Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

ùc em lĩnh hội được trong chương trình đại trà lại quá ít (vì lí do sư phạm) nên không thể đáp ứng được yêu cầu.
	- Qua thực tế giảng dạy cùng với sự cố gắng tìm tòi , tham khảo trong các tài liệu liên quan, chúng tôi nêu ra “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên”, nhằm cùng với các bạn đồng nghiệp xây dựng một hệ thống các phương pháp giải bài toán “Giải phương trình nghiệm nguyên”, một loại toán tương đối khó với nhiều học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
 II. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
 Tên đề tài: “ Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên”
Nhiệm vụ:
- Đưa ra một số sai lầm và bế tắc của học sinh thường gặp khi giải phương trình nghiệm nguyên - Nêu một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên (có ví dụ minh họa cho từng phương pháp), phù hợp với đối tượng học sinh THCS.
- Một số ứng dụng của bài toán giải phương trình nghiệm nguyên vào việc giải các dạng toán khác.
 III. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: Dựa vào:
- Căn cứ đề thi và bài làm của học sinh dự thi học sinh giỏi toán các cấp, thi tuyển vào lớp 10 để tìm những sai sót và bế tắc học sinh thường mắc phải.
- Căn cứ vào thực tế giảng dạy của giáo viên bộ môn toán bậc THCS ở đơn vị trường và các trường bạn.
- Dựa vào giáo trình phương pháp dạy học toán và tài liệu bồi dưỡng nâng cao môn Toán.
 IV. CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN TIẾN HÀNH:
Cơ sở :
 + Những hạn chế của học sinh trong quá trình giải Toán, thường gặp ở các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi.
 + Bài làm của các học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi , thi tuyển vào lớp 10.
 + Các tài liệu nâng cao về Toán.
- Đối tượng: Học sinh lớp 8,9. 
Thời gian tiến hành: Từ năm 2006 đến 2008.
Phần 2 - Nội Dung
 I) MÔ TẢ TÌNH TRẠNG HIỆN TẠI:
 * Qua thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy học sinh thường mắc một số sai lầm và bế tắc cơ bản sau:
 1/ Học sinh không xác định được phương pháp hay dạng loại đặc trưng nên chủ yếu là thực hiện thử chọn mà không lập luận chặt chẻ dẫn đến bị khuyết nghiệm 
 Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên x; y biết: x.y = x + y.
 Bằng cách thử chọn học sinh kết luận: nghiệm của phương trình là: x = 0 và y =0. (Học sinh đã bỏ qua cặp giá trị x = 2 và y = 2 hoặc nếu không sót nghiệm cũng không lập luận chặt chẽ)
 2/ Học sinh không chú ý đến điều kiện thỏa mãn là nghiệm của phương trình thì giá trị của ẩn để có đẳng thức xác định được và đúng; dẫn đến học sinh không loại nghiệm ngoại lai.
	Ví dụ 2: Tìm tất cả các số nguyên thoả mãn: 
 (3)
	Sau khi giải có kết quả (Cách giải được trình bày rõ trong phương pháp 5):
	 . 
 Với (vô lí). Vậy nghiệm của phương trình là: 
II) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN:
¯ - PHƯƠNG PHÁP 1: Phương pháp đưa về dạng tổng
 	µ Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình có các biểu thức chứa ẩn viết được dưới dạng tổng các bình phương.
	- Biến đổi phương trình về dạng một vế là một tổng của các bình phương các biểu thức chứa ẩn; vế còn lại là tổng bình phương của các số nguyên (số số hạng của hai vế bằng nhau).
	- Giải các hệ tương ứng:
	.	
	Các ví dụ minh họa
F - Ví dụ 1: Tìm thoả mãn: (1)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy cả hai vế của phương trình có thể biểu diễn được bằng tổng của hai bình phương.
 (I)
	ØGiải 
 (II)
(1) 
	Từ (I) ta có:
	Tương tự từ (II) ta có:
 Vậy 
F - Ví dụ 2: Tìm thoả mãn: (2)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy cả hai vế của phương trình có thể biểu diễn được bằng tổng của hai bình phương.
	Ø Giải: 
(2) 
 Vậy 
v Bài tập áp dụng: Giải các phương trình nghiệm nguyên;
	a/ 
	b/ 
¯ - PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp đưa về dạng tích
 	µ Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình có các biểu thức chứa ẩn phân tích được thành nhân tử.
	- Biến đổi phương trình về dạng một vế là tích của các đa thức chứa ẩn; vế còn lại là tích các số nguyên (số nhân tử của hai vế bằng nhau).
	- Giải các hệ tương ứng:
	.	
	{Các ví dụ minh hoạ:
F - Ví dụ 1: Tìm thoả mãn: (1)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy vế trái của phương trình dễ dàng phân tích thành nhân tử.
 	Ø GIẢI: 
(1) (Vì )
	Ta có:
F - Ví dụ 2: Tìm thoả mãn: (2)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy vế trái của phương trình là hiệu của hai đa thức bậc hai độc lập của x và y, nên ta có thể phân tích thành nhân tử.
 	Ø GIẢI: 
	Vậy: 
v Bài tập áp dụng: Giải các phương trình nghiệm nguyên;
	a/ 
	b/ 
	c/ 
¯ - PHƯƠNG PHÁP 3: Phương pháp cực hạn
 	µ Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình đối xứng 
	- Vì phương trình đối xứng nên có vai trò bình đẳng như nhau. Do đó; ta giả thiết ; tìm điều kiện của các nghiệm; loại trừ dần các ẩn để có phương trình đơn giản. Giải phương trình; dùng phép hoán vị để suy ra nghiệm.
	X Ta thường giả thiết 
{Các ví dụ minh hoạ:
F - Ví dụ 1: Tìm thoả mãn: (1)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy đây là phương trình đối xứng.
 	Ø GIẢI: 
	Giả sử . Khi đó:
	(1) (Vì )
t.Nếu: (vô lí)
t.Nếu: 
t.Nếu: (vô lí)
	Vậy: là hoán vị của 
 F - Ví dụ 2: Tìm thoả mãn: (2)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Đây là phương trình đối xứng.
 	Ø GIẢI: 
	Giả sử . Khi đó:
	(2) 
 Với: 
t.Nếu: (vô lí)
t.Nếu: 
Vậy: là hoán vị của 
v Bài tập áp dụng: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:
	a/ 
	b/ 
	c/ 
	d/ 
¯ - PHƯƠNG PHÁP 4: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết
 	µ Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình có dạng phân thức mà tử là một số nguyên; được dùng để giải các bài toán: “Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên”
	- Áp dụng tính chất chia hết trong Z để xác định tập giá trị của biểu thức chứa ẩn (thường là biểu thức dưới mẫu).
	{Các ví dụ minh hoạ:
F - Ví dụ 1: Tìm để: nhận giá trị nguyên
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy A là phân thức có tử và mẫu hơn kém nhau một hằng số nguyên. Do đó ta có thể biến đổi A thành tổng của một đa thức và một phân thức có tử là hằng số nguyên
 	Ø GIẢI: 
	Ta có: . Khi đó:
	Để A nhận giá trị nguyên thì nhận giá trị nguyên.
	 Vì : 
	Vậy để A nhận giá trị nguyên thì: hoặc 
 F - Ví dụ 2: Tìm thoả mãn: (2)
 (Đề thi Tuyển sinh vào 10 chuyênToán đại học KHTN Hà Nội)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta nhận thấy các hạng tử chứa biến từng đôi một có chứa nhân tử chung nên nếu nhóm các hạng tử hợp lí cho ta đa thức có nhân từ chung ,nên chia hai vế của phương trình cho ta sẽ có một vế luôn nhận giá trị nguyên.
 	Ø GIẢI: 
	Ta có:
	(2) 
 	Với: không phải là ngiệm của phương trình. Nên:
	. 
	Phương trình có nghiệm nguyên 
 F - Ví dụ 3: Tìm thoả mãn: (3)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Vì là số lẻ; suy ra chia hết cho 2. Sử dụng tính chất này ta xét các điều kiên của nghiệm của phương trình.
	Ø GIẢI: 
	Ta có:
	(3). là số lẻ là hai số lẻ liên tiếp là các luỹ thừa của 3, nên:
 § Với: 
 § Với: Từ ( vô lí)	
	Phương trình có nghiệm nguyên: 
v Bài tập áp dụng: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:
	a/ 
	b/ 
	c/ 
	d/ Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm:
¯ - PHƯƠNG PHÁP 5: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
 	µ Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình mà hai vế là những đa thức có tính biến thiên khác nhau.
	- Áp dụng các bất đẳng thức thường gặp:
	©Bất đẳng thức Cô – si: 
	Cho n số không âm: . Khi đó: 
	. Dấu “=” xảy ra 
	©Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: 
	Cho 2n số thực: và. Khi đó:
	.
	Dấu “=” xảy ra .
	©Bất đẳng thứcgiá trị tuyết đối:
	{Các ví dụ minh hoạ:
F - Ví dụ 1: Tìm thoả: (1) 
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy đây là một phương trình đối xứng, nên có thể dùng phương pháp 3 (phương pháp cực hạn). Tuy nhiên, các hạng tử trong tổng có giá trị dương nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cô – si để xác định điều kiện của tích các ẩn.
 	Ø GIẢI: 
	Áp dụng BĐT Cô – si. Ta có: . 
	Vậy nghiệm của phương trình là: 
 F - Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (2)
 (Toán Tuổi thơ 2)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta nhận thấy hai vế của phương trình có dạng: bình phương của tổng và tổng các bình phương; nên ta có thể vận dụng BĐT Bunhiacôpxki.
 	Ø GIẢI: 
	Theo Bunhiacôpxki,ta có:
	Dấu “=” xảy ra 
	Vậy nghiệm của phương trình là: 
 F - Ví dụ 3: Tìm tất cả các số nguyên thoả mãn: 
 (3)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta nhận thấy: 2104 = 3 + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 và 
	Ø GIẢI: 
	Ta có:
	(3). 
	Mà 
	Do đó: . 
 Với (vô lí). Vậy nghiệm của phương trình là: 
v Bài tập áp dụng: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:
	a/ 
	b/ 
¯ - PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp lựa chọn 
 	µ Phương pháp: Phương pháp này được sử dụng với các phương trình mà ta có thể nhẩm (phát hiện dể dàng) được một vài giá trị nghiệm
	- Trên cơ sở các giá trị nghiệm đã biết. Áp dụng các tính chất như chia hết; số dư; số chính phương; chữ số tận cùng .. ta chứng tỏ rằng với các giá trị khác phương trình vô nghiệm
 	{Các ví dụ minh hoạ:
 	F - Ví dụ 1: Tìm thoả: 
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy với thì phương trình được nghiệm đúng. Ta cần chứng minh phương trình vô nghiệm với 
 	Ø GIẢI: 
	+ Với thì phương trình được nghiệm đúng 
	+ Với . Khi đó:
 (*)
	Vì là hai số nguyên liên tiếp nên không có giá trị nào của y thoả (*)
	Vậy là nghiệm của phương trình.
 F - Ví dụ 2: Tìm thoả: (2) 
 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ )
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta nhận thấy vế phải là luỹ thừa bậc lẽ của 3 nên có tận cùng là 3 hoặc 9. Ta cần xét chữ số tận cùng của vế trái..
 	Ø GIẢI: 
	Gọi b là chữ số tận cùng của x ( Với . Khi đó: có chữ số tận cùng là: 1, 5 hoặc 9. (*)
	Mặt khác: là luỹ thừa bậc lẻ của 3 nên có tận cùng là 3 hoặc 7. (**)
	Từ (*) và (**) suy ra phương trình vô nghiệm.
 F - Ví dụ 3: Tìm thoả mãn: (3)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Với trường hợp này ta có thể sử dụng phương pháp 1 ( Phương pháp đưa về dạng tổng). Tuy nhiên vế phải là một số chính phương nên ta có thể sử dụng tính không âm của luỹ thừa bậc chẳn để giới hạn tập giá trị, sau đó sử dụng sự lựa chọn.
	Ø GIẢI: 
	(3) 
	 Do đó: 
	Phương trình có nghiệm nguyên: 
v Bài tập áp dụng: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:
	a/ 
	b/ 
¯ - PHƯƠNG PHÁP 7: Phương pháp lùi vô hạn (xuống thang)
 	µ Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với những phương trình có (n – 1) ẩn mà hệ số có ước chung khác 1
	- Dựa vào tính chất chia hết ta biểu diễn ẩn theo ẩn phụ nhằm “hạ” (giảm bớt) hằng số tự do, để có được phương trình đơn giản hơn.
	- Sử dụng linh hoạt các phương pháp để giải phương trình đó. 
	{Các ví dụ minh hoạ:
F - Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) 
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy mà nên
 	Ø GIẢI: 
	Ta có: (1)
 Khi đó: (1). 
	.
	* Tiếp tục sự biểu diễn trên và nếu gọi là nghiệm của (1) và thì và . Thực hiện thử chọn ta được: 
	Vậy nghiệm của phương trình là: 
v Bài tập áp dụng: Giải các phương trình nghiệm nguyên:
	a/ 
	b/ 
	c/ 
¯ - PHƯƠNG PHÁP 8: Phương pháp sử dụng điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai
 	µ Phương pháp: Phương pháp này được sử dụng với các phương trình có dạng: f. Trong đó:	 là đa thức bậc hai
	- Biến đổi phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai (một ẩn là ẩn của phương trình bậc hai; một ẩn là tham số). Biện luận nghiệm theo điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai.
	*Chú ý: Nên chọn ẩn có hệ số bằng 1
	{Các ví dụ minh hoạ:
 	F - Ví dụ 1: Tìm thoả: (1) 
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy phương trình này có thể xem là một phương trình bậc hai ẩn y tham số x.
 	Ø GIẢI: 
 (1) . Ta có: 
	Do đó: y nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x nhận giá trị nguyên 	(Áp dụng phương pháp 2:Đưa về dạng tích)
	+ Với 
	+ Với 
	Vậy nghiệm của phương trình là: 
 F - Ví dụ 2: Tìm thoả: (2) 
 (Đề thi tốt nghiệp THCS – Bình Định; năm học: 2004 – 2005)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy phương trình này có thể xem là một phương trình bậc hai ẩn y tham số x
 	Ø GIẢI: 
	(2) . Ta có: y nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x
	+ Với 
	+ Với 
	+ Với 
	+ Với 
	Vậy nghiệm của phương trình là: 
 F - Ví dụ 3: Tìm thoả mãn: (3)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Với trường hợp này ta có thể sử dụng phương pháp 1 ( Phương pháp đưa về dạng tổng). hoặc đã giải trong phương pháp 6 (phương pháp lựa chọn). Tuy nhiên, ta có thể đưa về phương trình bậc hai ẩn x tham số y.
	Ø GIẢI: 
	(3) 
	 Do đó: 
	Phương trình có nghiệm nguyên: 
v Bài tập áp dụng: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:
	a/ 
	b/ 
	III) ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN:
	Bài toán về phương trình nghiệm nguyên có nhiều ứng dụng là công cụ để giải các dạng loại bài tập khác. Việc vận dụng đòi hỏi tư duy kết hợp các phương pháp giải một cách hợp lí. Sau đây; là một số ứng dụng thường gặp của bài toán phương trình nghiệm nguyên. 
	v Các ví dụ minh hoạ:
	ỉ Ví dụ 1: Tìm sao cho là số chính phương (*)
	HD Giải: Ta có: 
	(*)
	+ Đặt: . Ta có:
	(*) (Vì lẻ) nên: 
	ỉ Ví dụ 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (x;y) sao cho: (2)
 (Đề thi Học sinh giỏi Lớp 9 – năm học 2007 – 2008;Hoài Nhơn)
	HD Giải: 
Ta có: 
	(**)
	+ Vì (2) là phương trình đối xứng và x, y là số nguyên tố nên đặt:
 và y là số lẻ (I). Ta có:
	(**) 
+ Kết hợp với điều kiện (I) ta có cặp số nguyên tố cần tìm là:	
 (1)
 (2)
	ỉ Ví dụ 3: Giải hệ phương trình nghiệm nguyên dương: 
	(Tạp chí Toán học –Tuổi trẻ số 373; tháng 7/2008)
	HD Giải: Ta có: 
	Hệ là hệ phương trình đối xứng và nên: 
	. Giả sử: 0
	 (*) 
	Vì: ; nên:
 Kết hợp phương pháp lựa chonï và phương pháp đưa về tổng ta có nghiệm của hệ phương trình đã cho là hoán vị của 
	ỉ Ví dụ 4: Bài toán cổ 	Trăm con trâu – Aên trăm bó cỏ.
	Trâu đứng ăn năm – Trâu nằm ăn ba.
	Lụm khụm trâu già – Ba con một bó.
	HD Giải: Gọi a; b; c lần lượt là số lượng trâu đứng; trâu nằm; trâu già.Ta có hệ phương trình nghiệm nguyên dương: 
	+ Áp dụng phương pháp 4(Phương pháp sử dụng tính chất chia hết). Ta có:
* Nếu 
* Nếu 
* Nếu 
* Nếu 
	ỉ Ví dụ 5: Tìm các số nguyên x;y z thoả:
 (5)
	(Thi GVDG năm học 2008 – 2009; Hoài Nhơn)
	HD Giải: Ta có: 
	Đặt: 
Xét (vô lí). Vậy 
Xét (a)
+ Nếu (vô lí). Vậy (b)
+ Nếu (vô lí). Vậy (c)
+ Nếu (d)
 Từ (a); (b); (c); (d) ta có: 
³ Bài tập tham khảo: 
  Tìm số nguyên tố p sao cho 4p + 1 là số chính phương	
	 ‚ Tìm số nguyên a lớn nhất để: là một số chính phương 
	 (Toán Tuổi thơ 2 – Số 11; Tháng1/2004)
	 ƒ Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương x; y; z thoả: 
 (Tạp chí Toán học –Tuổi trẻ số 370; tháng 4/2008)
	 „ Tìm các số nguyên dương x; y; z thoả: 
 (Tạp chí Toán học –Tuổi trẻ số 370; tháng 4/2008)
	 …Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn những điều kiện sau: một phần hai số đó là bình phương của một số nguyên; một phần ba số đó là lập phương của một số nguyên; một phần năm số đó là luỹ thừa bậc năm của một số nguyên.
 (Toán Tuổi thơ 2 – Số 47)
	HD: Đưa về bài tập Tìm các số nguyên dương x; y; z và nhỏ nhất thoả:
	 † Tìm tất cả các số nguyên dưong: x; y; z thoả mãn đồng thời cả hai điều kiện sau:
	(i) là một số hữu tỉ.
	(ii) là một số nguyên tố.
 Phần III: KẾT LUẬN
 Bồi dưỡng học sinh giỏi là nhiệm vụ có tầm quan trọng trong sự nghiệp trồng người. Để thực hiện tốt nhiệm vụ này, đòi hỏi mỗi giáo viên cần nỗ lực cao trong công tác nghiên cứu nội dung chương trình, soạn thảo nội dung giảng dạy và truyền thụ kiến thức cho học sinh. Đề tài này đưa ra một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên và một số ứng dụng của phương trình nghiệm nguyên vào việc giải các dạng toán khác. Chúng tôi không ngoài mục đích trao đổi với các đồng nghiệp để cùng tìm ra một phương án tối ưu cho việc giảng dạy phương trình nghiệm nguyên, qua đó nâng cao được chất lượng đào tạo học sinh giỏi toán.
	* Kết quả: 
 - Bước đầu học sinh thấy được sai sót và tiếp cận được với các phương pháp giải các phương trình nghiệm nguyên, vận dụng được vào việc giải các bài tập áp dụng.
 - Học sinh hình thành được một số kỹ năng đáng kể trong việc phân tích đề, tìm cách giải và trình bày bài giải. Những học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi ngày càng yêu thích bộ môn, việc dạy học ngày càng thuận lợi và có hiệu quả, trường đã có học sinh đạt học sinh giỏi cấp huyện ở bộ môn Toán.
 - Giáo viên bộ môn Toán có thêm tài liệu và phương pháp để nâng cao chất lượng dạy học nói chung, bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng. 
	* Đề xuất – kiến nghị:.
 - Triển khai chuyên đề đến các lớp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, tổ chức ngoại khóa chuyên đề.
 - Kiểm tra đánh giá khả năng tiếp thu của học sinh theo từng phương pháp giải, rút kinh nghiệm và bổ sung cho phù hợp với đối tượng học sinh.
 v Môn Toán là môn học có tính trừu tượng cao .Việc giảng dạy học sinh đại trà đã khó, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán lại càng khó hơn đối với nhiều học sinh. Trong khi thực tế hiện nay, động cơ học tập của nhiều học sinh bị chi phối lớn bới tác động của xã hội . Trên con đường học toán – giải toán, phần lớn học sinh chưa xác định đúng đường đi và cách đi, do đó người giáo viên chính là người dẫn dắt các em đi. Mong rằng đề tài này bổ sung thêm một ít tài liệu tham khảo cho công tác dạy bồi dưỡng của các học sinh dạy toán. Chúng tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để chuyên đề này ngày càng hoàn thiện, thực sự là tài liệu bổ ích cho mỗi giáo viên học sinh . 
Mục Lục
˜–v—™
¯ Phần mở đầu  Trang 1
¯ Nội dung  Trang 3 
Mô tả tình trạng sự việc hiện tại. Trang 3
Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên.. Trang 3
Phương pháp đưa về dạng tổng . Trang 3
Phương pháp đưa về dạng tích ... Trang 5
Phương pháp cực hạn .. Trang 6
Phương pháp sử dụng tính chất chia hết .. Trang 7
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức .. Trang 8
Phương pháp lựa chọn .. Trang 10
Phương pháp lùi vô hạn .. Trang 11
Phương pháp sử dụng điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai Trang 12
Ứng dụng của bài toán phương trình nghiệm nguyên . Trang 13
¯ Kết luận.. Trang 17