Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi

Sở giáo dục đào tạo hà nội
TRường THPT thanh Oai A
-----***-----
 &
đề tài sáng kiến kinh nghiệm
---------
Tên Đề tài SKKN
một số phương pháp 
sử dụng bất đẳng thức côsi
Họ và tên	: Lê Đình Chiến
Chức vụ	: Giáo viên
Tổ	: Toán
Đơn vị công tác 	: Trường THPT Thanh Oai A 
 Thanh Oai - Hà Nội
SKKN thuộc lĩnh vực chuyên môn: Môn Toán
Năm học 2008-2009
cộng hòa xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
---------- * * * -----------
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
I. Sơ yếu lý lịch
Họ và tên	: Lê Đình Chiến
Sinh ngày	: 28-5- 1976
Năm vào ngành	: 2005
Chức vụ và đơn vị công tác : Giáo viên trường THPT Thanh Oai A
Trình độ chuyên môn	: Đại học Sư phạm Toán
Nhiệm vụ được phân công	: Giảng dạy Toán 
Khen thưởng	: Đề tài giải C cấp tỉnh 
(Năm học 2005-2006; 2007-2008)
II. Nội dung đề tài SKKN:
I- Tên Đề tài SKKN: 
một số phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi
II. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình toán THPT bất đẳng thức là phần gây cho học sinh, ngay cả học sinh khá và giỏi nhiều bối rối nhất. Tuy nhiên đây là phần quyến rũ những học sinh say mê với Toán học và mong giỏi Toán vì nó đòi hỏi học sinh phải động não, tìm tòi và sáng tạo.
Để giúp các em làm quen và đi đến thích thú các bài toán bất đẳng thức nên tôi viết SKKN "Một số phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi" với mục đích cung cấp cho các em học sinh một số phương pháp và kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Côsi.
III- Phạm vi, thời gian, đối tượng thực hiện:
Năm học 2008-2009, đối tượng học sinh lớp 10,11, 12 trường THPT Thanh Oai A - Hà Nội.
IV- Những biện pháp thực hiện :
A- Kiến thức cơ bản
* Bất đẳng thức cô si
1- Dạng tổng quát (nsố)
x1; x2; x3 .... xn > 0 ta có hoặc
(x1+x2+....+xn) > n hoặc (
Dấu "=" xảy ra x1= x2=...= xn
* HQ 1: nếu x1 + x2 + ...+xn = S (không đổi) thì Max(x1x2...xn) = 
Dấu "=" xảy ra x1= x2=...= xn
* HQ2: Nếu x1x2...xn = P (không đổi) thì Min(x1+x2 + ...+xn) = n
Dấu "=" xảy ra x1= x2=...= xn
2- Dạng cụ thể cho 2 số:
x, y > 0 ta có 
Dấu "=" xảy ra x = y
3- Dạng cụ thể cho 3 số:
x, y, z > 0 ta có 
Dấu "=" xảy ra x = y = z
B- Một số phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi
1- Phương pháp đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân:
VD : CMR (a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 a2b2c2 a, b, c R
Sai lầm thường gặp là: 
x, y thì (x - y)2 > 0 x2 + y2 > 2xy
Do đó ta có:
Đúng
Đúng
Đúng
Đúng
Đúng
Đúng
(a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 a2b2c2 (sai)
Chẳng hạn: 	4 > - 4
	2 > - 6
	3 > 2
	 4.2.3 > (- 4)(- 6).2	(sai)
Nhận xét: chỉ nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả nhận được bất đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.
Như vậy ta có lời giải đúng như sau:
 (a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 = 8 a2b2c2 
* Thông thường ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Cô si như bài toán trên mà phải biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cô si.
Bài toán 1: 
, chứng minh rằng 
Giải:
Ta có : = 
Bài toán 2: 
Cho a1a2 > 0 , a1c1 > b12 , a2c2 > b22 . Chứng minh rằng :
(a1 + a2) (c1+ c2) > (b1 + b2)2 
Giải: 
Từ giả thiết ta có: a1, a2, c1, c2 cùng dấu a1c2 > 0 ; a2c1 > 0 
Ta có: (a1+a2) (c1+c2) = a1c1 + a1c2 +a2c1 +a2c2 > b12 + a1c2+a2c1 +b22
Bài toán 3:
Chứng minh (1+a+b)(a+b+ab) > 9ab
Giải:
Ta có (1+a+b) > 3
(a+b+ab) > 3 
 (1+a+b)(a+b+ab) > 9ab
Bài toán 4: Chứng minh ; 3a3 + 7b3 > 9ab2 a,b > 0
Giải:
Ta có: 3a3 + 7b3 	> 3a3 +6b3
	> 3a3 +3b3 + 3b3
	> 3
	> 9ab2
Bài toán 5: 
	Cho a, b,c,d > 0 và 
	Chứng minh rằng: abcd < 
Giải:
Từ giả thiết ta có: 
Ta có 
Tương tự ta có: 
Nhân vế ta được:
Bài toán 6:
Chứng minh rằng a, b> 0 ta có 2008
Giải:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4017 số trong đó có 2008 số dạng và 2009 số dạng ta được: 
 >
Bài toán 7: 
Cho 
Giải:
VT=
Bài tập áp dụng:
1) Chứng minh rằng a1a2...an < 
2) CMR: 
3) Cho CMR: 
Bạn đọc tự giải
2. Phương pháp tách nghịch đảo
* Kỹ thuật tách nghịch đảo là kỹ thuật tách phần nguyên theo mẫu số đề khi chuyển sang trung bình nhân thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số.
Bài toán 1: 	CMR: 	
Giải: 
Bài toán 2: CMR: 
Giải: 
Giải
Bài toán 3: CMR: 
	> 3
Bài toán 4: CMR: 
Giải:
Bài toán 5: CMR:	log3 4 > log4 5
Giải: Theo bất đẳng thức Côsi ta có
log3 4 + log4 3 	> 2 	(1)
mà log45 + log4 3 	= log4 5.3
	= log4 [(4+1)(4-1)]
	= log4 (42-1)
	< log4 42 = 2 	(2)
Từ (1)(2) log34 + log43 > log45 + log43
	 log3 4 > log4 5
3. Phương pháp đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
Bài toán 1: CMR: 
Giải:
	Bất đẳng thức tương đương với 
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
Bài toán 2: 
Chứng minh : 
Giải:
Bất đẳng thức tương đương với 
Ta có: 
Bài toán 3: CMR: 
Giải: Bất đẳng thức tương đương với:
Bài toán 4: 
Tổng quát: 
Với ai; bi >0 ; i = 1,n
Bạn đọc tự chứng minh.
Bài toán 5:
CMR: 
Bạn đọc tự chứng minh
Gợi ý: VT= 
Bài toán 6: 
CMR: 16ab(a-b)2 < (a+b)4 
Giải: 
VT = 16ab(a-b)2 	= 4(4ab)(a-b)2
Bài toán 7: 	
CMR: 
Giải:
Bài toán 8: 
 Cho a, b >1 chứng minh rằng:
Giải: 	Ta có: 
	(đpcm)
Bài toán 9: Cho 
Giải:
Bài toán 10: 
Giải: 
Ta có 
Bài toán 11: 
Giải: 
4. Phương pháp thêm hằng số
Để sử dụng bất đẳng thức Cô si từ trung bình nhân sang trung bình cộng ta cần chú ý: Chỉ số căn thức là bao nhiêu thì số các số hạng ở trong căn là bấy nhiêu. Nếu số các số hạng nhỏ hơn chỉ số căn thì ta phải thêm hằng số để số các số hạng bằng chỉ số căn.
Bài toán 1: 
CMR: 
Giải: Ta có:
Cộng vế 	(đpcm)
Bài toán 2:	
Giải: 
Ta có:
Cộng vế ta được:
Bài toán 3: Cho 
Tìm Max 
Giải: 
Ta có:
Dấu "=" xảy ra 
Vậy Max 
Bài toán 4: Cho tìm Max A = (3-x)(4-y)(2x+3y)
Giải: 	A = (3-x)(4- y)(2x+3y)
	 = (6-2x)(12-3y)(2x+3y)
Dấu "=" xảy ra 6-2x=12-3y=2x+3y=6
 Vậy Max A = 36
Bài toán 5: Cho x, y > 0. Tìm Min 
Giải: Ta có:
Dấu "=" xảy ra 4x=2y=2y y=2x>0
Vậy Min f(x,y) = 
Bài toán 6: Cho x, y, z >0 Tìm Min 
Giải: Ta có xy2z3 = 6x.3y.3y.2z.2z.2z . 
Vậy Min f(x,y,z)=432
Dấu "=" xảy ra 
5. Phương pháp ghép đối xứng
* Chú ý
Phương pháp cộng: 
Phương nhân: với x,y, z >0
Bài toán 1: 
CMR: 
Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
Cộng vế 
Bài toán 2: 
CMR: 
Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 
Cộng vế ta được:
Bài toán 3:CMR: 	a3 +b3 +c3 > a2
Giải: Ta có:
a3 +b3 = (a+b)(a2 +b2 -ab) > (a+b)(2ab-ab) = (a+b).ab
b3 +c3 = (b+c)(b2+c2 -bc) > (b+c)(2bc-bc) = (b+c).bc
a3 + c3 = (a+c)(a2 +c2 -ac) > (a+c)(2ac-ac) = (a+c).ac
Cộng vế ta được: 
2 (a3 +b3 +c3) 	> (a+b).ab+(b+c).bc+(a+c).ac
	> a2(b+c) + b2(c+a) +c2 (a+b)
Suy ra a3 +b3 +c3 
Bài toán 4: CMR: 
Giải: Ta có: 
Mặt khác ta có: 
Tương tự: 
Cộng vế ta được: tan2 đccm
Bài toán 5: Cho ABC CMR:
1) 	(p-a)(p-b)(p-c) < 
2)	
Giải: Ta có p-a = theo bất đẳng thức Cô si ta có:
1) 	
Nhân vế ta được: (p-a)(p-b)(p-c) < 
2)	
Cộng vế ta được: 
Bài toán 6: Cho ABC CMR:
(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) < abc
Giải: Theo bất đẳng thức Cô si ta có:
Nhân vế (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) < abc
6. Phương pháp ghép cặp nghịch đảo 3 số:
Chú ý ta có: (x+y+z)(
Thật vậy VT > 3
Bất đẳng thức trên có ý nghĩa rất lớn trong vai trò nhận dạng và đưa các bài toán xa lạ trở thành bài toán quen thuộc. Các ví dụ sau chứng tỏ điều đó.
Bài toán 1: CMR: ha + hb + hc > 9r (1)
Giải: Ta có : S= 
Tương tự: 	 và mà S =p.r
Nên (*) 
Theo (*) đúng ddcpcm
Bài toán 2: CMR: ra +rb +rc > 9 r 
Chú ý: 
(S là diện tích ) mà S =p.r
 Ta phải chứng minh:
Theo (*) đúng đcpcm
Bài toán 3: CMR với 
Bài toán 4: CMR: a) 
	b) 
Bài toán 5: CMR: 
Gợi ý: 
Bạn đọc tự chứng minh bài 3, 4, 5
Bài toán 6: Cho 
Giải: 
Theo (*) đúng đcpcm
Bài toán 7: Cho 
Giải: Theo bất đẳng thức (*) ta có:
Mà 0<(a+b+c)2 < 1
 đpcm
7. Phương pháp đánh giá mẫu số:
Bài toán 1: CMR 
Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
Tương tự: 
Cộng vế 
Bài toán 2: CMR: Với ta có:
Giải: Ta có 
Tương tự:	 
Cộng vế ta được: 
đpcm 
(1)
Bài toán 3: CMR: 
với 
Giải: Ta có ta có:
Vậy: 
Cộng vế ta được: VT(1) đpcm
8. Phương pháp đổi biến số:
Đổi biến số nhằm mục đích chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi đại số (với các biến ban đầu) sang trạng thái dễ biến đổi đại số hơn với biến mới
Bài toán 1: CMR: 
Giải: Đặt 
(1) 	
Thật vậy: VT = 
	 đpcm
Bài toán 2: Cho ABC có các cạnh a, b, c
CMR: 
Giải: 
Đặt 
Khi đó ta có: 
(1) 
Ta có VT (2) 
	 đpcm
Bài toán 3: Cho ABC có các cạnh a, b, c CMR:
(b+c+-a)(c+a-b)(a+b-c) abc (1)
Giải: 
Đặt: 
Khi đó (1) 
Thật vậy VP = 
	 đpcm
Bài toán 4: Cho ABC có các cạnh a, b, c ; diện tích S. CMR:
Giải: 
Đặt 
Ta có: 
Khi đó: (1) 
 đpcm
Bài toán 5: Cho ABC CMR: 
Giải: Ta có: 
Đặt: thì ta có:
(1) 
VT(2) = 
(đpcm))
9. Phương pháp kiểm tra điều kiện xảy ra dấu "="
Cho a+b+c+d >0 tìm GTNN của 
* Sai lầm thường gặp:
Nhiều học sinh mắc sai lầm khi biến đổi S thành tổng 4 cặp nghịch đảo và áp dụng bất đẳng thức Cô si cho từng cặp S >8 và kết luận MinS =8
Dễ thấy sự sai lầm trên vì nếu S =8
thì :	 vô lí vì a +b+c+d >0
Lời giải đúng:
Để tìm Min của S ta cần chú ý S là biểu thức đối xứng với a, b, c, d do đó để tìm Min (Max) nếu có thường đạt được khi a=b=c=d. Vậy đảo lại cho trước a=b=c=d ta có thể dự đoán MinS = 
Sau đó đánh giá các bất đẳng thức có điều kiện dấu "=" xảy ra là tập con của điều kiện a=b=c=d
Đặt 
Theo bất đẳng thức Cô si ta có:
Đặt 
Côsi 
Từ đó ta có S > 12+ 
Vậy Min S = 13 khi a=b=c=d
Bài toán 2: Cho 
Tìm Max S = 
Giải:
Sai lầm thường gặp, theo bất đẳng thức Côsi ta có:
Rõ ràng dấu "=" xảy ra 
 vô lí
* Lời giải đúng:
Theo bất đẳng thức Cô si ta có
Dấu"=" xảy ra 
Bài toán 3: Cho Tìm MinP =
Bạn đọc tự làm (Min P =)
C. Lời kết:
Trong đề tài này chủ yếu tôi đưa ra một số phương pháp phân tích, đánh giá để có được lời giải các bài toán bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Cô si cùng với các ví dụ minh hoạ cơ bản được sưu tập chủ yếu trong bộ đề thi tuyển sinh đại học. Tuy nhiên trong quá trình thực hiện đề tài chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong muốn có được sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp, bạn đọc về nội dung đề tài, tôi xin chân thành cảm ơn!
Thanh Oai, ngày 15/4/2009
Tác giả
Lê Đình Chiến
ý kiến nhận xét đánh giá xếp loại
 của hội đồng khoa học cơ sở
Chủ tịch hội đồng
 (Ký tên, đóng dấu)