Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học Khối 7

CD có: 
CD < AC ( theo (3))
 .(Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)
Mà ( theo (2)) nênhay 
4) Nhận xét: 
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùng một tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. Ta đã chuyển góc về cùng một tam giác bằng cách vẽ đường phụ như trong bài giải, lúc đó , ta chỉ còn phải so sánh ở trong cùng một tam giác ADC.
Phương pháp 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng.
Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.
B
A
C
D
 Chứng minh: AB = CD, AC = BD? 
( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)
(Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)
1) Phân tích bài toán:
 Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.
Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD.
2) Hướng suy nghĩ:
Để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra hai tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D.
B
A
C
D
3) Chứng minh:
GT
AB // CD; AC // BD
KL
AB = CD; AC = BD
Xét D ABD và D DCA có:
( so le trong - AB // CD)
AD là cạnh chung
( so le trong - AC // BD)
Þ D ABD = D DCA ( g - c - g)
AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng)
4) Nhận xét:
Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cần chứng minh.
D ABD = D DCA. Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song.
Phương pháp 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng.
Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau.
Chứng minh rằng D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều?
1) Phân tích bài toán: Bài cho D ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Yêu cầu ta chứng minh D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều.
2) Hướng suy nghĩ: 
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy ra AB ^ AC và suy ra góc A = 900.
I
A
B
C
H
M
1
2
3
2
1
3) Chứng minh: 
GT
D ABC; AH ^BC; 
trung tuyến AM;
KL
D ABC vuông ;
D ABM đều
Vẽ MI ^ AC ( I Î AC)
Xét D MAI và D MAH có:
( gt)
AM là cạnh chung) Þ D MAI = D MAH ( cạnh huyền - góc nhọn)
 (gt) Þ MI = MH ( 2 cạnh tương ứng) (1)
Xét D ABH và D AMH có:
( gt)
AH là cạnh chung Þ D ABH= D AMH ( g - c - g)
( gt)	 Þ BH= MH ( 2 cạnh tương ứng) (2)
Mặt khác: H Î BM , nên từ (1) và (2) Þ 
Lại có BM = CM (gt) 
 Xét D MIC vuông tại C có: nên từ đó suy ra: .
Vậy D ABC vuông tại A. Vì 
Lại có ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) và BM = MC ( vì M là trung điểm BC) suy ra AM = BM do đó D ABM cân tại A và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều.
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khó giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI ^ AC) thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học.
Bài toán 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E. Chứng minh rằng: BD = CE.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho D ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E.
Yêu cầu chứng minh: BD = CE.
2) Hướng suy nghĩ: Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba, rồi chứng minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đường phụ cần vẽ thêm là đường thẳng qua B và song song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba đó.
3) Chứng minh:
GT
DABC; AB < AC; 
AH là tia phân giác ;
DE ^ AH 
KL
BD = CE
D
A
B
C
H
M
E
Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC, gọi F là giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng DE.
Xét D MBF và D MCE có: 
 ( so le trong - BF // CE)
MB = MC ( gt)
 ( đối đỉnh)
Do đó D MBF = D MCE (g -c - g) Þ BF = CE ( 2 cạnh tương ứng) (1)
Mặt khác D ADE có AH ^ DE và AH cũng là tia phân giác của ( gt)
Do đó: D ADE cân tại A Þ Mà BF // CE ( theo cách vẽ) Þ 
Do đó: Þ D BDF cân tại B Þ BF = BD (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE ( đpcm )
4) Nhận xét:
Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình THCS.
Các phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là phương pháp tam giác bằng nhau, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm một phương pháp mới rất hay nhưng chưa được khai thác nhiều trong giải toán.
Phương pháp 5: Phương pháp “tam giác đều”
Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi.
Đặc biệt đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần hướng dẫn học sinh chú ý đến những tam giác chứa góc có số đo xác định như:
- Tam giác cân có một góc xác định.
- Tam giác đều.
- Tam giác vuông cân.
- Tam giác vuông có một góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền...
Sau đó hướng dẫn học sinh nghĩ đến việc tình số đo của góc cần tìm thông qua mối liên hệ với các góc của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu trên (Thường là đi với mối liên hệ bằng nhau của một tam giác rồi rút ra góc tương ứng của chúng bằng nhau).
Ta hãy xét một bài toán điển hình:
Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng .
1) Phân tích bài toán: 
Bài cho DABC cân tại A, = 200 ; AD = BC ( D ÎAB)
Yêu cầu chứng minh: .
2) Hướng suy nghĩ: 
Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 - 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều Þ Vẽ tam giác đều BMC
A
B
C
D
M
3) Chứng minh:
GT
DABC; AB = AC; ; AD = BC (D ÎAB)
KL
 .
Ta có: DABC; AB = AC; ( gt)
Suy ra: 
Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC), ta được: AD = BC = CM đồng thời 
Ta có D MAB = D MAC ( c - c - c) Þ 
Xét DCAD và DACM có:
AD = CM ( chứng minh trên)
AC là cạnh chung
Do đó DCAD = DACM ( c -g -c )
. Vậy 
4) Nhận xét:
* Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 - 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng.
* Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
- Cách 2:
Vẽ EAD đều nằm ngoài tam giác ABC, tạo ra 
Khi đó EAC = CBA (c.g.c) vì: EA = BC 
 AC = AB
CE = CA và 
800
A
C
B
D
E
1
2
?
Mặt khác CDA = CDE (c.c.c) vì: DA = DE
 CD chung
 CA = CE
Vậy 
Sau khi phân tích, hướng dẫn học sinh làm hai cách trên, có thể hướng dẫn học sinh làm thêm theo cách sau:
800
A
C
B
D
E
2
1
1
?
- Cách 3:
Vẽ tam giác đều EAC nằm ngoài 
tam giác ABC, tạo ra
Khi đó DAE = CBA (c.g.c) vì :
 AE = BA ( = AC )
 AD = BC
DE = AC mà AC = CE nên DE = CE do đó DEC cân tại đỉnh E, có góc ở đỉnh góc đáy = (1800 - 400) : 2 = 700
800
A
C
B
D
1
1
?
800
A
B
D
E
1
2
 Do đó . 
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
- Cách 4 :
Vẽđều ABE ( E,C nằm cùng phía đối với AB)
tạo ra 
Khi đó CBE =DAC (c.c.c) vì :
CB = AD (gt)
BE = AC ( =AB)
Vậy để tìm ta chỉ cần tính 
Ta có AE = AC (=AB) nên AEC cân tại A lại có góc ở đỉnh = 600 - 200= 400
 Nên góc ở đáy = (1800 – 400) : 2 = 700
Mà góc (góc trong tam giác đều ABE) Hay 
Vậy 
Ở ví dụ này đề bài cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là : AB = AC ; AD = BC. Như vậy có thể giải bằng 4 cách : Vẽ tam giác đều có một cạnh là AC ; vẽ tam giác đều có một cạnh là AB ; vẽ tam giác đều có một cạnh là BC ; rồi AD. Qua ví dụ bước đầu các em đã định hình được phương pháp vẽ tam giác đều và các cách triển khai theo phương pháp đó.
Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCA dẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của mỗi người và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học.
Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2 AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC vuông tại A, = 150. 
Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2 AC. 
Yêu cầu chứng minh D OBC cân tại O. 
2) Hướng suy nghĩ: 
Ta thấy = 150 suy ra = 750 - 150 = 600
là số đo của mỗi góc trong tam giác đều 
Þ sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải bài toán.
3) Chứng minh:
GT
DABC; = 900; = 150
O Î tia BA: BO = 2AC
KL
D OBC cân tại O.
	Ta có: DABC; = 900; = 150 (gt) Þ = 750
Vẽ tam giác đều BCM 
(M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC)
Ta có: 
Gọi H là trung điểm của OB .
Mặt khác BO = 2AC (gt) nên 
từ đó có AC = BH
Xét D HMB và D ABC có: BH = AC (cmt)
 MB = BC ( cạnh D đều BMC)
Do đó D HMB = D ABC ( c -g -c) Þ 
D MOB có MH là đường cao và là đường trung tuyến nên cân tại M, lại có góc đáy Þ góc ở đỉnh . 
Từ đó 
DMOB và DMOC có : MB = MC ( cạnh của D đều BMC)
 (cmt)
 OM chung
Do đó DMOB = DMOC (c-g-c) Þ OB = OC 
Vậy D OBC cân tại O. ( đpcm)
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải toán vì phát hiện thấy = 150 suy ra = 750 - 150 = 600 là số đo của mỗi góc trong tam giác đều, điều này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM như trên. Nhờ có các cạnh của tam giác đều bằng nhau, các góc của tam giác đều là 600, ta chứng minh được D HMB = D ABC ( c - g- c); DMOB = DMOC ( c - g - c) dẫn tới D OBC cân tại O, đó chính là tác dụng của phương pháp tam giác đều.
Bài toán 10. Cho ABC vuông, cân tại A, điểm E nằm trong tam giác sao cho = 150 . Tính 
Hướng dẫn :
Điều đầu tiên trong bài toán này là HS phải phát hiện ra
tam giác AEC cân tại E vì có hai góc bằng 150
từ đó suy ra EA = EC và 
Cũng như ở bài toán 8, ở bài toán này các em
sẽ sớm phát hiện thấy 
mà 750 - 150 = 600 là góc của tam giác đều 
(Cũng có em nhận xét: 
; và 450 + 150 = 600 ).
Còn đối với những em chưa xác định được điều
gì ta cũng gợi ý, hướng dẫn các em tính số đo các
góc trong bài rồi tìm mối liên quan giữa các góc đó. 
Từ đó có thể hướng dẫn các em các cách vẽ thêm tam giác đều như sau:
Cách 1 : Vẽ tam giác đều AKE nằm trong tam giác ABE tạo ra . 
Khi đó BAK = CAE (c.g.c) vì :
 	AB = AC (gt) 
 	AK = AE ( cạnh đều )
Từ đó dẫn đến ABK cân tại K 
và có góc ở đáy bằng 150 nên góc ở đỉnh là 
Mà nên
AKB = EKB (c.g.c) vì : AK = EK ( cạnh đều AKE )
 BK chung
Từ đó suy ra và AB = EB dẫn đến ABE cân tại B có góc ở đỉnh .
- Cách 2: Vẽ tam giác đều KCE ( như hình vẽ ) nằm phía ngoài AEC, tạo ra . Khi đó KCA = EAB (c.g.c) vì:
KC = AE ( = EC)
AC = AB ( gt )
. (*)
 Lại có AEC cân tại E có góc đáy
mà 
nên 
Xét AEC và AEK có
EC = EK ( Cạnh của đều EKC)
AE chung
Do đó AEC = AEK (c.g.c)
Mà ( theo (*)) nên 
- Cách 3:
Vẽ tam giác đều AKB (K, C nằm cùng phía đối với AB)
tạo ra 
Khi đó : EAC = EAK (c.g.c) vì :
AC = AK ( = AB)
; EA chung
Từ đó suy ra EC = EK
Xét ABE và KBE có:
* AB = KB (Cạnh đều ABK)
* AE = EK (= EC)
* BE chung
Vậy ABE = KBE (c.c.c)
A
B
C
E
?
K
1
2
Như vậy BEA có ; , áp dụng định lí tổng ba góc của tam giác ta có 
- Cách 4:
Vẽ tam giác đều ACK ra phía ngoài ABC
tạo ra 
 Khi đó BAE và KAE có:
AB = AK (=AC )
AE chung
. Do đó BAE = KAE ( c.g.c)
nên 
Vậy 
A
B
C
E
?
M
K
 - Cách 5:
Vẽ tam giác đều AKC trùm lên EAC, 
tạo ra 
Từ K kẻ tia KM sao cho 
Dẫn đến KMC cân tại M
vì có MK =MC
 Lại có MKC = EAC (g.c.g) MC = EC = EA MK = AE
Mặt khác ABK cân tại A ( vì AB = AK ) có góc tại đỉnh .
 góc ở đáy . 
Do đó . Mà ( Góc ngoài tại M của tam giác KMC cân tại M có góc đáy bằng 150)
Thành thử KMB cân tại K KB = KM = AE
Vậy ABE = BAK (c.g.c) vì:
AB chung
AE = BK
Ở bài toán này đầu bài cũng cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là:
AB = AC; EA = EC. Do vậy cũng có thể giải bài toán đó theo các cách: Vẽ tam giác đều có một cạnh là AE; hoặc EC; hoặc AC.
Như vậy với sự gợi ý, hướng dẫn của giáo viên, học sinh đã biết phân tích đầu bài, tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện của giả thiết, từ đó định hướng được cách giải. Đó chính là thành công của người thày. Và điều quan trọng nữa là khi hướng dẫn học sinh triển khai một bài toán theo nhiều cách khác nhau, giáo viên đã tạo cho học sinh óc quan sát nhạy bén, linh hoạt và cũng làm cho tư duy hình học của các em được phát triển hơn.
Bài toán 11
A
B
C
K
?
100
300
?
?
Cho tam giác cân ABC có đáy BC, góc ở đáy bằng 500. Lấy điểm K trong tam giác, sao cho .
Tính số đo các góc của ABK.
* Hướng giải quyết:
 ABK có:= 500 - 100= 400
Vậy chỉ còn phải tính hai góc còn lại là: 
.
Xem xét đầu bài ta thấy ABC có các góc 500, 500, 800
 = 100, = 500, mà 500 + 100 = 600 chính là góc của tam giác đều.
Từ đó có thể giải bài toán trên theo cách sau (học sinh tìm ra hoặc giáo viên gợi ý):
A
B
C
K
?
100
300
?
?
E
1
2
100
- Cách 1:
Vẽ đều BCE trùm lên ABC, tạo ra 
Từ đó chứng minh EAB = EAC (c.c.c) 
Khi đó ABE = KBC (g.c.g) vì:
 BE = BC
 AB = KB. Do đó ABK cân tại B có góc ở đỉnh 
Vậy các góc của ABK là 400; 700; 700.
- Cách 2:
A
B
C
K
?
100
300
?
?
E
Vẽ đều ABE ( E, C nằm cùng phía đối với AB), tạo ra và AEC cân ở A vì có AE = AC ( = AB ) có góc ở đỉnh 
Suy ra góc ở đáy 
Do vậy KBC = EBC (g.c.g) vì:
BC chung
BK = BE mà BE = BA nên BK = BA. 
Khi đó ABK cân tại B có góc ở đỉnh là 400 nên hai góc còn lại là 700 và 700.
- Cách 3:
Vẽ đều AEC ( E, B nằm cùng phía đối với AC )
A
B
C
K
?
100
300
?
?
E
tạo ra vàABE cân tại A
 có góc ở đỉnh bằng 800- 600 = 200
 góc ở đáy bằng 800
 Do đó KBC = ECB (g.c.g) vì:
BC chung
 KB = EC mà EC = AC = AB nên KB = AB ABK cân tại B
Vậy các góc cần tính là: 400; 700; 700.
Qua ví dụ này, có thể cho học sinh thấy rằng cách 2 và cách 3 là tương đương nhau: đều tạo ra tam giác đều có cạnh bằng một trong hai cạnh bên của tam giác cân đã cho, từ đó dẫn đến cạnh BK bằng một cạnh nào đó của tam giác đều vừa tạo ra để suy ra tam giác ABK cân. Còn nếu đi vẽ tam giác đều có một cạnh là KC để tạo ra góc bằng hoặc vẽ tam giác đều có một cạnh là BK để tạo ra góc bằng thì sẽ không giải quyết được bài toán, vì vẫn không đủ dữ kiện, và học sinh cũng cần phải thấy được điều này để có cách vẽ cho thích hợp.
Bài toán 12. Cho tam giác ABC có . Đường cao AH có độ dài bằng nửa BC. Tính số đo góc B
Phân tích:
AHC vuông tại H có 
Mà 750 - 150 = 600 là góc của tam giác đều.
Từ đó hướng dẫn HS vẽ thêm tam giác đều.
Có các cách vẽ như sau:
- Cách 1:
Vẽ tam giác đều AEC nằm trong ABC, tạo ra: 
Kẻ EK BC (có thể hướng dẫn và giải thích cho học sinh tại sao lại kẻ như vậy).
Khi đó vuông EKC = vuông CHA (cạnh huyền, góc nhọn) vì:
EC = AC
 KC = AH, mà 
Vậy K là trung điểm của BC, lại có KE BC do đó tam giác EBC cân tại E .
Do đó : = 1800 - 2.150= 1500
Từ đó có = 3600 - (600 + 1500) = 1500
BEC = BEA (c.g.c) vì:
BE chung
EC = EA
(Hoặc từ BEC = BEA AB = BC ABC cân tại B có góc ở đáy bằng 750 )
- Cách 2:
Vẽ tam giác đều BEC 
(E, A nằm cùng phía đối với BC) 
tạo ra 
Từ A kẻ AK EC () thì 
 vuông AKC = vuông CHA (c. huyền, g. nhọn) vì:
Cạnh huyền AC chung
Mà nên K là trung điểm của EC.
Vậy EAC có AK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên cân tại A AE = AC.
Xét AEB và ACB có:
BE = BC (cạnh của đều BCE)
AB chung
AE = AC
Do đó AEB = ACB (c.c.c)
. Vậy 
(Và suy ra K là giao điểm của AB và EC)
Ở ví dụ này bài cho không có cặp đoạn thẳng nào bằng nhau thì phải vẽ tam giác đều sao cho liên hệ được các dữ kiện của giả thiết.
Như vậy qua các ví dụ trên, giáo viên đã hình thành cho học sinh phương pháp vẽ thêm tam giác đều từ việc liên hệ các dữ kiện của giả thiết. Và sau các ví dụ này, giáo viên nên cho học sinh tự nhận xét, tổng kết dạng bài tập về tính số đo góc giải bằng phương pháp vẽ tam giác đều, sau đó có thể chốt lại cho các em là:
Khi xét mối liên quan giữa các góc, nếu phát hiện ra góc của tam giác đều nên nghĩ đến cách vẽ thêm tam giác đều để tạo ra những góc bằng góc đã cho.
Hơn nữa việc vẽ thêm tam giác đều còn tạo được các đoạn thẳng bằng nhau, hoặc tạo được một đường có nhiều tính chất, từ đó dễ dàng phát hiện được những yếu tố bằng nhau, liên kết với nhau để tìm ra lời giải.
Cũng cần chỉ ra cho học sinh thấy kinh nghiệm của việc vẽ thêm tam giác đều : Nếu vẽ thêm tam giác đều mà cạnh của nó có sự bằng nhau với các đoạn thẳng khác trong bài thì bao giờ cũng giải quyết được bài toán.
Qua các ví dụ này học sinh cũng cần thấy rằng, có thể có nhiều cách để tạo ra tam giác đều, nhưng nên chọn cách nào dẫn đến chứng minh bài toán đơn giản hơn.
* Kết quả đạt được sau khi áp dụng các phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ:
- Chất lượng đại trà lớp 7B, tổng số 30 học sinh.
0 - < 2
2 - < 5
5 - < 6,5
6,5 - < 8
8 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
/
/
06
20,0
09
30,0
10
33,3
05
16,7
*Nhận xét:
- Sau khi áp dụng đề tài thì số lượng học sinh yếu, kém giảm, số lượng học sinh đạt điểm khá, giỏi tăng lên.
- Đa số học sinh nắm được các phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán, nhiều em vận dụng vào làm bài tập khá tốt.
- Chất lượng đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện cũng đã có sự tiến bộ vượt bậc.
3. PHẦN KẾT LUẬN
	3.1. Ý nghĩa của đề tài
Trên đây là những kinh nghiệm của tôi khi hướng dẫn các em giải bài tập hình đòi hỏi phải vẽ thêm các yếu tố phụ. Việc vẽ thêm các yếu tố phụ giúp cho các em giải toán dễ dàng hơn, song việc vẽ thêm yếu tố phụ quả là khó khăn, phức tạp đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic, có trí tưởng tượng phong phú và óc sáng tạo linh hoạt, trên tinh thần phải nắm được kiến thức cơ bản và khai thác triệt để giả thiết bài toán cho. Tôi mới chỉ đưa ra 2 dạng toán là chứng minh, tính số đo góc mà đã thấy việc vẽ thêm yếu tố phụ rất phong phú, đa dạng, thiếu nó thì việc giải toán gặp nhiều khó khăn. Đây là một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ mà tôi đã lựa chọn để truyền đạt đến học sinh, mong rằng qua đó các em sẽ vận dụng tốt và phát huy hơn nữa năng lực học tập bộ môn. Qua thực tế giảng dạy và tìm hiểu tài liệu tôi đã cố gắng thể hiện sáng kiến này. Tuy nhiên thời gian nghiên cứu còn hạn hẹp, trong phạm vi của đơn vị, nên sáng kiến chỉ mới áp dụng ở địa bàn hẹp, chưa có sức lan toả tới những vùng miền khác. Vì vậy triển vọng của sáng kiến còn tiếp tục trong xu thế phát triển của xã hội hiện nay. Sẽ còn nhiều biện pháp khác chưa có điều kiện đề cập tới, đó là hướng nghiên cứu tiếp tục của sáng kiến trong tương lai.
Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn được đóng góp một phần nhỏ bé công sức trong việc hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho các em khi học toán.
3.2. Kiến nghị, đề xuất
Để có thể dạy - học tốt và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS tôi xin đề xuất một số vấn đề sau:
1. Toán học là bộ môn văn hoá cơ bản trong nhà trường phổ thông do đó cần phải có nhận thức đúng đắn về vai trò, vị trí của nó trong cấu trúc chương trình.
2. Tạo điều kiện về cơ sở vật chất, trang thiết bị, phương tiện dạy - học để việc tổ chức tiết học đạt hiệu quả.
3. Nhân rộng và phổ biến những kinh nghiệm hay mô hình tốt có hiệu quả thiết thực.
4. Đầu tư kinh phí hợp lý cho công tác nghiên cứu thực tế, nắm bắt tốt thông tin từ giáo viên và học sinh, đề ra những chủ trương, biện pháp khả thi thiết thực.
ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG