Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

 x2 -10x +16 = x2 – 4 – 10x + 20 (Tách 16 thành -4 và 20 )
	 = (x2 – 4) – (10x – 20)
 = (x – 2) (x + 2) – 10 (x – 2)
 = (x – 2) (x + 2 – 10)
 = (x – 2) (x – 8).
Cách 3: Ta có x2 -10x +16 = x2 – 4x + 4 – 6x + 12 (Tách -10x thành -4x và -6x ;
	 = (x2 – 4x + 4) – (6x – 12) 16 thành 4 và 12)
 = (x – 2)2 – 6(x – 2)
 = (x – 2) (x – 2 – 6)
 = (x – 2) (x – 8 ).
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2 – 3x – 1.
Giải : 
Cách1: 4x2 – 3x – 1 = 3x2– 3x + x2 – 1 (Tách 4x2 thành3x2 và x2 )
 = 3x(x – 1) + (x +1)(x– 1) 
 = (x – 1)(3x + x +1) 
 = (x – 1)(4x + 1).
Cách 2 : 4x2 – 3x – 1 = 4x2 – 4x + x – 1 (Tách -3x thành -4x và x)
 = (4x2 – 4x) + ( x – 1)
 = 4x(x – 1) + (x – 1)
 = (x – 1)(4x + 1).
Cách 3 : 4x2 – 3x – 1 = 4x2– 4 – 3x + 3 (Tách -1 thành -4 và 3)
 = 4(x2 – 1) – 3( x –1)
 = 4(x – 1)(x + 1) – (x – 1) 
 = (x – 1)(4x + 1).
* Nhận xét : 
 Một bài toán có thể có nhiều lời giải khác nhau nhưng cuối cùng đều có chung một kết quả. Như vậy trong các tiết luyện tập, giáo viên có thể cho học sinh giải một số bài tập ở các dạng khác nhau, sử dụng các phương pháp khác nhau, sau đó nhận xét và so sánh, lời giải nào hay và ngắn gọn.
 Giáo viên cho học sinh làm một số bài tập sau :
 b/ Bài tập tự luyện :
 	Bài 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 a. x3 – 2x2y + xy2 – 9x
 b. 2x – 2y – x2 + 2xy – y2
 c. x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y 
 Bài 2 : Tìm x biết 
 a. 7x – 6x2 – 2 = 0
 b. 16x – 5x2 – 3 = 0
 c. 2x2 + 3x – 5 = 0
 HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Mệnh đề : Nếu hai đa thức A và B bằng nhau thì các hạng tử cùng bậc của hai đa thức đó phải có hệ số bằng nhau .
a/ Các ví dụ:
 Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 2x3 – 5x2 + 8x – 3 
Giải : Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 2x3 – x2 – 4 x2+ 2x + 6x – 3
 = (2x3 – x2) – (4 x2– 2x) + (6x – 3)
 = x2(2x – 1) – 2x(2x – 1) + 3(2x – 1)
 = (2x – 1) (x2– 2x+ 3).
 Nhận xét : Đa thức bậc ba ở ví dụ 1 phân tích được thành tích của mộtt nhị thức bậc nhất và một tam thức bậc hai, do đó ta còn có cách giải tổng quát hơn như sau :
Với đa thức bậc 3 : a1x3 + b1x2 + c1x + d1 (a1 0) ta luôn phân tích được thành tích của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai như sau :
 a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = (ax + b ) (cx2 + dx + m). (*) 
 ĩ a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm 
Đồng nhất các hệ số với nhau ta được: 
Giải ra ta tìm được các giá trị a, b, c, d, m, thay vào vế phải của (*) ta có kết quả cần tìm.
Aùp dụng : Bài toán ở ví dụ 1ta có cách giải khác như sau :
Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = (ax + b ) (cx2 + dx + m)
ĩ 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm 
Đồng nhất thức ta có : ac = 2, ad + bc = -5, am + bd = 8, bm = -3. 
Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 2 hoặc a = 1.
Xét a = 2 c = 1, 2d +b = -5 , 2m + bd = 8 , bm = -3 , b có thể bằng 1; 3. 
Xét b = -1 thì m = 3 , d = -2 thỏa mãn các điều kiện trên .
Vậy a = 2, c = 1, b = -1, m = 3, d = -2 ta có : 
2x3 – 5x2 + 8x – 3 = (2x – 1)(x2 – 2x + 3). 
 Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 x3+ 3x2 + 3x + 2
Giải:
Đặt x3 + 3x2 + 3x + 2 = (ax + b ) (cx2 + dx + m) 
 ĩ x3 + 3x2 + 3x + 2 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm 
 Đồng nhất thức ta có: 
Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 1.
Xét a = 1 c = 1, d + b = 3 , m + bd = 3 , bm = 2 , b có thể bằng 1 ; 2 
Xét b = 2 thì m =1, d = 1 thỏa mãn các điều kiện trên .
Vậy a =1, c = 1, b = 2, m = 1, d = 1 ta có :
 x3 + 3x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x2 + x + 1).
* Nhận xét: 
	Khi sử dụng phương pháp hệ số bất định dựa vào mối quan hệ của các hệ số để ta đưa ra các giá trị tương ứng của a,c từ đó ta tìm các giá trị tiếp theo của các hệ số còn lại . 
b/ Bài tập tự luyện :
 	Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hệ số bất định 
 a. 2x3 – 12x2 + 17x – 2
 b. 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1.
 Bài 2 : Tìm số nguyên a sao cho đa thức (x + a)(x – 5) + 2 phân tích được thành 
(x + b)(x + c) với b, c là các số nguyên .
 Bài 3: Tìm số nguyên m sao cho đa thức (x + m)(x + 5) + 3 phân tích được thành 
(x + a)(x + b) với a, b là các số nguyên. 
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: 
Các lời giải mong đợi học sinh trình bầy được:
Bài 1 : 
 a. Đồng nhất đa thức này với đa thức cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm 
ta được : ac = 2, ad + bc = -12, am + bd = 17, bm = -2 .
Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 1 hoặc a = 2
Xét a = 1 c = 2, d + 2b = -12 , m + bd = 17, bm = -2, b có thể bằng 1 ; 2
Xét b = -2 thì m = 1, d = -8, thỏa mãn các điều kiện trên .
Vậy a = 1, b = -2,c = 2, d = -8, m = 1.
 2x3 – 12x2 + 17x – 2 = (x – 2)(2x2 – 8x + 1).
 b. Đa thức 3x2 – 22xy– 4x + 8y + 7y2 + 1 phân tích được thành nhân tử có dạng 
 (3x + ay + b)(x + cy + d).
 Phép nhân này cho ta kết quả 3x2 + (3c + a)xy + (3d +b)x + (ad + cb)y + acy2 + bd.
 Đồng nhất đa thức với đa thức 3x2 –22xy– 4x + 8y + 7y2 + 1 ta được :
3c + a = -22; 3d + b = -4 ; ad + cb = 8; ac = 7; bd = 1.
Từ bd = 1 và 3d + b = -4 nên b = d = -1. ac = 7 mà a + c = -8 nên c = -7, a = -1.
 Thỏa mãn 3c + a = -22.
Vậy a = b = d = -1; c = -7.
 Nên 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1 = (3x - y - 1)(x - 7y - 1).
Bài 2 : 
 Với mọi x ta có (x + a)(x – 5) + 2 = (x + b)(x + c) (1)
Khi x = 5 thì 2 = (5 + b)(5 + c).
Vì b, c là nguyên nên (5 + b)(5 + c) là tích của hai số nguyên .Số 2 chỉ viết dưới dạng tích của hai số nguyên bằng hai cách 1.2 hoặc (-1).(-2) 
Giả sử b c ta xét hai trường hợp :
 * 
Thay vào (1) ta dược (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 3)(x – 4) với .
Với x = 4 thì a = -2. Vậy đa thức được phân tích thành (x – 2)(x – 5) + 2 = (x – 4)(x – 3).
 * 
Thay vào (1) ta được (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6) với .
Với x = 6 thì a = -8. Vậy đa thức được phân tích thành (x – 8)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6).
Bài 3:
Bài này giáo viên yêu cầu học sinh tự giải.
Kết quả: (x + 9)(x + 5) + 3 = (x + 8)(x + 6) với m = 9.
 (x +1)(x + 5) + 3 = (x + 2)(x + 4) với m = 1.
 ĐẶT BIẾN SỐ PHỤ
Phân tích đa thức thành nhân tử đôi khi ta phải dùng biến phụ để cho việc phân tích được đơn giản hơn .
 a/ Các ví dụ :
 Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) +128
Giải :
Ta có A = x(x +10)(x + 4)(x + 6) +128
 = (x2 + 10x )(x2 + 10x + 24) +128
Đặt x2 + 10x + 12 = y. Khi đó đa thức đã cho trở thành :
(y – 12)(y +12) +128 = y2 -144 +128 = y2 - 16
 = (y - 4)(y + 4)
 = (x2 + 10x + 8)(x2 + 10x + 16).
 Nhận xét : Ở đây ta đã dùng biến phụ là y = x2 + 10x + 12 . Như vậy khi dùng biến phụ để phân tích đa thức thành nhân tử thì sau khi phân tích xong ta phải đổi về biến cũ.
* Ta có bài toán tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 A* = (x + a) (x + b )(x + c)(x + d) + m .
 - Đối với bài toán này thường dùng phương pháp đặt biến số phụ chú ý :
+ Khi a + b = c + d thì ta ghép [(x + a)(x + b)] ; [(x + c )(x + d)] 
và đặt y = x2 + (a + b)x + .
+ Khi a + c = b + d thì ta ghép [(x + a)(x + c)] ; [(x + b)(x + d)] 
và đặt y = x2 + (a + c)x + .
+ Khi a + d = b + c thì ta ghép [(x + a)(x + d)] ; [(x + b)(x + c)]
Và đặt y = x2 + (a + d)x + .
Aùp dụng bài toán tổng quát giáo viên cho học sinh làm ví dụ sau :
Ví dụ 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
 x(x – 1)(x + 1)(x + 2) – 24
Giải : Ta có A = [x(x + 1)][(x – 1)(x + 2)] – 24 (Do 0 + 1 = -1+ 2)
 = (x2 + x )(x2 + x – 2) – 24
Đặt x2 + x – 1 = y. Đa thức đã cho có dạng :
(y +1) (y – 1) – 24 = y2– 1 – 24 = y2– 25
 = (y – 5)(y + 5)
 = (x2 + x + 1 – 5)(x2 + x + 1 + 5).
 = (x2 + x – 4)( x2 + x + 6)
b/ Bài tập tự luyện :
 	Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 a. (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72
 b. (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72
 c. (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
 Bài 2 : Giải phương trình 
	 (6x + 7 )2(3x + 4) ( x + 1) = 6
 Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết quả cần hướng dẫn cho học sinh:
Bài 1: 
a. Ta có : (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72 = (x2 – 4)( x2 – 10) – 72
 Đặt x2 – 7 = y, đa thức trên trở thành :
 (y – 3)( y + 3) – 72 = y2 – 9 – 72 
 = y2 – 81
 = (y – 9 )(y + 9)
 Vậy (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72 = (x2 – 7 + 9) (x2 – 7 – 9) 
 = (x2 + 2 ) (x2 – 16)
 = (x2 + 2) (x + 4) (x – 4) .
 b. (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = [(x – 7) (x – 2)][ (x – 5) (x – 4) ] - 72 
 = (x2 – 9x + 14)( x2 – 9x + 20) - 72
Đặt x2 – 9x + 17 = y . Đa thức trở thành (y – 3)(y + 3) – 72 
Làm tương tự như câu a ta được kết quả như sau: 
 (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = (x2 – 9x + 26)( x2 – 9x + 8).
 = (x2 – 9x + 26)(x – 8) (x – 1).
Đặt a – b = x ; b – c = y; c – a = z suy ra x + y + z = 0 hay z = -(x + y). 
Từ đó đa thức có dạng :
x3 + y3 + z3 = x3 + y3 – (x + y)3 = (x + y)(x2 – xy + y2) – (x + y)(x2 + 2xy + y2)
 = (x + y)[(x2 – xy + y2) – (x2 + 2xy + y2)
 = (x + y)(x2 –xy + y2 – x2 – 2xy – y2 )
 = -3xy(x + y)
 = 3xyz.
Vậy B = 3(a – b)(b – c)(c – a).
Qua bài trên ta suy ra : Nếu có X + Y + Z = 0 ta luôn có X3 + Y3 + X3 = 3XYZ 
 Bài 2 :
 	 Giải phương trình 
	 (6x + 7 )2(3x + 4) ( x + 1) = 6
 ĩ (6x + 7 )2(3x + 4) ( x + 1) . 12 = 6 .12
 ĩ (6x + 7 )2(6x + 8) ( 6x + 6) = 72
 Đặt 6x + 7 = y, phương trình trở thành y2(y + 1)( y – 1) = 72
 ĩ y4 – y2 – 72 = 0
 ĩ y4 – 9y2 + 8y – 72 = 0
 ĩ y2(y2 – 9) + 8(y2 – 9) = 0
 ĩ (y2 – 9)(y2 + 8) = 0 ĩ y = -3 hoặc y = 3 .
Với y = -3 x =.
Với y = 3 x =.
Vậy phương trình có nghiệm là và .
Bài 3 : Ta có :
 A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
 = [(x – 1)(x + 6)][( x + 2)(x + 3)]
 = (x2 + 5x – 6)( x2 + 5x + 6)
Đặt x2 + 5x = y khi đó A = y2 – 36 -36 
Amin = -36 x2 + 5x = 0 x = 0 , x = -5.
ÁP DỤNG THỰC HÀNH :
Sử dụng Máy tính bỏ túi Casio fx-570MS để phân tích đa thức thành nhân tử
Kiến thức cần nhớ:
 Định lý 1 (Định lý Bơdu) : (Nhà toán học Pháp Bezout 1730-1783)
Đa thức f(x) x – c f(c) = 0.
 Số c được gọi là nghiệm của đa thức f(x) khi đó f(x) phân tích được f(x) = (x – a ).g(x) 
 Trong đó g(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 1 đơn vị so với bậc của đa thức f(x) .
Định lý 2 : Cho đa thức bậc n , f(x) = anxn + an-1xn-1 +.+ ao có n nghiệm là c1, c2, c3,cn thì f(x) được phân tích thành nhân tử là f(x) = an(x –c1)(x –c2).(x –cn) .
 (Vì lý do sư phạm nên ta công nhận không chứng minh hai định lý trên ) . 
Do máy tính Casio fx-570MS có chức năng giải phương trình, nên ta có thể dạy học sinh biết cách sử dụng máy đểø tìm nghiệm của phương trình, từ đó áp dụng vào phân tích đa thức thành nhân tử . 
 a/ Các ví dụ :
 Ví dụ1 : 
 Cho đa thức P(x) = 2x2 + 4x – 6.
a/ Tìm x để P(x) = 0.
b/ Em hãy phân tích P(x) thành nhân tử. 
Giải : 
a/ P(x) = 0 ĩ 2x2 + 4x – 6 = 0 .
 Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của P(x) bằng dãy phím sau:
MODE 3 (EQN) 1 (Degree) 2 máy cho kết quả x1 = 1, ấn tiếp máy cho kết quả x2 = -3.
Vậy khi x = 1 ; -3 thì P(x) = 0 .
b/ Ta nhận thấy P(x) có hai nghiệm là 1; -3 nên P(x) được phân tích thành nhân tử là :
 P(x) = 2(x – 1) (x + 3).
Ví dụ2 : 
 Cho đa thức f(x) = 5x3 – 10x2 – 25x + 30 .
a/ Tìm x để f(x) = 0.
b/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử .
Giải :
a/ Để f(x) = 0 thì 5x3 – 10x2 – 25x + 30 = 0 
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của P(x) bằng dãy phím sau:
MODE 3 (EQN) 1 (Degree) 3 máy cho kết quả x1 = -2, ấn tiếp máy cho kết quả x2 =1, ấn tiếp máy cho kết quả x3 = 3.
Vậy khi x = -2; 1; 3 thì f(x) = 0.
b/ Theo câu a, f(x) có nghiệm là x = -2; 1; 3 nên f(x) được phân tích thành nhân tử như sau: f(x) = 5(x + 2)(x – 1)(x – 3).
 Ví dụ3 : 
 Cho f(x) = x3 – 3x2 – 3x – 4
 a/ Tìm x để f(x) = 0.
 b/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử .
 Giải : 
 a/ f(x) = 0 ĩ x3 – 3x2 – 3x – 4 = 0.
Quy trình bấm phím giống như các ví dụ trên ta tìm được nghiệm là x = 4.
 b/ Theo câu a thì f(x) có nghiệm là 4. 
Dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc để tìm đa thức thương ta có:
x
1
-3
-3
-4
4
1
1
1
0
 Vậy x3 – 3x2 – 3x – 4 = (x – 4)(x2+ x +1). 
Ví dụ4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 f(x) = 10x5 – 81x4 + 90x3 – 102x2 + 80x - 21.
Giải : Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của f(x) bằng cách nhập f(x) vào máy bằng dãy phím sau:
 ấn tiếp sau 
đó ấn tiếp chờ một chút máy cho kết quả x = .
Dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc để tìm đa thức thương , ta có:
x
 10 
 -81
 90
 -102	80	-21
 10
 -76
 52
 -76 42 0
Vậy f(x) = (x - )(10x4 – 76x3 + 52x2 - 76x + 42).
 g(x)
 Sau đó nhập đa thức g(x) = 10x4 –76x3 + 52x2 - 76x + 42 vào máy bằng dãy phím sau :
 máy 
hiện x = 7. Dùng sơ đồ Hoocne , ta có : 
x
10
–76
52
-76
42
7
10
-6
10
-6
0
 Vậy f(x) = (x - )(x – 7) (10x3 – 6x2 + 10x – 6 )
 = 2(x - )(x – 7)(5x3 – 3x2 + 5x - 3)
 = 2 (x - )(x – 7)[ x2( 5x – 3) + (5x - 3)]
 = (2x - )(x – 7)( 5x – 3)( x2 + 1).
Chú ý: 
 Trong quá trình đi tìm nghiệm trên máy đôi khi thứ tự nghiệm máy cho kết quả không giống nhau (thì ta cũng dùng sơ đồ Hoocne phân tích ứng với nghiệm mà máy đã tìm ra ) nhưng tập nghiệm của phương trình là như nhau .
b/ Bài tập tự luyện :
 Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x5 – 4x4 + 2x3 – x2 + 21x – 18
b. 4x4 + 12x3 + 5x2 – 6x – 15
Bài 2 : Cho đa thức g(x) = 
Chứng minh rằng g(x) 24 .
C/. MỘT SỐ SAI SÓT CỦA HỌC SINH VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC: 
	Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy một số học sinh tiếp thu khá dễ dàng các nội dung trên, nhờ cụ thể hóa các phương pháp nên học sinh biết cách vận dụng vào giải bài tập. 
Tuy nhiên, cũng còn một số học sinh vẫn còn sai xót, làm bài thiếu chính xác và cần phải khắc phục, chẳng hạn như: chưa biết đặt nhân tử chung, khi nhóm các số hạng với nhau còn hay sai dấu 
Sau đây là ví dụ minh họa:
Bài giải của học sinh
Những sai sót
và cách khắc phục
Bài giải đúng
Bài toán 1: Phân tích đa thức 3x2 – 6x thành nhân tử
Học sinh 1 :
Ta có: 3x2 – 6x = 3(x2 – x )
Học sinh 2 :
Ta có: 3x2 – 6x = x(3x – 6 )
Thiếu sót :
Cả hai học sinh đặt được nhân tử chung tuy nhiên vẫn còn thiếu.
Cụ thể :Ở học sinh 1thiếu nhân tử x
Ởû học sinh 2 thiếu nhân tử 3.
Khắc phục :
Nhắc laiï cách tìm nhân tử chung. 
Ta có: 3x2 – 6x = 3x(x - 2)
Bài toán 2: Phân tích đa thức x2 – y2 + 4x + 4 thành nhân tử
 Giải:
Học sinh 1 :
Ta có : 
x2 – y2 + 4x + 4 = (x2 – y2) + (4x + 4) = (x + y) (x – y )+ 4(x + 1).
Học sinh 2 :
Ta có : 
x2 – y2 + 4x + 4 = (x2 + 4x) + (4 – y2) = x (x + 4) + (2 – y) (2 + y) .
Bài toán 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. x2 – 9y2
b. (x – y )2 – (2y – z)2
Giải:
Học sinh 1 :
Ta có : 
x2 – 9y2 = (x + 9y)( x – 9y).
Học sinh 2 :
Ta có : 
(x – y )2 – (2y – z)2 = (x – y + 2y – z)(x – y – 2y – z )
= (x + y – z)(x – 3y – z ).
Sai sót :
Cả 2 học sinh sử dụng cách nhóm không hợp lý, nên bước tiếp theo không thể đi phân tích được nữa.
Khắc phục :
Gv cần lưu ý cho hs nhóm các hạng tử thích hợp đó là :
+ Mỗi nhóm đều có thể phân tích được .
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích phải tiếp tục được .
Sai sót :
Học sinh 1, 2 có lời giải sai, 2 học sinh đã định hướng được hằng đẳng thức nhưng áp dụng chưa được .
Khắc phục:
* Chú ý 9y2 chưa được viết dưới dạng một lũy thừa, 9y2 (9y)2 .
* Khi hạng tử B trong hằng đẳng thức là một đa thức thì khi viết 
A – B ta phải dùng thêm dấu 
ngoặc.
 Ta có : x2 – y2 + 4x + 4 =
(x2 + 4x + 4) – y2	 
= (x – 2)2 – y 2
= (x – 2 + y)(x – 2 – y ).
Ta có : x2 – 9y2 = x2 – (3y)2
= (x + 3y )(x – 3y ).
Ta có : 
(x – y )2– (2y – z)2= [(x – y) +( 2y – z)][(x – y) – (2y –z)] = (x – y + 2y – z)(x – y – 2y + z ) 
=(x + y – z )(x - y + z).
 * Trong quá trình giảng dạy, sẽ xuất hiện những trường hợp học sinh mắc phải sai lầm, tuỳ theo đối tượng mà giáo viên chấn chỉnh, uốn nắn hoặc có những biện pháp, phương pháp phù hợp với mục đích các em học sinh hiểu bài và biết cách vận dụng giải bài tập.
 PHẦN III:
KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Kết quả: 
² Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (trên đây chỉ là một trong những phương pháp mà học sinh hay sử dụng )là một trong những chủ đề toán rất hay, khi nghiên cứu sâu thấy rất là thú vị, nó áp dụng được trong giải toán phương trình, vận dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhỏ nhất của các biểu thức đại số, tuy nhiên việc sử dụng Máy tính bỏ túi Casio f(x)-570MS để phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng tìm nghiệm của phương trình cũng là nội dung có nhiều điểm mới, cuốn hút đối với học sinh trung học cơ sở . 
² Qua giảng dạy một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh nắm vững và vận dụng được các cách giải góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy của giáo viên và rèn học sinh khả năng tư duy toán, độ linh hoạt, sáng tạo và kỹ năng thực hành của học sinh. 
² Sau khi đề tài này đưa vào áp dụng dạy các tiết luyện tập, ôn tập chương, ôn tập cuối năm học và ôn luyện học sinh giỏi vòng trường tham gia thi vòng thị kết quả học sinh đạt được như sau:
Năm
học
 Toán 8 chất lượng cuối năm đạt được 
Học sinh giỏi Toán.
Học sinh giỏi MTBT 
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Trường 
Thị
Trường 
Thị
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
SL
SL
SL
04- 05
3
2
5
2
05- 06
2
0
3
0
06 –07
5
11,6
2
1
3
2
07 - 08
9
20,9
10
23,3
20
46,5
4
9,3
3
2
3
3
Bài học kinh nghiệm:
Năm học 
HSG giải toán trên máy tính Casio
(Số đạt giải/số tham dự)
2004 - 2005
2/5
104hs
2005 - 2006
123hs
2006 - 2007
2/3
132hs
2007 - 2008
3/3
124hs
 - Thường xuyên nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo. 
Sàng lọc các nội dung hay, tâm đắc và biên soạn thành tài liệu riêng cho bản thân.
Luôn luôn trao đổi học hỏi đồng nghiệp, lựa chọn phương án giảng dạy hiệu quả nhất.
Động viên, khuyến khích học sinh cố gắng học tập và tăng cường thời gian luyện tập thực hành.
- Khi tổ chức thực hiện, giáo viên phải quyết tâm, tác phong chuẩn mực, lập thời gian biểu và bám sát nội dung thực hiện.
 - Sau nội dung giảng dạy, phải tổ chức kiểm tra đánh giá học sinh.
3) Lời kết: 
² Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên đề tài cũng không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, rất mong Hội đồng khoa học góp ý xây dựng để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn. 
 Tiến Thành, ngày 4 tháng 4 năm 2008
 Người viết
 Trịnh Thị Lan
 Tài liệu tham khảo
Sách giáo khoa và sách bài tập toán 8 (Nhà xuất bản GD).
Nâng cao và phát triển toán 8 (Tập 1, 2). 
Tác giả: Vũ Hữu Bình NXBGD.
 3. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8. 
Tác giả: Vũ Hữu Bình NXB Hà Nội .
 Nhận xét của hội đồng khoa học:
Nhận xét của Tổ Toán:
Nhận xét của Nhà trường:
 Nhận xét của Phòng giáo dục- đào tạo Thị xã: 
.