Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình bậc cao trong Toán học

ng pháp giải các phương trình bậc cao trên và các bài tập minh hoạ.
III. Đối tượng nghiên cứu.
Học sinh lớp 9B trường THCS Yên Bái- Huyện Yên Định – Tỉnh Thanh Hoá
IV. Phương pháp nghiên cứu.
Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút kinh nghiệm, kiểm tra kết quả ( dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, kiểm tra trực tiếp thông qua các giờ dạy trên lớp, thực hiện trên nhiều đối tượng học sinh khác nhau: Học sinh khá - giỏi, học sinh trung bình, học sinh yếu về môn toán).
V. Phạm vi nghiên cứu.
Giới hạn ở vấn đề giảng dạy các phương trình bậc cao trong chương trình toán THCS.
VI. điều tra cơ bản.
* Tổng số: 40 học sinh 
* Học sinh có năng khiếu: 10
* Học sinh yếu: 10
Phần I: cơ sở lý luận chung
b. nội dung
I. những kiến thức để giải phương trình bậc cao.
1. Định nghĩa phương trình bậc cao.
Ta gọi phương trình đại số bậc n (n ≥ 3) ẩn x trên trường số thực là các phương trình được đưa về dạng
 anxn + an-1xn-1 ++a1x +a0 = 0 (1) 
 Trong đó: nZ; a1;a2;;an R; an ≠ 0
2. Định lí: Trên trường số thực, mọi phương trình bậc n luôn phân tích được thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai.
3. Các loại phương trình 
a. Phương trình bậc nhất một ẩn
Định nghĩa: phương trình có dạng: ax + b = 0; trong đó a, b là các hằng số, a ≠ 0. Được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Công thức nghiệm: x = -b/a.
b. Phương trình bậc hai một ẩn.
Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = 0, trong đó a, b, c R, a ≠ 0.
Cách giải:
* Dùng công thức nghiệm.
 Δ = b2 – 4ac
 + Δ < 0 PTVN
 + Δ = 0 PT có nghiệm kép 
 x1= x2 = -b/2a
 + Δ > 0 PT có hai nghiệm phân biệt
 Δ’ = b’2 – ac
 + Δ’ < 0 PTVN
 + Δ’ = 0 PT có nghiệm kép 
 x1= x2 = -b’/a
 + Δ’> 0 PT có hai nghiệm phân biệt
* Dùng định lí Vi-et.
Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thì
* Phân tíchvế trái thành tích.
* Định lí: + Phương trình: anxn + an-1xn-1 ++a1x +a0 = 0 nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là ước của 
 + P(x) = 0 có nghiệm là a thì P(x) (x - a )
* Các bất đẳng thức:
(1) Dấu “=” xẩy ra khi ab 
(2) Dấu “=” xẩy ra khi ab 
(3) Dấu “=” xẩy ra khi A 
II. Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình bậc cao
1. phương pháp 1: Đưa về phương trình tích.
1.1. Cơ sở lí luận:
Phương trình tích là phương trình có dạng:
 F(x) . G(x)H(x) = 0 (2)
Để đưa phương trình (1) về dạng (2) ta có thể dùng các cách sau:
* Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
 + Đặt nhân tử chung
 + Dùng hằng đẳng thức
 + Nhóm nhiều hạng tử
 + Thêm (bớt) các hạng tử
 + Phối hợp nhiều phương pháp 
* Cách 2: Nhẩm nghiệm: Nếu a là nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) (x - a ) từ đó hạ bậc của phương trình.
Chú ý: - Nếu đa thức: anxn + an-1xn-1 ++a1x +a0 có tổng các hệ số:
 a0 + a1 ++an = 0 thì x=1 là một nghiệm của phương trình 
 - Nếu đa thức có tổng các hệ sốcủa các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì x =-1 là một nghiệm của phương trình.
1.2. Các ví dụ
* Dùng phương pháp phân tích thành nhân tử
Ví dụ 1: Giải phương trình : a) x3 –7x2 +12x- 6 = 0 (1)
 b) 5a2x3 –10x2 –3ax + 6 = 0 (2)
 c) (x - 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 +8 (3) 
* Dùng phương pháp nhẩm nghiệm:
Ví dụ 2: Giải phương trình: a) 5x3 + 7x2 +3x – 15 = 0 (1)
 b) 12x3 – 3x2 – 7x + 8 = 0 (2)
 c) x3 – 4x2 + 3x + 2 = 0 (3) 
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ
2.1. Cơ sở lí luận: Phương pháp này thường được dùng với các dạng phương trình sau: 
* Dạng 1: Phương trình trùng phương
Dạng tổng quát: ax4 + bx2 + c = 0 (a≠ 0) (1.1)
+ Cách giải: 
- Bước 1: Đặt x2 = y, y 
 (1) ay2 + by + c = 0 (2)
- Bước 2: Biện luận phương trình (2) qua các trường hợp của Δ
+ Trường hợp 1: Δ < 0 (2) VN (1) VN
+ Trường hợp 2: Δ = 0 (2) có nghiệm kép y0 = -b/2a 
 Nếu: y0 < 0 (1) vô nghiệm
 Nếu: y0 = 0 (1) có một nghiệm x = 0
 Nếu: y0 >0 (1) có hai nghiệm x = 
+ Trường hợp 3: Δ > 0 (2) có hai nghiệm phân biệt: y1,2 =
 Nếu: y1 < y2 < 0 (1) vô nghiệm
 Nếu: y1 < y2 = 0 (1) có một nghiệm x = 0
 Nếu: y1 < 0 < y2 (1) có hai nghiệm x = 
 Nếu: 0 = y1 < y2 (1) có ba nghiệm: x1 = 0; x1, 2 =
 Nếu 0 < y1 < y2 (1) có 4 nghiệm: x1, 2 = ; x3, 4 =
Ví dụ 3: Giải phương trình : x4 – 5x2 + 6 = 0 (1)
Giải:
Đặt x2 = t 0 khi đó (1) trở thành: t2 – 5t + 6 = 0
 ta có: Δ t = 25 – 24 =1
 suy ra: t1 = 3 
 t2 = 2 
 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x12 = , x34 = 
Ví dụ 4: Giải phương trình : 2x4 + 2x2 – 4 = 0 (2)
*Dạng 2: Phương trình đối xứng bậc chẵn.
Dạng tổng quát: 
 a0x2n + a1x2n-1 ++an-1xn+1 + anxn + an+xn-1 ++ a1x + a0 = 0 (2.1)
+Cách giải:
Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình (1.2)
Ta chia cả hai vế của phương trình (1.2) cho xn 0
(1.2) a0xn + a1xn-1 ++ an-1x1 + anx0 + an+1x-1 ++ a1x-(n-1) + a0x-n = 0
 a0(xn + x-n) + a1(xn-1 + x-(n-1) ) ++an = 0
Đặt y = x + x-1 phương trình (1.2) trở thành phương trình bậc n với ẩn y
Ví dụ 5: Giải phương trình : a) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 
 b) 2x4 + 5x3 +7x2 +5x + 2 = 0 
*Dạng 3: Phương trình đối xứng bậc lẻ.
Dạng tổng quát:
a0x2n+1 + a1x2n ++ an+1xn+1 + anxn +an-1xn-1 ++ a1x + a0 = 0 (3.1)
+ Cách giải:
- Phương trình luôn có nghiệm x = -1. Nên ta chia cả hai vế của phương trình cho (x+1) ta được phương trình đối xứng bậc chẵn.
Ví dụ 6: Giải phương trình : a) x5 + x4 – x3 – x2 + x + 1 = 0
 b) x5 + 4x4 + x3 + x2 + 4x + 1 = 0
* Dạng 4: Phương trình phản thương:
Dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0 (4.1)
 Hoặc: ax4 - bx3 + cx2 – bx + a = 0 (4.2)
* Cách giải: Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của (4.1). Ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho x2 ta được:
(4.1) ax2 + bx + c – bx-1 +ax-2 = 0
 a(x2 + x-2) +b(x – x-1) + c = 0 (*)
Đặt y = x – x-1 suy ra x2 + x-2 = y2 + 2
Ta được phương trình mới tương đương là: ay2 + by + c + 2a = 0 (**)
Giải phương trình (**) ta được nghiệm y0 . Giải phương trình : x – x-1 = y0 ta được x0 là nghiệm của phương trình (4.1)
Ví dụ 7: Giải phương trình : a) 5x4 – 6x3 – 9x2 + 6x + 5 = 0
 b)3x4 + 15x3 + 6x2 – 15x + 3 = 0
* Dạng 5: Phương trình hồi quy.
Dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 dx + e = 0 (5.1)
Trong đó: e/a = (b/d)2 = t2
+ Cách giải: Khi x = 0 không là nghiệm của phương trình (5.1). Ta chia cả hai vế của (5.1) cho x2 ta được: ax2 + bx + c dx-1 + ex-2 = 0
 (ax2 + ex-2) + (bx dx-1) + c = 0
 a(x2 + t2x-2) + d(x tx) + c = 0
Đặt x tx-1 = y ta được : ay2 + by + c 2at = 0 (5.2)
Giải (5.2) được y0, giải y0 = x tx-1 ta được x0 là nghiệm của (5.1)
Ví dụ 8: Giải phương trình : a) x4 – 3x3 – 2x2 + 6x + 4 = 0
 b) x4 – 3x3 – 4x2 + 9x + 9 = 0
Phần II: Các ví dụ minh hoạ
1. Phương pháp 1: Đưa về phương trình tích.
Dùng phương pháp phân tích thành nhân tử.
Ví dụ 1: Giải phương trình .
x3 – 7x2 + 12x – 6 = 0 (1)
Giải:
Ta có: (1) x3 – x2 – 6x2 + 6x + 6x – 6 = 0
 x2(x – 1) – 6x (x – 1) + 6 (x – 1) = 0
 (x – 1) (x2 – 6x + 6) = 0
Giải (1.1) và (1.2) ta có nghiệm của (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình .
 5a2x3 – 10x2 – 3a2x + 6 = 0 (2)
Giải:
Ta có: (2) a2x(5x2 - 3) – 2(5x2 – 3) = 0
 (5x2 – 3) (a2x - 2) = 0
Giải (2.1) và (2.2) ta có nghiệm của (2)
Ví dụ 3: Giải phương trình :
(x - 1)3 + (2x + 33) = 27x3 + 8 (3)
Giải:
Ta có: (3) x3 – 3x2 + 3x – 1 + 8x3 + 36x2 + 54x + 27 = 27x3 + 8
 18x3 – 33x2 –57x – 18 = 0
 3(6x3 – 11x –19x – 6) = 0
 6x3 – 18x2 + 7x2 – 21x + 2x – 6 = 0
 6x2(x – 3) + 7x(x – 3) + 2(x – 3) = 0
 (x – 3)(6x2 + 7x + 2) = 0
Giải (3.1) và (3.2) ta có nghiệm của phương trình (3)
1.2. Dùng Phương pháp nhẩm nghiệm:
Ví dụ 4: Giải phương trình :
5x3 + 7x2 + 3x – 15 = 0 (4)
Giải:
* Nhận xét: Ta có: 5 + 7 +3 – 15 = 0
Nên x = 1 là một nghiệm của phương trình (4) do đó
(4) (x – 1) (5x2 + 12x + 15) = 0
Giải (4.1) và (4.2) ta có nghiệm của phương trình (4)
Ví dụ 5: Giải phương trình :
12x3 – 3x2 – 7x + 8 = 0 (5)
Giải: 
* Nhận thấy: x = - 1 là nghiệm của phương trình (5) do đó
(5) (x + 1) (12x2 – 15x + 8) = 0
Giải (5.1) và (5.2) ta có nghiệm của phương trình (5)
Ví dụ 6: Giải phương trình :
x3 – 4x2 + 3x + 2 = 0 (6)
Giải:
Ta thấy: x = 2 là nghiệm của phương trình (6) do đó
(6) (x – 2) (x2 – 2x – 1) = 0
Giải (6.1) và (6.2) ta có nghiệm của phương trình (6)
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ
2.1 Phương trình trùng phương.
Ví dụ 7: Giải phương trình 
x4 – 5x2 + 6 = 0 (7)
Giải:
Đặt x2 = t, t ≥ 0 suy ra (7) t2 – 5t + 6 = 0
 (t – 2) (t – 3) = 0
+ Với t = 2 x2 = 2 x12 = 
+ Với t = 3 x2 = 3 x34 = 
Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm .
Ví dụ 8: Giải phương trình :
2x4 + 2x2 – 4 = 0 (8)
Giải:
Đặt x2 = y, y ≥ 0 Suy ra (8) 2y2 + 2y – 4 = 0
 y2 + y – 2 = 0
 (y – 1) (y + 2) = 0 
+Với y = 1 x2 = 1 x1 = 1, x2 = - 1
Kết luận:
2.2. Phương trình đối xứng bậc chẵn
Ví dụ 9: Giải phương trình :
x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 (9)
Giải:
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (9) do đó ta chia cả hai vế của phương trình (9) cho x2 ≠ 0 ta được: 
x2 – 3x + 4x0 – 3x-1 + x-2 = 0
 (x2 + x-2 ) – 3(x + x-1) + 4 = 0
Đặt: x + x-1 = y x2 + x-2 = y2 – 2
Ta được phương trình mới với ẩn y: y2 - 3y + 2 = 0 
Ta thấy: a + b + c = 0 y1 = 1, y2 = 2
Nếu y1 = 1 x + x-1 = 1 x2 – x + 1 = 0 Suy ra phương trình vô nghiệm
Nếu y2 = 2 x + x-1 = 2 x2 – 2x + 1 = 0 (x – 1)2 = 0 x = 1
Kết luận: Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 1.
Ví dụ 10: Giải phương trình 
2x4 + 5x3 + 7x2 +5x + 2 = 0 (10)
Giải:
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (10) do đó ta chia cả hai vế của phương trình (10) cho x2 ≠ 0 ta được: 
2x2 + 5x + 7 + 5x-1 + 2x-2 = 0
 2(x2 + x-2 ) + 5(x + x-1 ) + 7 = 0
Đặt: x + x-1 = y x2 + x-2 = y2 – 2
Ta được phương trình mới với ẩn y: 2y2 + 5y + 3 = 0
Ta thấy: a - b + c = 0 y1 = - 1, y2 = - 3/2
Nếu: y1 = - 1 x + x-1 = -1 x2 + x + 1 = -1 phương trình vô nghiệm
Nếu: y2 = - 3/2 x + x-1 = - 3/2 2x2 + 3x + 2 = 0
Có: Δ = b2 – 4ac = 32 – 4.2.2 = -7 < 0 phương trình vô nghiệm.
Kết luận: Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
2.3. Phương trình đối xứng bậc lẻ.
Ví dụ 11: Giải phương trình:
x5 + x4 – x3 – x2 + x + 1 = 0 (11)
Giải:
Ta có (11) (x – 1)(x4 – x2 + 1) = 0 
Giải (11.1) ta được x = 1
Giải (11.2) ta có vế trái: x4 – x2 + 1 = (x2 – 1/2)2 + 3/4 ≥ 3/4
Suy ra (11.2) vô nghiệm
Kết luận: Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 1.
Ví dụ 12: Giải phương trình:
x5 + 4x4 + x3 + x2 + 4x + 1 = 0 (12)
Giải:
Ta có (12) (x + 1)(x4 + 3x3 – 2x2 + 3x + 1) = 0
Giải (12.1) ta được: x = -1
Giải (12.2). Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (12.2). Chia cả hai vế của (12.2) cho x2 ≠ 0 ta được: x2 + 3x - 2 + 3x-1 + x-2 = 0
 (x2 + x-2 ) + 3 (x + x-1 ) – 2 = 0
Đặt: x + x-1 = y x2 + x-2 = y2 – 2
Ta được: y2 + 3y – 4 = 0 y1 = 1, y2 = - 4
Nếu y1 = 1 x + x-1 = 1 x2 – x + 1 = 0 Suy ra phương trình vô nghiệm
Nếu y2 = - 4 x + x-1 = - 4 x2 + 4 x + 1 = 0
Ta có: Δ’ = b’2 – ac = 4 – 1 = 3
 x1 = - 2 + ; x2 = - 2 - 
Kết luận: Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 
x3 = -1; x1 = - 2 + ; x2 = - 2 - 
2.4. Phương trình phản thương.
Ví dụ 13: Giải phương trình:
5x4 - 6x3 - 9x2 + 6x + 5 = 0 (13)
Giải:
 Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (13). Chia cả hai vế của (13) cho x2 ≠ 0 ta được: 5x2 - 6x - 9 + 6x-1 + 5x-2 = 0
 5(x2 + x-2 ) – 6(x – x-1 ) – 9 = 0
Đặt: x - x-1 = y x2 + x-2 = y2 + 2
Ta được: 5y2 - 6y + 1 = 0 y1 = 1, y2 = 1/5
Nếu y1 = 1 x – x-1 = 0 x2 – x – 1 = 0 
 x1 = ; x2 = 
Nếu y2 = 1/5 x – x-1 = 1/5 5x2 – x – 5 = 0 (*). Giải (*) kết hợp với nghiệm x1 , x2 ta được nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 14: Giải phương trình:
3x4 + 15x3 + 6x2 - 15x + 3 = 0 (14)
Giải:
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (14). Chia cả hai vế của (14) cho x2 ≠ 0 ta được: 3x2 +15x + 6 - 15x-1 + 3x-2 = 0
 3(x2 + x-2 ) + 15(x – x-1 ) + 6 = 0
Đặt: x - x-1 = y x2 + x-2 = y2 + 2
Ta được: 3y2 + 15y + 12 = 0 y1 = - 1, y2 = - 12/3
Nếu y1 = - 1 x – x-1 = -1 x2 + x – 1 = 0 (14.1)
Nếu y2 = - 12/3 x – x-1 = -12/3 3x2 +12 x – 3 = 0 (14.2)
Giải (14.1) và (14.2) ta được nghiệm của phương trình đã cho.
2.5 Phương trình hồi quy
Ví dụ 15: Giải phương trình :
x4 - 3x3 - 2x2 + 6x + 4 = 0 (15)
Giải:
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (15). Chia cả hai vế của (15) cho x2 ≠ 0 ta được: x2 - 3x - 2 + 6x-1 + 4x-2 = 0
 (x2 + 4x-2 ) - 3(x – 2x-1 ) - 2 = 0
Đặt: x - 2x-1 = y x2 + 4x-2 = y2 + 4
ta được phương trình mới là: y2 – 3y + 2 = 0
Nhẩm nghiệm ta được y1=1; y2=2
Nếu y1=1 x - 2x-1 = 1 x2 – x – 2 = 0 (15.1)
Nếu y2=2 x - 2x-1 = 2 x2 – 2x – 2 = 0 (15.2)
Giải (15.1) và (15.2) ta được nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 16: Giải phương trình :
x4 - 3x3 - 4x2 + 9x + 9 = 0 (16)
Giải:
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (16). Chia cả hai vế của (16) cho x2 ≠ 0 ta được: x2 - 3x - 4 + 9x-1 + 9x-2 = 0
 (x2 + 9x-2 ) - 3(x – 3x-1 ) - 4 = 0
Đặt: x - 3x-1 = y x2 + 9x-2 = y2 + 6
ta được phương trình mới là: y2 – 3y + 2 = 0
Nhẩm nghiệm ta được y1=1; y2=2
Nếu y1=1 x - 3x-1 = 1 x2 – x – 3 = 0 (16.1)
Nếu y2=2 x - 3x-1 = 2 x2 – 2x – 3 = 0 (16.2)
Giải (16.1) và (16.2) ta được nghiệm của phương trình đã cho
iii. bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau:
Bài 1:
x4 + x2 + 6x – 8 = 0
(x2 + 1)2 = 4(2x – 1)
(x-1)3 + (2x+3)3 = 27x3 + 8.
Bài 2:
(x2 – 5x)2 + 10(x2 – 5x) + 24 = 0
(x2 + x – 2)(x2 +x – 3) = 12
(x2 + x + 1)2 = 3(x4 + x2 + 1)
Bài 3:
x(x + 1)(x – 1)(x+ 2) = 24
(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680
(12x + 7)(3x + 2)(2x + 1) = 3
(2x + 1)(x + 1)2 (2x + 3) = 28
Bài 4:
(x2 – 6x + 9)2 – 15(x2 – 6x + 10) = 1
(x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = 0
(x2 – 9)2 = 12x – 1
Bài 5:
(x + 1)4 + (x – 3)4 = 82
(x - 1)4 + (x – 2)4 = 1
(x + 2,5)4 + (x – 1,5)2 = 1
Bài 6:
x4 – 3x3 +4x2 – 3x + 1 = 0
6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 = 0
x5 + 2x4 + 3x3 + 3x2 + 2x + 1 = 0
6x4 + 7x3 - 36x2 – 7x + 6 = 0
Bài 7: Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm:
x4 – 3x3 + 6x2 + 13 = 0
x4 – 2x3 + 4x2 – 3x + 2 = 0
x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0.
 Giáo án đại số 9
Tiết 54. phương trình quy về phương trình bậc hai
I. mục tiêu:
Học sinh biết cách giải một số phương trình có thể biến đổi về phương trình bậc hai hoặc phương trình tích.
II. chuẩn bị 
Sách giáo khoa, bảng phụ.
III. hoạt động dạy học
1. ổn định tổ chức lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: Giải các phương trình sau:
2x = 5
3x2 + 5x + 2 = 0
3. Bài mới:
Đặt vấn đề: Chúng ta đã học cách giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai một ẩn số. Nhưng khi gặp các phương trình bậc cao như:
x5 – 4x3 = 0
4x4 + 6x2 – 10 = 0
.
 Ta phải làm thế nào ? Để giải quyết điều đó hôm nay chúng ta nghiêm cứu tiết 54 “Phương trình quy về phương trình bậc hai”.
 Hoạt động của thầy Hoạt động của trò
 Để giải phương trình bậc cao ta có các cách sau:
Đưa phương trình về phương trình tích.
? phương trình tích là phương trình có dạng như thế nào?
A.B = 0 khi nào ?
- Học sinh trả lời.
? Giải phương trình sau:
 x5 – 4x3 = 0?
Muốn giải phương trình trên ta làm ntn ? 
* Học sinh trả lời và lên bảng thực hiện.
Gv cho ví dụ 2: 
2x3 – 3x2 + 5x + 10 = 0 .
Và đưa bảnh phụ có ghi nhận xét:
1) Phương trình tích:
a) Định nghĩa: (Học sinh trả lời)
b) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình : 
 x5 – 4x3 = 0
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x= 0, x = 2 và x = -2.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
2x3 – 3x2 + 5x + 10 = 0 (2)
Tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng 7, tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ bằng 7. Do đó phương trình có một nghiệm bằng – 1.
Vậy để giải (2) ta làm như thế nào?
Học sinh trả lời và lên bảng thực hiện.
Gv yêu câu học sinh khác nhận xét đánh giá và đưa bảng phụ có sẵn lời giải để học sinh so sánh cách làm.
? Qua ví dụ trên: Muốn đưa một phương trình về phương trình tích ta có thể thực hiện bằng những cách nào?
Học sinh trả lời.
? Nêu cách giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu?
Học sinh trả lời:
Gv cho ví dụ
Học sinh cả lớp thực hiện, yêu cầu một học sinh lên bảng thực hiện.
Gv nhận xét và bổ xung
Gv giới thiệu phương trình trùng phương.
Làm thế nào để có thể đưa phương trình trùng phương về dạng bậc hai quen thuộc để giải
Học sinh trả lời:
Gv cho ví dụ: Giải phương trình: 
4x4 + 6x2 – 10 = 0 
Gv hướng dẫn học sinh cả lớp cùng giải.
Gv dùng phiếu học tập: Yêu cầu học sinh nêu cách giải phương trình trùng phương.
Nhận xét: Tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng 7, tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ bằng 7. Do đó phương trình có một nghiệm bằng 
– 1.
Ta có (2) 
Giải (2.1) và (2.2) ta được nghiệm của phương trình đã cho.
2) Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Ví dụ: Giải phương trình: 
Giải:
TXĐ: x 0; x 1
Ta có (3) 
Nhận thấy x2 – x – 1 = 0 vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
3) Phương trình trùng phương.
a) Định nghĩa: SGK.
b) Ví dụ: Giải phương trình : 4x4 + 6x2 – 10 = 0 (4)
Giải:
Đặt: x2 = t 0
(4) 
Nhận thấy (*) có: a+b+c=0. Do đó phương trình (*) có t1=1; t2=-5/2
+Nếu: t = 1 thì x2 = 1 
+Nếu: t = -5/2 thì x2 = -5/2 ( Vô lí)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 
Ngoài những phương trình bậc cao trên nhiều khi ta còn gặp nhiều phương trình bậc cao khác 
Gv giới thiệu phương trình tam thức.
Cho ví dụ: Giải phương trình: 
 x6 + 8x3 + 7 = 0 .
? Làm thế nào để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai để có thể giải được phương trình (4).
* Học sinh trả lời và thực hiện.
Tổng quát: Hãy nêu cách giải phương trình tam thức.
* Gv phát phiếu học tập.
* Học sinh nêu tổng quát vào phiếu học tập.
* Cho học sinh cả lớp luyện tập tại chỗ.
* Yêu cầu hai học sinh lên bảng thực hiện.
4) Phương trình tam thức.
a) Định nghĩa: là phương trình có dạng: ax2n + bxn + c = 0 với a 0
b) Ví dụ: Giải phương trình: x6 + 8x3 + 7 = 0 (5)
Giải: 
Đặt x3 = t.
Ta có (5) 
Ta thấy (**) có: a - b + c = 0. 
Do đó t1 = -1; t2 = -7
+Nếu: t1 = -1 
+Nếu: t2 = -7 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: x = -1 và x = .
Tổng quát: Cách giải phương trình tam thức: ax2n + bxn + c = 0 với a 0
Bước 1: Đặt xn = t
Bước 2: Giải (**) ta có t0 thay t0 vào (*). Ta có x0 là nghiệm của phương trình đã cho. 
5) Luyện tập:
Giải các phương trình sau:
x4 – 3x2 + 4x – 2 = 0
x4 + 5x2 – 6 = 0
IV.củng cố
Giáo viên hệ thống bài học và nhấn mạnh các dạng phương trình đặc biệt, và cách giải các phương trình đó.
V. hướng dẫn tự học.
Về nhà họckĩ lí thuyết, nắm chắc các dạng phương trình đặc biệt và cách giải của phương trình đó.
Giải các phương trình sau:
x4 + x2 + 6x – 8 = 0
(x2 + 1)2 = 4(2x – 1)
(x-1)3 + (2x+3)3 = 27x3 + 8.
c. kết luận.
 Dạy học các phương pháp tìm lời giải cho bài toán là một vấn đề mà người giáo viên đòi hỏi phải có sự say mê chuyên môn, phải có sự tích luỹ để khái quát, tổng hợp thành những thuật toán để từ đó học sinh có thể dễ dàng làm toán.
 Trên đây là một số phương pháp giải phương trình bậc cao trong chương trình toán 8 và toán 9 hiện nay mà tôi đã rút được qua việc giải bài tập, qua sách vở và qua quá trình giảng dạy. Đề tài này nếu để thực hiện trong một tiết dạy cụ thể thì không thể chuyền tải hết nội dung của nó. Đồng thời chuyên đề này không phải thực hiện được cho mọi đối tượng học sinh mà tôi chỉ áp dụng đối với đối tượng học sinh khá - giỏi, học sinh có năng khiếu về môn toán. Mục đích tôi viết chuyên đề này là giúp học sinh có năng khiếu về môn toán nắm được một số dạng của phương trình bậc cao và các cách giải phương trình đó. Khi đã nắm được các phương pháp đó mở cho các em tư duy khái quát, tổng hợp đối với bài toán cụ thể cũng như các bài toán tổng quát.
Bản thân tôi khi nghiên cứu đề tài này cũng đã trao đổi cùng với các đồng chí trong tổ toán của trường và đã được các đồng chí trong tổ nhiệt tình ủng hộ, giúp đỡ. Đồng thời tôi cũng đã triển khai áp dụng đối với học sinh lớp 9B của trường thành tiết chuyên đề.
 Kết quả thu được như sau:
* Tổng số: 40 học sinh 
* Trong đó có 30 học sinh giải thành thạo các loại phương trình như phương trình trùng phương, phương trình tam thức.
* Đồng thời được các đồng chí trong tổ bộ môn và các đồng chí trong ban giám hiệu đánh giá cao.
 Song do chuyên đề khá rộng bản thân tôi chưa khai thác hết, đồng thời cũng không thể tránh hết được những thiếu sót trong đề tài này. Kính mong các đồng chí, đồng nghiệp đóng góp ý kiến và giúp đỡ tôi để đề tài được hoàn thiện hơn và được áp dụng rộng rãi hơn cho các đối tượng học sinh.
 Xin chân thành cảm ơn.
 Yên Bái: Ngày 10 tháng 03 năm 2005
 Người viết
 Nguyễn Văn Tân.