Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
Một số phương pháp
giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong khi giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng không rõ phương pháp giải. Qua quá trình giảng giải tôi xin đưa ra một số phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn”. Việc giải phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũng biết được cách giải một số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn.
II.NỘI DUNG
A. Xét phương trình

a x2

a xy	a x	a y	a y2	a

0 .Trong đó a

0 hoặc
a2	0 ,

a5	0
1	2	3	4	5	6	1
B. Các phương pháp giải.
a.Phương pháp thứ nhất	Viết vế trái thành tổng các bình phương
Dạng 1. A2
A	0
B2	C 2	0	B	0
C	0
Ví dụ; giải phương trình nghiệm nguyên:
5x2
2 y 2
4 xy
9 y	8x
14	0(1)
Lưu ý: Để viết vế traí thành tổng các bình phương nhất là bình phương của một tam thức cần có cách tách hợp lý. Ta biết hang tử có bình phương thì hệ sổ là số chính phương, do đó
5x2
2 y 2
4 x2	x2
y 2	y 2
Phương trình (1)
4x2	x2
y2	y 2
4xy
4 x	4 x
9 y 14	0
Ta coi bình phương của một tam thức (a	b	c)2
((a	b)
c)2
là bình phương
của nhị thức với biểu thức thử nhất là (a+b) và bểu thức thứ hai là c.
Vậy (1)
4x2	x2
y2	y 2
4xy
4 x	4 x
9 y 14	0
1
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
((2 x)2
2.2x( y
1)	( y
1)2 )	( x
2)2
( y	3)2	0
2	2	2
2x	y 1	x	2
y	3	0
(2x	y
1)2
( y	3)2
( x	2)2	0
2x	y 1	0
y	 3	0 x	2	0 x	 2
y	3
Bài tập: giải các phương trình nghiệm nguyên:
1, 2x2
2, 5x2
3, 5x2
5 y 2
2 y 2
10 y 2
14	4xy	8 y	4 x	0
14	4 xy	4 y	8x	0
3 12xy	8 y	2 x	0
4, 10x2
5, 10x2
Giải:
5 y 2
4 y 2
38 12xy
34 12xy
16 y
20 y
36 x	0
36 x	0
1, 2x2
5 y 2
14	4xy	8 y	4 x	0
x2	x2
4 y2
y 2	4xy	8 y
4 x 14	0
2	2	2
x	2 y 1	x	3
x	2 y 1	0
y	2	0
x y x y
2, 5x2
3	0
2	0
3
2
2 y 2

14	4 xy

4 y	8x	0
4x2	x2	y2
y 2	4 xy	8x
4 y 14	0
2	2	2
2x	y 1	x	2
2x	y 1	0
y	3	0
x	2	0 y	3	0 x	 2
y	3
3, 5x2
10 y 2
3 12xy	8 y	2 x	0
4x2
x2	9 y2
y 2	12xy
2 x	8 y	3	0
	2
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
2	2	2
2x	3 y 1	x 1
2x	3 y 1	0
x 1	0 y 1	 0 x	1
y	1
y 1	0
4, 10x2
5 y 2
38 12xy
16 y
36 x	0
x2	9x2
4 y 2
y2	38 12xy
16 y
36 x	0
2
( 3x

2.3x. 2 y

2
5	2 y	5 )

x2	6x	9

y 2	4 y	4	0
2	2	2
3x	2 y	5	x	3
3x	2 y	5	0
x	3	0 y	 2	0 x	 3
y	2
y	2	0
5, 9x2
x2	4 y 2
34 12xy
20 y
36 x	0
2	2
3x	2 y	5	x	3	0
3x	2 y	5	0
x	3	0
x	3
y	2
Dạng 2. A2

B2	C 2

...	m2	n2
A	m
p2	...	B	n
C	p
và các hoán vị của chúng. Ví dụ: Giải phương trình:
x2	x
4x2
(2 x
6	y 2
4x
1)2
0
24	4 y 2
(2 y)2

0
25	32	42

02	52
3
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
Do 2x-1 lẻ nên
2 x 1	3
2 y	4

x	2; 1
y	2
Hoặc
2 x 1	5
2 y	0
x	3; 2
y	0
Phương trình đã cho có nghiệm:
(x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0)
Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:
1, x2
100	6xy
13 y2
2, x2
Giải:
4xy
5 y2
169
1, x2
100	6xy
13 y2
x2	6xy
9 y2
4 y2
100
2
2
x	3	2 y

100	62	82

02	102
x	3	6
x	9
2 y	8	y	4
Hoặc
x	3	8
2 y	6

x	11
y	3
Hoặc
x	3	10
2 y	0

x	13
y	0
Hoặc
x	3	0
x	3
2 y	10	y	5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
x, y
9; 4 11; 3 3;5 
2, x2
x2

4xy
4 xy

5 y2
4 y 2

169
y 2

169
x	2 y 2
y 2	169	122	52
02	132
4
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
x	2 y	12
y	5

x	22
y	5
hoặc
x	2 y	5
y	12

x	19
y	12
hoặc
x	2 y	0
y	13

x	26
y	13
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
x, y
22; 5 19;12	26;13
b.Phương pháp thứ hai: Phân tích vế trái thành nhân tử
A	0
Dạng 1.	A.B.C =0	B	0
C	0
Dạng 2.	A.B.C... = m.n.p... (Với m, n,p là các số nguyên)
A	m B	n C	 p
và các hoán vị của chúng.
Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
3x2
10xy
8 y2	96
3x2
6xy
4 xy
8 y2	96
( x	2 y)(3x
4 y)	96	16.6	12.8	24.4
Do x,y là các số nguyên dương nên
(3x
2x x
4 y)	( x
16
x
4
6
y
1
4 y
2 y
2 y)	3
Hoặc 2x	4 y	12
x	2 y	8
x	4	(loại)
y	6
Hoặc 2x	4 y	24
x	2 y	4
x	16
y	6

(loại)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: Bài tập:
Giải các phương trình nghiệm nguyên:

x, y

4;1
1, y2
x2	x	6
	5
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
2, x2	25
y y	6
3, x2
4, 5
5, x2

6 xy x	y
x	xy

5 y 2
3xy
3 y

121
2
6	0
Giải:
1, y2
4 y 2

x2	x	6
4x2	4x	24
(2 y)2
(2 y)2
(4x2
(2x
4x
1)2
1)	23
23
2 y	2x
2 y	2x
1 2 y	2x
1	23
1	23	1.23	( 1).( 23)	23.1	( 23).( 1)
y	6
2 y	2x 1	1	x	5
2 y	2x
2 y	2x
1	1	y	6
1	23	x	6
y	6
x	6
y	6
2 y
2x
1
23
2 y
2x
1
1
2 y
2x
1
1
2 y
2x
1
23
x	5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
nguyên:
x, y
5; 6 ,	6; 6 ,	6; 6 , 5; 6
2, x2	25
y y
6
6 y
9
16
6 y
9
16
x2	y 2
x2	y 2
2	2
x	y	3	16
x	y	3

x	y	3	16
Do	x	y	3

x	y	3
Và	x	y

3 ; x	y
3 cùng tính chẵn lẻ nên
x	y	3

x	y	3	2.8	4.4	8	2	4	4
x	y	3	2	x	5
x	y	3	8	y	0
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
x	y	3	4	x	4
x	y	3	4	y	3
x
y
3
8
x
x
y
3
2
y
x
y
3
4
x
x
y
3
4
y
5
0
4
3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:

x, y

5; 0	5; 0	4; 3	4; 3
3, x2
x2

6 xy
6xy

5 y 2
9 y2

121
4 y2

121
x	3 y
x	3 y

2	2
2 y
2 y	x

121
3 y	2 y

121
Do	x	3 y
2 y	x	3 y	2 y
Và	x	3 y
2 y ; x	3 y
2 y	cùng tính chẵn lẻ nên
x	3 y	2 y
x	3 y	2 y
121
1
x	3 y	61
2 y	60
x	3 y	61
y	30
Nếu y
30 Thì x
90	61
x	151; 29
Nếu y

30 Thì x

90	61	x

151; 29
x	3 y
2 y
11
x	3 y
2 y
11
x	3 y	11
2 y	0
x	11
y	0
Vậy phương trình đã cho cónghiệm
nguyên:
x, y
29; 30 , 151; 30 ,	29; 30 ,	151; 30 , 11; 0 ,	11;0 
4, 5 x	y
5 x	y

3xy	2
3xy	2
15
15x

x	y
9xy

9xy	6
6
3x 5 3 y
3x	5	3 y

5 5 3 y
5	31

25	6
Không mất tính tổng quát giả sử x	y	3x

5	3 y	5
	7
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
3x
5
1
x	2
3 y
5
31
y	12
3x	5	1
3 y	5	31
x	4
3
y	26
3

(loại)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
x, y
2;12 12;2 
5, x2

x	xy

3 y	6	0
x2	3x	xy	3 y
2 x	6	0
x x	3	y x	3	2 x	3	0
x	3	x	y	2	0
x	3; y	Z
y	x	2; x	Z
c.Phương pháp thứ ba: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Ta coi phương trình bậc hai hai ẩn là phương trình bậc hai một ẩn còn ẩn kia
f
là hằng số.Chẳng hạn

( x , y ) 
0 ta coi y hằng số.
y
Dạng 1. nếu
ay 2
by	c có hệ số a < 0.
hoặc	y	by	c có hệ số b < 0.
Để phương trình
f( x , y )	0
có nghiệm thì
y	0 từ đó tìm được một nghiệm là y
và suy ra nghiệm còn lại x.
Ví dụ: giải phương trình nghiệm nguyên:
(3x2
xy	y 2 )
x	8 y
3x2
(3 y
1) x
3 y 2	8 y	0
y
Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. Ta có
27 y2
9 y 1 .
Để pt đã cho có nghiệm thì	y

27 y2

9 y 1	0
y	0,1, 2,3 Thay vào ta được
0, 01
y	3, 3; y	Z
Nếu y

0	3x2	x	0
1
3x2	x	0	x	3
x	0
Nếu y

1	3x2

2 x	5	0
	8
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
x	1
3x2
2 x	5	0	5
x
Nếu y

2	3x2
3
5x	4	0
25 	48 	73 (không phải là số chính phương)
Nếu y
3	3x2
8x	3	0
/	16	9	7 (không phải là số chính phương)
pt đã cho có 2 nghiệm:(x,y) =(0,0);(1,1) Bài tập:
Giải các phương trình nghiệm nguyên:
1,	x2
xy	y2	2 x	y	0
2, x2
Giải:
xy	y 2	x	y
1, x2
xy	y2	2 x	y	0
x2	x y	2
y2	y	0
y2	4 y

4	4 y 2	4 y
4	3 y2
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì
4	3 y 2	0
y 2	1	1	y	1
Nếu y x2
Nếu y
1	x2
3x	2	0
0	x2
x 1 2x 1	0
x	2
x	1
2x	0
x2	2 x	0
Nếu y	1	x2
x2	x	0
x	2
x	0
x 1 2x 1	0
x	0
x	1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
x, y
1; 1 , 2; 1 , 0; 0 , 2; 0 , 1;1 , 0;1
2, x2

xy	y 2	x	y
x2	x y 1
y 2	y	0
y2	2 y

1 4 y 2	4 y

3 y 2

6 y 1
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì	0
3 y2	6 y
0,154	y
y	0;1;2 
1	0
2,154
	9
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
Nếu y	0
x2	x	0
x2	x	0
x	1
x	0
Nếu y	1
x2	2 x
Nếu y	2
x2	2x	0
x	2
0
x	0
x2	3x	2	0
x2	3x	2	0	x	2
x	1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
x, y
0; 0 , 1; 0 , 0;1 , 2;1 , 1; 2 , 2;2 
y
Dạng 2. Nếu

ay 2

y
by	c có hệ số a là một số chính phương Để phương
trình

f( x , y )	0
có nghiệm thì
m2 từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra
nghiệm còn lại x.
Ví dụ : giải phương trình nghiệm nguyên:
1, x2
x2
2 y 2
(3 y
3xy
2) x
2 x	y	6
2 y2	y	6	0
Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x.
y
y 2	8 y
16 12
m
y
Để pt đã cho có nghiệm thì	2
y
y
2	8 y

16 12	m2
m2	( y

4)2	12
(m	y
4)(m	y
4)	12	2.6	2.( 6)
Vì(m+y-4)	(m-y+4)Và chúng có cùng tính chẵn lẻ.Nên
m
y
4	2
m
4
m
y
4	6
y
6
Thay y=6 vào pt đã cho ta có:
x2	72 18x
2x 12	0
x2	16x

60	0
Pt này vô nghiệm.
m	y	4	6	m	4
m	y	4	2	y	6
Pt đ ã cho vô nghiệm
2, xy
2 y	3x	x2	6
x2	x y
3	2 y
6	0 Coi phương trình này là
phương trinh bậc hai ẩn x.
y
y2	6 y
9	24
	10
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
m
y
Để pt đã cho có nghiệm thì	2
y
y
2	2 y

1 32	m2
m2	( y

1)2	32
m	y 1
m	y 1	32
Do	m	y
Và	m	y
1	m	y 1
1 ; m	y 1

có cùng tính chẵn lẻ,

m	y 1	0
nên m	y
1	0 .Ta có
m
y
1
2
m
y
1
16
m
y
1
4
m
y
1
8
m	9	m	9
y 1	7
m	6
y 1	2
y	6; 8
m	6
y	1; 3
Nếu y	6
x2	3x
12	6 x	6	0
3 9
x2	3x
3 9
18	0
9 	4.18 	81 	x1
3 ; x2	6
2	2
Nếu y
8	x2
3x 16 8x	6	0
x2	11x
10	0
phương trinh có nghiệm: x1
1; x2	10
Nếu y	1
x2	3x	2
x	6	0
x2	2x	8	0
/	1 8	9
x1	1 3	4 ; x2
1 3	2
Nếu y
3	x2
3x	6	3x	6	0
x2	6x	0
x1	0 ; x2	6
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
x, y
3; 6 ,	6; 6 , 10; 8 , 1; 8 , 4;1 ,	2;1 0; 3	6; 3
3, x2

xy	y2

x2 y2	0
x2 1	y2
xy	y2	0
Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x.
y
y
2	4 y 2 1	y 2
y 2	4 y 2
4 y 4
4 y 4
3 y2
y 2 4 y2	3
Để pt đã cho có nghiệm thì	y là số chính phương
4 y 2	3	m2

2
2
2 y	m

3	2 y	m

2 y	m	3
2 y	m
1	2 y	2	y	1
2 y	m	3	m	1	m	1
	11
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
Nếu y = 1
x2	x 1	x2	0
x 1	0	x	1
Nếu y = -1
x2	x 1	x2	0
x 1	0	x	1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
x, y
1;1 , 1; 1
d.Phương pháp thứ tư: dùng tính chất của số chính phương:
Nếu phương trình
f( x , y )	0
có dạng
2
A	B	hoặc
( x , y )	( x )
2
A	B	Thì
( x, y )	( y )
B	m
2 ( x ) 
B( x )	0

hoặc
2 ( y )
B	m
B( y )	0
Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình;
x2	( x	y)2
( x	9)2
( x	y

9)2

9(9	2 y)
Do 18-2y chẵn và18-2y<18 . để pt có nghiệm thì 18-2y là số chính phương.
18	2 y
18	2 y
18	2 y
0	y
42	16
22	4
9; x
y y
0
1; x	20
7; x	8
Vậy pt đã cho có 3 nghiệm:(x,y) =(0;9);(8;7);(20:1)
C. Phương trình đưa được về dạng bậc hai hai ẩn:
1. Giải phương trình nghiệm nguyên a. x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 -5 = 0
Đ ặt t=x2 ta c ó: t2 – 2y4 - ty2 – 4t – 7y2 -5 = 0
t2 – (y2 + 4)t –(2y4 + 7y2 + 5) = 0
Đây là phương trình bậc hai đối với ẩn b. Giải phương trình nghiệm nguyên
x3 + 7y = y3 +7x (x y)	x3 – y3 = 7(x-y)	x2 +xy + y2 =7
x2 +xy +y2 – 7 =0
y
y
2	4 y 2
28	28 3 y 2
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì	y	0
28 3 y2	0
y 2	9
y 2	1; 4;9 
Nếu y = -1

x2	x

1 7	0

x2	x	6	0	x

2; x	3
Nếu y = 1

x2	x

1 7	0

x2	x	6	0
1	2
x	2; x	3
Nếu y = -2

x2	2x

4	7	0

x2	2 x
1	2
3	0	x

1; x	3
Nếu y = 2

x2	2 x

4	7	0

x2	2 x	3	0
1	2
x	1; x	3
Nếu y = 3

x2	3x

9	7	0

x2	3x	2	0
1	2
x	1; x	2
1	2
Nếu y = -3
x2	3x
9	7	0
x2	3x	2	0
x	1; x	2
1	2
	12
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
x, y
2; 1 , 3; 1 , 2;1 ,	3;1 ,	1; 2 , 3; 2 1; 2	3; 2	1; 3	2; 3 1; 3	2; 3
III. KẾT LUẬN:
Qua giảng dạy rút ra cho học sinh những phương pháp giải cụ thể cho từng loại toán thì học sinh có thói quen nhận dạng và sử dụng phương pháp giải thích hợp và phát huy khả năng tư duy của học sinh. Tuy nhiên bài viết có thể có nhiều sai sót mong quý bạn đọc góp ý giúp đỡ.
Tôi xin chân thành cảm ơn. Ngày 30 tháng 5 năm 2008
Người viết: Phan Thị Nguyệt.
	13