Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle

 thức cũng có ít nhất hai nghiệm thực.
Lời giải. Giả sử là hai nghiệm của . 
Xét hàm số . Ta có
Theo định lý Rolle thì có ít nhất một nghiệm thực trong khoảng nếu và có nghiệm nếu . Suy ra đa thức có ít nhất một nghiệm thực. Vì nên nếu n lẻ thì hiển nhiên có ít nhất 3 nghiệm thực và vì vậy theo lập luận trên thì sẽ có ít nhất hai nghiệm thực. Nếu n chẵn thì do có nghiệm thực nên nó phải có ít nhất hai nghiệm thực. 
Nhận xét. Với lớp các hàm đa thức thì luôn liên tục và khả vi mọi cấp, do đó ta dễ dàng áp dụng được định lý Rolle và định lý Lagrange để suy ra số nghiệm của các đa thức khác. Cụ thể là nếu thì có nghiệm c thuộc khoảng . Nếu có nghiệm thì có nghiệm, có nghiệm,
Sử dụng các tính chất này ta có thể giải quyết được một lớp các bài toán khó, thậm chí là rất khó về nghiệm của đa thức. Đây cũng là dấu ấn nhất về tính chất giải tích của nghiệm đa thức. 
Bài toán 2.4 (Việt Nam TST năm 1994). Cho đa thức , và có 4 nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình sau cũng có 4 nghiệm dương phân biệt
Lời giải. Ta có
Đặt . Khi đó . 
Ta chứng minh nếu đa thức bậc bốn có 4 nghiệm dương phân biệt thì đa thức cũng có 4 nghiệm dương phân biệt. Không giảm tính tổng quát, giả sử hệ số bậc cao nhất của là 1. Đặt với là các nghiệm dương. Từ đó theo định lí Viet thì . Ta có
Suy ra , tức là tồn tại là nghiệm dương của . Tương tự, có 2 nghiệm dương . 
Mặt khác nên còn có nghiệm thực thứ tư là . Theo định lí Viet ta có . Mà nên .
Đặt , dễ thấy và cũng có 4 nghiệm dương phân biệt. Theo kết quả chứng minh trên phương trình có 4 nghiệm dương phân biệt. Ta có
Đặt , .
Vậy phương trình có 4 nghiệm dương phân biệt.
Bài toán 2.5. Cho là đa thức với hệ số thực có nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1. Xét đa thức . Chứng minh rằng đa thức có nghiệm thực phân biệt.
Lời giải. Ta có . Dễ thấy 
Giả sử các nghiệm của là . Theo định lí Rolle, đa thức có nghiệm thoả mãn và đa thức có nghiệm thỏa mãn .
- Nếu thì ta có ngay điều phải chứng minh.
- Giả sử tồn tại sao cho . 
Khi đó . Điều này mâu thuẫn với .
Bài toán được chứng minh hoàn toàn.
Bài toán 2.6. Cho là đa thức bậc với hệ số thực có nghiệm thực phân biệt khác 0. Chứng minh rằng đa thức có n nghiệm thực phân biệt.
Lời giải. Ta có 
Đặt . Xét hàm số . Giả sử nghiệm thực phân biệt của là . Khi đó cũng có nghiệm thực .
Các nghiệm thực của phương trình cũng là nghiệm của phương trình 
.
Theo định lí Lagrange, ta có , sao cho 
Suy ra .
Do đó, có ít nhất nghiệm thực phân biệt khác 0, nên có ít nhất nghiệm thực phân biệt khác 0 là các giá trị .
Mặt khác nên là đa thức bậc có ít nhất nghiệm thực là 0 và . Do đó có nghiệm thực kể cả bội (nếu có nghiệm bội thì có duy nhất nghiệm khác 0 bội 2).
Nếu có một nghiệm bội 2 thì , trong đó là đa thức bậc với hệ số thực. 
Vậy nhận làm nghiệm.
Kí hiệu nghiệm ( chỉ tính một lần) của theo thứ tự tăng dần là . Theo định lí Lagrange ta có 
. Vậy có thêm nghiệm thực khác nữa. Do đó có nghiệm thực phân biệt.
Bài toán 2.7. Cho số thực và đa thức với hệ số thực bậc sao cho không có nghiệm thực. Chứng minh đa thức không có nghiệm thực.
Lời giải. Không mất tính tổng quát, ta giả sử hệ số bậc cao nhất của dương. Vì không có nghiệm thực nên và là số chẵn. 
Ta có
Suy ra . Đặt thì , suy ra không có nghiệm thực nên theo định lí Rolle có nhiều nhất 1 nghiệm. Vì vậy có nhiều nhất 1 nghiệm.
Giả sử là nghiệm thực duy nhất của , do là số chẵn nên tồn tại số nguyên dương và đa thức với hệ số thực sao cho 
.
Khi đó Vậy . Điều này mâu thuẫn giả thiết không có nghiệm thực, suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 2.8. Cho đa thức hệ số thực bậc và có nghiệm thực (kể cả nghiệm bội). Chứng minh rằng đa thức có ít nhất nghiệm thực (kể cả nghiệm bội).
Lời giải. có nghiệm thực nên phương trình cũng có nghiệm thực.
Theo định lí Rolle thì phương trình 
có ít nhất nghiệm thực. Ta xét các trường hợp sau:
- Với chẵn. Nếu lẻ thì là đa thức bậc lẻ có số nghiệm thực (kể cả bội) là lẻ, suy ra lẻ, mâu thuẫn. Vậy là số chẵn. Từ đó là đa thức bậc chẵn, suy ra số nghiệm thực, kể cả bội là chẵn. Theo trên, nó có ít nhất nghiệm thực, trong khi lẻ. Vậy có ít nhất nghiệm thực.
- Với lẻ. Nếu chẵn thì là đa thức bậc chẵn nên nó có chẵn nghiệm thực kể cả bội, tức chẵn, mâu thuẫn. Vậy phải lẻ, suy ra là đa thức bậc là một số lẻ. Do đó nó có lẻ số nghiệm. Mặt khác có ít nhất (là số chẵn) nghiệm thực. Vậy Vậy có ít nhất nghiệm thực.
Bài toán 2.9. Với n là số nguyên dương và ,là các số thực 
Chứng minh rằng phương trình 	
 có nghiệm trong khoảng 
Lời giải. Xét hàm số liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng Ta có 
Do đó nên theo định lý Rolle tồn tại sao cho . Suy ra phương trình có nghiệm Ta có điều phải chứng minh
Bài toán 2.10. Cho các số thực thỏa mãn
Chứng minh rằng phương trình 
có ít nhất một nghiệm trong khoảng 
Phân tích. Nếu lấy nguyên hàm của hàm số thì khá phức tạp, chú ý rằng 
Đặt . Khi đó 
Do đó khi lấy nguyên hàm của hàm số trên ta được
Lời giải. Xét hàm số 
khả vi trên và 
Do đó Theo định lí Rolle tồn tại sao cho tương đương với
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 2.11. Giả sử khả vi đến cấp trên . Chứng minh rằng mỗi cặp số với sao cho , thì tồn tại sao cho 
Phân tích. Điều kiện của bài toán tương đương với 
Lời giải. Xét hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Ta có 
 ; 
Do đó . Theo đinh lý tồn tại để hay là
Tương đương với 
Bài toán được chứng minh.
Bài toán 2.12. Chứng minh phương trình có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.
Phân tích. Phương trình đã cho tương đương với 
Lời giải. Xét hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên . Ta có
Suy ra . Do đó tồn tại sao cho hay
Vậy suy ra tồn tại sao cho hay
Vậy phương trình : có ít nhất 2 nghiệm phân biệt. 
Bài toán 2.13. Cho hàm liên tục trên khả vi trên và Chứng minh rằng tồn tại sao cho 
Lời giải. Xét hàm số liên tục trên khả vi trên và 
Suy ra Theo định lý Rolle tồn tại sao cho hay
 (đpcm)
Bài toán 2.14. Cho hàm số liên tục trên có đạo hàm trên khoảng và Chứng minh rằng tồn tại sao cho
Phân tích: Ta có ; 
Đến đây ta xét hàm số 
Khi đó tương đương với 
Đến đây ta xét ta xét hàm 
Lời giải. Xét hàm số liên tục trên đoạn có đạo hàm trên và
Suy ra Do đó tồn tại sao cho hay
Suy ra . Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 2.15 (Định lí Cauchy). Nếu các hàm số là các hàm số liên tục trên đoạn , có đạo hàm trên khoảng và khác không trên khoảng thì tồn tại sao cho .
Lời giải. Theo định Lagrange luôn tồn tại sao cho 
.
Xét hàm số , ta có: F(x) là hàm liên tục trên đoạn , có đạo hàm trên khoảng và . 
Theo định lí Rolle tồn tại sao cho .
 Mà , suy ra .
Nhận xét. Định lí Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lí Cauchy (trong trường hợp)
3. Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán 3.1. Chứng minh rằng nếu thì 
Lời giải. Xét hàm số trên đoạn , ta thấy thoả mãn các giả thiết của định lý Lagrange nên tồn tại một điểm c thuộc khoảng sao cho
 .
 Vì nên (đpcm).
Bài toán 3.2. Chứng minh rằng
 (1).
Lời giải. Trước tiên ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng về dạng quen biết hơn để có thể áp dụng được định lý Lagrange. Ta có
Vì vậy ta xét hàm số và cần chứng minh 
Ta có	
Áp dụng định lý Lagrange đối với hàm số trên , khi đó tồn tại 
 sao cho , do đó đồng biến trên . Bài toán được chứng minh hoàn toàn.
Nhận xét. Trong bài toán trên thực chất của vấn đề là ta đi chứng minh hàm số đồng biến trên và để làm được điều đó ta đi chứng minh hàm số đồng biến trên . 
Ta có thể chứng minh bài toán trên bằng cách khác như sau:
Xét hàm số . Với mọi cặp số thực dương x, y bất kì thỏa mãn , theo định lí Lagrange, luôn tồn tại sao cho:
hay .
Mà 
Vậy với mọi cặp số thực dương x,y bất kì thỏa mãn , luôn có . Thay x bởi và y bởi ta được
 (đpcm)
Bài toán 3.3. Cho số , và thoả mãn điều kiện
Chứng minh rẳng 
Lời giải. Xét hàm số , trên đoạn . Ta thấy ngay liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng 
Do , nên theo định lý Rolle tồn tại sao cho .
Điều đó có nghĩa là phương trình có nghiệm .
Do đó và ta có điều phải chứng minh.
Tiếp theo là một bài toán tương tự: 
Bài toán 3.4. Biết rằng phương trình có 5 nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng 
Hướng dẫn. Xét đa thức , do có 5 nghiệm phân biệt nên sẽ có hai nghiệm thực phân biệt. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 3.5. Cho phương trình có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng 
Hướng dẫn. Xét đa thức bậc n. Bằng lý luận như trên ta suy ra phương trình (đạo hàm cấp ) phải có 2 nghiệm phân biệt. Chú ý là
Từ biệt thức ta có ngay điều phải chứng minh.
Tiếp theo ta giới thiệu hai bất đẳng thức kinh điển được chứng minh rất đơn giản nhờ định lý Lagrange là bất đẳng thức Jensen và bất đẳng thức Bernoulli.
Bài toán 3.6 (Bất đẳng thức Jensen). 
Cho hàm số có đạo hàm cấp hai trên (a; b) và . Chứng minh rằng
Lời giải. Với , theo định lí Lagrange, tồn tại 
thỏa mãn . 
Mà đồng biến trên (a; b) Từ đó ta được
Đẳng thức xảy ra khi .
Bài toán 3.7 (Bất đẳng thức Bernoulli)
Cho số thực x thỏa mãn và là số nguyên dương. Chứng minh rằng 
Lời giải.
- Nếu x > 0, ta xét hàm, theo định lí Lagrange tồn tại thỏa mãn 
- Nếu , ta xét hàm , theo định lí Lagrange tồn tại thỏa mãn 
Vậy Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0, hoặc 
Bài toán 3.8. Cho hàm số có đạo hàm cấp hai trên , ( với hữu hạn giá trị của x). Chứng minh rằng
.
Lời giải. Vì và với hữu hạn giá trị của x, suy ra hàm đồng biến trên Theo định lí Lagrange, luôn tồn tại sao cho:
Vì đồng biến trên 
 .
và . Bài toán được chứng minh hoàn toàn.
Nhận xét. Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minh sẽ đổi chiều.
Tiếp theo ta sẽ đưa ra hai bài toán áp dụng kết quả trên, cả hai bài toán này được giải rất đơn giản và tự nhiên nếu biết sử dụng kết quả bài toán 3.8, ngược lại sẽ là một thử thách lớn khi đi sai hướng tiếp cận bài toán.
Bài toán 3.8.1. Chứng minh rằng .
Lời giải. Xét hàm số và nghịch biến trên 
Áp dụng kết quả bài 3.8 ta được
Suy ra , ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 3.8.2. Cho số nguyên dương k, tính (trong đó [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x).
Lời giải. Xét hàm số, ta có nghịch biến trên . Suy ra
Do đó 
Định lí Lagrange còn được sử dụng để giải quyết một số bài toán về bất đẳng thức đối xứng, với mục đích làm giảm số biến. Nếu cần chứng minh bất đẳng thức đối xứng n biến thì ta có thể xét đa thức . Ta thấy có n nghiệm, do đó có n – 1 nghiệm , và dựa vào định lí Viète ta đưa về chứng minh bất đẳng thức đối xứng với biến .
Bài toán 3.9. Cho ba số thỏa mãn . Chứng minh rằng
Lời giải. Xét hàm số 
Theo định lí Lagrange tồn tại sao cho: , tức là là hai nghiệm phương trình . Ta có
; 
Do đó, từ ta suy ra
Bài toán được chứng minh hoàn toàn.
Bài toán 3.10. Cho các số thực không âm a, b, c, d. Chứng minh rằng
Lời giải. Xét hàm số . Đặt 
thì 
Ta có , theo định lí Rolle suy ra có ba nghiệm (nếu a = b thì a là nghiệm của f’(x)). Suy ra tồn tại thỏa mãn . Suy ra 
 .
Dễ thấy ngay . Do đó
Đẳng thức xảy ra .
Bài toán 3.11. Cho bốn số thực không âm a ,b,c,d thoả mãn điều kiện
Chứng minh rằng 
Lời giải. Đặt 
.
Theo định lý Viét đảo, bốn số thực không âm a,b,c,d sẽ là nghiệm của đa thức 
.
Do đó theo định lý Rolle, đa thức sẽ có ba nghiệm thực không âm và ta có:
 ; ; .
Như vậy điều kiện ban đầu của bài toán trở thành 
 (1)
Và bất đẳng thức phải chứng minh trở thành
 (2)
Từ (1) suy ra trong ba số phải có số và số. Không mất tính tổng quát, giả sử .Từ (1) rút theo và rồi thế vào (2) ta được . 
Bất đẳng thức (3) đúng, vậy (2) được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .
4. Tìm giới hạn dãy số
Định lí Lagrange được sử dụng để giải quyết một số bài toán vế giới hạn dãy số, với các dãy lặp xác định bởi , tức là dãy được xác định bởi hàm số và dãy số xác định bởi nghiệm của một phương trình dạng , nói chung là các hàm số có đạo hàm và đơn điệu trên tập xác định của chúng, đạo hàm của chúng có thể ước lượng được bởi một bất đẳng thức nào đó (bị chặn). Do đó nếu tìm được giới hạn là a, ta có thể so sánh được hiệu 
với và có thể ước lượng được xn.
Bài toán 4.1. Cho dãy số thực xác định bởi: 
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải. Dễ thấy ngay Xét hàm số , ta có
.
Nếu có giới hạn thì giới hạn đó là nghiệm lớn hơn của phương trình . 
Ta có: 
Đặt , theo định lý Lagrange tồn tại hoặc thỏa mãn: 
Mà nên theo nguyên lí kẹp thì 
Bài toán 4.2. Cho dãy số thực xác định bởi: 
Chứng minh rằng dãy số hội tụ.
Lời giải. Xét hàm số liên tục trên và 
.
Xét hàm , ta có nên đồng biến trên . Mặt khác nên phương trình có một nghiệm duy nhất . 
Tiếp theo ta chứng minh . Thật vây, theo định lí Lagrange, tồn tại sao cho:
Suy ra . 
Dễ thấy nên theo nguyên lí kẹp thì (đpcm).
Nhận xét.
	1. Trong bài toán trên việc tìm nghiệm cụ thể của phương trình không nhất thiết phải thực hiện, mà chỉ cần chỉ ra phương trình đó có nghiệm là được.
	2. Về phương pháp giải ở hai ví dụ trên đều được xây dựng trên nguyên lí ánh xạ co với dãy số có công thức truy hồi dạng và là hàm khả vi thỏa mãn . Bài toán này được giải theo ý tưởng như trên và nói chung hầu hết các bài toán có giả thiết thỏa mãn yêu cầu đó đều chứng minh được hội tụ theo cùng một cách như vậy.
Ta phát biểu thành mệnh đề tổng quát sau:
Cho dãy số thực xác định bởi: . Có hai tình huống xảy ra
1. Nếu là hàm số có đạo hàm trên khoảng D chứa a và thì có giới hạn hữu hạn khi n tiến dần đến dương vô cùng.
(Chứng minh tương tự như hai bài toán trên)
2. Nếu là hàm số có đạo hàm trên khoảng D chứa a, và thì tiến dần đến dương vô cùng khi n tiến dần đến dương vô cùng.
Thật vậy, xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu phương trình có nghiệm là thì . Áp dụng định lý Lagrange tồn tại hoặc sao cho 
Trường hợp 2: Nếu phương trình f(x)=x vô nghiệm, ta có f(x)-x > 0 "xÎD hoặc f(x)-x < 0 "xÎD suy ra tăng hoặc giảm. Nếu có giới hạn thì giới hạn đó là nghiệm của phương trình f(x) = x, do đó 
Bài toán 4.3. Cho số thực a và dãy số thực (xn) xác định bởi: 
Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn. 
Hướng dẫn. Xét hàm 
Mà , suy ra 
Bài toán 4.4. Cho dãy 
Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn.
Lời giải. Dễ thấy với mọi . Xét hàm số với .
Ta có . 
Do nên 
Nhận xét rằng giới hạn của dãy là nghiệm của phương trình 
Dễ thấy , ta chứng minh là nghiệm duy nhất của phương trình.
Thật vậy, xét hàm thì với mọi . Do đó hàm g(x) nghịch biến trên . Vậy có một nghiệm duy nhất 
Từ đó .
Bài toán 4.5 (HSG Quốc gia năm 2008). Cho dãy số 
Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn.
Lời giải. Bài này có một bẫy nhỏ là công thức truy hồi cho liên hệ giữa và nên không thực hiện được thuật giải như dạng bài cho bởi . Để xử lý được điều này ta có cách đánh giá như sau:
Bằng quy nạp dễ chứng minh được với mọi 
Xét hàm số , với , ta có , và với thì . Vậy với mọi . Đến đây kĩ thuật sử dụng định lý Lagrange có khác một chút.
Theo định lí lagrange với mọi đều tồn tại sao cho:
.
Vậy 
Từ đó (1)
Từ đó, theo tiêu chuẩn Cauchy, dãy hội tụ về là nghiệm của phương trình 
Giải phương trình này ta được . Vậy =1.
Nhận xét. Mấu chốt của bài toán là đánh giá được (1) và sử dụng thêm tiêu chuẩn Cauchy. Tất nhiên có thể không cần sử dụng tiêu chuẩn Cauchy mà có thể đưa về hai dãy con , sau đó đưa về việc áp dụng định lý Lagrange quen thuộc cho hai dãy .
Bài toán 4.6 (HSG Quốc gia năm 1999). Cho dãy 
Tìm c để với mọi , dãy được xác định với mọi n và tồn tại .
Lời giải. Giả sử là số cần tìm.
Điều kiện cần: Với mọi để tồn tại phải có với mọi 
Điều kiện đủ: Ta sẽ chứng minh với thì dãy được xác định với mọi n và tồn tại . Thật vậy, dễ thấy với thì luôn được xác định.
Dễ chứng minh được . Xét hàm số.
Ta có .
Với mọi thì 
Suy ra . Do đó dãy hội tụ.
Bài toán 4.7 (THTT 2010). Cho a là số thực thỏa mãn . Xét dãy 
Chứng minh rằng dãy hội tụ.
Hướng dẫn: Ta có ngay với mọi n. Xét hàm số . 
Ta có và 
* Vì f(1)>1; f(2)<2 nên PT f(x)=x có nghiệm duy nhất trong khoảng (1;2). Gọi nghiệm đó là L. 
* Theo định lý Lagrange: 
Suy ra . Vậy (đpcm).
Có thể tìm cụ thể L như sau: Xét PT 
Ta thu được một nghiệm trong khoảng (1;2) là .
Bài toán 4.8. (HSG Quốc gia năm 2007). Cho số thực và đa thức . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình luôn có đúng một nghiệm dương duy nhất. Kí hiệu nghiệm đó là xn, chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn bằng khi n dần đến vô cùng.
Lời giải. Đặt , ta có liên tục, đồng biến trên và
Suy ra phương trình luôn có đúng một nghiệm xn dương duy nhất.
Đặt 
Theo định lí Lagrange, luôn tồn tại thỏa mãn:
.
Mà nên 
 (vì ).
Nhận xét. Bài toán trên sẽ khó khăn hơn nhiều nếu đề bài không cho trước giới hạn của dãy số. Khi đó câu hỏi đặt ra là giới hạn đó bằng bao nhiêu?
Ta có thể trả lời câu hỏi đó như sau:
 Trước hết giới hạn của dãy số phải thuộc khoảng (0;1), giả sử giới hạn của dãy số là b ta có: 
 (vì ).
Mà .
 Trong bài toán dạng trên dãy số xác định là dãy nghiệm thuộc của phương trình , với giả thiết là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên , với mọi số nguyên dương n và số thực dương x thuộc , khi giải bài toán dạng này nói chung ta điều khó khăn nhất là xác định được giới hạn của dãy số.
Bài toán 4.9. (HSG Quốc gia năm 2002). Xét phương trình , với n là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có một nghiệm duy nhất lớn hơn 1; kí hiệu nghiệm đó là xn.
b) Chứng minh rằng .
Lời giải.
a) Xét , thì liên tục và nghịch biến trên 
Mà có một nghiệm duy nhất lớn hơn 1.
b) Với mỗi số nguyên dương n ta có:
Theo định lí Lagrange, luôn tồn tại thỏa mãn:
.
Mà 
III. Một số bài tập vận dụng
Bài 1. Cho . Chứng minh rằng 
Bài 2. Với mọi a,b,c,d là các số thực. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm thực
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) .
b) 
c) 
Bài 4. Cho tam thức bậc hai có các nghiệm đều thực và đa thức có 3 nghiệm thực. Chứng minh rằng đa thức cũng có ít nhất 3 nghiệm thực.
Bài 5. Cho dãy số thực xác định bởi: 
Chứng minh rằng có giới hạn.
Bài 6. Cho phương trình: . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình có duy nhất một nghiệm dương. Kí hiệu nghiệm đó là , tìm .
Bài 7. Cho dãy số thực xác định bởi: 
Chứng minh rằng dãy số hội tụ.
Bài 8. Tìm 
Bài 9. Chứng minh với mọi .
Bài 10. Cho số thực a khác không, đa thức và đa thức . Chứng minh rằng nếu vô nghiệm thì cũng vô nghiệm.
PHẦN C: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kiến nghị, đề xuất về việc triển khai áp dụng đề tài, sáng kiến:
Để giảng dạy có hiệu quả đề tài này, giáo viên cần phải trang bị cho học sinh đầy đủ những kiến thức cơ bản của giải tích. Khi giảng dạy chúng ta cần chọn lọc những bài toán điển hình nhất thể hiện được cho phương pháp cụ thể. 
2. Đánh giá lợi ích có thể thu được do áp dụng đề tài, sáng kiến: Nâng cao chất lượng học sinh giỏi trong các kỳ thi cấp tỉnh , cấp quốc gia và chất lượng học sinh thi vào đại học ở bộ môn Toán.
3. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng đề tài, sáng kiến :
 Số TT
Tên tổ chức/cá nhân
Địa chỉ
Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
1
Giáo viên giảng dạy bộ môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thái Học
Bồi dưỡng học sinh thi vào đại học và thi chọn học sinh giỏi
2
Giáo viên giảng dạy bộ môn Toán 
Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc
Bồi dưỡng học sinh thi vào đại học và thi chọn học sinh giỏi 
Vĩnh Phúc, ngày 01 tháng 12 năm2018 
Thủ trưởng đơn vị
(Ký tên, đóng dấu)
Vĩnh Phúc, ngày 01 tháng 12 năm 2018
Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)
Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 
Hội đồng sáng kiến cấp cơ sở
(Ký tên, đóng dấu)
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Quý Du, Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thỏa, 2002, Tuyển tập 200 bài thi vô địch Toán- Giải tích, NXB Giáo dục. 
[2] Nguyễn Trọng Tuấn, Các bài toán hàm số qua các kì thi Olympic, NXB Giáo dục.
[3] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức, định lí và áp dụng, NXB Giáo dục.
[4] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Phép tính vi phân và áp dụng, NXB Giáo dục.
[5] Phan Huy Khải, 2000, Toán nâng cao giải tích, NXB Giáo dục.
[6] Lê Hoành Phò, Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Tài Chung, 2013, Chuyên khảo đa thức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[7] Teodora-Liliana T. Rădulescu, Vicenţiu D. Rădulescu, Titu Andreescu, 2009, Problems in Real Analysis Advanced Calculus On The Real Axis, Springer.
[8] Các nguồn tài liệu từ Internet: www.mathscope.org; www.mathlinks.org