Sáng kiến kinh nghiệm Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải bài toán khoảng cách trong không gian

ơng pháp: hình học không gian thuần tuý và hình học giải tích, thấy được “cái hay” của phương pháp toạ độ, bằng hoạt động tự lực, tích cực của mình để chiếm lĩnh kiến thức.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = AD = a, DC = 2a, SD = a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
A.	B. 	C. 	D. 
Lời giải : Chọn B.
S
C
y
A
x
B
2a
D
z
a
a
a
Chọn hệ trục tọa độ Dxyz với . 
Khi đó A(a; 0; 0), C(0; 2a; 0), S(0; 0; a), B(a; a; 0) (hình chiếu của B trên Ox là A, trên Oy là trung điểm của DC). 
Ta có: .
. 
Mặt phẳng (SBC) đi qua S(0;0;a) và có 1 vectơ pháp tuyến (1;1;2).
=> (SBC): x + y + 2(z – a) = 0 x + y + 2z – 2a = 0.
Vậy 
Bài 4 (Bài 1.18 – trang 18 sách Bài tập Hình học 12)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C).
 Dạng này các em đã gặp ở bài 10 trang 81 và bài 10 trang 91 Hình học 12 (toàn bộ chương III chỉ yêu cầu làm 2 bài này theo phương pháp tọa độ) 
B
A’
B’
A
D’
z
D
y
C
x
a
a
2a
C’
Chú ý: Với hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ ta thường thiết lập hệ trục tọa độ dựa trên ba cạnh AB, AD, AA’ tương ứng với các trục Ox, Oy và Oz. Từ đó có lời giải sau:
 Chọn hệ trục tọa độ Axyz với .
Khi đó A(0; 0; 0), B’(a; 0; a), , C(a; 2a; 0) (Hình chiếu của B’ trên Ax là B và AB = a, hình chiếu của B’ trên Az là A’ và AA’ = a, hình chiếu của C trên Ax là B và AB = a, hình chiếu của C trên Ay là D và AD = 2a) 
Mặt phẳng (AB’C) đi qua A(0; 0; 0) và có vecto pháp tuyến (-2; 1;2).
=> (AB’C): -2x + y + 2z = 0. Vậy 
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA = a và vuông góc với đáy.
a) Tính khoảng cách từ A, D đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AB đến mặt phẳng (SCD).
Từ bài 1 đến bài 3 có sẵn 3 đường đôi một vuông góc, ở bài này cần tạo dựng hệ trục, để ý rằng SA vuông góc với mọi đường thẳng thuộc đáy.
Lời giải:
 Chọn hệ trục tọa độ Axyz với, Ay vuông góc với AB. 
y
A
K
J
O
B
x
C
D
I
A
B
x
y
D
C
S
O là trung điểm của AB => tam giác OAD và OBC đều cạnh a => hình chiếu của D, C trên Ay là I và AI = (độ dài đường cao tam giác đều cạnh a), hình chiếu của C trên Ax là J (trung điểm của OB), hình chiếu của D trên Ax là K (trung điểm của AO).
Khi đó A(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), 
a) 	
Mặt phẳng (SBC) đi qua B(2a; 0; 0) và có vecto pháp tuyến .
=> (SBC): Do đó: 
b)
 Mặt phẳng (SCD) qua D và có vecto pháp tuyến (0; 2; 1) 
=> (SCD): Vì AB // CD nên AB // (SCD). 
Vậy 
Qua 5 bài tập đưa ra nhận xét: Với một số bài trình bày theo phương pháp tọa độ là tối ưu, với một số bài mức độ ở 2 phương pháp tọa độ và không gian là tương đồng. Tuy nhiên cũng cần phải nhớ rằng không phải khi nào phương pháp tọa độ cũng tỏ ra hiệu quả. 
 Sau đó tôi lấy thêm một số bài hình học không gian ở dạng khác với mức độ khó hơn, cần kỹ năng tổng hợp hơn để học sinh tìm tòi, khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác và xử lý thông tin, tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất.
 Đặc biệt, việc xác định và tính khoảng cách trong hình học không gian tương đối khó, song phương pháp tọa độ lại tỏ ra rất hiệu quả.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết AC = 2a, BD = 4a, tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, SC.
A.	B. 	C. 	D. 
Lời giải: Chọn C.
S
z
B
H
O
A
D
xx
C
y
Nhận thấy SH đáy, mà đáy là hình thọi có hai đường chéo vuông góc.
Từ ý 1: Gọi O = ACBD, H là trung điểm của AB. 
Vì tam giác SAB đều nên SH AB. Do AB = (SAB)(ABCD) 
và (SAB)(ABCD) nên SH(ABCD). Ta có: 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với, hướng từ H đến S trùng hướng của tia Oz. 
Ta có: A(0; -a; 0), D(2a; 0; 0), C(0; a; 0), S (hình chiếu của S 
trên mặt phẳng Oxy là H; hình chiếu của H trên Ox là trung điểm của OB, trên Oy là trung điểm của OA, hình chiếu của S trên Oz là S’ và OS’ = HS)
.
.
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD là đáy lớn,
AD = 2a, AB = BC = CD = a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho HC = 2HA. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600 .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD.
A.	B. 	C. 	D. 
Lời giải: Chọn A.
x
A
K
J
O
D
y
C
B
I
A
D
y
x
B
C
S
H
H
E
z
* Tương tự bài 5.
* Từ ý 1: O là trung điểm của AD => tam giác OAB, OBC và ODC đều cạnh a => góc ACD = 900 và AC= 2.=
Ta có: DC(SHC)=> ((SCD),(ABCD))=(SC,HC) =SCH = 600
=> SH = HC.tan 600 = 
Chọn hệ trục tọa độ Axyz với B thuộc tia Oy, Ax vuông góc với AD, tia Az cùng hướng trùng với từ H đến S.
O là trung điểm của AD => OAB và ODC đều cạnh a => hình chiếu của B, C trên Ax là I và AI = , hình chiếu của B trên Ay là K (trung điểm của AO), hình chiếu của C trên Ay là J (trung điểm của OD), hình chiếu của H trên Ax là E và AE = , hình chiếu của H trên Ay là K.
Khi đó A(0; 0; 0), D(0; 2a; 0), 
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh bằng a, góc BAD bằng 600. Gọi H là trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính thể tích của khối chóp S.AHCD và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). 
A.	B. 	C. 	D. 
Lời giải: Chọn C.
S
z
B
H
I
A
D
xx
C
y
* Tương tự bài 6. 
* Từ ý 1: SH(ABCD)=>(SC,(ABCD))=(SC,HC)=SCH=450. 
Góc BAD = 600 nên tam giác BAD đều cạnh a
 .
Tam giác SHC vuông cân tại H .
Chọn hệ Oxyz sao cho I trùng O, điểm D thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy,
hướng từ H đến S trùng hướng tia Oz. Ta có 
(hình chiếu của S trên Ox là H, trên Oz là S’ và OS’ = SH)
.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, góc BAC = 600, cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM theo a.
A.	B. 	C. 	D. 
Lời giải: Chọn B.
S
B
C
A
z
y
2a
M
x
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho B trùng O, điểm A và C lần lượt thuộc tia Ox và Oy, hướng từ A đến S trùng với hướng tia Oz. 
Tam giác ABC vuông tại B có BC = AB.tan 600 = .
Ta có .
Ta có 
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, BC = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AB, biết rằng SH = 2a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAC), trong đó M là trung điểm của cạnh SB.
A.	B. 	C. 	D. 
Lời giải: Chọn D.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho O trùng với H; B, C, S lần lượt thuộc tia Ox, Oy, Oz. 
Vì tam giác ABC vuông cân tại C nên CHAB và AB =, CH = .
S
B
C
A
z
y
H
x
M
2a
a
a
Ta có: (M là trung điểm của SB => Hình chiếu của M trên Hx là trung điểm của HB, trên Hz là trung điểm của SH)
, 
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, , cạnh bên SA vuông góc với đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600. Gọi I là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SI. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a.
A.	B. 	C. 	D. 
Lời giải: Chọn B.
* Đáp án sử dụng hình học không gian thuần túy, đòi hỏi tư duy cao – thông qua 3 lần khoảng cách trung gian và tỷ số khoảng cách này khá phức tạp.
* Từ ý 1: SA(ABCD)=>(SC,(ABCD)) = (SC,AC) =. 
Góc nên tam giác ABC, ACD đều cạnh a
 .
* Cần chọn trong mặt đáy hai đường thẳng vuông góc, với các bài ở trên chọn hai đường chéo của hình thoi, nhưng với bài này chọn như vậy rất khó xác định tọa độ điểm H vì tính các độ dài khá phức tạp. Để ý rằng, H thuộc SI và SA vuông góc với đáy, , I là trung điểm của BC =>=> 
B
A
S
z
I
J
x
C
D
y
H
K
Chọn hệ Oxyz sao cho A trùng O, điểm I thuộc tia Ox, D thuộc tia Oy, S thuộc tia Oz. Ta có (hình chiếu của C trên Ox là I, trên Oy là trung điểm của AD)
Hình chiếu của H trên Ox, Oz lần lượt là K, J.
.
Bài 12. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm H của cạnh B’C’, góc giữa A’B với mặt phẳng (A’B’C’) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’, A’B theo a.
A.	B. 	C. 	D. 
Lời giải: Chọn A.
A’
B’
C’
A
C
z
B
y
H
x
600
* Học sinh thường lúng túng khi gắn hệ trục đối với hình lăng trụ, hoàn toàn tương tự đối với hình chóp: đã có sẵn BH vuông góc với đáy, cần chọn trong đáy hai đường thẳng vuông góc, để ý rằng đáy là tam giác đều và H là trung điểm của BC. 
Chọn hệ Oxyz sao cho H trùng O, điểm B thuộc tia Ox, A thuộc tia Oy, B thuộc tia Oz. Ta có 
.
Bài 13. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , mặt bên
 là tam giác cân với và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Gọi là trung điểm của và là trung điểm của .Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng , .
 A. . B. . C. . D. .
Lời giải: Chọn C.
Cách 1: 
Gọi là trung điểm . Vì nên . 
Chọn hệ trục tọa độ , với , , , .
Ta có: ; . 
Khi đó: , , , , , ,.
Suy ra: , , , .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng là. 
 Cách 2: 
 Gọi là trung điểm của , là trọng tâm tam giác . 
Kẻ , ; , . Suy ra: 
Ta có: nên .
 nên .
; .
Vì: .
Diện tích tam giác là: .
Thể tích tứ diện là: .
Khoảng cách từ đến là: . 
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng là .
Cách 3: 
 Kẻ , . 
Khi đó: Ta có: .
Suy ra: Trong tam giác vuông ta có: .
	II.4. SỬ DỤNG SƠ ĐỒ TƯ DUY TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH
 TRONG KHÔNG GIAN.
Trong bài toán tính khoảng cách thì bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng là mấu chốt cơ bản nhất. Các bài toán tính khoảng cách khác đều đưa về được bài toán cơ bản này.
II.4.1. Sơ đồ tư duy để hệ thống lí thuyết.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Q
M
a
P
H
M
H
a
d(M,a) = MH, 
H là hình chiếu vuông góc của M trên a 
Dựng mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P).
(Q) Ç (P) = a.
Dựng MH ^ a (H Î a) 
d(M,(P)) = d(M,a) = MH
 II.4.2. Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD và SA = 2a. Tính khoảng cách:
 a) Từ S đến mặt phẳng (ABCD).
 b) Từ trung điểm I của CD đến mặt phẳng (SHC) với H là trung điểm của AB.
Trong thực nghiệm ta sử dụng sơ đồ sau trong giải toán:
(SAB) ^ (ABCD)
SH ^ AB (H Î AB)
SH ^ (ABCD)
 	S
d(S,(ABCD)) = SH
A	D
H	K	I
B	C
Gắn SH vào tam giác SAH thực hiện tính và có đáp số SH =
Gắn IK vào tam giác HIC thực hiện tính và có đáp số IK =
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ trong đó AB = AC = a, AA’ = , góc ACB = 60o . Tính khoảng cách:
Từ AA’ đến mặt phẳng (BCC’B’)
Từ B’C’ đến mặt phẳng (A’BC)
Trong thực nghiệm ta sử dụng sơ đồ sau trong giải toán:
B’’
I’
H
B
J
AA’ // CC’
AI ^ (BCC’B’)
AI ^ BB’
AI ^ BC
A’	 C’
d(AA’,(BCC’B’)) = d(A,(BCC’B’)) = AI

A	C
Học sinh gắn AI vào tam giác ABC và tính .
Gắn JH vào tam giác tính toán và có đáp án . 
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a, BC=3a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA=4a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
SB và AD
SC và AB
Trong thực nghiệm ta sử dụng sơ đồ sau trong giải toán:
a)	S
AD ^ AI
AI ^ SB (I Î SB)
d(AD,SB)= AI
 K
 	 I 
A 	 D
B 	C
Học sinh gắn AI vào tam giác tính toán và có đáp án . 
DC Ì (SCD)
AB // DC
d(SC,AB) = d(A,(SDC)) = AK
b)
Trong đó dựng . Gắn AK vào tính và có đáp số 
 Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) tính theo a bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. a
Chọn phương án: Trực tiếp
BO (SAC)
(O = AC BD)
d(B;(SAC)) = BO = 
Học sinh gắn BO vào ∆ ABC để tính. Vậy đáp án cần chọn là C.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). 
∆ ABC là tam giác vuông tại B. AB = a, AC = 2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) tính theo a bằng:
Chọn phương án: Trực tiếp 2
(ABC) (SAC)
d(B;(SAC)) = BH = 
(BH AC; H AC)
A. 	B. 	C. 	D. 
	Học sinh gắn BH vào ∆ ABC để tính. Vậy đáp án cần chọn là A.
II.4.3. Sơ đồ tư duy khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Bài toán liên quan đến tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có thể phân loại thành 4 trường hợp cụ thể như sau:
II.4.4. Sơ đồ tư duy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, cần lưu ý đến trường hợp đặc biệt là hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.
Việc hướng dẫn HS vận dụng sơ đồ tư duy vào giải bài tập toán, có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học, vì khi sử dụng sơ đồ tư duy sẽ giúp các em học sinh nhìn thấy được bức tranh tổng thể của bài toán, chắp nối được các kiến thức có liên quan để giải bài toán, từ đó phát huy ở HS tính tích cực, chủ động, sáng tạo. HS không những làm chủ và hệ thống lại được những kiến thức đã học mà còn áp dụng nó vào các bài toán chứng minh hình học nói chung và chứng minh quan hệ vuông góc nói riêng, để đạt được kết quả cao trong quá trình học tập.
	Bên cạnh đó việc sử dụng sơ đồ tư duy giúp học sinh sẽ định hình nhanh được cách giải, áp dụng luôn công thức để tính ra đáp án mà không cần mất thời gian cho việc chứng minh quan hệ vuông góc vì phần chứng minh đã nằm trong bài toán tổng quát. Ta sẽ thấy rõ được lợi ích qua các ví dụ sau với lời giải ngắn gọn, logic và kết quả chính xác. Đấy là cách rút ngắn thời gian cho việc làm bài, đảm bảo về thời gian của bài trắc nghiệm.
II.5. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM:
	1. Mục đích thực nghiệm:
	Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
	2. Nội dung thực nghiệm:
Triển khai đề tài: Đưa ra các phương pháp giúp học sinh biết vận dụng vào để giải quyết bài toán liên quan khoảng cách trong không gian bất kỳ.
Đối tượng áp dụng: Học sinh tại hai lớp 12A1, 12A2 năm học 2020-2021.
Thời gian thực hiện: 4 buổi dạy ôn tập chuyên đề THPT quốc gia tại trường (2 buổi đầu không áp dụng đề tài, 2 buổi sau áp dụng đề tài)
	3. Kết quả thực nghiệm:
	a. Phân tích về mặt định lượng:
	Trong năm học 2020 - 2021 tôi được phân công giảng dạy môn toán tại các lớp 12A1, 12A2. Cả 2 lớp này chất lượng môn toán đều ở mức gần tương đương nhau. Tôi đã tiến hành thực nghiệm sư phạm và tiến hành kiểm tra để kiểm chứng hiệu quả của đề tài này, kết quả thu được thống kê ở bảng sau:
Lần kiểm tra
Thực nghiệm và đối chứng
Số bài
Kết quả
Yếu, kém (%)
Trung bình (%)
Khá (%)
Giỏi (%)
1
TN
92
6
28
44
22
ĐC
92
15
41
34
10
2
TN
92
4
25
43
28
ĐC
92
14
40
35
11
Tổng
Hợp
TN
92
5
26.5
43.5
25
ĐC
92
14.5
40.5
34.5
10.5
(Thống kê xếp loại trình độ học sinh qua các lần kiểm tra.)
	Qua bảng cho thấy, tỉ lệ % điểm khá, giỏi nhóm TN luôn có tỉ lệ cao hơn nhóm ĐC, đặc biệt là tỉ lệ % điểm giỏi.
	b. Phân tích về mặt định tính:
	Qua quá trình ứng dụng phương pháp và hướng dẫn học sinh tự học trong giảng dạy và kiểm tra đánh giá ở 2 đối tượng thực nghiệm và đối chứng, tôi thấy:
	- Ở lớp ĐC: Học sinh ít phát biểu, ít hứng thú trong tiết học. Trả lời các câu hỏi gợi ý của giáo viên còn lan man, lúng túng. Khả năng tư duy, khái quát, hệ thống kiến thức của học sinh chưa cao.
	- Ở lớp TN: Học sinh hào hứng với phương pháp tiếp cận mới này, thể hiện qua quá trình hoạt động nhận thức một cách tích cực, sôi nổi. Trong giờ học HS trả lời nhanh, ngắn gọn và súc tích các câu hỏi gợi ý mà giáo viên sử dụng. Điều này chứng tỏ chất lượng bài dạy được nâng cao.
	Như vậy, qua việc phân tích kết quả về mặt định lượng và định tính các kết quả thu được trong thực nghiệm đã thể hiện được tính hiệu quả của phương pháp, giúp học sinh tiếp cận một số phương pháp để giải quyết bài toán khoảng cách trong không gian một cách nhanh nhất, thuận lợi trong việc làm bài thi trắc nghiệm của kỳ thi THPT Quốc gia.
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. Kết luận chung:
	Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
	1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng; sự hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh.
	2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
	3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
	4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
	5. Thiết kế các hình thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực nhằm rèn luyện kĩ năng, nâng cao năng lực và phát triển tư duy cho học sinh.
	6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
	Như vậy có thể khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được.
 Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, từ việc áp dụng các hình thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt, giúp học sinh phát triển năng lực giao tiếp toán học rất tốt. Bản thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh từ đó đưa ra cho mình cách truyền thụ tốt nhất.
	Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học nói chung. Đặc biệt tôi nhận thấy các đối tượng học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo viên đã áp dụng trong chuyên đề này. 
	II. Kiến nghị:
	Thông qua một số ví dụ trên có thể phần nào thấy được vai trò của những phương pháp này trong việc giải quyết một số bài toán về khoảng cách trong không gian. Tuy nhiên, khi sử dụng những phương pháp này giáo viên cần phải cung cấp cho học sinh một số vốn kiến thức nhất định và kỹ năng nhận dạng bài tập. Các phương pháp này cũng như mọi phương pháp khác không thể áp dụng được cho tất cả các loại bài toán về khoảng cách trong không gian và chưa chắc là phương pháp tối ưu, do vậy học sinh cần căn cứ vào đặc điểm của từng bài toán, khai thác giả thiết đã cho và nhận dạng bài tập để lựa chọn phương pháp giải cho thích hợp, từ đó sẽ có cách nhìn linh hoạt, uyển chuyển và có sự nhuần nhuyễn về kỹ năng. 
	Là một giáo viên cần xác định cho mình phải luôn tạo cho học sinh niềm hứng thú say mê trong quá trình học tập; luôn cải tiến phương pháp dạy học, phát triển tư duy, vận dụng kiến thức phục vụ tốt cho bài dạy của mình.
	Bài toán khoảng cách trong không gian rất đa dạng và khó. Trong bài viết này tôi chỉ mới đưa ra một số ví dụ về bài toán khoảng cách trong không gian hay gặp trong đề thi THPT Quốc gia nên chưa thể đầy đủ, chưa bao quát hết, với mong muốn giúp cho học sinh có định hướng tốt hơn khi gặp dạng toán này, tôi mong nhận được những góp ý chân thành của đồng nghiệp để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn.
	Đề tài trên chỉ là những kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự nghiên cứu cá nhân, thông qua một số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi những hạn chế, khiếm khuyết. Vậy, rất mong được Hội đồng xét duyệt góp ý để kinh nghiệm giảng dạy của tôi ngày càng phong phú và hữu hiệu hơn.
	Tôi xin trân trọng cảm ơn !
	Vinh, ngày 03 tháng 3 năm 2021
	 	Tác giả 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Hình học - Cơ bản 11 – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – NXB Giáo dục.
2. Sách giáo khoa Hình học - Cơ bản 12 – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – NXB Giáo dục.
3. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên môn toán lớp 11 – NXB Giáo dục.
4. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên môn toán lớp 12 – NXB Giáo dục.
5. Dạy học theo chuẩn kiến thức kĩ năng môn toán lớp 12 – Bùi Văn Nghĩa (Chủ biên) – NXB Đại học sư phạm Hà Nội.
4. Phân tích tư duy giải câu điểm 8, 9, 10 toán trong các kì thi THPT Quốc gia - Vương Thanh Bình - NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
5. Bộ đề trắc nghiệm môn toán lớp 12 - TS. Lê Xuân Sơn (Chủ biên) - NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 
6. Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 12; đề thi thử THPT Quốc gia của các trường THPT trong cả nước, của các Sở GD & ĐT; Các đề thi thử nghiệm, chính thức của Bộ GD & ĐT các năm 2017; 2018; 2019; 2020.