Sáng kiến kinh nghiệm Một số yếu tố về phương trình – hệ phương trình tuyến tính. Ứng dụng giải toán có lời văn ở Tiểu học

Cách 1:
Gọi số thuyền lớn là x thì thuyền nhỏ là 10 – x.
Theo bài ra ta có phương trình: 
 6x + 4(10 - x) = 52
 Û 6x + 40 – 4x = 52
 Û 2x = 12
 Û x = 6.
Vậy thuyền lớn là 6 thuyền.
Số thuyền nhỏ là: 10 – 6 = 4 (thuyền).
Cách 2:
Gọi số thuyền lớn là x, thuyền nhỏ là y (x, y Î Z+, x, y < 10).
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
Vậy số thuyền lớn là 6 thuyền, số thuyền nhỏ là 4 thuyền.
* Ta có thể giải hệ:
 Bằng định thức cấp 2 như sau:
D = = 2 ; Dx = = 12 ; Dy = = 8 ;
=> x = = = 6; y = = = 4;	
+ Hướng dẫn phân tích: Để tính được số thuyền ta giả thiết đưa tất cả số thuyền về chở được số người(6 hoặc 4 người). Từ số người dư ra hay hụt đi ta sẽ tính được số thuyền của 2 loại. Ta có phương pháp giải Tiểu học:
Giả sử 10 thuyền đều chở 6 người thì đoàn thuyền chở được:
 10 x 6 = 60 (người).
(Tức là nhân 2 vế của phương trình (1) của hệ ở cách giải 2 với 6).
Số người dư ra là:
 60 – 52 = 8 (người).
(Bước này chính là lấy phương trình (3) trừ phương trình (2) của hệ).
Mỗi lần thay một thuyền chở 4 người bằng một thuyền chở 6 người thì mỗi thuyền chở thêm được:
 6 – 4 = 2 (người).
Số thuyền chở 4 người là:
 8 : 2 = 4 (thuyền).
(Bước này chính là chia hai vế của phương trình (4) cho 2).
Số thuyền chở 6 người là:
 10 – 4 = 6 (thuyền).
 Đáp số: 6 thuyền lớn, 4 thuyền nhỏ.
* Ta tóm tắt các dữ kiện của bài toán như sau:
- Thuyền to chở được 6 người. (1)
- Thuyền nhỏ chở được 4 người.(2)
- Có 10 thuyền trên sông. (3)
- Có 52 người qua sông. (4)
Trường hợp 1: 
Giả sử ta thay đổi dữ kiện (3) của bài toán: Có m thuyền trên sông. Theo bài ra ta có hệ phương trình:
 Û 
 Û Û 
Vì x, y ³ 0 nên: Û 
Þ m = 9, 10, 11, 12, 13.
Như vậy nếu thay đổi tổng số thuyền là 9 hoặc 10, 11, 12, 13 thì ta sẽ có những bài toán tương tự. Chẳng hạn:
 “ Thuyền to chở được sáu người
 Thuyền nhỏ chở được bốn người là đông
 Một đoàn trai gái sang sông
 Chín thuyền to nhỏ giữa dòng đang trôi.
 Toàn đoàn có cả trăm người
 Trên bờ còn bốn tám người đợi sang”	
Hỏi trên sông có bao nhiêu thuyền to, thuyền nhỏ mỗi loại?
Trường hợp 2:
Giả sử ta thay đổi dữ kiện (1) và (2) của bài toán thành: Thuyền to chở được a người, thuyền nhỏ chở được b người. Theo bài ra ta có hệ phương trình:
 Û Û 
Vì x, y ³ 0 nên: Û Þ 
· Với b = 1 ta có: 
Vì x, y Î Z+ nên: 42 M (a – 1) Þ a – 1 = 1, 2, 3, 6, 7, 21, 42. Þ a = 2, 3, 4, 7, 8, 22, 43.
Kết hợp với điều kiện ta có a = 7, 8, 22, 43.
Vậy với mỗi cặp số của a và b ta sẽ có các bài toán tương tự.
· Với b = 2 ta có: 
Vì x, y Î Z+ nên 32 M (a – 2) Þ a – 2 = 1, 2, 4, 8, 16, 32. Þ a = 3, 4, 6, 10, 18, 34. Kết hợp với điều kiện a ³ ta có a = 6, 10, 18, 34.
Vậy với mỗi cặp số của a và b ta sẽ có các bài toán tương tự.
· Với b = 3 ta có: 
Vì x, y Î Z+ nên 22 M (a – 3) Þ a – 3 = 1, 2, 11, 22. Þ a = 4, 5, 14, 25.
Kết hợp với điều kiện a ³ ta có a = 14, 25.
Vậy với mỗi cặp số của a và b ta sẽ có các bài toán tương tự.
· Với b = 4 ta có: 
Vì x, y Î Z+ nên 12 M (a – 4) Þ a – 4 = 1, 2, 3, 4, 6, 12. Þ a = 5, 6, 7, 8, 10, 16.
Kết hợp với điều kiện a ³ ta có a = 6, 7, 8, 10, 16.
Vậy với mỗi cặp số của a và b ta sẽ có các bài toán tương tự.
· Với b = 5 ta có: 
Vì x, y Î Z+ nên 2 M (a – 5) Þ a – 5 = 1, 2. Þ a = 6, 7.
Kết hợp với điều kiện a ³ ta có a = 6, 7.
Vậy với mỗi cặp số của a và b ta sẽ có các bài toán tương tự. Chẳng hạn:
 “Thuyền to chở được bảy người
 Thuyền nhỏ chở được năm người là đông
 Một đoàn trai gái sang sông
 Mười thuyền to nhỏ giữa dòng đang trôi.
 Toàn đoàn có cả trăm người
 Trên bờ còn bốn tám người đợi sang”	
Hỏi trên sông có bao nhiêu thuyền to, thuyền nhỏ mỗi loại?
Trường hợp 3: 
Giả sử ta thay đổi dữ kiện (4) của bài toán: Số người sang sông là k (người). Theo bài ra ta có hệ phương trình:
 Û Û Û 
Vì x, y Î Z+ nên: Û 40 £ k £ 60
Vậy với 40 £ k £ 60 ta sẽ có các bài toán tương tự bài toán đã cho. Chẳng hạn: 
 “Thuyền to chở được sáu người
 Thuyền nhỏ chở được bốn người là đông
 Một đoàn trai gái sang sông
 Mười thuyền to nhỏ giữa dòng đang trôi.
 Toàn đoàn có cả trăm người
 Trên bờ còn năm mươi người đợi sang”	
Hỏi trên sông có bao nhiêu thuyền to, thuyền nhỏ mỗi loại?
* Một số bài toán tương tự:
Ví dụ 3, trang 105, 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 4 – 5, tập 2, Trần Diên Hiển, NXBGD.
 “ Vừa gà vừa chó
 Bó lại cho tròn
 Ba mươi sáu con
 Một trăm chân chẵn”.
Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?
Bài toán: Có 16 xe ô tô gồm 3 loại: 4 bánh, 6 bánh, 8 bánh. Loại 4 bánh chở được 5 tấn, loại 6 bánh chở được 6 tấn, loại 8 bánh chở được 6 tấn. 16 xe ô tô có tất cả 102 bánh xe và chở được cả thảy là 92 tấn hàng. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu xe?
* Từ bài toán được giải bằng phương pháp giả thiết tạm ở Tiểu học, khi giải bằng phương pháp Đại số thường dẫn tới phương trình bậc nhất một ẩn dạng như: x + a ± b = c; ax + b + cx = d; ax ± b = cHoặc hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn dạng: (I)
Giải phương trình bậc nhất một ẩn bằng các phép biến đổi tương đương, còn ở Tiểu học thì vận dụng các quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính như tìm số hạng, tìm thừa số, tìm tổng, tìm hiệu
Giải hệ (I) bằng phương pháp thế, khử, hoặc dùng định thức cấp 2.
Như vậy mỗi bước giải ở phương pháp Đại số đều tương ứng với mỗi bước giải ở phương pháp Tiểu học.
3.1.6. Giải các bài toán vận dụng “Phương pháp khử” bằng hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ: Bài 2, Đề thi học sinh giỏi Sơn La – 2001, Tuyển tập đề thi học sinh giỏi bậc Tiểu học môn Toán, Đỗ Trung Hiệu, Lê Tiến Thành, NXBGD.
Cô Hoa mua 8 quyển sách giáo khoa và 6 quyển vở hết 52000 đồng. Cô Lan mua 4 quyển sách giáo khoa và 9 quyển vở hết 38000 đồng. Hãy tính giá tiền một quyển sách giáo khoa và một quyển vở biết rằng số sách giáo khoa và số vở hai cô mua là cùng loại?
Giải:
+ Phương pháp Đại số:
Gọi giá tiền của một quyển sách là x, giá tiền một quyển vở là y. (x, y > 0). Theo bài ra ta có hệ phương trình:
 Û 
 Û Û 
 Û Û 
Vậy giá tiền một quyển sách là 5000, giá tiền một quyển vở là 2000.
Hoặc ta có thể giải hệ (I) bằng định thức cấp 2 như sau:
 D = = 48; Dx = = 240000 
 Dy = = 96000
 Þ x = ; y = 
+ Phương pháp Tiểu học:
Cô Hoa mua 8 quyển sách giáo khoa và 6 quyển vở hết 52000 đồng, Do đó giả sử cô Hoa mua 4 quyển sách giáo khoa và 3 quyển vở thì hết số tiền là:
 52000 : 2 = 26000 (đồng).
(Bước này tương ứng với bước chia hai vế phương trình (1) cho 2).
Vì hai người mua số sách giáo khoa bằng nhau nên số tiền mua 9 quyển vở nhiều hơn số tiền mua 3 quyển vở là:
 38000 – 26000 = 12000 (đồng).
(Bước này tương ứng với bước trừ hai vế của phương trình (4) cho phương trình (3)).
Giá tiền một quyển vở là:
 12000 : (9 – 3) = 2000 (đồng).
(Bước này tương ứng với bước chia hai vế của phương trình (5) cho 6).
Cô Lan mua 9 quyển vở hết số tiền là:
 2000 x 9 = 18000 (đồng).
(Bước này tương ứng với bước thay giá trị của y vào phương trình (4)).
Cô Lan mua 4 quyển sách giáo khoa hết số tiền là:
 38000 – 18000 = 20000 (đồng).
(Bước này tương ứng với bước chuyển vế đổi dấu ở phương trình (6)).
Giá tiền một quyển sách giáo khoa là:
 20000 : 4 = 5000 (đồng).
(Bước này tương ứng với bước chia hai vế của phương trình (7) cho 4).
 Đáp số: 1 quyển sách giáo khoa giá 5000 đồng,
 1 quyển vở giá 2000 đồng.
* Ta tóm tắt các dữ kiện của bài toán như sau:
- 8 quyển sách giáo khoa và 6 quyển vở giá 52000 đồng.
- 4 quyển sách giáo khoa và 9 quyển vở giá 38000 đồng.	
Trường hợp 1:
Giả sử ta thay đổi dữ kiện (1) của bài toán thành: Mua 8 quyển sách giáo khoa và 6 quyển vở hết a nghìn đồng (a > 0). Theo bài ra ta có hệ phương trình:
Vì x, y > 0 nên: 	
Vậy ta thay từng giá trị của a thỏa mãn điều kiện trên ta sẽ có các bài toán tương tự. Ví dụ: Cô Hoa mua 8 quyển sách giáo khoa và 6 quyển vở hết 64000 đồng. Cô Lan mua 4 quyển sách giáo khoa và 9 quyển vở hết 38000 đồng. Hãy tính giá tiền một quyển sách giáo khoa và một quyển vở biết rằng số sách giáo khoa và số vở hai cô mua là cùng loại?
Trường hợp 2:
Giả sử ta thay đổi dữ kiện (1) của bài toán thành: Mua 8 quyển sách giáo khoa và b quyển vở hết 52 nghìn đồng (0 < a, b < 52000). Ta có hệ phương trình:
Vì x, y > 0 nên: 
24 (18 - b) => 18 – b = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12.
 => b = 17, 16, 15, 14, 12, 10, 6.
Kết hợp với điều kiện (*) vậy b nhận các giá trị là: 12, 10, 6. Thay b = 6 hoặc 10, 12. Ta sẽ có các bài toán tương tự. Ví dụ: Cô Hoa mua 8 quyển sách giáo khoa và 10 quyển vở hết 52000 đồng. Cô Lan mua 4 quyển sách giáo khoa và 9 quyển vở hết 38000 đồng. Hãy tính giá tiền một quyển sách giáo khoa và một quyển vở biết rằng số sách giáo khoa và số vở hai cô mua là cùng loại?
* Tương tự nếu ta thay dữ kiện (2) thành mua 4 quyển sách giáo khoa và 9 quyển vở hết n nghìn đồng hoặc mua n quyển sách giáo khoa và 9 quyển vở hết 38 nghìn đồng. Giải và biện luận ta sẽ có các bài toán tương tự.
* Một số ví dụ tương tự:
Bài 3, Đề thi học sinh giỏi TPHCM năm 2001, Tuyển tập đề thi học sinh giỏi bậc Tiểu học môn Toán, Đỗ Trung Hiệu, Lê Tiến Thành, NXBĐHSP.
Một người mua 3 cái bàn và 5 cái ghế với tổng số tiền phải trả là 1414000 đồng. Giá 1 cái bàn đắt hơn 1 cái ghế là 226000 đồng. Hỏi giá tiền của 1 cái bàn và 1 cái ghế là bao nhiêu?
Ví dụ 1, trang 162, Thực hành giải toán ở Tiểu học tập 1, Trần Diên Hiển, NXBĐHSP.
Một người mua 2 gói kẹo và 5 gói bánh hết 26000 đồng. Một lần khác, người ấy mua 2 gói kẹo và 9 gói bánh cùng loại hết 42000 đồng. Tính giá tiền 1 gói bánh mỗi loại?
* Từ bài toán vận dụng giải bằng phương pháp khử, ta khái quát thành cách giải Đại số tổng quát như sau:
Gọi x, y là 2 đại lượng cần tìm. Theo bài ra ta có hệ:
 (Với a, a, b, b, c , c là những đại lượng đã cho).
Giải hệ bằng phương pháp thế, khử, dùng định thức cấp 2 ta sẽ được các giá trị cần tìm.
Như vậy khi giải các bài toán vận dụng phương pháp khử bằng phương pháp Đại số thường dẫn đến 1 hệ phương trình tuyến tính bậc nhất 2 ẩn số. Giải hệ phương trình này tương ứng với cách giải và biện luận trong phương pháp giải Tiểu học.
3.2. Xây dựng bài toán mới dựa vào phương trình và hệ phương trình tuyến tính đã cho
3.2.1. Vai trò của việc xây dựng bài toán mới
Các bài toán trong sách giáo khoa nói chung đã được chọn lọc, sắp xếp có hệ thống phù hợp với trình độ nhận thức và năng lực của học sinh, đã phản ánh được thực tiễn đời sống sinh hoạt, lao động, phù hợp với tâm lí các em. Tuy nhiên khi dạy toán, giáo viên cần nghiên cứu rõ vị trí, tác dụng của từng bài toán trong mỗi bài học, trong mỗi phần của chương trình để vận dụng vào giảng dạy hợp lí. Mặt khác mỗi trường, mỗi lớp, mỗi địa phương có một đặc điểm riêng cho nên phải sử dụng các bài toán một cách sáng tạo. Ngoài ra cần phải soạn thêm các bài toán khác nhằm phát triển ngôn ngữ cho học sinh. Vì vậy việc đặt đề toán ở Tiểu học là rất quan trọng.
3.2.2. Những yêu cầu khi đặt một đề toán
3.2.2.1. Phải phù hợp với trình độ kiến thức của học sinh
Nghĩa là những khái niệm, những quy tắc áp dụng để giải phải là những điều mà các em đã học.
 Yêu cầu này đòi hỏi giáo viên phải nắm vững chương trình giảng dạy, tránh tình trạng cho học sinh làm những bài toán quá sức.
3.2.2.2. Bài toán phải đầy đủ dữ kiện
 Nghĩa là không thừa, không thiếu, nội dung của bài toán không mâu thuẫn. Nghĩa là trong suy luận từ những cái đã cho đến cái phải tìm không đưa đến những kết quả trái ngược nhau hoặc không phù hợp với ý nghĩa thực tế của nó, trái với điều kiện đã cho của bài toán.
3.2.2.3. Câu hỏi của bài toán phải rõ ràng, đủ ý nghĩa
 Với cùng một dữ kiện như nhau có thể đặt ra những câu hỏi khác nhau. Việc thấu hiểu câu hỏi của đề toán là điều kiện căn bản để giải đúng bài toán đó nên cần chú ý đến câu hỏi.
3.2.2.4. Số liệu của bài toán phải phù hợp với thực tế
 Tác động giáo dục của bài toán là ở chỗ nó phản ánh được thực tế qua lăng kính của toán học. Cho nên khi soạn một đề toán, cần lấy số liệu cho phù hợp với thực tế để các em thấy được lợi ích khi học các bài toán đó.
3.2.2.5. Ngôn ngữ của bài toán phải ngắn gọn, mạch lạc
 Ngôn ngữ của đề toán ảnh hưởng không ít đến việc hiểu nội dung, ý nghĩa của đề toán, đến quá trình suy luận chọn phép tính để giải của học sinh. Cần tránh việc kể lể dài dòng những sự việc không cần thiết trong đề toán làm cho học sinh khó tập trung suy nghĩ về bản chất của đề toán.
3.2.2.6. Việc sáng tác đề toán phải căn cứ vào nội dung, yêu cầu của bài học
 Các bài toán có tác dụng củng cố những kiến thức học sinh đã học, rèn luyện kĩ năng mới. Các bài toán phải phục vụ cho nội dung, yêu cầu của bài học. Cho nên khi ra đề toán phải lựa chọn những kiến thức phục vụ cho yêu cầu giảng dạy môn toán nói chung và yêu cầu có thể của từng chương, từng bài và phải đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Những bài toán có cấu trúc giống nhau cũng nên có nhiều cách trình bày khác nhau để tránh suy luận máy móc.
3.2.3. Xây dựng bài toán mới dựa vào phương trình và hệ phương trình tuyến tính đã cho
 Việc sáng tác bài toán mới từ phương trình và hệ phương trình tuyến tính nhằm giúp học sinh nắm chắc kiến thức, vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đã học. Ngoài ra nó nâng cao một bước năng lực của học sinh trong hoạt động giải toán, qua đó thấy được hoạt động giải toán được xem như là nhịp cầu nối giữa kiến thức toán học trong nhà trường và ứng dụng của nó trong đời sống xã hội.
Khi đặt bài toán dạng này, trước hết phải lựa chọn văn cảnh cho phù hợp với vốn ngôn ngữ và vốn sống của học sinh, sau đó chọn từng dữ kiện phù hợp với từng hằng số trong phương trình cũng như các ẩn số cần tìm.
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:
Ta nhận thấy đây là hệ phương trình thể hiện của dạng toán ở Tiểu học là: “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng”, vậy ta có thể đặt đề toán như sau:
Bài toán 1: Một lớp học có 33 học sinh trong đó số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 5 bạn. Tìm số học sinh nam và số học sinh nữ của lớp học đó?
Bài toán 2: Mẹ có tất cả 33 cái kẹo, mẹ chia cho hai anh em, vì em nhỏ hơn nên mẹ chia cho em nhiều hơn anh 5 cái kẹo. Hỏi anh và em mỗi người có bao nhiêu cái kẹo?
Bài toán 3: Một vườn cây ăn quả có 2 loại cây là cam và quýt, tổng số cây là 33 cây. Nếu người ta trồng thêm 5 cây cam nữa thì số cây cam bằng số cây quýt. Tính số cây mỗi loại?
Bài toán 4: Tổng số tuổi của hai chị em là 33 tuổi. 10 năm về trước chị hơn em 5 tuổi. Tính số tuổi của chị và em hiện nay?
Bài toán 5: Một người đi chợ mua 33 quả trứng gà và vịt. Biết số trứng gà bằng số trứng vịt bớt đi 5 quả. Tính số trứng gà và số trứng vịt mà người đó mua?
2. Ví dụ: Cho hệ phương trình: 
Ta nhận thấy đây là hệ phương trình thể hiện cho dạng toán ở Tiểu học là: “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ của hai số đó”. Vậy ta có thể đặt đề toán cho dạng này là:
Bài toán 1: Một lớp học có 24 học sinh, trong đó 3 lần số học sinh nam bằng 2 làn số học sinh nữ. Tính số học nam và số học sinh nữ của lớp học đó?
Bài toán 2: Một lớp học có 24 học sinh, trong đó 1/3 lần số học sinh nam bằng 1/2 lần số học sinh nữ. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của lớp học đó?
Bài toán 3: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 48m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó, biết rằng chiều dài gấp 2/3 chiều rộng?
Bài toán 4: Giá tiền của 2 quyển sách và 2 quyển vở là 48 nghìn đồng. Tính số tiền của 1 quyển sách và 1 quyển vở, biết rằng giá tiền 1 quyển vở gấp 2/3 lần giá tiền của 1 quyển sách?
Ví dụ 3: Cho phương trình: x x 5 + 25 = 75.
Ta nhận thấy để tính được giá trị của x ta lần lượt chuyển vế, đổi dấu theo quy tắc tính giá trị trong 1 biểu thức, tức là ở đây ta thực hiện các phép tính ngược với các phép tính trong biểu thức đã cho. Đây là phương trình thể hiện của dạng toán tính ngược từ cuối. Vậy ta có thể đặt đề toán như sau:
Bài toán 1: An có một số quả cam, Mẹ cho An thêm số quả cam gấp 5 lần số cam của An, sau đó chị lại cho An thêm 25 quả nữa nên lúc này An có tất cả 75 quả. Tính số cam mà An có lúc đầu?
Bài toán 2: 5 lần tuổi cháu cộng thêm 25 tuổi nữa thì tuổi cháu sẽ bằng tuổi ông. Tính tuổi cháu hiện nay biết rằng hiện nay ông 75 tuổi?
Bài toán 3: Một bà lão đi chợ bán cam, số cam bà có là 75 quả. Lần đầu bà bán được 25 quả, lần sau bà bán được 1/5 lần số cam còn lại sau lần bán thứ nhất. Hỏi bà còn lại bao nhiêu quả cam?
Bài toán 4: Tìm một số biết rằng tăng số đó gấp 5 lần, sau đó cộng với 25 được kết quả là 75?
 KẾT LUẬN
 Qua quá trình tìm tòi nghiên cứu cùng với việc khảo sát chương trình sách giáo khoa toán Tiểu học lớp 1, 2, 3, 4, 5, các sách toán nâng cao, điển hình, tôi nhận thấy việc giải toán có lời văn thông qua cấu trúc hóa bằng phương trình và hệ phương trình tuyến tính thể hiện nhiều ưu điểm. Cụ thể những kiến thức toán học trừu tượng, khó hiểu đều được thể hiện thông qua yếu tố phương trình, hệ phương trình. Qua đó chúng ta dễ liên kết các dữ kiện của bài toán, từ đó có thể hướng dẫn và giải thích các mối quan hệ một cách rõ ràng, gợi ý hướng suy luận để tìm ra lời giải cũng như nhiều cách giải khác nhau.
Tuy nhiên phương pháp giải toán này chưa phát huy được tính lập luận lôgic cho học sinh. Vì vậy đây chỉ là phương pháp giúp giáo viên linh hoạt trong việc hướng dẫn, giảng dạy cũng như có thể sáng tác ra nhiều bài toán tương tự nhằm giúp học sinh luyện tập để khắc sâu kiến thức đã học.
Trong 3 chương vừa rồi, chúng ta đã xem xét một số vấn đề về: “ Một số yếu tố về phương trình – hệ phương trình tuyến tính. Ứng dụng giải toán có lời văn ở Tiểu học ”. Mỗi chương có một nội dung riêng:
Chương 1: Nói lên cơ sở lý luận và thực tiễn liên quan đến phương trình, hệ phương trình tuyến tính và sự thể hiện của chúng thông qua các dạng toán có lời văn từ lớp 1 đến lớp 5.
Chương 2: Đề cập đến việc phân tích một số dạng toán có lời văn thường gặp và các phương pháp giải toán ở Tiểu học nhằm tạo tiền đề, cơ sở cho việc giải quyết các vấn đề ở chương 3.
Chương 3: Đề cập đến việc giải toán có lời văn thông qua thao tác cấu trúc hóa bài toán bằng phương trình, hệ phương trình tuyến tính. Đồng thời đưa ra những bài toán tương tự qua việc thay đổi dữ kiện bài toán và biện luận để tìm ra điều kiện để có các dữ kiện khác phù hợp. Ngoài ra dựa vào phương trình, hệ phương trình đã cho, tôi đã đưa ra những bài toán hoàn toàn mới. Đây là phần giúp cho giáo viên Tiểu học tự nâng cao khả năng sáng tạo của mình cũng như góp phần vào việc đổi mới phương pháp học tập cho các em, giúp các em phát huy tính tích cực trong học tập. 
Do trình độ cũng như thời gian có hạn nên có nhiều vấn đề mà tôi không thể nghiên cứu và đưa vào được. Và chắc chắn khóa luận này sẽ không tránh khỏi thiếu sót. Hi vọng bạn đọc, Thầy, Cô giáo đóng góp ý kiến để khóa luận của tôi được hoàn thiện và ngày càng có giá trị thực tiễn hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Áng, Hoàng Thị Phước, Dương Quốc Ấn, 1993, Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4.
2. Bộ giáo dục và đào tạo, 2001, Một số vấn đề về nội dung và phương pháp dạy học môn toán Tiểu học.
3. Bộ giáo dục và đào tạo, sách giáo khoa Toán 1, 2, 3, 4, 5.
4. Đậu Thế Cấp, 1993, Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4, NXB Hà Nội.
5. Lê Hải Châu, 1999, Bồi dưỡng toán Tiểu học 5, NXB DHQGHN.
6. Đỗ Trung Hiệu, Đỗ Trung Hoan, Vũ Dương Thụy, Vũ quốc chung, 2004, Giáo trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở Tiểu học, NXB Đại học Sư phạm.
7. Đỗ Trung Hiệu, Vũ Dương Thụy, 1993, Các phương pháp giải toán ở Tiểu học(tập 1, 2), NXB Giáo dục.
8. Nguyễn Phụ Hy, 2003, Dạy học các tập hợp số ở Tiểu học, NXB Giáo dục.
9. Trần Ngọc Lan, 2003, Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán lớp 4, 5. NXB ĐHSP
10. Đặng Tự Lập, Võ Thị Loan, Phương pháp giải toán nâng cao, NXB Tổng hợp TPHCM.
11. Trần Diên Hiển, 2007, thực hành giải toán ở Tiểu học, NXB ĐHSP.
12. Tô Hoàng Phong, tuyển tập 400 bài toán 5.
13. Phạm Đình Thực, 2002, Phương pháp sáng tác đề toán ỏ Tiểu học, NXBGD.
14. Phạm Đình Thực, 2004, 100 câu hỏi về việc dạy toán ở Tiểu học, NXBGD.
15. Phạm Đình Thực, Một sối thủ thuật giải toán lớp 4 và lớp 5, NXB ĐHQG Hà Nội.
16. Vũ Dương Thụy, 2002, Các phương pháp giải toán ở Tiểu học (tập1, 2), NXBGD.
17. Tạp chí toán tuổi thơ.
18. Võ Đại Mau, Võ Thị Uyên Phương, 1994, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4, 5 bậc Tiểu học, NXB Trẻ.
19. Vũ Tuấn, 1998, Đại số sơ cấp, NXBGD.