tài tương đối tốt. Tôi đề nghị các thầy cô giáo dạy khối 11 cố gắng dành một số tiết tự chọn hoặc tiết tăng buổi để đề cập sâu hơn tới chủ đề này và có những góp ý, những ví dụ đóng góp cho đề tài được tốt hơn. 
 Kính đề nghị các cấp trên bổ sung, góp ý, yêu cầu chỉnh sữa( nếu cần) các đề tài của các giáo viên nộp về và phổ biến để các đồng nghiệp có thể học hỏi và vận dụng vào công tác giảng dạy để kết quả giáo dục ngày càng tốt hơn.
 Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có những điểm hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3/Tài liệu tham khảo:
SGK Hình học 11
SBT Hình học 11
Tài liệu chuyên toán BÀI TẬP HÌNH HỌC 11 ( Đoàn Quỳnh )
Một số tài liệu khác 
 MỤC LỤC
NỘI DUNG
Trang
I.PHẦN MỞ ĐẦU
 1/Lý do chọn đề tài
1
 2/Mục tiêu nghiên cứu
1
 3/Nhiệm vụ nghiên cứu
2
 4/Các phương pháp nghiên cứu
2
 5/Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
2
 6/Đối tượng khảo sát và thời gian thực hiện đề tài
2
II.PHẦN NỘI DUNG
 1/Cơ sở khoa học của đề tài
3
 2/Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
4
 3/Nội dung nghiên cứu
5
3.1) Dạng 1
5
3.2) Dạng 2
7
 3.3) Dạng 3
10
3.4) Dạng 4
13
3.5) Dạng 5
17
3.6) Dạng 6
20
3.7) Dạng 7
24
Các bài tập tổng hợp
28
III.PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1/Kết luận
33
2/ Kiến nghị
33
3/Tài liệu tham khảo
33