Sáng kiến kinh nghiệm Nhận dạng, phân loại và phương pháp giải phương trình bậc cao

p phân tích đa thức thành nhân tử.
Hệ quả định lý Bơdu.
Sơ đồ Hooc ne.
Cách nhẩm nghiệm một phương trình.
II - Những phương pháp, biện pháp, giải cụ thể:
A - Nội dung lý thuyết cơ sở:
1. Phương trình, nghiệm của phương tình : 
 Cho A( x1,x2,,xn) và B( x1,x2,,xn)là hai biểu thức chứa các biến x1,x2,,xn với các hệ số thuộc R. Khi phải tìm phần tử (a1,a2,.,an) R sao cho các giá trị tương ứng của hai biểu thức bằng nhau, tức là : 
A(a1,a2,.,an) = B(a1,a2,.,an) thì ta viết : 
A(x1,x2,,xn) = B( x1,x2,,xn) và gọi đẳng thức đó là một phương trình.
Các biến x1,x2,,xn gọi la các ẩn của phương trình.
Tập xác định của phương trình: là những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phương trình đều có nghĩa.
 Mỗi phần tử (a1,a2,.,an) R thỏa mãn đẳng thức :
 A(a1,a2,.,an) = B(a1,a2,.,an) được gọi là một nghiệm của phương trình.
Việc tìm nghiệm thuộc R được gọi là giải phương trình.
 - Phương rình bậc nhất : Là phương trình có dạng : ax + b = 0 ( a0)
 Trong đó xlà ẩn ; a, b là các hệ số
Cách giải : + Nếu a 0 Pt có nghiệm duy nhất : x = 
 + Nếu a = 0 Pt có dạng : 0x = -b 
 . b 0 => 0x = b . Pt vô nghiệm.
 . b = 0 => 0x = 0 . Pt có vô số nghiệm x R.
 - Phương trình bậc hai : Là phương trình có dạng : ax2 + bx + c = 0 ( a0)
 Trong đó xlà ẩn ; a, b,c là các hệ số
 Cách giải : Theo lược đồ sau.
ax2 + bx + c = 0 ( a0)
Xác định các hệ số a,b,c
Phương trình có 2 nghiệm 
x1 = 1 ; x2 = 
= 0
Tính a + b + c
Phương trình có 2 nghiệm 
x1 = -1 ; x2 = 
0
= 0
Tính a - b + c
0
Tính 
.
= 0
< 0
> 0
Phương trình vô nghiệm
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 = ; x2 = 
Phương trình có nghiệm kép
x1 = x2 = 
 Ví dụ. Giải phương trình sau: 
a, x2 + 3x - 1 = 0
Có : a = 1; b = 3 ; c = -1 
 = 32 - 4.1.(-1) = 9 + 4 = 13 > 0 . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
 x1 = ; x2 = 
b, 4x2 - 4x + 1 = 0 
Có : a = 4; b = -4; c = 1
 = (-2)2 - 4.1 = 4 - 4 = 0. Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = 
c, 3x2 + 5x + 4 = 0 
Có : a = 3; b = 5; c = 4 
= 52 - 4.3.4 = 25 - 48 = -23 < 0 . Phương trình vô nghiệm.
d, 7x2 + 23x - 30 = 0
Có a + b + c = 7 + 23 - 30 = 0. Phương trình có 2 nghiệm : x1 = 1 ; x2 = 
e, x2 - 60x - 61 = 0
Có: a - b + c = 1 - (-60) - 61 = 0. Phương trình có hai nghiệm : x1 = -1 ; x2 = 61
- Phương trình bậc cao : là pt dạng anxn + an - 1x n - 1 + .............. +a1x + a0 = 0 
(anxn + an - 1x n - 1 + .............. +a1x + a0 là đa thức bậc n ( n 3) )
 Trong đó xlà ẩn ; an,an - 1, .,a1,a0 là các hệ số
 Cách giải phương trình bậc cao chính là nội dung chính của đề tài này và được nghiên cứu ở phần sau.
 2. Định nghĩa hai phương trình tương đương: Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.
 3. Các định lý về biến đổi tương đương các phương trình :
 a, Định lý 1: Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn vào hai vế của phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
 Ví dụ : x4 - 24x = 32
 x4 - 24x + 4x2 + 4 = 32 + 4x2 + 4 ( Cộng 4x2 + 4 vào 2 vế )
 Hệ quả 1 : Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phương trình đồng thời đổi dấu hạng tử ấy thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
 Ví dụ : 2x - 7 = 4x + 9
 2x - 4x = 9 + 7 ( Chuyển vế đổi dấu hai hạng tử 4x và -7 )
 Hệ quả 2 : Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương trình thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
 Ví dụ : - 4x + x2 -5 = 2x + x2
 - 4x -5 = 2x ( Xóa hạng tử x2 ở hai vế )
 b, Định lý 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
 Ví dụ : x2 - 3x = 
 2x2 - 12x = 3 ( Nhân hai vế với 4 )
 4. Hệ quả định lí Bơdu:
x = a là nghiệm của đa thức f(x) Û f(x) chia hết cho nhị thức x - a
Định lí này giúp chúng ta đưa Pt bậc cao về phương trình tích ( quy về giải các phương trình có bậc thấp hơn) :
 Phương trình : anxn + an - 1x n - 1 + .............. +a1x + a0 = 0 (*) nếu có nghiệm x = a
Thì (*) (x - a)(anx n - 1+ bnxn-2 +  + b1x + b0) = 0
 5. Sơ đồ Hoocne:
Giả sử g(x) = bn - 1xn -1 + bn - 2x n - 2 + .............. +b1x + b0 và r là thương và dư của phép chia đa thức f(x) = anxn + an - 1x n - 1 + ..............+ a1x + a0 cho nhị thức
 x - a.
Khi đó r và các hệ số của g(x) được tính theo sơ đồ sau:
an
an-1
an-2
.........
a1
a0
a
bn-1
(=an)
bn-2
(=a bn-1 +an-1)
bn-3
(=a bn-2 +an-2)
..
b0
(=a b1 +a1)
r
(=a b0 +a0)
 6. Nghiệm (nếu có) của một phương trình:
 Phương trình anxn + an - 1x n - 1 + .............. + a1x + a0 = 0
Nghiệm nguyên của Pt phải là ước của a0
Nghiệm hữu tỷ của Pt có dạng ( trong đó p là ước của a0; q là ước dương của an).
Chú ý : Gọi m là tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn
 và n là tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ
+ Nếu m + n = 0 ị Pt có nghiệm x = 1
+ Nếu m - n = 0 ị Pt có nghiệm x = -1
B - Vận dụng lý thuyết vào giảng dạy thực tiễn:
- Cung cấp cho học sinh những nội dung lí thuyết trên.
- Các phương pháp giải phương trình bậc cao:
 I. Nhẩm nghiệm của Pt, đưa Pt về Pt tích :
Ví dụ 1. Giải phương trình : x3 + 5x2 + 3x - 9 = 0 (*)
Giải:
 Pt có tổng các hệ số bằng 0 ( 1+5+3-9 =0 ) nên có một nghiệm nguyên x = 1. Sử dụng sơ đồ Hoocne có :
1
5
3
-9
1
1
6
9
0
 (*) (x - 1)(x2 + 6x + 9) = 0. Tìm được x1 = 1; x2,3 = -3
 b, Ví dụ 2. Giải phương trình : 3x3 - 14x2 + 4x + 3 = 0 (*)
Giải:
 Ta thấy Pt có nghiệm hữu tỉ x = , nên khi phân tích VT của Pt thành nhân tử, sẽ có nhân tử 3x + 1. Khi đó ngoài việc sử dụng sơ đồ Hoocne ta có thể dùng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử làm xuất hiện nhân tử 3x + 1:
(*)3x3 + x2 - 15x2 - 5x+ 9x + 3 = 0 x2(3x + 1) - 5x(3x + 1) + 3(3x + 1) = 0
 (3x + 1)( x2 - 5x+ 3) = 0 . Nghiệm Pt : x1 = ; x2,3 = .
 * Bài luyện tập
 BT1 : Giải các phương trình :
a, 2x3 - 5x2 - 3x = 0
b, x3 - 7x + 6 = 0
c, x3 - 5x2 + x + 5 = 0
d, x3 - 13x2 - 42x - 36 = 0
e, x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0
f, 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = 0
 II. Các dạng đặc biệt :
 1. Phương trình tam thức : 
Phương trình tam thức là phương trình có dạng : ax2n + bxn + c = 0 ( a0)
Trong đó a,b,c là các số thực, n nguyên dương và n 2
 - Nếu a,b,c đồng thời khác 0 và n = 2 thì ta có phương trình trùng phương : 
 ax4 + bx2 + c = 0 .
 Ví dụ. Giải phương trình : x4 - 4x2 + 3 = 0
Đặt x2 = t . Điều kiện t 0
Phương trình đã cho có dạng : t2 - 4t + 3 = 0
x = 1
Có : a + b + c = 1 - 4 +3 = 0. Pt có hai nghiệm t1 = 1; t2 = 3
x = -1
 + Với t1 = 1 = > x2 = 1 
x = 
x = -
 + Với t2 = 3 = > x2 = 3 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x1 = -; x2 = -1; x3 = 1; x4 = 
 - Khi n > 2 . Đặt xn = t , để tìm nghiệm của phương trình ta giải hệ :
 xn = t
 at2 + bt + c = 0
Ví dụ 1. Giải phương trình : x6 - 9 x3 + 8 = 0
Giải:
Đặt x3 = t , ta có : t2 - 9 t + 8 = 0 => t1 = 1 => x1 = 1
 t2 = 8 => x2 = 2
Ví dụ 2. Giải phương trình : x8 + 6x4 - 7 = 0
Giải:
Đặt x4 = t ( t0) Pt đã cho có dạng : t2 + 6t - 7 = 0 => t1 = 1 => x = 1 
 t2 = -7 ( loại).
* Bài luyện tập
 BT2 . Giải các phương trình :
 a, x4 + 4x2 - 5 = 0
 b, x6 - 7x3 - 8 = 0
 c, x8 + x4 - 2 = 0
 d, x10 - 10x5 + 31 = 0
 2. Phương trình đối xứng. 
Một phương trình dạng : anxn + an - 1x n - 1 + .............. + a1x + a0 = 0
trong đó vế trái là đa thức bậc n được gọi là phương trình đối xứng nếu các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau, nghĩa là : 
 an= a0, an - 1 = a1,.
 Tùy theo n là số chẵn hay lẻ mà ta có phương trình đối xứng bậc chẵn hay bậc lẻ.
 Ví dụ 1. Giải phương trình : x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1 = 0
Giải:
 Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x2 0 ta có :
 x2 + 6x+ 11 + + = 0
 (x2 + ) + 6( x+ ) + 11 = 0
Đặt x+ = t ị x2 + + 2 = t2 ị x2 + = t2 - 2
ị Pt có dạng : t2 - 2 + 6t + 11) = 0 => (t + 3)2 = 0 => t = -3
x+ + 3 = 0 => x2 + 3x+1 = 0 . Nghiệm Pt : x1,2 = 
Ví dụ 2. Giải phương trình : 3x6 - 4x5 + 2x4 - 8x3 + 2x2 - 4x + 3 = 0 (*)
Giải:
 Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x2 0 ta có :
 3x3 - 4x2 + 2x - 8 + - + = 0
 3(x3 + ) - 4( x2 + ) + 2(x+ ) - 8 = 0
Đặt x+ = t ị x 2 + = t2 - 2
 x3 + = t3 - 3t
Pt đã cho có dạng : 3 ( t3 - 3t) - 4( t2 - 2) + 2t - 8 = 0 
 3t3 - 4t2 - 7t = 0
 t ( 3t2 - 4t -7) = 0
 t ( t + 1) ( 3t - 7) = 0
 => (*) ( x2 + 1) ( x 2 + x +1) ( 3x2 - 7x + 3) = 0. 
 x2 + 1 = 0. Pt vô nghiệm
x 2 + x +1 = 0. Pt vô nghiệm
 3x2 - 7x + 3 = 0. Pt có 2 ngiệm: x1,2 = 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1,2 = 
 Ví dụ 3. Giải phương trình : 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 (*)
 Đây là phương trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5), ta không thể giải ngay tương tự như VD1 và VD2. Ta nhận thấy Pt đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một nghiệm là x = -1 
Khi đó (*) (x + 1)( 2x4 + x3 - 6x2 + x + 2) = 0 . 
 x + 1 = 0 
 2x4 + x3 - 6x2 + x + 2 = 0 ( Pt đối xứng bậc chẵn đã biết cách giải )
Chú ý: Nếu m là nghiệm của phương rình đối xứng thì cũng là nghiệm của phương trình đó.
* Cách chia cả hai vế của Pt cho x2 0 cũng được sử dụng đối với các Pt có dạng :
 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 trong đó 
gọi là phương trình hồi quy .Để giải Pt dạng này ta đặt ẩn phụ : t = x + 
Ví dụ. Giải phương trình : x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 = 0 (*)
Giải:
 Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x2 0 ta có :
(x2 + ) + 6 ( x - ) + 7 = 0
 . Đặt x - = t ị x2 + = t2 + 2
 Pt đã cho có dạng : t2 + 2 + 6t + 7 = 0 ( t2 + 3 )2 = 0
(*) ( x2 + 3x - 1)2 = 0. Nghiệm của Pt (*): x1,2 = 
* Bài luyện tập
 BT3 . Giải các phương trình :
 a, x4 - 7x3 + 14 x2 - 7x + 1 = 0
 b, x 6 + 3x5 - 30x4 - 29 x3 - 30 x2 + 3x + 1 = 0
 c, x5 - 5x4 + 4x3 + 4x2 - 5x + 1 = 0
 d, x4 - 3x3 - 6x2 + 3x + 1 = 0
 e, x4 + 3x3 - 14 x2 - 6x + 4 = 0
3. Phương trình dạng : (ax + m) (bx + n) ( cx + k) ( dx + l) = r (*)
trong đó a.d = b.c và a.l + d.m = b.k + c.n
Cách giải : (*) [(ax + m) ( dx + l)][ (bx + n) ( cx + k)] = r
 [adx2 + (a.l + d.m)x + ml][ bcx2 + (b.k + c.n)x + nk] = r
Do a.d = b.c và a.l + d.m = b.k + c.n . Nên đặt adx2 + (a.l + d.m)x = t
Khi đó Pt có dạng At2 + Bt + C = 0. Giải Pt tìm t .
Sau đó giải Pt : adx2 + (a.l + d.m)x = t ta tìm được nghiệm của Pt đã cho.
 Ví dụ 1. Giải phương trình : ( 4x + 1) ( 12 x - 1) ( 3x + 2) ( x + 1) = 4 (*)
Giải
[ ( 4x + 1) ( 3x + 2)] [ ( 12x - 1) ( x + 1)] = 4
 ( 12x2 + 11x + 2)( 12x2 + 11x - 1) = 4
Đặt 12x2 + 11x = y ị ( y + 2) ( y - 1) - 4 = 0
y2 + y - 6 = 0
= > y = 2 ; y = - 3
(*) (12x2 + 11x - 2) (12x2 + 11x + 3) = 0 .Giải tiếp ta có nghiệm : 
 x1,2 =
Ví dụ 2. Giải phương trình : (x2 + 5x + 6)(x2 + 9x + 20) = 24 (*)
Giải
(*) ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) = 24
 [( x + 2) ( x + 5)][ ( x + 3) ( x + 4)] = 24
 (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24 = 0
Đặt x2 + 7x + 11 ( = ) = t
Pt có dạng : (t - 1)(t + 1) - 24 = 0 t2 = 25 t = 5
(*) ( x2 + 7x + 6) ( x2 + 7x + 16) = 0
( x + 1) ( x + 6) ( x2 + 7x + 16) = 0 . Ta tìm được nghiệm : x1,2 = -6 ; -1
* Bài luyện tập
 BT4 . Giải các phương trình :
a, x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8
b, (x - 4)(x - 5) (x - 6)(x - 7) = 1680
c, (4x + 3)2 (x + 1) (2x + 1) = 810
d, (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + 15 = 0
4. Phương trình dạng : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2
trong đó a.d = b.c
Cách giải 
Nhóm [(x + a)( x + d)][ (x + b)(x + c)] = mx2 
 rồi đặt ẩn phụ 
Ví dụ. Giải phương trình : (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x+ 12) = 4x2
Giải
Ta nhóm như sau : [(x + 2)(x+ 12)][(x + 3)(x + 8)] = 4x2
(x2 + 14x + 24)( x2 + 11x + 24) = 4x2
 Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x2 0 ta có :
 = 4. Đặt = y, ta có : (y + 14)(y + 11) - 4 = 4
x2 +10x +24 = 0
	y2 + 25y + 150 = 0
x2 +15x +24 = 0
Giải Pt ta được y1 = -10; y2 = -15 => 	 
 Pt có 4 nghiệm x1 = -4 ; x2 = -6 ; x3,4 = 
* Bài luyện tập
 BT5 . Giải các phương trình :
a, 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x+ 12) = 3x2
b, (x - 8) (x - 4) (x - 2) (x - 1) = 4x2
5. Phương trình dạng : (x + a)4 + (x + b)4 = m
Cách giải 
Đặt y = , khi đó x + = y +; x+= y - 
Ta thu được Pt trùng phương đã biết cách giải.
 Ví dụ. Giải phương trình : (x + 5)4 + (x +3)4 = 2
Giải
Đặt x + 4 = y => x + 5 = y + 1; x + 3 = y -1 
Pt đã cho có dạng : (y + 1)4 + (y - 1)4 = 2
y2 = 0
 y4 + 4y3 + 6y2 + 4y +1 + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y +1 = 2
y2 = -6
 y4 + 6y2 = 0 khi đó x + 4 = 0. Pt có nghiệm x = -4
5. Vài dạng phương trình bậc cao khác : 
Với phương trình bậc 4 : ax4 + bx3 + cx2 + dx +e = 0
 5.1 Đưa VT về dạng “hiệu hai bình phương” => Pt tích
Ví dụ 1. Giải phương trình : x4 + 4x3 + 3x2 + 2x -1 = 0
Giải
 x4 + 4x3 + 3x2 + 2x -1 = 0
 x4 + 4x3 + 4x2 - x2 + 2x -1 = 0
x2 + x + 1 = 0
 (x2 + 2x)2 - (x - 1)2 = 0
x2 + 3x - 1 = 0
 (x2 + x + 1)( x2 + 3x -1) = 0 
Pt đã cho có 2 nghiệm x1,2 = 
Ví dụ 2. Giải phương trình : x4 - 24x = 32
Giải
Thêm 4x2 + 4 vào 2 vế ta được: (x4 + 4x2 + 4) - (4x2 + 24x + 36) = 0
x2 - 2x - 4= 0
x2 + 2x + 8= 0
 (x2 + 2)2 - (2x + 6)2 = 0 
 (x2 + 2x + 8)( x2 - 2x - 4) = 0 
Pt đã cho có 2 nghiệm x1,2 = 1 
 5.2 Giải phương trình : x4 + 2x3 - x2 - 2x -15 = 0
Giải
 x4 + 2x3 - x2 - 2x -15 = 0
 x4 + 2x3 + x2- 2x2 - 2x -15 = 0
 (x2 + x)2 - 2( x2 + x) - 15 = 0
Đặt x2 + x = t ị Pt có dạng : t2 -2t -15 = 0
 t = 5 hoặc t = -3
 (x2 + x - 5) (x2 + x + 3) = 0
 Pt có nghiệm x1,2 = 
 5.3 Giải phương trình : x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = 0 (*)
Giải
(Pt này không thuộc các dạng trên. Để giải Pt ta dùng phương pháp hệ số bất định để đưa Pt về Pt tích)
Giả sử x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = ( x2 + ax + b) ( x2 + cx + d) 
 x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = x4 + (a+ c)x3 + ( ac + b + d) x2 + ( ad + bc) x + bd
Đồng nhất hệ số : 
 a + c = -6
 ac + b + d = 12
 ad + bc = -14
 bd = 3
Xét bd = 3. Chọn b = 1 ị d = 3 
a = -4
 a + c = -6
ị
ị
c = -2
c = -2
	 ac = 8
3a + c = -14
ị (* ) ( x2 - 4x + 1) ( x 2 - 2x + 3) = 0
 Pt có nghiệm x1,2 = 
Hướng dẫn hoặc đáp số :
BT1: 
 a, x(x - 3) ( 2x + 1) = 0 => Nghiệm Pt: x1 = 0; x2 = 3; x3 = .
 b , ( x - 1) ( x - 2) (x + 3 ) = 0 => Nghiệm Pt: x1 = 1; x2 = 2; x3 = -3.
 c , ( x + 1)( x2 - 6x + 7) = 0 => Nghiệm Pt: x1 = -1; x2,3 = 
 d, (x - 3)(x2 - 10x + 12) = 0 => Nghiệm Pt: x1 = 3; x2,3 = 
 e , (x -1)(x + 2)( x2 + x + 6) = 0 => Nghiệm Pt: x1 = 1; x2 = - 2 .
 f, ( 3x -1) ( x2 - 2x + 5) = 0 => Nghiệm Pt: x = .
BT2: 
a, x1 = 1; x2 = - 1.
b, Đặt x3 = t => t1 = - 1 => x1 = -1
 t2 = 8 => x2 = 2
c, Đặt x4 = t ( t0) => t1 = 1 => x1 = 1; x2 = - 1 .
 t2 = - 2 ( Loại)
d, Đặt x5 = t => t2 - 10t + 31 = 0. Vô nghiệm
BT3: 
 a, ( x2 - 3x + 1) ( x2 - 4x + 1) = 0 
b, (x2 + x + 1)( x2 - 5x + 1) ( x2 + 7x + 1) = 0
c, ( x + 1)( x4 - 6 x3 + 10x2 - 6x + 10) = 0. Nghiệm x1 = 1; x2 = -1; x2,3 = 
d + e, Pt hồi quy: d, x1,2 = ; x3,4 = 
 e, Đặt = t. Nghiệm: x1,2 = ; x3,4 = 
BT4: 
a, (x2 + 3x)( x2 + 3x + 2) = 8. Đặt x2 + 3x + 1= t 
 => t = . Nghiệm : x1,2 = 
b, [(x - 4) (x - 7)][ (x - 5) (x - 6)] = 1680. Đặt x2 - 11x + 29 = t
Nghiệm : x1 = 12 ; x2 = -1.
c, (4x + 3)2 (4x + 4) (4x + 2) = 810.8 ( Nhân cả 2 vế với 8)
 (16x2 + 24x + 9) (16x2 + 24x + 8) - 6480 = 0
Đặt 16x2 + 24x + 8 = t. Tìm nghiệm
Hoặc đặt 4x + 3 = t = > t4 - t2 - 6480 = 0 => t = . Nghiệm x1 = ; x2 = -3.
d, ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) ( x + 7) + 15 = 0
 [( x + 1)( x + 7)][ ( x + 3) ( x + 5)] + 15 = 0
Đặt x2 + 8x + 11 = t. Nghiệm: x1 = -2 ; x2 = -6; x3,4= -4 .
BT5:
 a, 4(x2 + 17x + 60) (x2 + 16x + 60) = 3x2
Đặt = t. Nghiệm: x1 = -8 ; x2 = ; x3,4= 
 b, (x2 - 9x + 8) (x2 - 6x + 8) = 4x2
Đặt t. Nghiệm: x1,2= 
b/ x2 + 4x -12
2x3 - 5x2 - 3x
x4 + 4x2 - 5
x3 - 7x + 6
3x3 - 7x2 + 17x - 5
4x4 - 4x3 + 15x 2 + 3x - 3
3)Phân tích đa thức thành nhân tử:
(x2 + 5x)2 - 2( x2 + 5x) - 24
( x2 + 3x + 1) (x2 + 3x + 2) - 6
( x2 + 4x + 8)2 + 3x ( x 2 + 4x + 8) + 2x2
x( x + 4) ( x+ 6) ( x+10) + 128
4x( x + y) ( x + y+ z ) ( x + z) + y2z2
x4 - 7x3 + 14 x2 - 7x + 1
x 6 + 3x5 - 30x4 - 29 x3 - 30 x2 + 3x + 1
Phương pháp: Dự đoán nhân tử dạng tổng quát , sau đó đồng nhất hệ số 2 vế tìm các hệ số chưa biết.
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
x5 - 2x4 - 10x3 - 13x2 - 16x + 4
4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1
3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1
Một số bài tập áp dụng:
6) Tìm nghiệm của đa thức:
x2 - 7x+ 6
x3 + 5x2 + 8x + 4
(y + 1) ( 2 - y) + ( y - 2)2 + y2 -4
( x2 + x)2 + 4x2 + 4x -12
x4 + 4x3 + 6x2 + 4x +1
7) Giải phương trình:
6x2 - 11x + 3 = 0
x3 - 7x - 6 = 0
x3 - 9x2 + 6x + 16 = 0
x3 - x2 - x = 2
2x3 - x2 + 5x + 3 = 0
27x3 - 27x2 + 18x - 4 = 0
(x2 + 8x + 7) ( x2 + 8x + 15) + 15 = 0
4 ( x + 5) ( x + 6) ( x + 10) ( x + 12) - 3x2 = 0
( 12x + 7)2 ( 3x + 2) ( 2x + 1) = 3
8) Rút gọn
a) 	
b) 
Chỉ dẫn hoặc đáp số :
 1) a) (x + 6) ( x - 2)
 b) x(x - 3) ( 2x + 1)
 c)(x - 1) ( x + 3)2
 d) ( x - 1) ( x + 1) ( x2 + 5)
 e) ( x - 1) ( x - 2) (x + 3)
 f) ( 3x -1) ( x2 - 2x + 5)
 g) ( 2x +1) ( 2x3 - 3x2 + 9x - 3) đa thức 2x3 - 3x2 + 9x - 3 bất khả quy vì ta tìm được số p = 3 thảo mãn tiêu chuẩn Aidenxtainơ
 h) (3x+1) ( x2 - 5x + 3)
a) Thêm bớt 4x2 kết quả ( x2 + 2x + 2) ( x2 - 2x + 2)
b) ( x2 + 4x + 8) ( 8x2 - 4x + 8)
c) ( 8x2 - 4x + 1) ( 8x2 + 4x + 1)
 d) ( 9x2 - 6x + 2) ( 9x2 + 6x + 2)
 e )(2x2 + 2x + 1) (2x2 - 2x + 1)
 f) (8x2 + y2 + 4xy) (8x2 + y2 - 4xy)
 g)( x2 + 6x + 18) ( x2 - 6x + 18)
h) (x2 + x + 1) (x3 - x + 1)
i) ( x2 + x + 1) ( x6 - x 4 + x3 - x + 1)
k)- (x2 + x +1) ( x5 - x 4 + x3 - x + 1)
l) (x 2 + x + 1) (x 2 - x + 1) ( x6 - x 4 + 1)
m) (x 2 + x + 1) (x 2 - x + 1)
a) Đặt t = x2 + 5x cho kết quả t2 - 2t - 24 = ( t + 4) ( t - 6)
 = (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x - 6)
 = ( x + 1) ( x + 4) ( x - 1) ( x + 6)
b) ( x2 + 3x - 1) ( x2 + 3x + 4)
c) Đặt x2 + 4x + 8 = t có : t2 + 3xt +2x2 = t2 + 2xt + xt + 2x2
= ( 2x + t) ( t + x)
=(x2 + 6x + 8) ( x2 + 5x + 8)
= ( x + 2) ( x + 4) ( x 2 + 5x + 8)
d) (x +2) ( x + 8) ( x2 + 10x + 8)
4 (x2 + xy + xz) ( x2 + xy + xz + yz) + y2 z2 đặt x2 + xy + xz = m
 ị 4m ( m + yz) + y2 z2 = ( 2m + yz)2 = ( 2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
( x2 - 3x + 1) ( x2 - 4x + 1)
g
 h) (x2 + x + 1)( x2 - 5x + 1) ( x2 + 7x + 1)
 4) a) ( x - y) ( x - z) ( z - y) ( xz + yz + xy)
 b) ( a + b) ( b + c) ( a - c)
 c) ( b - c) ( c - a) ( a - b) ( a + b + c)
 d ) ( x - 2z) ( y - 2z) ( x + y)
 e) (2x - y) ( 2x + z) ( y + z) ( 2x + y - z)
3( x2 + y2) (y2+ z2)( x + z) ( x - z)
( a - b) ( b - c) ( c - a)
( a - b ) ( b - c) ( c - a) ( a + b + c)
( a - b)( b - c) ( a - c)
( a2 - b) ( b2 - c) ( c2 - a)
Dạng : xy ( x + y) + xz ( x + z) + yz ( y + z) + 2xyz Kết quả (x + y) ( y + z) ( x + z)
3( x + y) ( y + z) ( x + z)
a) 
b) ( x+ 2) ( x 4 - 4x 3 - 2x 2 - 9x + 2) = ( x+ 2) ( x2 + x + 2) ( x2 - 5x + 1)
d) Dạng ( 3x + ay + b) ( x + cy + d) ị kết quả ( 3x + y + 5) ( x + 7y + 2)
6) a) x = 1; 6; 
 b) x = -1; -2
 c) ( y + 1) ( 2 - y) + ( y - 2) 2 + ( y - 2) ( y + 2) = ( y - 2) ( y -1) 
 ị y = 1 ; 2
 d) ( x2 + x )2 + 4 (x2 + x) - 12 . Đặt x2 + x = t ị t = 6 ; -2
Với t = 6 ị x2 + x - 6 = 0 ị x = 2 ; -3
Với t = -2 đa thức x2 + x + 2 không có nghiệm
 e) ( x + 1)4 ị x = -1 
7) a ) x = ; 
 b) x = -1 : -2 ; 3
 c) x = -1; 2 ; 8
 d) x = 2
 e) x = - 
 f) x = 
 g) Đặt x2 + 8x + 11 = t ị t = 1 ; -1
 Với t = 1 ị x2 + 8x + 10 = 0 không có nghiêm hữu tỷ với t = -1 ị x = - 2; -6
 h) 
 i) ( x + 8) ( 2x + 5) ( 2x2 + 35x + 120) = 0 ị x = -8 ; - 
 k) Nhân 2 vế với 24 ị ( 12x+ 7) 2 ( 12x + 8) ( 12x+ 6) = 72
 Đặt 12 x + 7 = y ị x = - ; -.
8) a) = 
b) = 
c) = 
d) ( x + y) ( y + z) ( x + z)
e) = x + y + z
9) a) x2 + 3x + 3³ ị x = -
b) = x2 - 3x + 2 ³ - ị x = 
C -Kết quả thu được:
Giáo viên : Hiểu sâu sắc hơn về kiến thức, giáo viên tự tin hơn trong khi giảng dạy và đạt hiệu quả.
Học sinh : 
+ Nắm được các kiến thức cơ bản về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, định hướng tốt khi làm bài tập , vận dụng tốt các bài tập liên quan.
+ Kết quả cụ thể : 
 Phần III : Kết luận :
Qua nghiên cứu và thực tiễn giảng dạy tôi thấy việc dạy cho học sinh các kiến thức cơ bản về đa thức, nhất là các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là hết sức cần thiết, bởi nó có tầm quan trọng đặc biệt trong toán học . Tuy nhiên vấn đề đặt ra là cần đưa cung cấp cho học sinh ở mức độ nào, học thế nào còn tuỳ thuộc vào khả năng nhận thức của học sinh .