Sáng kiến kinh nghiệm Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị đại số

 a. Dấu ‘‘=’’ xảy ra Û a ≥ 0
	. Dấu ‘‘=’’ xảy ra Û ab ≥ 0
. Dấu ‘‘=’’ xảy ra Û a ≥ b ≥ 0 hoặc a ≤ b ≤ 0
- Bất đẳng thức tam giác: 
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì a – b < c < a + b 
- Bất đẳng thức Côsi: Augustin Louis Cauchy Nhà Toán học Pháp (1789-1857)	+ Với hai số a, b không âm ta có: . Dấu “=” xảy ra Û a = b
Một vài dạng thường gặp: a2 + b2 ≥ 2ab; (a + b)2 ≥ 4ab; .....
	+ Dạng đầy đủ: Với n số không âm a1, a2, ...., an (n Î N*), ta có:
	 hay 
	Dấu “=” xảy ra Û a1 = a2 = ... = an
- Bất đẳng thức Bunhiakopsky: Victor Yakovlevich Bunyakovsky Nhà Toán học Nga (1804 – 1889)
	+ Với các số a, b, x, y ta có: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2)
	Dấu “=” xảy ra Û ay = bx (nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì ta viết )
	+ Dạng đầy đủ: Với hai bộ n số (a1, a2, ..., an) và (b1, b2, ..., bn) ta có
	Dấu “=” xảy ra Û 
- Bất đẳng thức Trê-bư-sép ta có:
a, Nếu thì .
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 
b, Nếu thì 
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 
2. Giải pháp 2: Phân tích những sai lầm và nêu hướng khắc phục
2.1, Sai lầm trong chứng minh điều kiện (1):
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. 
Ta có: 	
Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng khi khẳng định “A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận xét tử mẫu là các số dương. Ta đưa ra một ví dụ: Xét biểu thức 
Với lập luận “phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng -4 khi x = 0, ta sẽ đi đến: không phải là giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x = 3 thì B = .
	Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên.
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: nên tử và mẫu của A là các số dương. Hoặc từ nhận xét trên suy ra A > 0, do đó A lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: biết x + y = 4
Lời giải sai: Ta có: 
	Do đó A nhỏ nhất Û x2 + y2 = 2xy Û x = y = 2
	Khi đó Min A = 22 + 22 = 8
Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng minh được , chứ chưa chứng minh được với m là hằng số.
Ta đưa ra một ví dụ: Với lập luận như trên, từ bất đẳng thức đúng x2 ≥ 4x - 4 sẽ suy ra: x2 nhỏ nhất Þ 
Dễ thấy kết quả đúng phải là: 
Lời giải đúng:	Ta có: 	
	Ta lại có:	
Từ và : . Vậy 
2.2, Sai lầm trong chứng minh điều kiện (2):
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Lời giải sai: . Vậy 
Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh chưa chỉ ra trường hợp xẩy ra dấu đẳng thức. Nếu xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi vô lý.
Lời giải đúng: Để tồn tại phải có x ≥ 0, 	
Do đó , 
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của: 
với x, y, z ≥ 0 và x + y + z = 1
Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: ta có
Nhân từng vế ta có 
Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xẩy ra dấu đẳng thức. Điều kiện để là: 	
mâu thuẩn
 Û
Lời giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
	Nhân từng vế với (do 2 vế đều không âm)
	Vậy 
2.3, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau:
Ví dụ 5: Cho x, y là các số dương thỏa mãn: x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ?
Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có 
	, Dấu "=" xảy ra Û
Mặt khác , Dấu "=" xảy ra Û
nên . Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 8. 
Phân tích sai lầm: Ta thấy khi áp dụng hai bất đẳng thức trên, dấu "=" không đồng thời xảy ra
Lời giải đúng: 
	Vì x + y = 1 nên ta có 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có 
 , Dấu "=" xảy ra Û
Do đó 
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9 khi y = 2x và x + y = 1 Û
Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời xảy ra dấu bằng không. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.
2.4, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán:
Ví dụ 6: Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ?
Lời giải sai: 
Áp dụng bđt côsi cho hai số không âm Ta có: (1)
Áp dụng bđ t côsi cho hai số không âm Ta có: (2)
Từ (1) và (2) =>A 8 => Min A = 8
Phân tích sai lầm: 	Đẳng thức xảy ra ở (1) khi 
Đẳng thức sảy ra ở (2) khi . 
Từ đó đẳng thức xảy ra thì x = y = 1 không thỏa mãn vì x + y = 1
Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có: 
Ta có : . 
Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy 1 - = (1); (2). 
Từ (1) và (2) =>A 8 ++4 = =>Min A = khi x=y =
Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.
2.5, Sai lầm khi sử dụng bất đẳng thức với các biểu thức bị hạn chế:
Ví dụ 7: Cho x, y là các số thực thỏa mãn x2 + y2 = 1. 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức ?
Lời giải sai: Với hai số thực a, b bất kỳ ta có: 
	Áp dụng với ta có 
	Do đó . Vậy MinC = -2 và MaxC = 2
Phân tích sai lầm: 
 Ta thấy nên C2 = 4 khi và chỉ khi với y ≥ 0
	Mà theo giả thiết x2 + y2 = 1 nên x = 0, y = 1, khi đó C = 2, 
do đó MinC = -2 là không thỏa mãn. Vậy sai lầm xảy ra ở đâu?
 Ta thấy trong bất đẳng thức 
 thì dấu bằng thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi a = b ≤ 0; còn dấu “=” thứ hai xảy ra khi và chỉ khi a = b ≥ 0. Nếu a, b có giá trị bị hạn chế thì dấu bằng trong các bất đẳng thức trên có thể không xảy ra.
Lời giải đúng: 
Vì x2 + y2 = 1 nên y ≥ -1, mặt khác nên 
 	Do đó MinC = 0 khi x = 1 và y = -1
2.6, Sai lầm khi sử dụng tính chất của dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 	?
Lời giải sai: Áp dụng . Dấu ‘‘=’’ xảy ra Û ab ≥ 0 ta có
	, Dấu “=” xảy ra Û 
, Dấu “=” xảy ra Û 
Do đó 
Phân tích sai lầm: Ta thấy không có giá trị của x để MinD = 2
Lưu ý rằng: Nếu a ≤ b thì , Dấu “=” xảy ra Û 
Lời giải đúng: Áp dụng . Dấu ‘‘=’’ xảy ra Û ab ≥ 0 ta có
	, Dấu “=” xảy ra Û 
, Dấu “=” xảy ra Û 
Do đó , Dấu “=” xảy ra Û 
2.7, Sai lầm khi sử dụng các bất đẳng thức ngược chiều nhau:
Ví dụ 9: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
Lời giải sai: Từ giả thiết ta suy ra 0 < x, y < 1. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
	, Dấu “=” xảy ra Û 
, Dấu “=” xảy ra Û 
Do đó 
	Mặt khác x + y = 1 nên y = 1 – x, thay vào ta có	
	Þ
	Ta có 
	Þ. Do đó 
Phân tích sai lầm: Sai lầm ở trên là ta đã dúng hai bất đẳng thức ngược chiều nhau và để kết luận 
Lời giải đúng: Ta có 
	Vì x + y = 1 nên ta có và 
	Do đó 
	Vậy 
2.8, Sai lầm khi làm việc với các biều thức quy về tam thức bậc hai:
Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
Lời giải sai: Điều kiện -1 ≤ x ≤ 3
Đặt ta có 
Ta có 
Vậy MinF = . Dấu “=” xảy ra ra khi t = 1
Phân tích sai lầm: Ta thấy mà t ≥ 0 nên t ≥ 2. Do đó không thể có dấu “=” xảy ra khi t = 1
Lời giải đúng: Ta xét (x + 1)(3 – x) = -x2 + 2x + 3 = 4 – (x – 1)2
	Vì -1 ≤ x ≤ 3 nên -2 ≤ x - 1≤ 2 Þ (x – 1)2 ≤ 4 hay (x + 1)(3 – x) ≤ 4
	Do đó 
	Vậy 
	Dâu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = 2 Û x = -1 hoặc x = 3
2.9, Sai lầm khi sử dụng bất đẳng thức Côsi và khắc phục bằng kỹ thuật tách số:
Ví dụ 11: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
 	, dấu “=” xảy ra 
	Vậy MinP = đạt được khi và chỉ khi 
Phân tích sai lầm: Ta thấy trong cách giải trên đã áp dụng bất đẳng thức Côsi nhưng vế phải vẫn còn biến x chưa phải là hằng số nên không thể kết luận giá trị nhỏ nhất của P được
Lời giải đúng: Để giải được bài toán trên ta phải sử dụng đến kỹ thuật tách số rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 
Ta có . dấu “=” xảy ra 
Vậy MinP = 3 khi và chỉ khi x = 1
Ví dụ 12: Cho x > 0, y > 0 và x + y ≤ 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Phân tích sai lầm: Trong lời giải trên đã không sử dụng giả thiết x + y ≤ 1 nên để dấu “=” xảy ra thì xy = 3 và x + y ≤ 1. Ta thấy với x > 0, y > 0 thì không có giá trị nào của x, y để thỏa mãn xy = 3 và x + y ≤ 1
Lời giải đúng: Ta có . Do đó 
Áp dụng kỹ thuật tách số để sử dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 13: Cho x > 0, y > 0 và x + y ≤ . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
	Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1
Phân tích sai lầm: Ta thấy trong lời giải trên dấu “=” xảy ra Û x = y = 1
 khi đó x + y = 2 không thỏa mãn điều kiện x + y ≤ 
Lời giải đúng: Sử dụng kỹ thuật tách số ta có: 
(áp dụng bất đẳng thức và )
Do đó 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 14: Cho x, y là các số thực dương. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
Lời giải sai: Đặt 
	Do đó . Dấu “=” xảy ra 
Phân tích sai lầm: Ta thấy khi t = 1 thì 
	Coi phương trình ẩn x, tham số y ta có: 
	Ta có 	
	Nên phương trình (1) vô nghiệm nên không thể tồn tại giá trị của x, y để N đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải đúng: Đặt ta sẽ chứng minh t ≥ 3 
Thậy vậy với t ≥ 3 thì 
	Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1
Do đó 
Vậy giá trị nhỏ nhất của N bằng khi và chỉ khi x = y = 1
Ví dụ 15: Cho x > 0, y > 0 và x + y ≥ 6. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
Lời giải sai: Ta có 
	Dấu “= xảy ra khi và chỉ khi 
Phân tích sai lầm: Ta thấy ở cách giải trên dấu đẳng thức xảy ra khi 
nên x + y < 6, điều này mâu thuẫn với giả thiết x + y ≥ 6
Lời giải đúng: Dùng kỹ thuật tách số ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
	Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 19 khi và chỉ khi x = 2, y = 4
Ví dụ 16: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn b2 + c2 ≤ a2. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức 
Ta có 
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 
	Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Phân tích sai lầm: Ta thấy trong lời giải trên dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , điều này mâu thuẫn với giải thiết là b2 + c2 ≤ a2
Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức 
	Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b2 = c2
Ta có 
Áp dụng kỹ thuật tách số: 
	Khi đó 
	Dấu “=” xảy ra 
2.10, Một số sai lầm khác:
Ví dụ 17: 
Cho phương trình bậc hai với tham m: (1) có nghiệm x1, x2. Tìm GTNN của biểu thức A = 
Lời giải sai: Vì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1)
Theo định lý Vi-et tacó: 
Ta có 
Vậy MinA = - 7 khi 
Phân tích sai lầm:
Sai lầm ở chỗ là không tồn tại x1 , x2 để biểu thức đạt GTNN là - 7
Thật vậy: Min = -7 khi thì phương trình (1) vô nghiệm.
Lời giải đúng: Ta có: 
Để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì 
Theo định lý Vi-et tacó: 
Ta có 
Với thì A 
Với thì A 
Do đó MinA = 2 với m = 3
Ví dụ 18: Cho hai số thực x, y thoả mãn x > y và xy = 1. 
Tìm GTNN của biểu thức ?
Lời giải sai: Ta có . Do x > y và xy = 1 
nên 
Vậy A có GTNN khi 
 Giải phương trình được x – y = 2
mà xy = 1 nên (x; y) là () và 
Do đó MinA = 
Phân tích sai lầm: Sai lầm của bài toán trên là biến đổi đến (*) thì không phải là hằng số mà còn phụ thuộc vào biến x, y
Lời giải đúng: 
Vậy MinA = khi (x, y) = và 
Ví dụ 19: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải sai: Ta có 
Suy ra . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Phân tích sai lầm: Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất.
Từ biến đổi mới chỉ suy ra , còn việc kết luận giá trị lớn nhất của D không tồn tại là chưa chính xác, không có căn cứ xác đáng.
Lời giải đúng:
Cách 1: Ta có 
Suy ra . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy Max D = 16, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1 và y = 2.
Lời giải trên tuy đúng song có vẻ thiếu “tự nhiên”, cách 2 sau đây sẽ mang tính thuyết phục hơn.
Cách 2: Ta có 
Suy ra . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy Max D = 16, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1 và y = 2.
Ví dụ 20: Cho a, b, c là các số dương, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải sai: Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 
Nhân từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều và các vế đều dương ta được 
Do đó P nhỏ nhất bằng 
Phân tích sai lầm: Để ý không tồn tại a, b, c để . Đây là sai lầm thường mắc khi dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Một nguyên nhân sâu xa hơn nhiều là bạn đọc không hiểu đúng nghĩa của dấu “≥” và dấu “≤”. Không phải khi nào viết “≥” cũng có thể xảy ra dấu “=”. Ví dụ ta viết 10 ≥ 2 là đúng nhưng không thể có 10 = 2.
Lời giải đúng: Biến đổi 
Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
; 
Từ (1), (2), (3) ta có .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các dấu đẳng thức ở (2) và (3) đồng thời xảy ra, tức là a = b = c.
Vậy Min, giá trị này đạt được khi và chỉ khi a = b = c > 0.
PHẦN KẾT LUẬN
I. Ý nghĩa của đề tài:
	Trong thực tiễn dạy học, muốn đạt được chất lượng cao thì mỗi một người giáo viên phải không ngừng đổi mới phương pháp dạy học. Việc đổi mới phải được thực hiện một cách đồng bộ ở tất cả các hoạt động dạy học, từ việc nghiên cứu, chuẩn bị bài, thực hiện các hoạt động dạy học trên lớp và giao nhiệm vụ về nhà. Đồng thời người giáo viên cũng phải đánh giá, nắm bắt được mức độ hiểu, áp dụng của học sinh đối với kiến thức vừa học. Trong năm học vừa qua, tôi đã thực hiện áp dụng các giải pháp nêu trên đối với việc dạy học, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh. Sau khi áp dụng đề tài, tôi tiến hành khảo sát trên 20 học sinh tham gia bồi dưỡng môn Toán với đề bài là hai bài tìm cực trị (lớn nhất và nhỏ nhất) có kiến thức ngang tầm với đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh, thang điểm 2,5/bài. Kết quả thu được như sau:
	Bảng 3: Kết quả khảo sát 20 học sinh đang tham gia bồi dưỡng 
Chưa làm được
Đã làm nhưng định hướng cách giải sai
Làm được nhưng chưa xong
Làm được cả bài
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10
50,0%
03
15,0%
5
25,0%
2
10,0%
	Qua việc chấm chữa, sửa lỗi cho học sinh và kết quả khảo sát như trên, tôi nhận thấy rằng, học sinh đã có sự tiến bộ trong việc giải bài tập về cực trị Đại số. Đặc biệt trong kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh vào ngày 23/3/2017 vừa qua, đề thi có một bài tìm cự trị (giá trị nhỏ nhất) chiếm 1,5 điểm. Trong tổng số 20 học sinh dự thi thì cả 20 em đều đạt được điểm, cụ thể: 
Bảng 4: Kết quả làm bài tập Hình học trong kỳ thi HSG tỉnh lớp 9
Năm học
Số HS tham gia
Chưa làm được
Đã làm nhưng định hướng cách giải sai
Làm được nhưng chưa xong
Làm được cả bài
2016-2017
20
03
02
02
13
Kết quả này cho thấy những giải pháp mà tôi áp dụng giảng dạy đối với đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh là rất tích cực, giúp cho học sinh phát triển được tư duy tìm tòi, sáng tạo tìm ra cách giải, phát hiện các sai lầm và hướng khắc phục cho sai lầm đó. Qua quá trình áp dụng các giải pháp nêu trên và với những kết quả đạt được tôi rút ra một số bài học như sau:	
- Trong quá trình dạy học, mỗi một người giáo viên cần phải không ngừng học hỏi, trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, nâng cao tay nghề, nâng cao chất lượng bài dạy và luôn có ý thức đổi mới phương pháp dạy học.
	- Khơi dậy và tạo được nguồn cảm hứng, yêu thích môn học trong mỗi một học sinh, tạo cho học sinh niềm đam mê, hứng thú đối với từng tiết học, từng bài dạy. Nắm chắc từng đối tượng học sinh để có phương pháp phù hợp, giúp các em không bị choáng ngợp trước những bài toán khó.
	- Phải cung cấp, trang bị cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản liên quan đến môn học. Để học sinh thực sự nắm chắc kiến thức cơ bản thì người giáo viên phải có phương pháp truyền đạt phù hợp, đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Cần giúp học sinh nắm chắc được nội dung bản chất của từng định nghĩa, tính chất, các hằng bất đẳng thức có thể áp dụng được thì học sinh mới nhớ lâu. Đồng thời phải phân tích, mổ xẻ các kiến thức theo nhiều hướng phát triển khác nhau để học sinh có được cái nhìn bao quát, rèn luyện tư duy khái quát, trừu tượng.
II. Kiến nghị, đề xuất: 
Để áp dụng các giải pháp nêu trên có tính hiệu quả cao, tôi xin có một số kiến nghị, đề xuất sau:
	- Đối với người giáo viên: Phải không ngừng học tập nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, đổi mới phương pháp dạy học. Nghiên cứu tìm ra những giải pháp, sáng kiến hay, mới để áp dụng vào trong thực tiễn dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục.
 	- Đối với học sinh: Phải tạo cho mình động cơ, thái độ học tập nghiêm túc, không ngại khó, ngại khổ, có tính kiên trì, nhẫn nại trong việc học tập. Phải bắt đầu từ nhỏ đến lớn, từ dễ đến khó. Với mỗi kiến thức mới cần tìm hiểu bản chất của nó nhằm giúp chúng ta nhớ lâu và xem xét các khả năng áp dụng của nó vào trong việc giải bài tập. Với mỗi bài tập cần tìm được càng nhiều cách giải càng tốt, đồng thời cần phân tích, tổng hợp, khái quát bài toán và tạo ra bài toán mới nếu có thể.
	- Đối với nhà trường: Cần phân công phần hành hợp lý, tạo mọi điều kiện tốt nhất để mỗi một người giáo viên phát huy tối đa năng lực của mình trong quá trình giảng dạy. 
	Trên đây là những giải pháp mà tôi đã rút ra trong thực tiễn của quá trình dạy học và đã áp dụng vào thực tế giảng dạy có hiệu quả cao. Hy vọng nó sẽ được áp dụng một cách rộng rãi nhằm nâng cao chất lượng học sinh, phát triến tư duy tìm tòi, sáng tạo cho học sinh trong việc giải bài tập. Những sai lầm trong khi giải toán là khó tránh khỏi, vấn đề là chúng ta phải biết nhìn nhận, phát hiện các sai lầm đó, để rồi tìm hướng khắc phục một cách phù hợp. Với chủ quan của bản thân chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong các bạn đồng nghiệp, quý thầy cô giáo đóng góp những ý kiến hay, những giải pháp tốt nhằm hoàn thiện hơn trong đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng giáo dục. Tôi xin chân thành cảm ơn!
MỤC LỤC
Nội dung 	Trang
Phần mở đầu: ...............................................................................................................................	1
	I. Lý do chọn đề tài: ..............................................................................................................	1
	II. Phạm vi áp dụng: .............................................................................................................. 	2
Phần nội dung: ............................................................................................................................	2
	I. Thực trạng nội dung cần nghiên cứu: ...................................................................	2
	II. Các giải pháp:......................................................................................................................	4
	1. Giải pháp 1: Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản về cực trị 
Đại số cũng như các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức: ..................................... 	4 
	2. Giải pháp 2: Phân tích những sai lầm và nêu hướng khắc phục:........... 7
2.1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện (1) ................................................. 7	
2.2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện (2) ................................................. 8
2.3. Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau....................... 9
2.4. Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán.................. 10
2.5. Sai lầm khi khi sử dụng bất đt với điều kiện bị hạn chế............... 11
2.6. Sai lầm khi sử dụng tính chất của dấu giá trị tuyệt đối......... ...... 11
2.7. Sai lầm khi sử dụng các bất đẳng thức ngược chiều nhau......... 12
2.8. Sai lầm khi sử dụng các biểu thức quy về tam thức bậc hai...... 13
2.9. Sai lầm khi sử dụng bất đẳng thức Côsi và khắc phục bằng 
kỹ thuật tách số................................................................................................................. 13
2.10. Một số sai lầm khác.......................................................................................... 17
Phần kết luận: ............................................................................................................................. 	 21
	I. Ý nghĩa của đề tài: .............................................................................................................	 21
	II. Kiến nghị đề xuất: ........................................................................................................... 	22