Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương trình nghiệm nguyên thường gặp và cách giải

 Phòng giáo dục tiên lãng
Trường thcs đoàn lập
&
Sáng kiến kinh nghiệm
đề tài:
“ một số phương trình ngiệm nguyên thường gặp và cách giảI “
*********
Người viết: nguyễn cảnh tuyên
 Đơn vị : trường thcs đoàn lập
 Năm học: 2008 – 2009
a) Đặt vấn đề 
I) Sự cần thiết: Thực tế cho thấy trong chương trình toán bậc THCS các bài toán giải phương trình nghiệm nguyên là những bài toán không dễ với đa số học sinh. Hầu hết các em, và ngay cả các học sinh có học lực khá, giỏi khi gặp các bài toán này lần đầu đều cảm thấy lúng túng và không biết phải dùng các phương pháp nào đối với các bài toán cụ thể mà các em gặp. Chính vì vậy việc nêu ra và hệ thống hoá lại một số phương pháp thường dùng, kèm theo các ví dụ minh hoạ và hệ thống các bài tập rèn luyện kĩ năng là một việc rất cần thiết trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung.
II) Mục đích: Với phân tích như trên, bài viết sau đây xin giới thiệu một số ví dụ, qua đó giúp học sinh nắm được một cách có hệ thống một số phương pháp hay gặp nhất khi giải các bài toán về phương trình với nghiệm nguyên trong chương trình Toán bặc THCS.
III) đối tượng, phạm vi, kế hoạch nghiên cứu
1) Đối tượng: Là các học sinh có học lực khá, giỏi của các khối lớp 8 và 9, bậc học THCS
2) Phạm vi: Chỉ giới hạn trong việc hình thành và rèn luyện kĩ năng sử dụng các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên hay gặp nhất (phương pháp xét ước số nguyên, phương pháp sử dụng tính chất không tồn tại số nguyên ở giữa hai số nguyên liên tiếp, phương pháp sử dụng tính chất của số chính phương, phương pháp sắp thứ tự các biến, phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai)
3) Kế hoạch: Có thể đưa vào giảng dạy từ nửa cuối của học kì 1 – lớp 8 cho đến hết lớp 9, thời gian thực hiện trong khoảng 1 tháng.
4) Kết quả cần đạt: Sau khi hoàn thiện việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, thì các đối tượng được trực tiếp tham gia chương trình học phải có được các kĩ năng thành thạo trong việc giải các phương trình nghiệm nguyên thường gặp nhất (như đã nói ở trên) – Giải được tối thiểu 8/18 bài tập trong phần bài tập áp dụng
B) Nôi dung
I) cơ sở lí luận: Như đã nói ở trên, bài toán phương trình với nghiệm nguyên là một mảng lớn và khó trong chương trình Toán phổ thông, các bài toán dạng này thường xuất hiện trong các kì thi HSG Toán, thi tuyển sinh vào lớp 10 các trường THPT chuyên. Chính vì tính rộng lớn và phức tạp của nó mà việc giảng dạy các chuyên đề về phương trình nghiệm nguyên cho học sinh cần được tiến hành một cách có hệ thống, theo từng bước từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp theo một trình tự hợp lí và có hệ thống.
II) thực trạng của vấn đề: Hiện nay các sách Toán nâng cao viết về phương trình nghiệm nguyên cũng rất ít có trên thị trường, các chuyên đề của các thầy, cô giáo viết về vấn đề này cũng không nhiều. Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên chỉ xuất hiện rải rác trong một số tài liệu Toán nâng cao, thực tế này cũng gây nhiều khó khăn cho các học sinh muốn tìm hiểu vấn đề một cách sâu sắc và có hệ thống. 
III) các giải pháp: Qua việc tìm hiểu, nghiên cứu, sưu tầm qua một số tài liệu tôi đã hệ thống hoá và giới thiệu với học sinh một số phương pháp thường gặp nhất để giải các phương trình nghiệm nguyên trong chương trình Toán bậc THCS. Mỗi phương pháp sẽ đi kèm với một số lượng bài tập rèn luyện kĩ năng vừa đủ qua đó giúp các em học tập có chất lượng và hiệu quả hơn. Sau đây sẽ là nội dung các phương pháp như vậy.
1) Phương pháp xét ước số nguyên
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
 (1)
Lời giải: Ta biến đổi 
 (1) 
 (2)
Do x, y là các số nguyên dương nên 2x + 2y + 1 > 0. Kết hợp với (2) suy ra
2y – 2x – 1 > 0. Vậy 2y + 2x + 1 > 2y – 2x – 1 > 0
Lại có 1995 = 1.1995 = 3.665 = 5.399 = 15.133, dẫn đến việc giải các hệ:
 ; ; 
 ; 
 Từ đó giải bốn hệ phương trình ta có đáp số
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
 ( 2 )
Lời giải: Ta biến đổi 
 (2) 
 (x – y – 3)(x + 3y + 1) = -7 
Từ đó dẫn đến đáp số
2) Phương pháp sử dụng tính chất: “ Nếu x Z và x < a < x+1 thì a Z“
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
 (3)
Lời giải: Ta biến đổi
 (3) 
Đặt và x – 2006 = z. Ta có
 (3) 
Từ đó xét các trường hợp:
*) Nếu t > 0, suy ra 0 < 2t < 2t + 1
 Suy ra 
 Tức là . Vậy trong trường hợp này z Z (loại )
*) Nếu tức là 
Xét tiếp bốn trường hợp ta có đáp số:
Ví dụ4: Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình:
 (4)
Lời giải: Giả sử x, y là các số nguyên không âm, ta biến đổi:
 (4) 
Đặt . Ta có t > 0. Khi đó:
 (4) . Lại xét hai trường hợp:
*) Nếu x > 0, suy ra 0 < x + 1 < 2x + 1
 Suy ra 
 Từ đó có: x < t < x + 1. Vậy t Z ( loại)
*) Nếu x = 0, ta tính được y = 0. Đáp số (x ; y) = (0 ; 0)
3) Phương pháp sử dụng tính chất của số chính phương
Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
 (5)
Lời giải: Giả sử x, y là các số nguyên, ta biến đổi:
 (5) 
*) Trường hợp 1: Xét . Trường hợp này phương trình vô nghiệm 
*) Trường hợp 2: Xét . Lần lượt xét các trường hợp:
Với ta tìm được 
Với ta tìm được 
Với ta tìm được 
 Đáp số: 
Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
 (6)
Lời giải: 
*) Nhận xét : Phương trình (6) có nghiệm (x ; y) = (0;0)
*) Với x, y khác 0, ta biến đổi
 (6) 
Suy ra phải là số chính phương. Từ đó suy ra tồn tại số nguyên a để 
 hay (x – a)(x + a) = 7. Xét bốn trường hợp:
 ; ; ; 
Đáp số: 
4) Phương pháp sắp thứ tự các biến
Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
 x + y + z = xyz (7)
Lời giải: 
Do vai trò của x, y, z như nhau nên giả sử: 1. Ta suy ra . Từ đó có nên x = 1. Thay vào (7) được:
 (7) 1 + y + z = yz 
 y + z – yz + 1 = 0
 y(1 – z) – (1 – z) = - 2
 (y – 1)(z – 1) = 2 = 1.2
Lại vì y – 1 ≤ z – 1, nên 
Đáp số: Phương trình có sáu bộ nghiệm là các hoán vị của (1;2;3)
Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
 5(x + y + z) = 4xyz – 24 (8)
Lời giải: Do vai trò của x, y, z như nhau nên có thể giả sử . Chia cả hai vế của (8) cho 5xyz (khác 0 ) ta được:
 (8) 
 Suy ra: . Vậy 
*) Nếu z = 1. Thay vào (8) được:
 5x + 5y – 4xy = -29
 x(5 – 4y) + 5y = -29
 4x(5 – 4y) + 5.4y = -116
 4x(5 – 4y) + 5.4y – 5.5 = -141
 (4x – 5)(4y – 5) = 141 = 47.3 = 141.1
Do . Vậy ta có
 (I) hoặc (II) 
Giải (I) được (x; y; z) = (13; 2; 1)
Giải (II) Hệ phương trình không có nghiệm nguyên 
*) Nếu z = 2. Lập luận tương tự ta được (x; y; z) = (4; 2; 2)
*) Nếu z = 3. Phương trình (8) không có nghiệm nguyên dương
Đáp số: Phương trình (8) có tất cả 9 bộ nghiệm là các hoán vị của hai bộ số (13; 2; 1) và (4; 2; 2)
5) Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai 
Ví dụ 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
 (9)
Lời giải: Ta có 
 (9) (9’)
Để (9’) có nghiệm x, cần và đủ là 
Vì nên . Suy ra nghiệm của (9) là 
Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
 (10)
Lời giải: Vì x, y là các số nguyên nên và . Do đó tồn tại số nguyên m để
Từ , suy ra x = 5m – 2y. Thay vào phương trình 
và rút gọn, ta được (10’)
Để (10’) có nghiệm y, cần và đủ là
Vì nên . Từ đó tìm được nghiệm nguyên của phương trình (10) là: 
IV) Bài tập áp dụng
*) Đề bài: Giải các phương trình nghiệm nguyên sau (Kí hiệu Bài 1 (1) nghĩa là bài 1 giải bằng phương pháp 1)
 Bài 1 (1): 
 Bài 2 (1): 
 Bài 3 (1); 
 Bài 4 (1); x + xy + y = 9 
 Bài 5 (1); 
 Bài 6 (2); 
 Bài 7 (2); 
 Bài 8 (3); 
 Bài 9 (3); . Với x, y dương 
 Bài 10 (3); 
 Bài 11 (3); 
 Bài 12 (3); . Với x, y dương 
 Bài 13 (3); 
 Bài 14 (4); . Với x, y, z, t dương 
 Bài 15 (4); . Với x, y, z dương 
 Bài 16 (5); 
 Bài 17 (5); 
 Bài 18) 
*) Đáp số:
 1) 
 2) 
 3) 
 4) 
 5) 
 6) 
 7) 
 8) 
 9) 
 10) 
 11) 
 12) 
 13) 
 14) 
 15) 
 16) 
 17) 
 18) 
V) kết quả: Được đưa vào giảng dạy cho 30 học sinh của lớp 9A – Trường THCS Đoàn Lập trong khoảng thời gian từ 01/10/2008 cho đến 20/10/2008. Kết quả của việc giải các bài tập trong phần bài tập áp dụng như sau:
 *) Có 21 học sinh giải được từ 8 đến 10 bài (70%)
 *) Có 5 học sinh giải được từ 11 đến 13 bài (16%)
 *) Có 3 học sinh giải được từ 14 đến 16 bài (11%)
 *) Có 1 học sinh giải được 18 bài (3%)
Đánh giá chung: Với kết quả trên đây có thể nhận thấy hầu hết các em tham gia chương trình học đều đã nắm kiến thức một cách tương đối vững chắc. Từ đó có thể nhận định rằng việc hệ thống hoá kiến thức theo cách như trên đã mang lại những hiệu quả nhất định, giúp cho việc học tập của các em đạt được hiệu quả và chất lượng cao hơn.
vi) tài liệu tham khảo
1) Toán học Tuổi trẻ – số 378 – Tr1 (Bài toán tìm nghiệm nguyên của phương trình dạng với )
2) Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học Tuổi trẻ – Quyển 3
3) 
4)  
5) Phương trình nghiệm nguyên – Phan Huy Khải – NXB Giáo dục
6) Phương trình và bài toán nghiệm nguyên – Vũ Hữu Bình– NXB Giáo dục
vii) một số hướng nghiên cứu
1)Phương trình Lebesgue (với k là số nguyên)
2)Phương trình Pythagore: 
3)Phương trình Pell (với d không là số chính phương)
4)Phương trình dạng (với n, k là các số nguyên dương)
(Problem 2185 in Crux Mathematicorum (22 (1996), 319) )
5)Phương trình trong đó d không phải là số chính phương
6) Xác định nghiệm nguyên của hệ sau: 
(American Mathematical Monthly 1954 )
7) Tìm tất cả các số nguyên a, b sao cho: 
(E10316 in the American Mathematical Monthly )
8) Chứng minh rằng: Tồn tại vô hạn tam giác có độ dài ba cạnh là số nguyên và diện tích tam giác là một số chính phương
( E 6628 American Mathematical Monthly 1991 )
9) Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm nguyên dương.(với p nguyên tố lớn hơn 7 cho trước)
(Bài toán Erdos - Nhà toán học Hungary - Hiện vẫn chưa có lời giải)
c) kết luận
Trên đây là một số kinh ngiệm mà tôi đã rút ra được trong quá trình giảng dạy. Qua thực tế tôi nhận thấy học sinh nắm kiến thức rất chắc chắn, có hệ thống, và từ đó cũng đã phần nào bồi dưỡng được lòng say mê học toán của các em. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng chuyên đề trên đây cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong sự góp ý, nhận xét, rút kinh nghiệm của các đồng chí trong Ban giám hiệu nhà trường, các đồng chí chuyên viên Phòng Giáo dục và của các bạn đồng nghiệp để việc giảng dạy nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng của tôi đạt được những kết quả cao hơn. Xin chân thành cảm ơn.
 Đoàn Lập, ngày 15 tháng 12 năm 2008
 Người viết:
 Nguyễn Cảnh Tuyên
Danh sách các sáng kiến kinh nghiệm đã viết
Stt
Tên SKKN
Thuộc thể loại
Năm viết
1
Chứng minh các Bất đẳng thức bằng phương pháp Hình học
Bồi dưỡng HSG môn Toán 9
2007
2
Đổi mới phương pháp dạy học bằng việc áp dụng phương pháp “ Chương trình hoá “
Đổi mới phương pháp dạy học môn Toán
2006
3
Một số bài toán về tính chia hết trên tập hợp các số nguyên
Bồi dưỡng HSG môn Toán7
2005
4
Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bồi dưỡng HSG môn Toán 9
2004
5
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Bản cam kết
I. tác giả
 Họ và tên: Nguyễn Cảnh Tuyên
 Ngày, tháng, năm sinh: 01 – 12 – 1976 
 Đơn vị: Trường THCS Đoàn Lập – Tiên Lãng – Hải Phòng
 Điện thoại: 0313945723
 E-mail: Không có
II. sản phẩm
 Tên sản phẩm: Một số phương trình nghiệm nguyên thường gặp và cách giải
III. cam kết
 Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá nhân tôi. Nếu có xảy ra tranh chấp về quyền sở hữu đối với một phần hay toàn bộ sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD và ĐT về tính trung thực của bản cam kết này.
 Đoàn Lập, ngày 15 tháng 12 năm 2008
 Người cam kết
 Nguyễn Cảnh Tuyên
Mục lục
Nội dung
Trang
a) Đặt vấn đề ...........
 I) Sự cần thiết..
 II) Mục đích ..
 III) đối tượng, phạm vi, kế hoạch nghiên cứu..
 1) Đối tượng........................................................
 2) Phạm vi
 3) Kế hoạch..
 4) Kết quả cần đạt
2
2
2
2
2
2
2
2
B) Nôi dung
 I) cơ sở lí luận. 
 II) thực trạng của vấn đề 
 III) các giải pháp. 
 1) Phương pháp xét ước số nguyên..
 2) Phương pháp sử dụng tính chất: Nếu x Z và x < a < x+1 thì a Z..
 3) Phương pháp sử dụng tính chất của số chính phương............................
 4) Phương pháp sắp thứ tự các biến..............................................................
 5) Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
 IV) Bài tập áp dụng.........................................................................................................
 *) Đề bài.......................................................................................................
 *) Đáp số......................................................................................................
 V) kết qủa..............................................................................................................................................
 vi) tài liệu tham khảo......................................................................................................................
 vii) một số hướng nghiên cứu
2
2
2
3
3
3
4
5
6
7
7
7
8
8
8
c) kết luận........................................................................................................
*) Danh sách các SKKN đã viết...
*) Bản cam kết ......
*) Mục lục...
9
10
11
12