Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của phép tịnh tiến hệ trục tọa độ

A/ Đặt vấn đề
Sau thời gian nghiên cứu chương trình sách toán phân ban THPTthí điểm, khi thực tế giảng dạy chương I Giải tích nâng cao cũng như cơ bản. Bản thân tôi thấy có nhiều bài tập liên quan đồ thị của hàm sốdo chương trình giảm tải từ lớp 10, khó trình bày cho học sinh, hơn nữa lối giải dài dòng khó tính toán. Tuy nhiên những bài toán đó sau khi thực hiện phép tịnh tiến hệ trục toạ độ theo vectơ cho trước nào đó thì mọi việc trở nên đơn giản. Đặc biệt những bài theo chương trình cũ phải dùng định lí đảo về dấu tam thức bậc 2 sau khi đổi hệ trục toạ độ, trở thành những bài toán tìm tham số để phương trình có hai nghiệm cùng dấu, trái dấu phù hợp với chương trình thay sách. Sau một năm chuyên đề được thực hiện ở nhiều trường THPT cả ban cơ bản và ban tự nhiên cả những đối tượng dân lập, công lập, bán công học sinh thấy hứng thú hơn khi gặp loại bài tập này. Nhằm khắc phục những kiến thức đã giảm tải của chương trình bộ môn toán THPT nói chung cũng như môn giải tích lớp 12 nói riêng. Tôi mạnh dạn trình bày kinh nghiệm “Một số ứng dụng của phép tịnh tiến hệ trục toạ độ” mong các bạn đồng nghiệp tham khảo và góp ý thêm cho bản kinh nghiệm hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn BGH, tổ Toán- Tin nhà trường đã đọc và góp ý cho bản kinh nghiệm này.
B/ Nội dung và phương pháp thực hiện
I/ Kiến thức trọng tâm :
1/ Phép tịnh tiến hệ trục toạ độ
a/ Công thức chuyển hệ trục
Giả sử I (a, b) trong mặt phẳng xoy. Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục theo véc tơ . Ta có công thức chuyển hệ trục sang hệ mới IXY là 
b/ Phương trình đường cong y= f(x) trong hệ IXY
Giả sử y= f(x) là phương trình đường cong (C) trong hệ trục xoy. Khi đó phương trình (C) trong hệ trục IXY là Y= f(X+ a)- b
2/ Một số hàm cơ bản qua phép đối hệ trục
a/ Hàm số y= ax2 + bx+ c (a≠ 0)
Đỉnh I 
Tịnh tiến hệ trục theo đưa hàm số về dạng Y= mX2
b/ Hàm số y= ax3 + bx2+ cx+ d (a≠ 0)
Điểm uốn I 
Tịnh tiến hệ trục theo đưa hàm số về dạng Y=mX3 + mX
c/ Hàm số y= 
Giao hai tiệm cận I()
Tịnh tiến hệ trục theo đưa hàm số về dạng
Y=mX+ 
d/ Hàm số y=
Giao của 2 tiệm cận I()
Tịnh tiến hệ trục theo đưa hàm số về dạng Y=mX + 
3/ Một số nhận xét liên quan:
Nhận xét 1: Đồ thị hàm số bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Nhận xét 2: Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng
Nhận xét 3: Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
Nhận xét 4: Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
II/ Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Biện luận nghiệm các phương trình
Ví dụ1: Tìm m để phương trình x2 + (m+ 2)x + 2m2 = 0 (1)
Có 2 nghiệm x1< -2< x2
Hướng dẫn giải:
Số nghiệm pt (1) là số giao điểm đồ thị
y= f(x) = x2 + (m+ 2)x+ 2m2 với trục ox
Giao của đường thẳng x= -2 với ox là I(-2, 0)
Tịnh tiến hệ trục oxy theo 
Với công thức 
Ta có phương trình đồ thị với hệ IXY là:
Y= G(x) = X2+ (m- 2)X + 2(m2-m)
x1< -2 <x2 Û X1 < 0< X2
BT Û tìm m đồ thị Y=G(x) cắt ox tại 2 điểm có hoành độ X1, X2 thoả mãn X1< 0< X2
ị a.c = 2(m2- m) < 0 Û 0< m< 1
Nhận xét: Học sinh có thể đổi biến x=-2+X rồi thay vào phương trình ta có ycbt suy ra phương trình mới có 2 nghiệm tráI dấu.
Ví dụ2: Tìm m để hàm số y= x3 – (2+ m)x2+ mx- 2
Có 2 cực trị có hoành độ lớn hơn 1
HDG:
y’= x2- 2(m+ 2)x+ m= 0 (1)
ycbt ị pt(1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x2> x1>1
Giao đường thẳng x= 1 với ox là I(1;0)
Tịnh tiến hệ trục oxy theo 
Với công thức 
Phương trình (1) trở thành: Y’= X2- 2(2+m)X-3-m=0 (2)
ycbt ị tìm m phương trình (2) có 2 nghiệm dương
ị vô nghịêm
Kết luận: không có m để hàm số có 2 cực trị >1
Nhận xét: Từ pt (1) học sinh có thể đổi biến x=1+X từ ycbt suy ra pt(2) có 2 nghiệm dương
Ví dụ3: Cho hàm số y=x3 + 3(m+1)x2- 3(m3- m2-2m-1)x-(3m3-m-1)
Tìm m để đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt
HDG: 
Có 
Điểm uốn I(-m-1; m)
Tịnh tiến hệ trục oxy theo với 
Phương trình đường cong với hệ mới Y=X3-3m3X
Phương trình trục hoành mới Y=-m
Xét phương trình hoành độ giao điểm
X3-3m2X=-mÛ F(X) = X3- 3m3X+m=0
Có F’(X)=3X2-3m3=0 Û X2=m3 (*)
ycbtÛ Tìm m để (*) có 2 nghiệm X1, X2 và F(X1).F(X2) <0
Dễ thấy (*) có 2 ngiệm 
F(X1) = 
F(X1) = -
F(X1).F(X2) = -4m9 +m2<0 Û m2(1-4m7)<0
Û 4m7 >1 Û m>
Kết luận: m> thì đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt
Dạng 2: Tiếp tuyến với hàm phân thức
Ví dụ1: 
Cho hàm số y= (Cm)
Tìm điều kiện của m để trên mặt phẳng toạ độ tồn tại ít nhất một điểm sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (Cm) và chúng vuông góc với nhau.
HDG:
Giao điểm hai tiệm cận I(-1; -1-m)
Tịnh tiến hệ trục theo với công thức 
Phương trình đồ thị với hệ mới Y=
Y’= Xét hệ 
Cần chứng minh tồn tại k để hệ trên có 2 nghiệm X1, X2
(1)
(2)
Với m>1 thì (3),(4) thoả mãn
Với m<1 thì (3),(4) Vô nghiệm
Kết luận:Với m>1 thì tồn tại k để hệ (1) và (2) có nghiệm X1; X2 
Suy ra trên mặt phẳng toạ độ tồn tại ít nhất 1 điểm mà từ đó có đúng 2 tiếp tuyến với (C) và chúng vuông góc.
Ví dụ 2: Cho hàm số 
Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ xoy sao cho từ đố kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) và chúng vuông góc
HDG:
Ta có: 
Giao của hai tiệm cận I (1;2)
Tịnh tiến hệ xoy theo véc tơ với công thức 
Phương trình đồ thị theo hệ mới 
Gọi M(a,b) trong hệ IXY, số k là hệ số góc đường thẳng qua M ị phương trình : Y=k(X-a)+b
Để từ M kẻ được tiếp tuyến tới (C) hệ phương trình sau có nghiệm ạ 0
ycbt
Với đk (2) theo véc tơ 
Để 2 tiếp tuyến vuông góc thìi k1.k2 =
Û 2(X1X2)2 –(X1+X2)2+2X1X2+1=0
Thay (3) vào có:
ị phương trình đường tròn với hệ oxy là: (a-1)2+(b-2)2=4 (4)
Tập hợp M là đường tròn có phương trình (4)
Ví dụ 3:
Cho hàm số 
Và Mẻ(C). Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại M với (C) và 2 tiệm cận là A; B
1/ Chứng minh M là trung điểm của AB
2/ Chứmg minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc M
HDG:
Giao điểm hai tiệm cân I(1; 2) 
Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ với công thức 
1/ M(X0; Y0) phương trình tiếp tuyến tại M là
Y=
Tiệm cận đứng X=0 ị giao điểm của D với tiệm cận đứng A(0; )
Tiệm cận ngang Y=0 ị giao điểm của D với tiệm cận ngang B(2X0; 0)
Giao 2 tiệm cận I(0;0)
Dễ thấy ị M là trung điểm của AB
2/ D IAB vuông tại I
 (đvdt)
Ví dụ 4: Cho hàm số y= (C)
Gọi Mẻ (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A; B
1/ Chứng minh M là trung điểm của AB
2/ Chứng minh DIAB có diện tích không đổi
3/ Tìm vị trí của M để chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ nhất.
HDG:
y=2x-1+ (C)
Giao điểm 2 tiệm cận I(-1; -3)
Tịnh tiến trục oxy theo véc tơ với công thức 
Phương trình đồ thị của hệ IXY là Y=2X+
1/ , M(X0; Y0) ị Y’(X0)=2-
ị phương trình tiếp tuyến D tại M :Y=
Tiệm cận đứng: X=0 ị giao điểm D với tiệm cận đứng A(0; )
Tiệm cận xiên: Y=2Xị giao điểm D với tiệm cận xiên B(2X0; 4X0)
Giao 2 tiệm cận I(0;0)
ị XA+ XB =2X0 =2XM
 YA+YB=+4X0=2Y0=2YM ị M là trung điểm của AB
2/ Dễ thấy 2 tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450
ị SDIAB =IA.IB sin450
	=	
3/ Chu vi của DIAB là P
ị Min P= khi 
M1(-1-; -3-)	M2(-1+; -3+)
Dạng 3: Bài toán về điểm cắt
Ví dụ 1: Cho hàm số (C)
Và đường thẳng dm: y= -2x+m.
Tìm m để (dm) cắt (C) tại 2 điểm A, B thuộc cùng 1 nhánh của (C). Khi đó tìm tập hợp trung điểm M của AB.
HDG:
Giao của 2 tiệm cận I(1;1)
Tịnh tiến trục oxy theo véc tơ với công thức 
Đường cong (C) với hệ trục mới
Có phương trình Y=
(dm) có phương trình Y=-2X+m-3
Xét phương trình 
Û 2X2 –(m-3)X+2=0 (1)
ycbt 
Với điều kiện (2) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
Theo Viét có X1+ X2 =
YM = (*)
Từ XM = ị m=4XM +3 thế vào (*) có
YM =
Tập hợp trung điểm M của AB là đường thẳng có phương trình y= 3x-2 trừ đoạn [0;2]
Ví dụ 2: Cho hàm số y= (C)
Và đường thẳng (d): y= -x+m
1/ Xác định m để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng nhánh của (C)
2/ Xác định m để d cắt (C) tại 2 điểm đối xứng nhau qua D y=x+3
HDG:
Có y= x-1+(C)
Giao 2 tiệm cận I(1;0)
Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ với công thức 
Phương trình (C) với hệ mới Y=X+
Phương trình d với hệ mới Y=-X+m-1
1/ Xét phương trình hoành độ giao điểm 
X+ =-X+m-1 (X≠0)
Û 2X2 –(m-1)X+1=0 (1)
ycbt Û tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
2/ Phương trình D với hệ mới Y=X+4
Dễ thấy d vuông góc D vì k1.k2=-1
ycbt ị trung điểm I của AB thuộc D
Ta có: 
 (tm (2))
Kết luận: m=9 thì (d) cắt (C) tại 2 điểm đối xứng nhau qua D
Dạng 4: Bài toán về khoảng cách
Ví dụ 1: Cho hàm số y= (c)
Tìm trên mỗi nhánh của (c) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất
HDG:
Có y=x+3+
Giao điểm 2 tiệm cận I(2;5)
Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ với công thức 
Phương trình đường cong với hệ mới Y=X+
Gọi A thuộc nhánh trái ị A(-m; -m-) (m>0)
Gọi B thuộc nhánh phải ị A(n; n+) (n>0)
ị AB2 =(m+n)2 + (m+n++)2
= (m+n)2+ (m+n)2(1+)2
= (n+m)2
Côsi
Côsi
 đạt được khi
 trên (C) có 2 điểm
Ví dụ 2: Cho hàm số y=(C)
Tìm M ẻ (C) có tổng khoảng cách đến 2 trục toạ độ nhỏ nhất
HDG:
Giao của 2 tiệm cận I(2;1)
Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ với công thức 
Phương trình (C) với hệ mới y=
Phương trình trục Ix : Y=0 M ẻ (C) 
Phương trình trục Ix : X=0 
D=d(M;IX)+d(M; IY)=min D =4 
ị có 2 điểm M là M1(4;3); M2(0;-1)
Ví dụ 3: Cho hàm số y=(C)
Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, B sao cho độ dài AB ngắn nhất
HDG:
Giao của 2 tiệm cận I(2; 2)
Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ với công thức 
Phương trình (C) với hệ mới : Y= 
Y’= Gọi M(X0, Y0)ẻ (C)
Phương trình tiếp tuyến D tại M là 
Y= (D)
Tiệm cận đứng: X=0 ị giao điểm với D là A (0; )
Tiệm cận ngang: Y=0 ị giao điểm với D là B (2X0; 0)
Min AB = khi 
Với X0 =1 ị Y0=1 ị M(3;3) với hệ oxy
X0 =-1 ị Y0=-1 ị M(1;1) với hệ oxy
Dạng 5: Điểm đối xứng với nhau trên đồ thị 
Ví dụ 1: Cho hàm số y=(C)
Tìm (C) 2 điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN bíêt M(-3,0); N(-1; -1)
HDG:
Có ị chon = (1;2) là VTPT của M
ị phương trình MN: 1(x+3)+2y=0 ị x+2y+3=0
Giao của 2 tiệm cận I(-1;2)
Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ với công thức 
Phương trình đồ thị với hệ trục mới 
Phương trình MN với hệ trục mới X+2Y+6=0
Gọi Aẻ(C) 
 là VTPT đường D qua A ^ MN
Pt D: 2(x-a)-(Y+) =0 Û 2X-2a-Y-=0
Xét phương trình: (X≠0)
 (1)
Vì Aẻ(C) pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt xA, xB
Theo viét có XA+ XB =
YA + YB =2(XA+ XB)-2.
Gọi E là trung điểm AB ; YE=
Để A, B đối xứng nhau quan MN ị ẺMN
a2+3-4a2-12+12a=0
Û 3a2-12a+9=0 Û a2-4a+3=0
Û ị A(1;-6) với hệ mới ị A(0;4) với hệ cũ
 ị B(3;2) với hệ mới ị B(2;0) với hệ cũ
Ví dụ 2: Cho hàm số y=x3-3x2+m2x+m (C)
Tìm m để hàm số cố cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua 
D: y=
HDG: 
Có -=1 ị f() =f(1) =m2+m-2ịI(1; m2+m-2)
Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ với công thức 
Phương trình đường cong (C) với hệ mới” Y=X3+(m2-3)X
Phương trình đường thẳng D: Y=
Có Y’=2X2 +m2-3 =0 (1)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
 (2)
Với điều kiện (2) hàm số có cực đại, cực tiểu kí hiệu A, B
Mặt khác Y= Y’.X+(m2-3)X
Gọi E là trung điểm của AB
ị I(0;0)
Để A, B đối xứng nhau qua D thì kA.kB=-1;	Ẻ D
	 (TM(2))
Dạng 6: Viết phương trình đồ thị đối xứng với đồ thị cho trước
Ví dụ 1: Cho hàm số y=(C)
Viết phương trình của đường cong
a/ (C1) đối xứng với (C) qua I(-2,3)
b/ (C2) đối xứng với (C) qua đường thẳng x=1
HDG:
a/ Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ với công thức 
Û Phương trình (C) với hệ IXY là: Y=
Phương trình (C1) đối xứng với (C) qua góc I là:
 pt đường cong (C) là:
* Nhận xét: ở câu này học sinh có thể dùng phép đối xứng qua tâm I(x0; y0) với công thức (*)
Thay (*) vào (C) ta được phương trình (C1) trong hệ xoy
b/ Gọi y là giao của đt x=1 với 0x ị I(1;0)
a/ Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ với công thức 
Phương trình đường cong (C) với hệ mới 
(C2) đối xứng với (C) qua IY ị Phương trình (C2) là Y=
Suy ra pt (C2) với hệ xoy là 
Nhận xét: ở câu này học sinh có thể dùng phương trình các phép đối xứng qua trục d: x=x0 là (**)
Thay (**) vào (C) ta được phương trình (C2) trong hệ xoy
Ví dụ 2: Cho hàm số y=x3-4x2-3 (C)
Viết phương trình các đường cong 
a/ (C1) đối xứng với (C) qua I(-2; 4)
b/ (C2) đối xứng với (C) qua đường thẳng y=1
HDG:
a/ Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ với công thức 
ị Phương trình đường cong (C) với IXY là: Y=X3 -10X2+28X-31
Û Y=X3+10X2+28X+31
Pt đường cong (C1) với hệ oxy là 
y-4=(x+2)3 +10(x+2)2 +28(x+2)+31
y=x3+16x2+80x+135
b/ giao điểm y=1 với oy là I(0;1)
Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ với công thức 
Pt đường cong (C) với hệ mới: Y=X3-4X2-4
ị pt đường cong (C2) đối xứng với (C) qua IX là -Y=X3-4X2-4
Û Y=-X3+4X2+4
ị pt đường cong(C2) với hệ xoy là:
y-1=-x3+4x2+4 Û y=-x3+4x2+5
Dạng 7: Tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị
Ví dụ 1: Cho hàm số y=x4+4mx3=3(m+1)x2+1
Tìm m để đồ thị có trục đối xứng song song với trục tung 
HDG:
Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ với I(x0; y0) theo công thức 
Thay vào phương trình đồ thị ta có:
Y+y0=(X+x0)4+4m(X+x0)3+3(m+1)(X+x0)2+1 (1)
Đồ thị có trục đối xứng khi và chỉ khi (1) có dạng hàm số chẵn theo X tức là các hệ số của X3 và X trong khai triển vế trái bằng 0
Ta có hệ 
Từ (3) có m(4m2-3m-3)=0
Với m=0 có trục đối xứng là x=0
Với ta có trục đối xứng là x= 
Vớita có trục đối xứng là x= 
Ví dụ 2:
Cho hàm số y=-x3+3x2-2x-2 (C)
Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng
HDG:
Có y’=-3x2+6x-2; y’’ =-6x+6=0 Û x=1
ị Đồ thị có điểm uốn I(1;-2)
Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ với công thức 
Khi đó phương trình (C) trở thành
Y-I= -(X+1)3+3(X+1)2-2(X+1)-2
Û Y=-X3+X=G(X)
Dễ thấy Y=G(X) là hàm số lẻ
ị đồ thị nhận gốc I làm tâm đối xứng
Ví dụ 3:
Cho hàm số: y= (C)
Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng
HDG: 
Có y=-2x+3-
Giao điểm 2 tiệm cận I(;2)
Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ với công thức 
Pt đồ thị với hệ IXY là 
Y=-2X-=G(X)
Dễ thấy Y=G(X) là hàm số lẻ
Vậy đồ thị nhận gốc I làm tâm đối xứng
C/ Kết luận và kiến nghị
Thực tế khi giảng dạy cho học sinh khối 12 ở bậc THPT về chuyên đề này, lúc đầu bản thân thấy trong tổ một số đồng nghiệp dạy cùng khối gặp những bài toán “Tìm tham số để để đường thẳng cắt đường cong Hypecbol tại hai điểm thuộc cùng một nhánh, hai nhánh” vẫn dạy học sinh dùng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai (thuộc chương trình đã giảm tải).
Sau đó trong 1 bài toán có nhiều câu hỏi bản thân tôi thấy nếu đã tịnh tiến trục để làm 1 câu thì làm tiếp những câu sau với phương trình đồ thị mới, việc tính toán đơn giản hơn, gọn nhẹ hơn. Khi giải xong đối chiếu với cách giải thông thường thấy học sinh áp dụng tốt hơn, điểm kiểm tra khảo sát cũng cao hơn từ 50% trên TB trước khi học chuyên đề, lên 75% sau khi học xong chuyên đề. Tuy nhiên trong quá trình dạy chuyên đề này giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh khi tịnh tiến hệ trục thì đồ thị vẫn giữ nguyên mà chỉ có hệ trục toạ độ thay đổi. 
Với những bài tập dạng 1 có thể không cần dùng phương pháp đổi trục hệ trục mà nên hướng dẫn cho học sinh dùng phương pháp đổi biến như đã nhận xét sau mỗi bài có thể mở rộng đối tượng áp dụng cho khối 10 và 11.
Với những bài tập dạng còn lại thì nên tịnh tiến hệ trục như đã trình bày.
Với những hàm số phân thức hữu tỉ khi ra 1 bài tập có thể đưa ra nhiều câu hỏi như phần bài tập tương tự.
D/ Bài tập tương tự
Bài 1 : Cho hàm số (C)
1/ Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng
2/ Xét đường thẳng d : y=x+m
Tìm m để d cắtt (C) tại 2 điểm phân biệt A ; B thuộc 2 nhanh của (C). Khi đó 
a/ Tìm tập hợp trung điểm J của đoạn thẳng AB
b/ Tìm m để độ dài AB ngắn nhất
3/ Gọi M là một điểm trên (C), phương trình tiếp tuyến vơí (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại E ; F
a/ Chứng minh M là trung điểm của EF
b/Chứng minh diện tích tam giác IEF không phụ thuộc vào M(I là giao 2 tiệm cận)
Bài 2 : Cho hàm số (C)
1/ Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng
2/ Xét đường thẳng d : y=-x+m
Tìm m để d cắtt (C) tại 2 điểm phân biệt A ; B thuộc 1 nhánh của (C). Khi đó 
a/ Tìm tập hợp trung điểm J của đoạn thẳng AB
b/ Tìm m để độ dài AB ngắn nhất
3/ Gọi M là một điểm trên (C), phương trình tiếp tuyến vơí (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại E ; F
a/ Chứng minh M là trung điểm của EF
b/Chứng minh diện tích tam giác IEF không phụ thuộc vào M(I là giao 2 tiệm cận)
c/ Tìm M để chu vi tam IEF nhỏ nhất
4/ Tìm các điểm trên (C) cách đều 2 trục toạ độ
Bài 3 : Cho hàmm số y=x3-x2+18mx-2m
Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn x1<0<x2<x3
Bài 4 :Cho hàm số y = x3-3/2mx2+1/2m3
a/ Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=x
b/ Xác định m để đường thẳng y=x cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A , B, C thoả mãn AB=AC
Bài 5 : Cho hàm số (C)
Chứng minh đường thẳng y=-x là trục đối xứng của (C)