Sáng kiến kinh nghiệm Ôn tập về tiếp tuyến và cát tuyến của đồ thị hàm số

ợp hàm số đã cho là hàm số bậc hai trên bậc nhất. Tuy nhiên có thể giải theo các viết phương trình tiếp tuyến dạng 
sau đó tìm các giao điểm A, B của với Ox, Oy và yêu cầu 
7. Tìm các điểm M trên để tiếp tuyến của tại M vuông góc với đường thăng IM. 
 Tâm đối xừng của là giao điểm của hai tiệm cận 
Xét là tiếp điểm và hệ số góc của tiếp tuyến là  ; . 
Hệ số góc của đường thẳng là 
Theo đề bài suy ra 
 Vậy tọa độ các điểm phải tìm là 
8. Tìm điểm A trên để tiếp tuyến của tại A cách I một khoảng lớn nhất 
 Xét và  ; 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là 
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 
 khi 
 Vậy các điểm thỏa mãn đề bài là 
9. Tìm điểm M trên để tiếp tuyến của tại M cắt trục Ox, Oy tại A , B và tam giác OAB có diện tích bằng , trong đó O là gốc tọa độ.
 Xét và 
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là 
Gọi thế vào phương trình d 
Gọi 
Tam giác OAB vuông tại O nên 
Theo đề bài 
 Từ các giá trị trên ta suy ra tọa độ các điểm phải tìm là 
Chú ý : 
 Với hàm số ta thường xét điểm M trên đồ thị có 
. Nhưng để thuận lợi trong việc tính toán đặc biệt là đối với các hàm số có dạng phân thức bậc hai chia bậc nhất, ta thường đặt tức là xét điểm M có hoành độ sao cho khi thay vào hàm số thì mẫu số .
10. M là điểm bất kỳ trên . Tiếp tuyến của tại M cắt các tiệm cận của tại các điểm A, B. Hãy tính diện tích tam giác IAB. 
 Theo các làm của ý số 9). 
Tiếp tuyến của tại M là 
Ta đã biết có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang , giao điểm của hai tiệm cận là 
Gọi A là giao điểm của và tiệm cận đứng 
Gọi B là giao điểm của và tiệm cận ngang 
 ; 
Tam giác IAB vuông tại I nên 
 Vậy tiếp tuyến bất kỳ của luôn tạo với hai tiệm cận của nó các tam giác có diện tích bằng 2.
11. Trong câu hỏi số 10. Hãy tìm tọa độ M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.
 Từ ý số 10). Với M là điểm bất kỳ trên ta có  ; 
Chu vi của tam giác IAB là 
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 
 bét nhất khi 
 Vậy chu vi của tam giác IAB nhỏ nhất khi và chỉ khi tọa độ M là hoặc 
12. M là điểm bất kỳ trên . Tìm số giao điểm của với tiếp tuyến của nó tại M.
 Xét với 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là 
Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình :
  ;
Với điểm M bất kỳ trên 
Suy ra và cắt nhau tại đúng một điểm M
 Vậy với mỗi điểm M bất kỳ trên tiếp tuyến của tại M cắt tại một điểm M
Nhật xét : 
 Từ kết quả của ý trên ta có kết luận sau :
Từ một điểm bất kỳ trên ta luôn kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với 
Thật vậy, giả sử qua M trên mà kẻ được hai tiếp tuyến với trong đó là tiếp tuyến của tại M , là tiếp tuyến của tại N khác M và đi qua M suy ra là tiếp tuyến của tại N lại cắt tại hai điểm phân biệt M, N điều này trái với kết luận của ý 12). Do đó giả sử là sai 
 Tuy nhiện có thể chứng minh nhật xét trên theo cách độ lập với ý 12) như ý sau 
13. Chứng minh rằng từ một điểm bất kỳ trên luôn kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với .
 Xét M bất kỳ trên có tọa độ 
Gọi là đường thẳng qua M và có hệ số góc suy ra phương trình là :
là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm 
Từ hai phương trình trên suy ra 
Suy ra . Do đó qua M kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với .
14. Tìm các điểm M trên để khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung.
 Xét 
Phương trình 
Theo đề bài 
+) Với thế vào 
+) Với thế vào 
 Vậy tọa độ các điểm thỏa mãn đề bài là 
15. Tìm tham số m để đường thẳng cắt tại hai điểm A, B và độ dài .
 Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm 
Suy ra 
Để có hai gia điểm A, B thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt 
Với điều kiện (*1) thì (*) có hai nghiệm chính là . Theo Vi-et suy ra 
A, B thuộc đường thẳng đã cho 
Theo đề bài 
 (thỏa mãn điều kiện)
 Vậy các giá trị phải tìm là 
16. Tìm để trên có hai điểm phân biệt P, Q sao cho ,
Khi đó hãy chứng minh rằng P và Q thuộc cùng một nhánh của .
 Từ suy ra P, Q thuộc đường thẳng d có phương trình 
Mà P, Q thuộc suy ra P và Q là các giao điểm của d và 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và  :
Để có hai điểm P, Q thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt 
 Vậy để trên có hai điểm thỏa mãn đề bài thì 
Khi đó là các nghiệm của (*). 
Theo Vi-et suy ra 
Xét tích 
 hoặc suy ra P, Q thuộc cùng một nhánh của 
Nhận xét : 
 Các hàm số phân thức hữu tỉ có dạng bậc nhất chia bậc nhất hoặc bậc hai chia bậc nhất đồ thị luôn có hai nhánh một nhánh ở bên phải và một nhánh ở bên trái của tiệm cận đứng.
 Nếu tiệm cận đứng là đường thẳng . Khi đó hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và sẽ sử dụng được định lý Vi-et.
17. Tìm tham số m để đường thẳng cắt tại hai điểm H, K và độ dài HK ngắn nhất.
 Xét phương trình hoành độ gia điểm : 
Để tồn tại hai điểm H, K phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt 
 đúng 
 Vậy luôn có hai giao điểm phân biệt H, K.
 là các nghiệm của (*) 
Vì H, K thuộc đường thẳng đã cho 
 Vậy đoạn HK ngắn nhất là khi 
18. Tìm các điểm A, B trên sao cho đường thẳng AB song song với đường thẳng d : và .
Hoành độ của A và B là nghiệm của PT : 
Để có A, B thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 
 là các nghiệm của (*) 
Mà 
 kết hợp với các điều kiện suy ra , khi đó với các hoành độ này thế vào phương trình hàm số đã cho suy ra các điểm phải tìm là và .
19. Tìm hai điểm A, B trên đối xứng qua đường thẳng .
 A và B đối xứng qua d (trong đó I là trung điểm của AB)
Phương trình d : ; 
Tọa độ A, B thỏa mãn hệ 
Từ hệ trên ;(19); 
Giả sử phương trình (19) có 2 nghiệm phân biệt là các nghiệm đó
Theo Vi-ét 
Khi b = -1 phương trình (19) trở thành 
 Từ các hoành độ trên thế vào phương trình hàm số suy ra các điểm phải tìm là 
20. Tìm M trên sao cho đoạn IM ngắn nhất.
 Xét 
 (theo đk (20))
 (theo bất đẳng thức Côsi)
 khi 
 Vậy tọa độ các điểm phải tìm là 
21. Tìm M trên sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của là nhỏ nhất.
 Xét 
 có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang 
 (theo đk (21))
Tổng các khoảng cách là (theo bất đẳng thức Côsi)
 và các điểm phải tìm là .
22. Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của sao cho đoạn AB ngắn nhất.
 Xét có 
 Xét có 
(theo bất đẳng thức Côsi)
 khi 
 Vậy tọa độ các điểm phải tìm là 
23. Tìm điểm M trên sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
 Xét 
Đặt 
Để tìm giá trị nhỏ nhất cho S ta nên kết hợp giữa việc khảo sát hàm số với tính chất của điểm M trên 
+) Nếu 
Có đều không thuộc đoạn 
Và khi .
+) Nếu (loại)
+) Nếu (loại)
+) Nếu (loại)
 Vậy tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất khi 
24. Tìm A trên trục hoành mà từ đố kẻ được đúng một tiếp tuyến với .
 Xét là điểm bất kỳ trên trục hoành, là đường thẳng qua A và có hệ số góc suy ra phương trình  : 
là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm 
Từ hệ trên suy ra 
Để từ A kẻ được đúng một tiếp tuyến với thì phuơng trình (24) phải có đúng một nghiệm 
 Vậy các điểm phải tìm có tọa độ là 
25. Tìm tham số m để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với tại A và B là . 
 Xét phương trình hoành độ giao điểm : 
Để có 2 giao điểm A, B thì phương trình (25) phải có 2 nghiệm phân biệt 
Với điều kiện (25a) thì phương trình (25) có hai nghiệm phân biệt là 
Theo Vi-et 
Ta kí hiệu lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến của tại A và B.
Theo đề bài 
 (thỏa mãn điều kiện (25a))
 Vậy các giá trị phải tìm là 
Nhận xét : 
 Với phương pháp giải như đã trình bày từ ý số 1 đến ý số 25 của bài tập trên ta thấy có thể áp dụng cho tất cả các hàm số phân thức hữu tỉ bậc nhất chia bậc nhất và bậc hai chia bậc nhất. Do đó với mỗi hàm số loại này ta đều có thể xây dựng hệ thống câu hỏi tương tự để hỗ trợ học sinh ôn tập kiến thức phục vụ cho thi Tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh Đại học và thi Học sinh giỏi. Sau đây là một bài tập thể hiện điều trên đối với hàm số phân thức bậc hai chia bậc nhất.
Bài 2. Gọi là đồ thị của hàm số 
1. Từ một điểm bất kì trên có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với .
2. Tìm điểm A trên để tiếp tuyến của tại A tạo với đường thẳng một góc với .
3. Tìm điểm A trên để tiếp tuyến của tại A tạo với hai đường tiệm cận của một tam giác có chu vi bé nhất.
4. Viết phương trình các tiếp tuyến của biết mỗi tiếp tuyến đó tạo với hệ trục tọa độ một tam giác vuông cân.
5. Tìm tham số m để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt A, B và độ dài đoạn AB ngắn nhất.
6. Tìm hai điểm P, Q trên đối xứng nhau qua đường thẳng 
7. Tìm điểm A trên trục Oy mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
8. Tìm tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà từ đó kể được hai tiếp tuyến với và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
9. Tìm các điểm A trên sao cho tổng các khoảng cách từ A đến hai tiệm cận của là bé nhất.
10. Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác mhau của sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất.
Lời giải 
 Hàm số đã cho có tập xác định : 
Viết lại 
Theo sơ đồ khảo sát hàm số đã học ta vẽ được đồ thị như hình dưới đây.
Chú ý rằng có tiệm cận đứng , tiệm cận xiên và tâm đối xứng của là giao điểm của hai tiệm cận 
1. Từ một điểm bất kì trên có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với .
 A là điểm bất kì trên . Gọi là đường thẳng qua A và có hệ số góc suy ra phương trình là 
là tiếp tuyến của khi hệ phương trình sau có nghiệm :
Từ hệ trên suy ra 
Suy ra suy ra có một tiếp tuyến 
 Vậy từ một điểm bất kì trên luôn kể được đúng một tiếp tuyến với 
Nhận xét : 
 Với kết quả của ý trên ta suy ra kết luận sau : tiếp tuyến tại một điểm M bất kì trên chỉ cắt tại một điểm duy nhất là M.
2. Tìm điểm A trên để tiếp tuyến của tại A tạo với đường thẳng một góc với .
 Đường thẳng có vecto pháp tuyến 
Xét điểm . Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là 
. Phương trình tiếp tuyến có dạng nên tiếp tuyến có vecto pháp tuyến 
Từ 
(vì góc giữa hai đường thẳng luôn thuộc đoạn )
Ta có 
+) Với 
+) Với 
 Vậy các điểm phải tìm là 
3. Tìm điểm A trên để tiếp tuyến của tại A tạo với hai đường tiệm cận của một tam giác có chu vi bé nhất.
 có tiệm cận đứng , tiệm cận xiên và giao điểm của hai tiệm cận 
Xét điểm A trên có 
Hệ số góc của tiếp tuyến với tại A là 
Phương trình tiếp tuyến của tại A là 
hay 
+) Đặt M là giao điểm của và tiệm cận đứng thế vào phương trình ta được 
+) Đặt N là giao điểm của và tiệm cận xiện suy phương trình hoành độ giao điểm 
Chu vi tam giác IMN là 
Theo bất đẳng thức Côsi , ta có 
 . đẳng thức xảy ra khi 
 Vậy tiếp tuyến bất kì của tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất khi tọa độ tiếp điểm A là một trong các điểm trên.
Nhận xét :
 Với điểm A bất kì trên như ý số 3 nói trên ta thấy :
+) A luôn là trung điểm của MN vì tọa độ A là trung bình cộng tọa độ hai điểm M, N.
+) Diện tích tam giác IMN bằng . Trong đó và (đường thẳng IM là tiệm cận đứng có phương trình )
 Vậy không đổi khi A di chuyển trên 
4. Viết phương trình các tiếp tuyến của biết mỗi tiếp tuyến đó tạo với hệ trục tọa độ một tam giác vuông cân.
 Gọi là tiếp điểm . 
Hệ số góc của tiếp tuyến là . 
Tiếp tuyến tạo với hệ trục tọa độ tam giác vuông cân khi tiếp tuyến song song với một trong các đường thẳng hoặc suy ra .
+) Nếu 
Với tiếp tuyến : 
Với tiếp tuyến : 
+) Nếu 
Với tiếp tuyến : 
Với tiếp tuyến : 
 Vậy phương trình các tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là 
 ;  ;  ; 
5. Tìm tham số m để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt A, B và độ dài đoạn AB ngắn nhất.
 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là : 
Để có hai giao điểm phân biệt thì (5) phải có hai nghiệm phân biệt 
 đúng 
Khi đó là các nghiệm của (5). Theo Vi-et 
A, B thuộc đường thẳng đã cho nên 
 Vậy đoạn AB ngắn nhất là đạt được khi 
6. Tìm hai điểm P, Q trên đối xứng nhau qua đường thẳng 
 Viết lại phương trinh 
Ta biết P và Q đối xứng với nhau qua 
(trong đó I là trung điểm của đoạn PQ).
Vì phương trình đường thẳng 
Mà P và Q thuộc suy ra tọa độ P và Q thỏa mãn hệ phương trình sau :
Giả sử có hai điểm P, Q thì phương trình (6) phải có hai nghiệm phân biệt chính là . 
Theo Vi-et suy ra 
Ta có ; 
Khi , phương trình (6) trở thành thế vào phương trình hàm số đã cho suy ra các điểm phải tìm là và .
7. Tìm điểm A trên trục Oy mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
 Xét . là tiếp tuyến của qua A có hệ số góc suy ra phương trình  :
Vì là tiếp tuyến của nên hệ phương trình sau phải có nghiệm :
 . 
Thế phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được
Để có hai tiếp tuyến thì phương trình (7) phải có hai nghiệm phân biệt 
Với điều kiện (7a) thì phương trình (7) có hai nghiệm .
Theo Vi-ét ta có 
Ta có 
Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau 
 Vậy các điểm phải tìm có tọa độ 
8. Tìm tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà từ đó kể được hai tiếp tuyến với và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
 Xét , là tiếp tuyến của qua Mcó hệ số góc suy ra phương trình  :
Vì là tiếp tuyến của nên hệ phương trình sau phải có nghiệm :
 . 
Thế phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được
Để có hai tiếp tuyến thì phương trình (8 phải có hai nghiệm phân biệt 
Gọi hai nghiệm của (8) là 
Theo Vi-ét ta có 
Ta có 
Hai tiếp tuyến vuông góc với nhâu 
thuộc đường tròn có tâm , bán kính 
 Ta sẽ kiểm tra các điều kiện 
-Với điều kiện (*3). Nếu thế vào phương trình 
Do đó từ (*3) ta loại đi các điểm trên có tọa độ 
- Với điều kiện (*1). Nếu thế vào phương trình suy ra 
Do đó từ (*1) ta loại đi các điểm trên có tọa độ 
-Với điều kiện (*2). Từ phương trình 
 kết hợp với (*3) 
Điều kiện (*2) vế trái là một tam thức bậc hai ẩn a có hệ số bậc hai dương và biệt thức 
Do đó (*2) luông đúng 
 Tóm lại tập hợp các điểm thỏa mãn đề bài là đường tròn loại đi bốn điểm nói trên.
Nhân xét 
 Nếu đề bài phát biểu theo cách :
Chứng minh rằng nếu M là điểm trên mặt phẳng tọa độ mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau thì M luôn thuộc một đường tròn cố định. Khi đó việc thực hiện lời giải không cần bàn đến các điều kiên nói trên.
Hoặc đề bài có thể phát biểu : Gọi E và F là hai điểm trên mặt phẳng tọa độ mà từ mỗi điểm đó kể được hai tiếp tuyến với và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau thì độ dài đoạn EF không vượt quá 8. Khi đó việc thực hiện lời giải không cần bàn đến các điều kiên nói trên vì E và F thuộc thì độ dài đoạn EF không vượt quá đường kính củalà 8.
9. Tìm các điểm A trên sao cho tổng các khoảng cách từ A đến hai tiệm cận của là bé nhất.
 Xét điểm 
có tiệm cận đứng và tiệm cận xiện 
Tổng các khoảng cách trên là 
 (theo bất đẳng thức Côsi)
 khi 
 Vậy tọa độ điểm phải tìm là 
và 
10. Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác mhau của sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất.
 Chú ý hàm số đã cho có đồ thị và đồ thị bị tiệm cận đừng chia làm hai nhánh. Các điểm ở nhánh bên trái có hoành độ luôn nhỏ hơn – 1 còn các điểm ở nhánh bên phải có hoành độ luôn lớn hơn – 1.
 Xét có 
 Xét có 
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 
 khi 
 Vậy các điểm phải tìm là 
và 
Nhận xét :
 Qua bài tập số 2 chúng ta vừa tiến hành lời giải như trên thêm một lần nữa khẳng định với tất các các hàm số phân thức hữu tỉ có dạng bậc nhất chia bậc nhất hoặc bấc hai chia bậc nhất ta đếu xây dựng được hệ thống câu hỏi ôn tập và lời giải theo cách tương tự nói trên.
Bài tập tương tự 
 Cho hàm số có đồ thị và tâm đối xứng là I
1. Viết phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng một góc với .
4. Tìm m để đường thẳng cắt tại hai điểm M, N sao cho độ dài 
đoạn .
5. Tìm m để đường thẳng cắt tại hai điểm A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng .
6. Tìm tọa độ hai điểm P, Q trên sao cho và đường thẳng PQ song song với đường thẳng .
7. Tìm hai điểm phân biệt trênvà đối xứng với nhau qua đường thẳng có phương trình .
8. Tìm m để đường thẳng cắt tại hai điểm A,B sao cho đoạn AB ngắn nhất.
9. Tìm điểm M trên sao cho tiếp tuyến của tại M vuông góc với đường thẳng IM.
10. Viết phương trình tiếp tuyến của biết khoảng cách từ I đến là lớn nhất.
11. Tìm điểm M trên sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của là bé nhất.
12. Tìm điểm A trên sao cho khoảng cách từ A đến trục hoành bằng 3 lần khoảng cách từ A đến trục tung.
13. Tìm điểm M trên sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
14. Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của sao cho đoạn AB ngắn nhất.
15. Tìm điểm H trên để tiếp tuyến của tại H tạo với hai tiệm cận của một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số bài tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có được sự kết luận toàn diện nên giữa học kì I năm học 2010 – 2011 và năm học 2011 – 2012 khi học sinh đã học song các phần liên quan đến nội dung của bài viết này tôi đã cho các lớp 12A4 , 12A5 (năm học 2010 – 2011), các lớp 12A4, 12A6 (năm học 2011 – 2012) làm bài kiểm tra 45 phút với đề bài tương tự phần khảo sát thực tiễn chỉ thay đổi về mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánh kết quả thu được. 
 Trong năm học 2010 – 2011 lớp 12A4 là lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tài còn lớp 12A5 là lớp đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài. 
 Trong năm học 2011 – 2012 lớp 12A4 là lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tài còn lớp 12A6 là lớp đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài. 
 Sau khi chấm bài kiểm tra tôi thu kết quả với mức điểm được tính phần trăm như sau: 
1. Năm học 20010 – 2011 
 Lớp thực nghiệm 12A4 (50 học sinh) 
 Lớp đối chứng 12A5 (50 học sinh)
 Điểm
Lớp
1 1 – 2,5
3 3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
 Lớp 12A4
0%
4%
16%
28%
52%
 Lớp 12A5
2%
20%
60%
14%
4%
2. Năm học 2011 – 2012 
 Lớp thực nghiệm 12A4 (50 học sinh) 
 Lớp đối chứng 12A6 (50 học sinh)
 Điểm
Lớp
1 1 – 2,5
3 3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
 Lớp 12A4
0%
2%
18%
20%
60%
 Lớp 12A5
4%
28%
52%
14%
2%
 Căn cứ vào kết quả kiểm tra. Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của lớp thực nghiệm và lớp còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với các nội dung đã trình bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 12 đang chuẩn bị cho kì thi Tốt nghiệp và thi vào Đại học có cái nhì bao quát về cách giải các bài toán liên qua đến tiếp tuyến và cát tuyến của đồ thị hàm số nói riêng, các bài toán đề cập đến đồ thị hàm số nói trung và góp phần đáng kể hỗ trợ cho các em học sinh trong việc ôn thi vào Đại học.
III. KẾT LUẬN
 Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số giờ tự chọn nâng cao, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày. Tôi thấy các em học sinh đã tự tin hơn khi đứng trước bài toán có thể mới, là về tiếp tuyến và cát tuyến của đồ thị hàm số đồng thời qua đó cũng khắc sau được khá nhiều công thức và tính chất khác của Đại số Giải tích và hình học.
 Tôi rất vui vì hai năm gần đây khi thu sáng kiến kinh nghiệm Sở giáo dục và đào tạo đã yêu cầu nộp cả bản sáng kiến kinh nghiệm điện tử, nhưng tôi cũng rất mong qua các lần thu như vậy sau khi đã chấm song tất cả các sáng kiến kinh nghiệm thuộc về một lĩnh vực sẽ được nghi vào đĩa để gửi về các trường Trung học phổ thông để các bạn đồng nghiệp tham khảo sẽ góp phần làm cho hiệu quả của nhiều giờ dạy tăng lên đáng kể. 
 Với thời gian ngắn, tuổi nghề chưa nhiều nên việc thực hiện đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
Xác nhận của Hiệu trưởng trường Trung học phổ thông Mĩ Đức A.
Hà Nội ngày 15 tháng 5 năm 2012
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này do tôi tự viết chứ không phải đi sao chép. Nếu sai tôi xin chịu mọi trách nhiệm! 
 Tác giả 
 Nguyễn Hà Hưng 
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo viên , Sách giáo khoa và Sách bài tập Đại số , Giải tích lớp 10 , 
 11 , 12 theo chương trình chuẩn và chương trình nâng cao của nhà xuất bản 
 Giáo Dục.
2. Tuyển tập các đề thi tuyển sinh vào các trường Đai học và Cao đẳng từ 
 năm 1996 đến năm 2011 của nhà xuất bản Hà Nội.