Sáng kiến kinh nghiệm Một vài kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn của hàm số

MỘT VÀI KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH KHỐI 11
TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác trong trường phổ thông như: Lý, Hóa, Sinh, VănNhư vậy, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, đặc biệt là những trường vùng ven không nằm trong nội ô thành phố như trường THPT Thanh Bình 1 thì chất lượng học tập môn Toán của học sinh còn thấp, hÇu hÕt c¸c em sî häc m«n to¸n. 
Qua 5 năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học chương giới hạn, đặc biệt là phần bài tập về giới hạn của hàm số thì các em rất khó tiếp thu và áp dụng mà bài tập về giới hạn hàm số lại luôn có mặt trong đề các đề thi học kì, đề thi đại học và cao đẳng 
	Vì vậy để giúp học sinh khối 11học tốt phần bài tập giới hạn hàm số tôi đã chọn đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn của hàm số ”. 
2.Mục đích nghiên cứu:
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới hạn hàm số. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
3.Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh khối 11 trường THPT Thanh Bình 1
4.Giới hạn của đề tài:
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 11. Vì vậy tôi chỉ tập trung vào vấn đề “Giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn hàm số trong chương trình lớp 11”.
5.Nhiệm vụ của đề tài:
Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn hàm số trong chương trình. Nắm vững và phân dạng được từng loại bài tập giới hạn hàm, đảm bảo tốt kiến thức phần bài tập giới hạn hàm trong các kỳ thi học kì, thi đại học và cao đẳng
Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT.
6.Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.
Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, .)
Phương pháp thực nghiệm.
7.Thời gian nghiên cứu:
Năm học 2011-2012.
NỘI DUNG
Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ PHÁP LÝ CỦA ĐỀ TÀI
1/ Cơ sở lý luận:
2/ Cơ sở pháp lý của đề tài:
 - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học trong chương trình toán trung học phổ thông
 - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải bài tập 
 - Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã được chứng minh, thừa nhận.
Chương II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI:
1.Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2012-213.
2.Khảo sát chất lượng đầu năm:
Thông qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm tôi thu được kết quả như sau:
Trên trung bình 18%.
3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian.Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép biến hình.
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó không chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truền tải kiến thức tới các em.Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động cơ học tập, nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh. Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn hình học trong đời sống.
Đây là năm đầu tiên đổi mới phương pháp dạy học ở lớp 11 nên phương tiện dạy học chưa đầy đủ.
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp.
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán.
Chương III: Giải quyết vấn đề:
I/ Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan:
A-KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa giới hạn của hàm số:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn a , mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:.
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: thì:
c) Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)f(x)h(x) và .
2. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: .
Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:.
Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :. Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: 
B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số ta thường gặp 3 trường hợp tìm giới hạn cơ bản sau:
Một là : Giới hạn của hàm số tại một điểm: 
Hai là: Giới hạn vô cực của hàm số : 
Ba là: Giới hạn một bên của hàm số: 
Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tôi không xét tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp bằng cách nhìn vào giá trị mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải)
Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất định.Ở đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số theo sơ đồ tư duy sau:
Dạng 2
Dạng 1:Tính trực tiếp
Giới hạn một bên
Giới hạn tại một điểm:
ĐỀ BÀI
Quan sát chia trường hợp
Giới hạn vô cực
Dạng 1:
Dạng 2:()
Dạng 3:()
Dạng3:
Dạng:
Sau đây tôi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu trong sơ đồ tư duy
KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CỦA HÀM SỐ: 
Dạng 1: 
Phương pháp:
Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x). Kết luận: 
 Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:
1/. 	2/. 	. 
 3/. 4/
BÀI GIẢI
1/
4/
Bài tập tương tự:
Bài tập 1:Tính các giới hạn sau:
1. 2. 3. 
4. ; 	5.
Dạng 2: (ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0. nên lúc này có dạng 
Phương pháp:
Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức ta có thể chia tử số và mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
Chú ý 1:
Nếucó 2 nghiệm thì ta phân tích
Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp
Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp
Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau:
Bài giải.
Bài tập tương tự:
Bài tập 2:Tính các giới hạn sau:
 Dạng 3: (với ) .Ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên lúc này có dạng 
Phương pháp:
Bước 1: Tính (với )
Bước 2: : Tính và xét dấu biểu thức g(x) với 
Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận 
L > 0
g(x) > 0
L > 0
g(x) < 0
L < 0
g(x) > 0
L < 0
g(x) < 0
Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:
Bài giải
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Bài tập tương tự:
Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:
KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ: 
Dạng 1: 
Phương pháp: 
Chia tử và mẫu cho xk với k là lũy thừa cao nhất của tử hoặc mẫu. Chú ý rằng nếu thì coi như x>0, nếu thì coi như x < 0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn
Chú ý các giới hạn cơ bản sau:
Ví dụ 4:Tính các giới hạn sau:
1/. 	2/. 
 3/. 4/. 
BÀI GIẢI
1/. 
2/. 
. 
Bài tập tương tự:
Bài tập 4: Tính các giới hạn sau:
 Dạng 2: 
Phương pháp: 
Ta biến đổi về dạng 1:
Sau đó sử dụng phương pháp của dạng 1 để giải
Chú ý: với 
 với 
Ví dụ 5:Tính các giới hạn sau:
BÀI GIẢI
Bài tập tương tự:
Bài tập 5: Tính các giới hạn sau:
Dạng 3: 
Phương pháp: 
Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa về dạng hoặc 
Nếu gặp căn bậc 3 ta cũng nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp
Chú ý: 
Ví dụ 6:Tính các giới hạn sau:
BÀI GIẢI
= 
Chú ý:Ta cũng có thể giải bài 3 của ví du6 6 này theo cách sau tạm gọi là:
Cách 2
Như vậy sau khi giải bài 4 của ví dụ 6 nhiều học sinh sẽ thắc mắc rằng bài 4 này có thể giải theo cách 2 của bài 3 như trên không?
Câu trả lời là không vì nếu giải theo giải theo cách 2 của bài 3 ta sẽ có:
Tới kết quả sẽ dẫn đến dạng vô định (0. ) lại quay về dạng 2 của trường hợp giới hạn hàm số ở vô cực mà việc khử dạng vô định(0. ) lại gây khó khăn cho một số em học sinh có học lực trung bình, yếu
Bài tập tương tự:
Bài tập 6: Tính các giới hạn sau:
* KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ: hoặc .Cần lưu ý học sinh đây chỉ là trường hợp đặc biệt của giới hạn tại một điểm, lúc này không tiến đến a mà tiến đến bên trái điểm a (), hoặc tiến về bên phải bên phải điểm a ().Bài tập Giới hạn một bên: hoặc .chủ yếu rơi vào dạng 3 của trường hợp Giới hạn tại một điểm là
 (với ) .Ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên lúc này có dạng 
Phương pháp:
Bước 1: Tính (với )
Bước 2: : Tính và xét dấu biểu thức g(x) với hoặc 
Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận (bảng xét dấu đã nêu ở dạng 3- trường hợp 1 Giới hạn tại một điểm)
Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau:
	BÀI GIẢI
Ta có: 
Vậy 
Ta có: 
Vậy 
Bài tập tương tự:
Bài tập 7: Tính các giới hạn sau:
MỘT VÀI TRƯỜNG HỢP GIỚI HẠN HÀM SỐ KHÔNG TUÂN THỦ CÁC QUY TẮC TRÊN
Ví dụ 1:
III/HiÖu qu¶ cña s¸ng kiÕn kinh nghiÖm:
1/KÕt qu¶ tõ thùc tiÔn:
Ban ®Çu häc sinh gÆp khã kh¨n nhÊt ®Þnh trong viÖc phân loại và gi¶i nh÷ng d¹ng bài tập nh­ ®· nªu.Tuy nhiªn gi¸o viªn cÇn h­íng dÉn häc sinh tØ mØ c¸ch ph©n tÝch mét bµi to¸n tõ nhận dạng hàm số : hàm số dạng cơ bản, hàm số dạng nhân lượng liên hợp,dạng ®Ó lùa chän ph­¬ng ph¸p phï hîp trªn c¬ së gi¸o viªn ®­a ra nh÷ng sai lÇm mµ häc sinh th­êng m¾c ph¶i trong qu¸ tr×nh suy luËn,trong c¸c b­íc tÝnh tÝch ph©n nµy råi tõ ®ã h­íng c¸c em ®i ®Õn lêi gi¶i ®óng.
Sau khi h­íng dÉn häc sinh nh­ trªn vµ yªu cÇu häc sinh gi¶i mét sè bµi tËp tÝch ph©n trong s¸ch gi¸o khoa Gi¶i TÝch Líp 12 vµ mét sè bµi trong c¸c ®Ò thi tuyÓn sinh vµo ®¹i häc,cao ®¼ng vµ trung häc chuyªn nghiÖp cña c¸c n¨m tr­íc th× c¸c em ®· thËn träng trong khi t×m vµ tr×nh bµy lêi gi¶i vµ ®· gi¶i ®­îc mét l­îng lín bµi tËp ®ã.
2/KÕt qu¶ thùc nghiÖm:
S¸ng kiÕn ®­îc ¸p dông trong n¨m häc 2009-2010. 
Bµi kiÓm tra trªn líp 11CBO4(năm học 2011-2012) kh«ng ¸p dông s¸ng kiÕn và líp 11CBO4(năm học 2012-2013) ¸p dông s¸ng kiÕn nh­ sau:
 xÕp lo¹i
®èi t­îng
giái
kh¸
tb
yÕu
Sau khi thùc hiÖn s¸ng kiÕn häc sinh häc tËp rÊt tÝch cùc vµ høng thó ®Æc biÖt lµ khi gi¶i bµi to¸n tÝch ph©n c¸c em tÝnh tÝch ph©n rÊt thËn träng vµ hiÓu b¶n chÊt cña vÊn ®Ò chø kh«ng tÝnh rËp khu«n mét c¸ch m¸y mãc nh­ tr­íc, ®ã lµ viÖc thÓ hiÖn viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, chñ ®éng, s¸ng t¹o cña häc sinh.
phÇn III:kÕt luËn – kiÕn nghÞ
I/ kÕt luËn:
Nghiªn cøu, ph©n tÝch mét sè sai lÇm cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n cã ý nghÜa rÊt lín trong qu¸ tr×nh d¹y häc v× khi ¸p dông s¸ng kiÕn nµy sÏ gióp häc sinh nh×n thÊy ®­îc nh÷ng ®iÓm yÕu vµ nh÷ng hiÓu biÕt ch­a thËt thÊu ®¸o cña m×nh vÒ vÊn ®Ò nµy tõ ®ã ph¸t huy ë häc sinh t­ duy ®éc lËp, n¨ng lùc suy nghÜ tÝch cùc chñ ®éng cñng cè trau råi thªm kiÕn thøc vÒ tÝnh tÝch ph©n tõ ®ã lµm chñ ®­îc kiÕn thøc, ®¹t ®­îc kÕt qu¶ cao trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ c¸c kú thi tuyÓn sinh vµo c¸c tr­êng ®¹i häc, cao ®¼ng , THCN
II/ KiÕn nghÞ:
	HiÖn nay nhµ tr­êng ®· cã mét sè s¸ch tham kh¶o tuy nhiªn ch­a cã mét s¸ch tham kh¶o nµo viÕt vÒ sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i to¸n. V× vËy nhµ tr­êng cÇn quan t©m h¬n n÷a vÒ viÖc trang bÞ thªm s¸ch tham kh¶o lo¹i nµy ®Ó häc sinh ®­îc t×m tßi vÒ nh÷ng sai lÇm th­êng m¾c khi gi¶i to¸n ®Ó c¸c em cã thÓ tr¸nh ®­îc nh÷ng sai lÇm ®ã trong khi lµm bµi tËp .
tµi liÖu tham kh¶o
1. KiÕn thøc c¬ b¶n gi¶i tÝch 12 ( Phan V¨n §øc- §ç Quang Minh – NguyÔn Thanh S¬n – Lª V¨n Tr­êng – NXB §H Quèc gia thµnh phè HCM - 2002)
2. Ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n vµ Gi¶i tÝch tæ hîp ( NguyÔn Cam – NXB TrÎ )
3. Ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n (TrÇn §øc Huyªn – TrÇn ChÝ Trung – NXB Gi¸o Dôc)
4. S¸ch gi¸o khoa Gi¶i tÝch 12 (Ng« Thóc Lanh Chñ biªn – NXB GD – 2000)
5. Ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n ( Lª Hång §øc – Lª BÝch Ngäc – NXB Hµ Néi – 2005)
6. Sai lÇm th­êng gÆp vµ c¸c s¸ng t¹o khi gi¶i to¸n ( TrÇn Ph­¬ng vµ NguyÔn §øc TÊn – NXB Hµ Néi – 2004)