Sáng kiến kinh nghiệm Một số vấn đề về dạy học số chính phương

ơng lẻ thì chia cho 8 dư 1.
Tương tự như các tính chất trên ta có thể chứng minh được một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0 hoặc dư 1 hoặc dư 4.
* Tính chất 8:
Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào.
Thật vậy:
Nếu n là số tự nhiên và có số tự nhiên k thỏa mãn n2 n< k <n+1 không là số chính phương.
Nếu n2 k2 = (n+1)2
* Tính chất 9 :
Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a, b là số chính phương thì a, b đều là số chính phương.
* Tính chất 10:
 Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số đó là số 0.
II. Một số dạng bài về số chính phương.
Chứng minh một số là số chính phương.
Để chứng minh số A là số chính phương, tùy từng bài toán ta lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp . Sau đây là hai phương pháp thường dùng.
Vận dụng định nghĩa về số chính phương.
Theo phương pháp này ta sẽ tìm cách biến đổi A thành bình phương một số tự nhiên ( hoặc số nguyên)
 * Bài toán 1:
Cho a = 1115 và b = 1119
 n chữ số 1	 n chữ số 1
Chứng minh rằng : ab +4 là số chính phương.
Giải:
Ta có b = 1119 = 1115 +4 = a +4
 n chữ số 1	 n chữ số 1
ab +4 = a.(a+4) +4 = a2 +4a +4 = (a+2)2 = 11172
 n chữ số 1
Vậy ab + 4 là số chính phương 
* Bài toán 2:
Chứng minh rằng : Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương.
Giải :
Thật vậy , ta gọi tích của 4 số tự nhiên liên tiếp có dạng: n(n+1)(n+2)(n+3)
Khi đó A = n (n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n2 +3n +2)(n2+3n) +1 
 = (n+3n)2 +2(n2 +3n)+1
 = (n2+ 3n +1)2
 Vậy A là số chính phương.
* Bài toán 3:
Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng minh rằng : A-B là một số chính phương.
Giải:
 100 chữ số 9
Ta có A = 111 
 100 chữ số 1
Tương tự B = 222
 50 chữ số 2
=>A –B 
 50 chữ số 3
Cách 2:
B = 222 = 2.111
 50 chữ số 1	 50 chữ số 1
A = 111 = 111 000+ 111
 100 chữ số 1	50 chữ số 1 50 chữ số 0 50 chữ số 1
 = 111.1050+111
 50 chữ số 1 50 chữ số 1
Đặt C = 111 =>9C = 999 +1
 50 chữ số 1 50 chữ số 9
=>9C +1 = 999 +1
 50 chữ số 1
=>9C+1=1050
Khi đó : A = C. (9C +1) +C =9C2 +2C
 B = 2C
A –B = 9C2 +2C -2C = 9C2 =(3C)2 = (333)2
 50 chữ số 3
Nhận xét: Như vậy khi giải bài toán về số chính phương mà tồn tại số có nhiều chữ số giống nhau ta có thể đặt C = 111 và chú ý rằng :
 n chữ số 1
10n = 999 +1 = 9C +1. Sau đó ta thay vào biểu thức 
	n chữ số 1
Từ bài toán 3 này ta có thể chứng minh bài toán tổng quát sau:
* Bài toán tổng quát:
Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên A gồm 2k chữ số 1 và số tự nhiên B gồm k chữ số 2. Chứng minh rằng : A-B là một số chính phương.
* Bài tập áp dụng:
1, Cho hai số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm 2m chữ số 1, số B chỉ gồm m chữ số 4.
Chứng minh rằng : A +B +1 là một số chính phương.
2, CMR : an+ an+1 là một số chính phương với an = 1 +2 +3++n
3, CMR: 1+ 3+ 5+ 7+ + n là một số chính phương(n lẻ)
4, Chứng minh các số say đây là số chính phương.
a, A = 444 x 888 (n)
 n chữ số 4 (n-1) chữ số 8
b, B = 111 – 888 +1 (nN)
 2n chữ số1 n chữ số 8
5, Cho 3 số tự nhiên A = 444 ; B = 222 ; C = 888
 2n chữ số 4 (n+1) chữ số 2 n chữ số 8 
CMR : A +B +C + 7 là số chính phương.
6, Cho a = 111 ; b = 1000 11 ( n2)
 n chữ số 1 (n-2)chữ số 0
CMR : ab +4 là số chính phương.
Dựa vào tính chất đặc biệt (Tính chất 9 này) 
Ta sẽ chứng minh tính chất đặc biệt : Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và ab là một số chính phương thì a và b đều là số chính phương.
Chứng minh:
Giả sử (a,b) = 1 và a.b = c2( cN)
Khi đó ta sẽ chứng minh : a và b đều là các số chính phương.
Gọi d = (a,c) ú a = a1.d ; c =c1.d ;(a1 ;c1) = 1
Mà a.b =c2 ú a1.d.b =(c1.d)2
úa1.b = c12.d (*)
 Từ (*) suy ra ;
+, a1.bc12 => bc12 (1) vì (a1 ;c1) =1
+, c12.db => c12b (2) vì (a,c) =d mà (a;b) =1 nên (d;b) =1
 Từ (1) và (2) => b =c12 Khi đó a= 
Như vậy tính chất trên được chứng minh.
Sau đây là một số bài toán ta có thể áp dụng tính chất trên 
* Bài toán:
Chứng minh rằng : Nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn x2 +x = 2y2 +y thì :
A, x-y và x+ y +1 là các số chính phương.
B, x- y và 2x +2y +1 là các số chính phương.
Giải :
A, Ta có x2 +x = 2y2+y.
ú x2 – y2 +x –y = y2
ú (x – y)(x+y+1)=y2 (1)
Như vậy để chứng minh : x –y và x +y +1 là các số chính phương thì áp dụng tính chất đặc biệt trên ta sẽ chứng minh : (x-y: x+ y +1) = 1.
Thật vậy , gọi d = (x-y; x +y+ 1)
x- y d và x + y+1 )
( x+ y+1) –(x –y) d
2y +1d
Mặt khác từ (1) ta có y2 d=> y d(3)
Từ (2) và (3) suy ra 1 d hay d = 1.
Vậy (x-y;x+y+1) = 1 thỏa mãn (1), theo tính chất 9 suy ra x- y và x +y +1 là các số chính phương.
b, Từ giả thiết ta có x2 +x = 2y2 +y.
ú 2(x2 –y2) +x – y = x2
ú (x –y) (2x +2y +1) =x2
Chứng minh tương tự phần a ta được (x – y; 2x +2y +1) = 1
áp dụng tính chất 9 suy ra x – y và 2x +2y +1 là các số chính phương.
Theo cách chứng minh bài toán trên ta có thể áp dụng để chứng minh cho các bài toán sau:
1.Chứng minh rằng:
Nếu x và y là các số tự nhiên thỏa mãn 2x2 +x = 3y2+ y thì:
a, x –y và 2x +2y +1 là các số chính phương.
b, x –y và 3x +3y +1 là các số chính phương.
2. Chứng minh rằng :
Nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn : 3x2 +x = 4x2 +y thì :
a, x –y và 3x +3y +1 là các số chính phương.
b, x –y và 4x +4y +1 là các số chính phương.
Từ các bài toán trên ta có thể chứng minh bài toán tổng quát sau:
* Bài toán tổng quát:
Nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn nx2 +x = ( n +1)y2 +y (n N) thì :
a, x –y và nx +ny +1 là các số chính phương.
b, x- y và (n +1)x + (n +1)y +1 đều là các số chính phương.
2. Chứng minh một số không là số chính phương.
Chúng ta đã biết cách chứng minh một số là số chính phương. Vậy để chứng minh một số không phải là số chính phương ta làm thế nào? Một số là số chính phương thì cần có những điều kiện gì?
Trả lời được những câu hỏi trên , chúng ta sẽ tìm ra hướng để giải quyết những bài toán “ Chứng minh một sô không là số chính phương”.
Sau đây là một số giải pháp khi thực hiện dạng toán này.
2.1.Tìm số tận cùng.
Do số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên số chính phương phải có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9 không tận cùng bởi 2,3,7,8.
Như vậy muốn chứng minh số A không phải là số chính phương ta sẽ chứng minh số A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7 ,8.
Hay số A có một số lẻ chữ số 0 tận cùng ( do số chính phương nếu chứa thừa số nguyên tố 2, 5 thì với số mũ chẵn , nên chứa một số chẵn số 0 tận cùng)
Dựa vào kiến thức trên, ta có thể giải quyết được bài toán sau đây:
* Bài toán 1:
Chứng minh số A = 11 +112+113+114+115+116+117không là số chính phương.
Giải :
Ta thấy chữ số tận cùng của A là 7.
Mà số chính phương chỉ có tận cùng là 0,1,4,5,6,9 không tận cùng bởi 2,3,7,8.
 Vậy kết luận A không là số chính phương.
Nhưng một số có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9 đã chắc chắn là số chính phương hay chưa ? ta xét bài toán sau:
* Bài toán 2
Chứng minh số 2006000 không là số chính phương.
Giải :
Một số chính phương tận cùng là số 0 phải chứa thừa số nguyên toos 2 và 5 với số mũ chẵn , do đó nó phải tận cùng bởi một số chẵn chữ số 0. Vậy số 2006000 không là số chính phương.
* Bài toán 3 
Chứng minh rằng : B = 10100 + 5050 +1 không là số chính phương.
Nhận xét :
Ta thấy B có tận cùng là 1. Vậy muốn chứng minh B không là số chính phương ta phải làm như thế nào?
Khi đó ta cần chú ý một tính chất nữa của số chính phương đó là:
Một số chính phương chia hết cho số p 2k+1 thì phải chia hết cho p 2k+2 (p là số nguyên tố , k N)
Vậy lời giải bài toán 3 sẽ là : Ta thấy B chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 ( vì tổng các chữ số của số B bằng 3 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9) => B không phải là số chính phương.
* Bài toán 4 :
Chứng minh số 20070 không là số chính phương.
Giải :
- Cách 1: Theo bài toán 2 ta thấy số 20070 có tận cùng là một số lẻ chữ số 0 => 20070 không là số chính phương.
- Cách 2 : Ta thấy số 20070 chia hết cho 5( vì có tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 ( vì hai chữ số tận cùng không chia hết cho 25). Do đó số 20070 không là số chính phương.
* Bài tập áp dụng :
1. Chứng minh rằng : Các số sau không là số chính phương.
a, A = 5 + 52+ 53+ 52+ 54+ 55+ +5n (n >0)
b, B = 20042005
c, C = 20062 -20052 + 20042- 20032
2. Chứng minh rằng : Tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương.
3. Viết liên tiếp các số 1,2,3,42003,2004 thành hàng ngang theo thứ tự tùy ý.
CMR : Số tạo thành theo cách viết trên không thể là một số chính phương.
Dựa vào việc xét số dư trong các phép chia cho 3,4,5
* Bài toán 1:
CMR : Số A = 2224 không phải là số chính phương.
Nhận xét: Thật vậy, nếu xét chữ số tận cùng ta thấy số A có tận cùng là 4, như vậy không thể kết luận được gì. Mà số A chia hết cho 2 và cũng chia hết cho 4( do hai chữ số tận cùng chia hết cho 4). Như vậy, ta không thể áp dụng cách chứng minh ở dạng 1 vào bài toán này.
Chúng ta đã biết chứng minh một số chính phương khi chia hết cho 3 có số dư là 0 hoặc 1. Vậy A chia cho 3 có số dư như thế nào? Khi đó ta có lời giải.
Giải:
Do số A có tổng các chữ số của nó là 104, số này chia cho 3 dư 2.
Mà một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.
Vậy A không phải là số chính phương.
* Bài toán 2:
CMR : Tổng của ba số chính phương liên tiếp không phải là số chính phương.
Giải:
Gọi ba số chính phương liên tiếp có dạng: (n-1)2,n2, (n+1)2.
Tổng của chúng là: A = (n-1)2+n2+ (n+1)2
 A= 3n2 +2
Do A chia cho 3 dư 2 nên A không là số chính phương.
* Bài toán 3
CMR : Tổng của bốn số chính phương liên tiếp không phải là số chính phương.
Giải: 
Gọi bốn số chính phương liên tiếp có dạng (n-1)2,n2, (n+1)2, (n+2)2
Tổng của chúng là B =(n-1)2+n2+ (n+1)2+ (n+2)2
 B = 4n2 +4n+6.
- Ta dễ dàng chứng minh được rằng một số chính phương chia cho 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.
- Như vậy số B = 4n2 +4n+6 = 4(n2 +n+1)+2 chia cho 4 dư 2.
Vậy B không là số chính phương.
* Bài toán 4 :
CMR : Tổng của 20 số chính phương liên tiếp không phải là số chính phương.
Giải:
Thật vậy:
Gọi A là tổng của 20 số chính phương liên tiếp.
Theo bài 3 : Do tổng của 4 số chính phương liên tiếp chia cho 4 dư 2 . Nên tổng của 20 số chính phương liên tiếp chia cho 4 cũng dư 2.
Vậy A không là số chính phương.
* Bài toán 5
CMR: Tổng sau không là số chính phương.
D = 20054 +20053 +20052 +2005 +52.
Nhận xét: Nếu số dư trong phép chia cho 3, cho 4 ta không kết luận được gì. Mà ta biết rằng một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có số dư là 0 hoặc dư 1 hoặc dư 4.
Giải:
Do D chia cho 5 dư 2. Mà một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4. Nên D không là số chính phương.
* Bài toán áp dụng:
1. CMR tổng của 2 số chính phương lẻ không là số chính phương.
2. CMR các biểu thức sau không là số chính phương.
a, n3 –n +2.
b, n5 –n+2
3. CMR các tổng sau không là số chính phương.
a, A= 12 +22 +32++20032+20042.
b, B = 12 +22 +32++20032
c, C =20002 +20012+ 20032 +20042+20052+20062
2.3 Chứng minh số đó nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp .
Ta biết rằng giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào. Thật vậy , nếu n2< k<(n +1)2 thì k không là số chính phương.
Vận dụng kết quả trên ta sẽ giải quyết được các bài toán sau:
* Bài toán 1: Chứng minh rằng:
a, Tích của hai số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
b, Tích của ba số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
c, Tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Giải:
a, Xét tích của hai số nguyên dương liên tiếp n(n+1);(n>0).
Do n2 < n(n+1)< (n+1)2.
Nên n(n+1) không phải là số chính phương.
 b, Xét tích của ba số nguyên dương liên tiếp là (n-).n.(n+1); (n>1).
Ta có (n-1).n.(n+1) = n.(n2 -1).
Ta dễ dàng chứng minh được hai số nguyên dương liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau nên (n2, n2-1 ) =1 => (n2, n2-1 ) =1 =>n(n2-1) là số chính phương khi cả hai thừa số n và n2- 1 đều là số chính phương.
Với mọi n>1 ta có (n -1) (n -1)< (n -1) (n +1)= n2-1<n2
hay (n-1)2 n2 -1 không là số chính phương.
Vậy n.(n2 -1) không là số chính phương.
 c, Xét tích của 4 số nguyên dương liên tiếp là :
A = n(n+1)(n+2)(n+3) (nN*)
A = n(n+3(n+1)(n+2)
A = (n2 +3n).(n2+3n+2)
A = (n2+3n)2 +2(n2 +3n)
 Do (n2+3n)2<(n2+3n)2 +2(n2 +3n)< (n2+3n)2 +2(n2 +3n)+1 
 hay (n2+3n)2<A< (n2+3n+1)2
 => A không là số chính phương.
* Bài toán 2:
Chứng minh rằng : Số có dạng 2006ab không là số chính phương.
Giải :
Do 00 200600 <2006ab < 200699 (1)
Mà 4472 = 199809 < 200600 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4472< 2006ab <4482
Vậy 2006ab không là số chính phương.
* Bài toán 3:
Chứng minh rằng : Số có dạng n6 – n4 +2n3 +2n2 (nN, n>1) không là số chính phương.
Giải :
Xét n6 – n4 +2n3 +2n2 = n2.(n4 –n2 +2n +2)
= n2 .[(n2 -1)2 +(n+1)2]
= n2 .[(n2 -1)2 (n +1)2 +(n+1)2]
= n2.(n+1)2 .[(n-1)2+1]
Với mọi số tự nhiên n> 1 ta có:
(n-1)2 < (n-1)2+1 = n2 -2(n-1)<n2
=> (n-1)2+1 không là số chính phương.
Vậy A không là số chính phương.
* Bài toán áp dụng:
1, Chứng minh rằng với mọi số dương n thì các biểu thức sau không là số chính phương.
a, n2+3n +1
b, n4 +2n3 +2n2+2n +1.
2, CMR số sau không là số chính phương.
 2006acb.
2.4.Chứng minh số đó chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố số chính phương chỉ chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn không chứa số với số mũ lẻ.
Dựa vào tính chất này ta có thêm một cách chứng minh một số không phải là số chính phương, chỉ cần chỉ ra số đó chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
* Bài toán:
Chứng minh rằng : A = abc +bca +cab không là số chính phương.
Giải:
Thật vậy : có A = 111(a+b+c ) = 3.37.(a+b+c)
Do một số là số chính phương phải chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
Mà (a+b+c) không đồng thời chia hết cho 3 và 37.
Vì 3 a+b+c 27
Nên A không là số chính phương.
* Bài tập áp dụng:
Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương.
a, abab
b, abcabc
c, ababab
III- Kết quả, ý nghĩa, tác dụng của đề tài.
Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh, tôi đã hướng dẫn các em chuyên đề này theo từng phần phù hợp với từng đối tượng học sinh các khối lớp. Kết quả cho thấy các em không những giải tốt các bài toán tương tự trong đề tài này mà còn biết vận dụng các kiến thức về số chính phương để giải các dạng toán khác liên quan đến số chính phương như dạng toán tìm số n để biểu thức chứa n là số chính phương. Và đặc biệt, khi gặp các kiểu bài chứng minh như vậy, các em đã tìm cho mình hướng giải quyết, qua đó mà các em đã tự mình chiếm lĩnh kiến thức và sáng tạo trong giải toán.
Sau quá trình thực hiện đề tài với sự giúp đỡ thảo luận của tổ, nhóm chuyên môn, của các đồng nghiệp có trình độ chuyên môn vững vàng tôi thấy đề tài của mình đã thu được những kết quả sau:
+ Đối với giáo viên 
- Chủ động trong quá trình thiết kế giờ dạy
- Chủ động trong việc tổ chức các hoạt động học tập của học sinh.
- Chủ động về thời gian.
- Đáp ứng được nhu cầu đổi mới theo chương trình và SGK mới.
+ Về phía học sinh:
- Chủ thể nhận thức là học sinh được coi trọng.
- Thời gian các em được làm việc và số lượng học sinh được làm việc nhiều hơn.
- Học sinh học tập sôi nổi, có chất lượng.
- Học sinh không chỉ được tự thực hiện mà còn được thảo luận, liên hệ thực hành trong giờ học vì thế các em tỏ ra rất hứng thú trong giờ học và yêu thích bộ môn.
- Các em được rèn luyện khả năng độc lập suy nghĩ , khả năng phán đoán và thảo luận nhóm do đó hiểu bài nhanh và sâu hơn.
IV- Những điểm tồn tại, hạn chế của đề tài:
- Trong quá trình giảng dạy khai thác bài toán về số chính phương, tôi nhận thấy bên cạnh tính ưu việt như đã nói ở trên giờ dạy còn gặp phải những hạn chế cụ thể như sau:
- Các bài toán về số chính phương hết sức đa dạng, hay và khó. ở đề tài này , tôi chỉ khai thác một phần nào đó về số chính phương, đó chính là dạng toán chứng minh nên việc khai thác chưa sâu.
- Nếu giáo viên chỉ tham gia giảng dạy ở một lớp thì việc áp dụng kinh nghiệm này vào thực tế giảng dạy mới chỉ được một phần nhỏ(VD : Do một số tính chất về số chính phương chỉ khi nào học sinh được học về hằng đẳng thức các em mới có thể áp dụng được. Nên đối với học sinh lớp 6 một số kiến thức giáo viên chỉ có thể đưa ra ở dạng đơn giản)
- Các kiến thức về số chính phương có quan hệ mật thiết với tính chất chia hết. Nếu học sinh không nắm vững kiến thức này thì việc áp dụng đề tào sẽ kém hiệu quả.
- Đối với học sinh TB hoặc học sinh TB yếu gặp nhiều khó khăn khi tiếp cận phương pháp chứng minh về số chính phương.
- Ngoài ra , để các giờ dạy về số chính phương thực sự có hiệu quả giáo viên cần phải đầu tư nhiều thời gian để tìm tòi , suy nghĩ nghiên cứu nội dung chương trình mới, phương pháp mới, đầu tư trong khâu thiết kế bài dạy vì vậy để theo được kiểu thiết kế này giáo viên sẽ vô cùng vất vả. Bản thân tôi trước khi thiết kế chưa được trực tiếp xem một tiết dạy mẫu, một giáo án mẫu về kiểu bài này, thậm chí SGk và tài liệu tham khảo cũng giới thiệu một cách sơ lược, không có đủ chỉ dẫn cụ thể.
VI- Điều kiện để áp dụng đề tài.
Từ những ưu điểm và cũng từ những hạn chế, khó khăn trong việc áp dụng đề tài tôi tự rút ra những bài học đồng thời cũng là những điều kiện để áp dụng đề tài như sau:
a, Đối với giáo viên:
- Phải có sự nghiên cứu tìm hiểu kỹ nội dung, chương trình Toán THCS để áp dụng phù hợp cho từng khối lớp.
- Thường xuyên đổi mới phương pháp giảng dạy tạo cho học sinh hứng thú tìm hiểu bài toán: Sáng tạo, phát hiện ra nhiều bài toán tổng quát.
- Cần phân loại đối tượng học sinh khá - giỏi trong từng khối lớp để có phương pháp giảng dạy vận dụng cho phù hợp.
- Chú ý hướng dẫn học sinh phương pháp học, tìm hiểu bài toán, đào sâu suy nghĩ, tìm mối liên quan với các kiến thức đã học; nhận dạng bài toán
b, Đối với học sinh:
- Phải hứng thú, yêu thích môn học.
- Tìm hiểu thêm các vấn đề về số chính phương, đọc tài liệu( SBD, sách nâng cao)
- Tích cực học tập, trau dồi kiến thức.
Phần C : Kết luận, đề xuất và kiến nghị
Trên đây là toàn bộ nghiên cứu của tôi về một trong những phương pháp giảng dạy về số chính phương. Đây là một số vấn đề nhỏ trong rất nhiều vấn đề mới và khó.
Dạy theo phương pháp mới đòi hỏi giáo viên không chỉ có năng lực toán học mà phải có năng lực sư phạm, năng lực tổ chức hướng dẫn học sinh. Kết quả của phương pháp mới này là tùy thuộc vào năng lực của mỗi GV song điều thiết yếu nhất là GV cần phải sử dụng phương pháp dạy học hợp lý , linh hoạt phù hợp với từng tiết luyện tập. Do năng lực còn hạn chế đề tài của tôi chắc không tránh khỏi những điểm còn thiếu sót rất mong được sự tham gia , góp ý của bạn bè đồng nghiệp để bản thân tôi và những người dạy toán không ngừng nâng cao chất lượng giờ dạy toán, học toán như mong muốn chung của tất cả mọi người.
Để hiệu quả giảng dạy ngày càng cao tôi xin đề xuất một số vấn đề sau:
* Đối với giáo viên:
- Cần tăng cường công tác tự học, tự bồi dưỡng kiến thức và năng lực chuyên môn bằng nhiều con đường khác nhau.
- Tìm đọc các tài liệu tham khảo có liên quan đến môn dạy bài dạy.
- Tìm hiểu các sáng kiến kinh nghiệm của đồng nghiệp và mạnh dạn áp dụng vào giảng dạy.
- Đầu tư thời gian cho việc soạn giảng, cải tiến phương pháp giảng dạy.
* Đối với nhà trường và tổ chuyên môn:
- Cần tăng cường công tác chuyên môn, hội thảo về phương pháp dạy môn Toán ( chương trình mới) nhằm tạo điều kiện cho giáo viên được giao lưu học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau.
- Đầu tư kinh phí cho việc mua tài liệu tham khảo phục vụ cho bộ môn.
- Trang bị đầy đủ cơ sở vật chất, đồ dùng dạy học phục vụ cho dạy và học.
* Đối với các cấp lãnh đạo ngành giáo dục 
- Cần tạo điều kiện cho giáo viên được tham khảo các mẫu giáo án, các giờ dạy thực nghiệm.
- Cần tạo điều kiện cho các nhà trường và giáo viên toán được sử dụng các phương tiện dạy học hiện đại như : Máy chiếu, màn hình.v..v..
Trên đây là một số ý kiến của bản thân tôi về việc thiết kế bài dạy về : Số chính phương. Với tôi mới chỉ là những bước đi đầu tiên trong quá trình đổi mới phương pháp dạy học. Vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến , xây dựng của các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!