Sáng kiến kinh nghiệm Một vài ý kiến về xây dựng phương pháp hình học cho học sinh thông qua một bài toán

I. §Æt vÊn ®Ò.
H×nh häc lµ m«n khoa häc suy diÔn. Nã gióp häc sinh rÌn luyÖn c¸c phÐp ®o ®¹c, tÝnh to¸n, suy luËn l«gÝc, ph¸t triÓn t­ duy s¸ng t¹o cho häc sinh, ®Æc biÖt ®èi víi häc sinh líp 8 viÖc h­íng dÉn cho c¸c em chøng minh mét bµi to¸n h×nh häc ®ång thêi më réng, n©ng cao bµi to¸n lµ mét yªu cÇu rÊt cÇn thiÕt. §Æc biÖt lµ sö dông thµnh th¹o c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh vµo tõng bµi to¸n cô thÓ, c¸ch vÏ h×nh chÝnh x¸c, lËp luËn ®Ó hiÓu cÆn kÏ néi dung cña bµi to¸n.
Trong thêi gian trùc tiÕp gi¶ng d¹y ë líp 8, t«i nhËn thÊy häc sinh rÊt lóng tóng khi sö dông mét ph­¬ng ph¸p chøng minh nµo ®ã, nhiÒu bµi h×nh häc sinh kh«ng biÕt c¸ch vÏ h×nh chÝnh x¸c v× kh«ng hiÓu ®­îc b¶n chÊt cña bµi to¸n, v× vËy trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i ®· sö dông mét sè bµi to¸n ®iÓn h×nh, nh»m th«ng qua bµi to¸n nµy ®Ó d¹y c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh kh¸c nhau cho häc sinh ®Ó häc sinh cã thÓ so s¸nh, kh¾c s©u vµ ghi nhí ®­îc c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh ®ã. §ång thêi biÕt c¸ch khai th¸c bµi to¸n dùng h×nh ®Ó vÏ h×nh chÝnh x¸c trong nh÷ng tr­êng hîp khã vµ më réng khai th¸c bµi to¸n ®¶o cña nã.
II. Néi dung
1. Sö dông mét bµi to¸n ®Ó d¹y c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh.
Trong gi¶i bµi to¸n h×nh häc, viÖc gióp c¸c em n¾m b¾t ®­îc ph­¬ng ph¸p chøng minh mét bµi to¸n lµ hÕt søc cÇn thiÕt. Song qua mét bµi to¸n b»ng sù gîi më khÐo lÐo, tinh tÕ cña ng­êi thÇy mçi bµi to¸n cã thÓ gi¶i b»ng nhiÒu ph­¬ng ph¸p kh¸c nhau, víi nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c nhau. Tõ ®ã gióp c¸c em cñng cè ®­îc nhiÒu ®¬n vÞ kiÕn thøc, ®ång thêi n¾m ®­îc c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh kh¸c nhau, so s¸nh ®­îc c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh ®ã. Sau ®©y lµ mét vÝ dô.
Bµi to¸n 1: Cho tø gi¸c ABCD cã A = D vµ AB = CD. Chøng minh tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang c©n.
Sau khi cho häc sinh ®äc vµ t×m hiÓu ®Ò bµi, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh chØ ra h­íng gi¶i lµ cÇn chøng minh AD // BC.
Sau d©y lµ mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i.
1.1. Ph­¬ng ph¸p chøng minh suy diÔn.
B
C
D
K
A
H
C¸ch 1:
VÏ 	BK ^ AD
	CH ^ AD
Suy ra BK // CH	(1)
XÐt 2 tam gi¸c vu«ng AKB vµ DHC cã A = D, AB = CD Þ DABK = D DHC (c¹nh huyÒn, gãc nhän)
Þ BK = CH	(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra BKHC lµ h×nh b×nh hµnh.
Do ®ã BC //AD Þ tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang c©n.
C¸ch 2: KÎ BE // CD	(1)
B
C
D
E
A
Suy ra E = D (®ång vÞ)
Mµ A = D (gt)
Suy ra A=E vËy
D ABE c©n nªn
AB = BE	(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra BEDC lµ h×nh b×nh hµnh, vËy BC//AD hay tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang c©n.
B
C
D
H
A
K
C¸ch 3: Dùng KH lµ trung trùc cña ®o¹n th¼ng AD ta thÊy A ®èi xøng víi D qua KH. V× A = D, AB = CD nªn B vµ C ®èi xøng nhau qua KH hay BC ^ KH. VËy BC//AD suy ra tøc gi¸c ABCD lµ h×nh thang c©n.
1.2. Dïng ph­¬ng ph¸p chøng minh ph¶n chøng.
C'
B
C
D
A
Gi¶ sö BC kh«ng song song víi AD. VËy tõ B kÎ BC'//AD suy ra tø gi¸c ABC'D lµ h×nh thang c©n (do A =D)
Suy ra AB = DC'
Nh­ng theo gt AB = DC vËy suy ra DC = DC' hay CºC', vËy BC//AD hay tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang c©n.
1.3. Dïng ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p.
Trong ph­¬ng ph¸p nµy ta chia bµi to¸n thµnh hai tr­êng hîp:
a) Tr­êng hîp 1: NÕu A = D = 1 V.
D
C
B
A
Suy ra AB//CD mµ AB = CD (gt)
Suy ra tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh
VËy BC//AD do ®ã tø gi¸c ABCD 
lµ h×nh thang c©n
b) NÕu A = B ¹ 1V.
Suy ra AB kh«ng song song víi DC
Do ®ã AB c¾t CD t¹i M
Khi ®ã D MAD c©n (A = D)
Suy ra MA = MD mµ AB = CD
Nªn MB = MC
D
A
B
C
M
Nªn D MBC c©n, vËy B = C
Mµ D MBC vµ D MAD cã M chung
VËy B = A Þ BC//AD hay tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang c©n
2. RÌn luyÖn vÏ h×nh chÝnh x¸c, khai th¸c bµi to¸n ®¶o:
§Ó häc sinh vÏ h×nh t­¬ng ®èi chÝnh x¸c, ®èi víi nh÷ng bµi to¸n vÏ h×nh khã lµ mét viÖc lµm hÕt søc cÇn thiÕt, v× vËy cã thÓ th«ng qua mét bµi to¸n dùng h×nh ®Ó häc sinh cã thÓ vÏ h×nh mét c¸ch t­¬ng ®èi chÝnh x¸c lµ mét trong nh÷ng yªu cÇu cÇn thiÕt. Sau ®©y lµ mét vÝ dô:
Bµi to¸n 2: (Bµi tËp 6.tr13 SGK HH8)
Cho h×nh thang ABCD (AB//CD)
Trong ®ã ph©n gi¸c gãc A vµ B c¾t nhau t¹i K
A
B
C
K
D
(K Î CD). Chøng minh tæng 2 c¹nh bªn b»ng ®¸y CD cña h×nh thang.
§©y lµ bµi to¸n kh«ng cã, häc sinh chØ cÇn chØ ra D ADK vµ D BCK c©n vµ suy ra ®iÒu cÇn chøngminh.
Song trong nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y, t«i thÊy ®iÒu mµ häc sinh lóng tóng ®ã chÝnh lµ c¸ch vÏ h×nh sao cho t­¬ng ®èi chÝnh x¸c theo yªu cÇu bµi to¸n ®· cho, nÕu kh«ng hiÓu cÆn kÏ bµi to¸n, häc sinh vÏ h×nh sÏ kh«ng chÝnh x¸c khi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn K Î DC v× vËy cã thÓ chuyÓn thÓ nã thµnh bµi to¸n sau.
Bµi to¸n 2.1: Cho DSDC dùng mét ®­êng th¼ng c¾t SD vµ SC t¹i A vµ B sao cho AD+BC = DC.
K
d
S
D
C
B
A
Khi gi¶i ®­îc bµi to¸n nµy, häc sinh sÏ biÕt ®­îc c¸ch vÏ bµi to¸n 2 sao cho chÝnh x¸c b»ng c¸ch chØ cÇn dùng ph©n gi¸c D vµ C chóng c¾t nhau t¹i K, qua K kÎ ®­êng th¼ng d//DC c¾t SD t¹i A vµ SC t¹i B th× d lµ ®­êng th¼ng cÇn dùng, ®Õn ®©y th× häc sinh ch¾c ch¾n sÏ biÕt c¸ch vÏ h×nh bµi to¸n 1 sao cho chÝnh x¸c.
Ta tiÕp tôc khai th¸c bµi to¸n 2 b»ng bµi to¸n ®¶o cña nã.
B
A
D
F
E
C
(h1)
K
Bµi to¸n 2.2: Chøng minh r»ng nÕu h×nh thang ABCD (AB//CD) tho¶ m·n DC=AD+BC th× c¸c ®­êng ph©n gi¸c gãc A vµ B sÏ gÆp nhau trªn ®¸y DC. Ta chøng minh b»ng ph¶n chøng
K
A
B
 Gi¶ sö ®­êng ph©n gi¸c A vµ B c¾t nhau t¹i K Ï BC th× K thuéc miÒn trong (h1 vµ h2) hoÆc miÒn ngoµi (h3) cña h×nh thang khi ®ã AK vµ BK c¾t BC t¹i E vµ F ta cã DADE c©n Þ AD = DE 	(1)
h2
F
E
T­¬ng tù D CBF c©n Þ CB=CF (2)
C
D
(1)+(2): AD + BC = DE + CF > DC (h2) 
B
A
D
C
F
E
K
(h3)
AD+BC = BE + CF < DC (h3)
§iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt vËy 
E º F º K Î DC
Bµi to¸n ®­îc chøng minh
III. KÕt luËn:
Sau mét thêi gian ®­a vµo ¸p dông gi¶ng d¹y cho häc sinh khèi 8 t«i tù nhËn thÊy vµ rót ra mét sè kÕt luËn sau ®©y.
1- Møc ®é yªu thÝch m«n h×nh häc cña häc sinh ®­îc n©ng lªn, c¸c em ®· kh«ng cßn thÊy ng¹i m«n h×nh häc n÷a mµ trë nªn høng thó say s­a h¬n.
2- §a sè c¸c em ®· n¾m ®­îc c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh, biÕt sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh hîp lý vµo tõng bµi cô thÓ.
3- BiÕt c¸ch vÏ, cã suy luËn hîp lý ®Ó vÏ h×nh thang trong nh÷ng tr­êng hîp vÏ h×nh khã.
4- Tõng b­íc khai th¸c bµi to¸n ®· cho thµnh bµi to¸n khã h¬n nh»m më réng vµ rÌn luyÖn kiÕn thøc.
Trong thêi gian ng¾n vµ ph¹m vi hÑp trong bµi viÕt nµy t«i chØ ®Ò cËp ®Õn mét phÇn nhá trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y h×nh häc ë tr­êng THCS, rÊt mong sù gãp ý cña ®ång nghiÖp./.
Nga Th¸i, ngµy 20 th¸ng 4 n¨m 2004
Ng­êi thùc hiÖn
Mai V¨n TuÊn
Phßng gi¸o dôc huyÖn nga s¬n
Tr­êng THCS Nga th¸i
-------------------@&?-------------------
Gi¸o viªn: Mai V¨n TuÊn
 §¬n vÞ: Tr­êng Trung häc c¬ së nga th¸i
 Nga S¬n - Thanh Ho¸
Mét vµi ý kiÕn vÒ d¹y ph­¬ng ph¸p h×nh häc cho 
häc sinh th«ng qua mét bµi to¸n
*****************
Nga Th¸i, th¸ng 4 n¨m 2004
**********