Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình Đại số lớp 9, giải phương trình vô tỉ là một dạng toán khó nhưng trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp và thi tuyển sinh vào lớp 10 thì lại rất hay gặp. Khi gặp các phương trình có chứa dấu căn phức tạp, học sinh thường lúng túng, không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm khi giải. Nhiều phương trình vô tỉ không thể giải được ngay bằng các phương pháp quen thuộc thông thường là nâng lên luỹ thừa hai vế để làm mất dấu căn. Có một số phương trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến những phương trình bậc cao mà việc nhẩm nghiệm để đưa về phương trình bậc nhất và bậc hai để giải là rất khó khăn. Để khắc phục những tồn tại trên, khi dạy cho học sinh giải phương trình vô tỉ, giáo viên cần trang bị cho các em các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và các kiến thức mở rộng thì mới hình thành được cho các em các phương pháp giải cụ thể cho từng loại phương trình. Với mỗi dạng phương trình, giáo viên cần để cho học sinh phát hiện ra cách giải và tìm ra cách giải phù hợp nhất. Qua mỗi dạng phương trình, từ cách giải tổng quát, hãy hướng dẫn học sinh đặt ra các đề toán tương tự, từ đó khắc sâu cách giải cho học sinh. Nếu biết phân dạng, chọn các ví dụ tiêu biểu, hình thành lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao kỹ năng thực hành giải toán cho các em. Chính vì thế nên tôi chọn đề tài “ Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ” để nghiên cứu.
NỘI DUNG.
I. Định nghĩa:
 Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong căn thức.
II. Các bước giải phương trình vô tỉ ( Dạng thông thường):
Tìm điều kiện xác đinh của phương trình.
Dùng các phép biến đổi tương đương đưa về dạng phương trình đã học.
Giải phương tìm được.
Đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện xác định và kết luận nghiệm.
*Chú ý: Với những phương trình có tập xác định là R và trong quá trình biến đổi phương trình không cần thêm điều kiện thì phải thử lại với nghiệm tìm được.
III. Các kiến thức cơ bản về căn thức:
Một số âm không có căn bậc chẵn.
Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế của phương trình để được phương trình tương đương thì phải đặt điều kiện cho hai vế không âm.
 với A > 0; A2 > B > 0
IV. Các dạng phương trình cơ bản:
1. Dạng 1: 	 (1)
Sơ đồ cách giải: 	g (x) > 0 	 (2)
f(x) = [g(x)]2 (3)
2. Dạng 2: 	 (1)
Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình:
f(x) > 0
g(x) > 0	(2)
h (x) > 0
Với điều kiện (2) hai vế của phương trình (1) không âm nên bình phương hai vế của phương trình (1) và rút gọn ta được:
 	(3)
Phương trình (3) có dạng (1) nên tiếp tục giải theo phương pháp của dạng (1) .
Đối chiếu nghiệm tìm được của (3) với điều kiện xác định rồi kết luận nghiệm.
3. Dạng 3: 
Cách giải như dạng (2).
4. Dạng 4: 	(1)
Điều kiện xác đinh của phương trình:
f(x) > 0
g(x) > 0 	(2)
h (x) > 0
p (x) > 0
 Bình phương hai vế của phương trình để đưa về dạng 
Tuỳ theo từng trường hợp, ta đưa về giải phương trình vô tỉ (căn bậc n).
5. Dạng 5: 	(1)
Điều kiện : f(x) > 0
 g(x) > 0
Đặt ẩn phụ a = (a > 0)
=> 
Đưa phương trình (1) về các phương trình đã biết cách giải để giải. 
V. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ:
Trên đây là 5 dạng phương trình vô tỉ và các cách giải tương ứng nhưng không phải bao giờ ta cũng gặp một trong 5 dạng trên hoặc bất cứ phương trình vô tỉ nào cũng có thể đưa về một trong 5 dạng trên. Sau đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ không thuộc 5 dạng trên.
1. Phương pháp nâng lên luỹ thừa: Thường dùng khi hai vế của phương trình có cùng bậc. Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả hai vế của phương trình lên luỹ thừa bậc n. Nếu n chẵn thì ta chỉ thực hiện được khi cả hai vế không âm.
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
ĐKXĐ: 
Lập phương hai vế của phương trình ta được:
 (1) 25 + x + 3 - x + 3. (2)
Vì (theo 1) nên (2) 28 + 12 
 12 
Lập phương hai vế của (3) ta được:
 (25 + x)(3 - x) 	= 27 - x2 - 22x + 75 	= 27
 x2 + 22x - 48 	= 0 (x - 2)(x + 24)	= 0
 	 x = 2
 	x = - 24
Thử lại: + Với x = 2 ta có 
 + Với x = -24 ta có 
Vậy, nghiệm của phương trình là x1 = 2; x2 = -24
Ví dụ 2: 	Giải phương trình : 	(2)
Điều kiện: - 4 < x < 1 	
Khi ®ã 2 vÕ cña ph­¬ng tr×nh (2) kh«ng ©m, b×nh ph­¬ng hai vÕ ta cã:
(2) 1 - x + 4 + x + 2 (2*)
Bình phương hai vế của phương trình (2*) ta có:
(2*) (1 - x)(4 + x) = 4 - x2 - 3x + 4 = 4 x(x + 3) = 0
 x = 0 hoặc x = -3.
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là : x1 = 0; x2 = -3.
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)
Ở phương trình (3) cả hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để nguyên hai vế như vậy mà bình phương để làm mất dấu căn. Vì vậy, giáo viên cần phân tich kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải. Muốn vậy, hãy khắc sâu cho học sinh tính chất của lũy thừa bậc hai: a = b a2 = b2 ( khi a, b cùng dấu ). Có như vậy, khi bình phương hai vế thì mới được phương trình mới tương đương với phương trình ban đầu.
Ở phương trình (3), VP 0 , nhưng vế trái chưa chắc đã không âm, vì vậy ta nên chuyển vế để đưa phương trình về dạng có cả hai vế đều không âm.
 (3) 
Bình phương hai vế ta được:
 	(*)
Đến đây, học sinh có thể sẽ tiếp tục bình phương hai vế của phương trình mà không xác định xem cả hai vế đã thỏa mãn điều kiện không âm chưa.
Nếu bình phương hai vế ta được :
Như vậy, phương trình sẽ có hai nghiệm là: .
Thực tế có phải vậy không ? 
Ta xét: Để bình phương được hai vế của phương trình cần có điều kiện Như vậy , cả hai giá trị đều không thỏa mãn điều kiện nên bị loại. Phương trình vô nghiệm.
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a) b) 
c) 	 d) 
2. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: 
Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức để làm mất dấu căn và đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1. Giải phương trình: x2 - 4x - 3 = 	(1)
Điều kiện: x -5. Ta có:
 	(1) ó x2 – 3x + = x + 5 + + 
 ó (Vì + )
 x - 	nếu x > 
 	x -	nếu x < 
	 = x - 2	nếu x > 
	 = - x + 1 	nếu x < 
 x > 2	x > 2	
 x + 5 = x2 - 4x + 4	x2 - 5x -1 = 0 
 x < 1	 ó	 x < 1	
 x + 5 = x2 - 2x + 1	x2 - 3 x - 4 = 0
	 x = 
 x = -1
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = ; x = -1.
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
 Û 
	Û 
	Đặt y = (y ≥ 0) Þ phương trình đã cho trở thành:
	– Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y Û y = –1 (loại)
	– Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 Û y = 3
	– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)
Với y = 3 Û x + 1 = 9 Û x = 8
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8.
Ví dụ 3. Giải phương trình: (3)
* Nhận xét: Biểu thức trong căn có thể viết dưới dạng bình phương của một biểu thức.
Điều kiện: . Ta có:
ó + = 5
ó + = 5
 ó + = 5 (*)
Vì 1 luôn dương chỉ cần xét dấu .
- Nếu 
thì .
 Giải ra ta có ( không thỏa mãn điều kiện).
- Nếu 
thì 
 	Vậy, phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn .
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a); b) 
3. Phương pháp đưa về phương trình tích:
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
Điều kiện: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của phương trình: 
 Û 
Þ PT vô nghiệm
Ví dụ 2. Giải phương trình: (1)
Điều kiện: | x | ≤ 1. Với điều kiện này ta có:
 (1) Û 
 Û x1 = 0; x2 = 
Vậy: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = 0; x2 = .
Ví dụ 3. Giải phương trình: (1)
Ta thấy: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1). Như vậy:
 (1) Û Û x = 2.
Bài tập tương tự: Giải phương trình:
a) 
b) 
c) .
HD: Đặt(với có y2 = x2 +1, phương trình có dạng y2+ 3x = (x +3) y ó ( x – y )( -y +3) = 0.
4. Phương pháp vận dụng hằng đẳng thức:
Đối với các phương trình vô tỉ không mẫu mực mà chứa nhiều ẩn số thì một trong các cách giải chúng là biến đổi để đưa về dạng tổng bình phương của nhiều biểu thức chứa ẩn A2 + B2 + C2 = 0.
Ví dụ 1: Tìm ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện;
 (1)
Điều kiện xác định: x > 6, y > 2 , z > 750. Ta có:
(1) ó 
ó 
ó ó ( Thỏa mãn điều kiện)
Vây, nghiệm duy nhất của phương trình là ( x; y; z) = ( 22; 6; 2006).
Ví dụ 2. Giải phương trình: (2)
Điều kiện xác định: . Với điều kiện này ta có :
(2) ó 
ó 
ó
ó ó x = ( Thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất là x = .
Ví dụ 3. Tìm ba số x, y, z biết:
 ( 3) 
trong đó a + b + c =3.
Điều kiện xác định: , ; . Với điều kiện này ta có:
(3) ó 
ó 
ó ( ( Do a+ b + c = 3)
Do đó: ó 
Vậy, ba số cần tìm là: ( x; y; z) = ( a + 1 ; b + 1; c + 1) với a+ b + c = 3.
Ví dụ 4. Giải phương trình:
x + y + z + 4 = 2	(1)
Điều kiện xác định: x > 2 ; y > 3 ; z > 5 .
 Khi đó ta có:
 (1) (x - 2 - 2
 (
 	 x - 2 = 1	x = 3 
 	 	 y - 3 = 4	 	y = 7
 	 z -5 = 9	z = 14
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = 3; y = 7; z = 14 
Bài tập tương tự: 1. Giải phương trình:
a) ; 
 b) 
 2. Tìm x ,y, z thỏa mãn:
a) 
b) 
5. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 
a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm:
Ví dụ 1. Giải phương trình 
Cách 1. Điều kiện x ≥ 1. Với điều kiện này ta có:
Xét vế trái: => 
Xét vế phải: ≥ 1 
	Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm.
Cách 2. Với x ≥ 1, ta có:
	Û 
	Û 
Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1 Þ phương trình vô nghiệm.
b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
Ta phải chứng minh: ( với m là hằng số) => VT = VP = m rồi nhận định kết quả để trả lời.
Ví dụ 1. Giải phương trình: (1)
Ta có: 
 (1) Û 
	 Û 
Vế trái ≥ . 
Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra Û x = –1
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1.
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
Nhận xét: 
	 = 
	VT
	VP = -x2 + 6x -5 = -( x2 -6x + 9) + 4 = -(x – 3)2 +4 4 .
 Do đó hai vế bằng 4 khi và chỉ khi x – 3 = 0 ó x = 3.
 Vậy, nghiệm của phương trình là x = 3.
Ví dụ 3. Giải phương trình: .
 Điều kiện xác định: 
 Áp dụng bất đẳng thức: ta có:
 VT = 
 VP = 3x2 -12x + 14 = 3( x2 – 4x + 4) +2 = 3( x-2)2 + 2 2
 Hai vế cùng bằng 2 khi và chỉ khi x – 2 = 0 ó x = 2( Thỏa mãn điều kiện)
 Vậy, nghiệm của phương trình là x = 2.
c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất).
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
Điều kiện x ≥ .
Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Ta xét:
– Nếu ta có: VT = mà VP > nên không thỏa mãn phương trình.
– Nếu x > 2 ta có : VP = 2x2 + > 2.22 + = mà VT < nên không thỏa mãn phương trình.
Vậy: Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2.
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
Điều kiện: x < 2.
Bằng cách thử, ta thấy x = là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Thật vậy:	
- Với x < : và Þ .
	- Với < x < 2: .
Vậy : Phương trình có nghiệm duy nhất là x = .
Ví dụ 3. Giải phương trình: (1)
Ta có: (1)	
	 Nếu 3x = –(2x + 1) Û x = thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau. Vậy x = là một nghiệm của phương trình. Hơn nữa nghiệm của (1) nằm trong khoảng . Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Với thì 3x < –2x – 1 < 0 
 Þ (3x)2 > (2x + 1)2 Þ 
Suy ra: Þ (1) không có nghiệm trong khoảng này.
Chứng minh tương tự, ta cũng có kết luận (1) không có nghiệm khi .
d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt:
Ví dụ. Giải phương trình 
Điều kiện .
Áp dụng bất đẳng thức với ab > 0.
Với điều kiện . Nên:
	. Dấu “=” xảy ra Û 
	Û 
Vậy, phương trình có hai nghiệm là x = .
e) Phương pháp áp dụng bất đẳng thức để đánh giá một vế của phương trình rồi kết hợp với phương trình đã cho kết luận nghiệm:
Ví dụ: Giải phương trình: 
Điều kiện xác định: -x2 +x +1 0.
 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng đối với các biểu thức trong căn: 
 => 
Kết hợp với với phương trình đã cho ta có: 
 0 ó . 
Dấu đẳng thức xảy ra ó x = 1( thỏa mãn điều kiện).
Thay x = 1 vào phương trình để thử ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a) 
b). 
HD: Đoán nghiệm x= 1, xét các trường hợp x > 1 và x < 1.
c) 
HD: Suy luận vế phải là số nguyên 9, vế trái là tổng của ba căn thức nên giá trị của mỗi căn thức phải là số nguyên. Nhẩm nghiệm được x = 9 thỏa mãn phương trình, xét tiếp các trường hợp x > 9 và x < 9.
d) .
HD: Chuyển các số hạng chứa căn sang một vế rồi áp dụng bất đẳng thức Cô- si .
e) 
HD: VT = ; VP = . Xét trường hợp dấu “ =” xảy ra khi nào?
6. Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai:
 	Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình chính tắc: ax2 + bx +c = 0 (a ¹0)
Ví dụ. Giải phương trình:
x2 - 7x + 2(x+2).	(1)
Điều kiện xác định: x 3. Khi đó ta có:
 (1) x2 + x - 8x - 24 + 2(x+2). 
 - 8(x +3) + 2(x +2). + x 2 + x = 0
Đặt y = (y > 0) , ta có: 
 (1) - 8y2 + 2(x + 2)y + x2 + x = 0
 = (x + 2)2 + 8(x2 + x) = (3x + 2)2
y1 = , y2 = 
+ Với y1 = ta có x + 4 
 x + 3 + 4
 = 4 + 3 = 7
=> 	 < 0 (loại)
 > 0 
 x +3 = 4 + 7 - x = 8 - < -3 (loại)
+ Với y2 = ta có x + 1 - 2 
 x + 3 - 2, = 1 + 2 = 3
	(loại)
 ( *) (Thỏa mãn điều kiện)
Giải ( *) ta có : x + 3 = 1 + 3 + 2 x = 1 + 2 (Thỏa mãn điều kiện x 3).
Vậy : Nghiệm của phương trình đã cho là x = 1 + 2 .
Bài tập tương tự: Giải phương trình:
a) 
HD: ó . Đặt sẽ có phương trình: t4 +12t = 36 + t2 ó t4 = ( t – 6)2
b) (1)
HD: (1) ó 
7. Phương pháp đưa về tổng của các biểu thức không âm: 
Ví dụ. Giải phương trình:
x + y + z + 4 = 2	(1)
Điều kiện xác định: x > 2 ; y > 3 ; z > 5. Với điều kiện này ta có:	
(1) (x - 2 - 2
 (
 	 x - 2 = 1	x = 3 
 	 	 y - 3 = 4	 y = 7
 	 z -5 = 9	z = 14
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = 3; y = 7; z = 14.
8. Phương pháp vận dụng lượng liên hợp:
Ví dụ 1. Giải phương trình:
 (1)
Điều kiện xác định: 
Dấu “=” ở điều kiện thứ nhất và thứ ba, thứ hai và thứ tư không đồng thời xảy ra. Do đó: (1) ó 
 ó 
	ó( 2 – x)(
	ó 2 –x = 0 ó x = 2.
 Vậy, nghiệm của phương trình (1) là x = 2.
Ví dụ 2. Giải phương trình: (2)
 Điều kiện các định: . Từ đây ta có . Do đó:
 ó 
 ó (x -2)() = 0 ó x – 2 = 0 ó x = 2.
 Vậy, nghiệm của phương trình (2) là x = 2.
Bài tập tương tự: Giải phương trình:
a) 
b) 
9. Phương pháp đặt ẩn phụ:
a) Sử dụng một ẩn phụ:
Ví dụ 1. Giải phương trình: (1)
Điều kiện x -1. Đặt = y (y ≥ 0) 
Þy2 = x + 1 Û x = y2 – 1 Û x2 = (y2 – 1)2 
Þ (1) Û (y2 – 1)2 + y – 1 = 0 Û y(y - 1)(y2 + y - 1) = 0. 
Từ đó suy ra nghiệm của phương trình là S= .
Ví dụ 2. Giải phương trình: (2)
Điều kiện x ≥ 1. Đặt = y ( y ≥ 1), ta có :
(2) Û 
 Û y3 + y2 – 2 = 0
 Û (y – 1)(y2 + 2y + 2) = 0 Û y = 1( Vì y2 + 2y + 2 luôn dương) Û x = 1.
Vậy, nghiệm của phương trình (2) là x = 1.
b) Sử dụng hai ẩn phụ:
Ví dụ 1. Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 (3)
Đặt u = , v = (Điều kiện: x ≥ -1, u ≥ 0, v ≥ 0). Khi đó:
u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + 1
 Þ (3) Û 2(u2 + v2) = 5uv Û (2u - v)(u - 2v) = 0
Giải ra, xác định x. Kết quả là: x Î 
Ví dụ 2. Giải phương trình: (1)
Điều kiện: x ≥ –2. Với điều kiện này ta có:
 (1) Û 
Đặt: = a, = b (a, b ≥ 0)Þ a2 – b2 = 3.
(1) Û (a – b)(1 + ab) = a2 – b2
 Û (a – b)(1 – a + ab – b) = 0 Û (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0 
Giải ra ta được x = –1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3. Giải phương trình: (1)
Điều kiện: x ≥ 0. Đặt = a, = b (a, b ≥ 0). Ta có:
 (1) Û b – a = a2 – b2 Û (a – b)(a + b + 1) = 0
Mà a + b + 1 > 0 Þ a = b Û x = là nghiệm duy nhất của phương trình.
c) Sử dụng ba ẩn phụ:
Ví dụ 1. Giải phương trình: (1)
Điều kiện: x ≥ 2. Ta có:
(1) Û 
Đặt: = a, = b, = c (a, b, c ≥ 0 thì 
 (1) Û ab + c = b + ac 
 Û (a – 1)(b – c) = 0
 Û a = 1 hoặc b = c. 
Thay ngược trở lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 2. Giải phương trình : (2)
Đặt : ; ; (u ; v ; t ≥ 0) 
Þ x = 2 − u2 = 3 − v2 = 5 − t2 = uv + vt + tu 
Từ đó ta có hệ: 
Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 
Vì u ; v ; t ≥ 0 nên: (4)
Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến:
Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có: 
 (8)
Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có: 
d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình:
Ví dụ 1. Giải phương trình 
Cách 1: Giải tương tự bài 1. Ta được x = 5
Cách 2: Đặt và . Ta có hệ: Û 
Thế ngược trở lại ta được x = 5.
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 25. Đặt = u , (u, v ≥ 0):
Þ
Giải ra ta có x = 1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3. Giải phương trình: 
Điều kiện : –3 ≤ x ≤ 3. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) 
Þ Û 
Thế ngược trở lại ta có x = 0 là nghiệm duy nhất.
Bài tập tương tự: Giải phương trình:
a) . HD: Đặt ẩn phụ ta có hệ : 
b) . HD : Đặt 
c)
10. Giải và biện luận phương trình vô tỉ:
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình: 
Ta có: Û 
	– Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm.
	– Nếu m ≠ 0: . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m Û ≥ m
	+ Nếu m > 0: m2 + 4 ≥ 2m2 Û m2 ≤ 4 Û 
	+ Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 4 Û m ≤ –2
Tóm lại:
	– Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm .
	– Nếu –2 2: phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: 
Ta có: 
	– Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm
	– Nếu m ≠ 0:. Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m Û 
	+ Nếu m > 0: m2 + 3 ≥ 2m2 Û m2 ≤ 3 Û .
	+ Nếu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 3 Û m ≤ .
Tóm lại: 
	– Nếu hoặc . Phương trình có một nghiệm: 
	– Nếu hoặc : phương trình vô nghiệm
Ví dụ 3. Giải và biện luận theo tham số m phương trình: 
Điều kiện: x ≥ 0
– Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm
– Nếu m = 0: phương trình trở thành Þ phương trình có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = 1.
– Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với
	+ Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = 
	+ Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m.
Bài tập tương tự: Giải các phương trình:
a) (với a, b là tham số và a )
HD: Điều kiện xác định: x > 0.
Lập phương hai vế của phương trình để có:
a + 	(2)
Vì nên (2) 3.
 	(b ¹ 0) a2 - x = 
 x = a2 - x = 
 x = x = 
Vì x > 0 nên > 0. Xét các trường hợp :
- Với a + b 0.
- Với a + b = 0, a b.
- Với a = b = 0.
b) (với a, b là tham số và a )
HD: Điều kiện xác định: .
 Xét các trường hợp:
Nếu a > b.
Nếu a < b.
KẾT LUẬN.
Học sinh là nhân tố giữ vai trò quan trọng quyết định sự thành công hay thất bại của mỗi giáo viên trong công tác giảng dạy. Vì chính các em mới là người học, là người đi thi và phản ánh kết quả của quá trình dạy học. Do đó, để giúp cho học sinh có thể thành công trong học tập bộ môn Toán, ngoài tố chất thông minh, đòi hỏi các em phải có một sự nỗ lực rất lớn, sự quyết tâm học tập hết khả năng của bản thân mình. Bên cạnh đó, người giáo viên giảng dạy toán cần phải nắm chắc kiến thức bộ môn toán trong bậc học của mình, phải là người giải toán thường xuyên, cập nhật thường xuyên thủ thuật giải toán hiệu quả. Trên đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 mà tôi đã trình bày. Trong qua trình nghiên cứu đề tài, tôi đã rất cố gắng trong việc tham khảo các sách nâng cao và phát triển bộ môn Toán lớp 9, đề cương ôn tập thi vào lớp 10, giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi của các bạn đồng nghiệp trong trường, đặc biệt là các bài viết của các nhà giáo Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Hoàng, Nguyễn Đức Hảo trong tạp chí “ Thế giới trong ta”.... Song tôi nghĩ rằng, trong biển kiến thức Toán mênh mông, sự hiểu biết của mình còn rất hạn chế, chính vì lẽ đó nên đề tài sáng kiến kinh nghiệm này không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp. 
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
 Hà Nội, ngày 17 tháng 4 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Người viết
 Nguyễn Thị Hoa