Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS

:
Ta có : B1 = a + = b + (a-b) + ³ 3. (theo Côsi).
B1 ³ 3 Þ B1 min = 3 Û b = a-b = Û 
Vậy : B1 min = 3 Û 
2. Ví dụ 2 : Cho a,b > 0 và a + b = 1 . Tìm GTNN của B2 = + 
Giải :
Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)() ³ 2. 2 = 4 (với x,y > 0)
Þ ³ 	(1)
Ta có : ab £ ()2 = Þ ³ 4	(2) do a+b = 1 ; a,b > 0
Áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có :
B2 = 
B2 ³ 2 + do a + b = 1 Þ B2min = 6 Û a = b = 
Vậy : B2min = 6 Û a = b = 
3. Ví dụ 3 : Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN của B3 = x4 + y4 + z4
Giải :
Do xy + xz + yz = 4 Þ 16 = (xy + xz + yz)2 £ (x2+y2+z2) (x2+y2+z2)
(Theo Bunhiacôpxki) Û 16 £ (x2+y2+z2)2 £ (x4 + y4 + z4) (12+12+12)
Þ B3 = x4 + y4 + z4 ³ Þ B3min = Û x = y = z = ± 
Vậy : B3min = Û x = y = z = ± 
4. Ví dụ 4 : Cho |a| £1; |b| £1 và | a+ b| = 
Tìm GTLN của B4 = 
Giải :
Ta có : (a-b)2 ³ 0	"a;b Þ (1)
áp dụng (1) ta có :
Do 	(do | a + b| = )
Þ £ 1 - = Þ ()
Þ B4 = Þ B4Max = 1 Û a = b = 
Vậy : B4Max = 1 Û a = b = 
5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B6 = | x + 7| + | x - 1995|
Giải :
Ta có : |x| + |y| ³ | x + y| dấu "=" xảy ra Û x,y ³ 0
Do vậy : B6 = | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x | ³ |x+7 + 1995 - x| = 2002
Þ B6Min = 2002 Û (x + 7). (1995 - x) ³ 0 Û -7 £ x £ 1995
Vậy : B6Min = 2002 Û -7 £ x £ 1995
6. Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6|
Giải :
Ta có : 	B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6|
	B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |6 - (2x + y)| 
	B7 ³ | x + 2000 + x + y + 4 + 6 - 2x - y| = 2010
Þ B7min = 2010 Û (x + 2000); (x + y + 4) ; (6 - 2x + y) cùng dấu 
Vậy : B7min = 2010
7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của 
B = (1 + x2y + xy2)2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 với x2y + xy2 ³ 0
Giải :
Theo BĐT Becnully ta có : (1 + x2y + xy2)2001 ³ 1 + 2001 (x2y + xy2)
Þ B (1 + x2y + xy2)2001- 2001 xy (x+y) + 2001 ³ 1+2001.xy(x+y) - 2001xy(x+y) + 2001.
Û B ³ 2002 Û B min = 2002 Û xy(x+y) = 0 Û 
Vậy : B min = 2002 Û 
8. Ví dụ 8 : Cho xyz = 1 và x + y + z = 3. 
Tìm GTNN của B8 = x16 + y16 + z16
Giải :
Cách 1 : 
Ta có : 	(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ³ 0 	"a,b,c
Û a2 + b2 + c2 ³ ab + ac + bc (1)
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : 
B8 = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 ³ x8y8 + y8z8 + z8x8
Û B8 ³ x8y8 + y8z8 + z8x8
Û B8 ³ (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 ³ x4y4. y4z4+ x4y4. z4x4 + y4z4. z4x4
Û B8 ³ x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8
Û B8 ³ (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 ³ x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6
Û B8 ³ (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 ³ x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6
Û B8 ³ (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = 3
(do xyz = 1 và x + y + z = 3)
Þ B8min = 3 Û x = y = z = 1
Cách 2: (Không sử dụng giả thiết xyz = 1)
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có :
3 = x + y + z Þ 9 = (x+ y + z)2 £ (x2 + y2 + z2).3
Û 3 £ (x2 + y2 + z2) Û 9 £ (x2 + y2 + z2)2 £ (x4 + y4 + z4).3
 Û 3 £ x4 + y4 + z4 Û 9 £ (x4 + y4 + z4)2 £ (x8 + y8 + z8).3
 Û 3 £ x8 + y8 + z8 Û 9 £ (x8 + y8 + z8)2 £ (x16 + y16 + z16).3
 Û B8 = x16 + y16 + z16 ³ 3 . Þ B8min = 3 Û x = y = z = 1
 Vậy : B8min = 3 Û x = y = z = 1
II. Nhận xét :
Rõ ràng khi áp dụng một số bất đẳng thức cơ bản, bài toán được giải quyết nhanh hơn. Song việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc vào giả thiết bài toán và sự vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó. Một vấn đề đặt ra là : Hai phương pháp vừa nêu vẫn chưa đủ để giải quyết được hết các bài toán cực trị đại số THCS. Chính vì lẽ đó nhu cầu phải có những phương pháp khác tối ưu hơn và thực hiện được yêu cầu bài toán. Trước khi đi nghiên cứu phương pháp 03. Chúng ta cùng nghiên cứu một số bài tập sau :
III. Một số bài tập đề nghị : 
1. Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1
Tìm GTNN của A = (1+) (1+) (1+)
2. Cho a,b, > 0 và a + b = 1
Tìm GTNN của B = 
3. Cho a,b,c > 0 
a) Tìm GTNN của C = 
b) Tìm GTNN của D = 
4. Cho x,y,z ³ và x + y + z = 1
Tìm GTLN 	E = 
5. Cho a,b,c ³ 0 và a + b + c = 1
Tìm GTLN của F = 
6. Cho 0 £ x £ . Tìm GTLN của G = 4x2 - 3x3
7. Cho 0 £ x £ 3 ; Cho 0 £ y £4. Tìm GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y)
8. Cho x,y,z,t ³ 0 và 2x + xy + z + yzt = 1
Tìm GTLN của I = x2y2z2.t
9. Cho x,y,z,t ³ 0 và xt + xy + z + yzt = 1
Tìm GTLN của K = xyzt
10. Tìm GTNN của M = | x-2 | + | y-3 | + | x+y-2007 |
Phương pháp 03 : 
( Sử dụng phương pháp đặt biến phụ )
Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đối tương đương. Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biến thức đã cho về biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị hơn.
I. Các ví dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1: Tìm GTNN của C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12
Giải :
C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12
C1 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) - 6 (x2 + 3x + 5) + 17
C1 = (x2 + 3x + 5)2 - 6 (x2 + 3x + 5) + 17
Đặt : x2 + 3x + 5 = a
C1 = a2 - 6a + 17 = a2 + 6a + 9 + 8
C1 = (a-3)2 + 8³ 8 	do (a-3)2 ³ 0 	"a.
Þ C1min = 8 Û a - 3 = 0 Û a = 3 Û x2 + 3x + 2 = 0 Û 
Vậy : C1min = 8 Û 
2. Ví dụ 2: Tìm GTNN của C2 = 2.- 5 với x,y > 0
Giải :
Đặt : = a ³2 Þ = a2 - 2
Þ C2 = 2.( a2 - 2) - 5a + 6 = 2a2 - 5a + 2
Ta thấy : a ³ 2 Þ C2 = 2a2 - 5a + 2 ³ 0
Þ C2min = 0 Ûa = 2 Û x = y > 0
Vậy : C2min = 0 Û x = y > 0
3. Ví dụ 3: Tìm GTNN của C3 = - + 2004 với x,y>0
Giải :
Đặt : = a ³ 2
Û = a2 - 2 
Khi đó : 	C3 = (a2 - 2) - 3a + 2004
	C3 = a2 - 3a + 2004 = a2 - 3a + 2 + 2002
C3 = (a-1) (a-2) + 2000
Do ta có : a ³ 2 Þ a - 1> 0 ; a - 2³0	Þ (a-1) (a-2) ³0
Þ C3 = (a-1) (a-2) + 2000 ³ 2000
Þ C3 min = 2000 Û a = 2 Û x = y ; xy > 0
Vậy C3 min = 2000 Û x = y và xy > 0
4. Ví dụ 4: Cho x,y,z > 0
Tìm GTNN của C4 = 
Giải :
Đặt : a = 	;	b = 	; 	c = 
Þ = 
Þ 	; 	; 	
Khi đó : 	C4 = 
	C4 = 
Theo Côsi với a,b,c >0 ta có : 
Þ C4 ³ 
Þ C4min = Û a = b = c Û x = y = z > 0.
Vậy C4min = Û x = y = z > 0.
5. Ví dụ 5: Tìm GTLN, GTNN của C5 = 
Giải :
Ta có : ³ a.b (1)	"a,b	và (2)	"a,b
Đặt : và 
Khi đó : C5 =a.b
Theo (1) và (2) ta có : - £ C5 = ab £ 
Û - 
Û - 
Û - £ C5 £ 
Ta có : 0 £ £ 1	;	0 £ £ 1
Do đó : 	£ C5 £ 
Þ 	C5min = Û (x2 - 1)2 = (x2 + 1)2 Û x = 0
	C5max = Û (1 - y2)2 = (1 + y2)2 Û y = 0
Vậy : C5min = Û x = 0
C5max = Û y = 0
II. Các bài tập đề nghị :
1. Tìm GTNN của A = x2 + 4 - x + 
2. Tìm GTLN của B = với aÎ 
3. Cho a ³ -; b ³ -; c ³ - và a+ b + c = 1
Tìm GTLN của C = 
4. Cho x,y > 0. Tìm GTNN của D = 
Phương pháp 04 :
( Sử dụng biểu thức phụ )
 Để tìm cực trị của 1 biểu thức nào đó, đôi khi người ta xét cực trị của 1 biểu thức khác có thể so sánh được với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn.
Ví dụ : Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0, ta có thể xét cực trị của biểu thức : , -A, kA, k + A, |A| , A2 	(k là hằng số).
I. Các vị dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1: Tìm GTLN của A = 
Giải :
 a) Xét x = 0 Þ A = 0 giá trị này không phải là GTLN của A vì với x ¹ 0 ta có A > 0.
b) Xét x ¹ 0 đặt P = khi đó Amax Û Pmin 
với cách đặt trên ta có : P = 
ta có : x2 + (theo côsi)
Þ P ³ 2 + 1 = 3 Þ Pmin = 3 Û x = 1
Do đó : Amax = Û x = 1
2. Ví dụ 2: Tìm GTNN của B = với x > 0
Giải :
Đặt P1 = - B như vậy P1max Û Mmin
Ta có : P1 = với x > 0 Þ P > 0
Đặt P2 = > 0 với x > 0 khi đó P2 Min Û P1 Max
P2 = 
P2 = 
P2 = 
(do ³ 0 	"x > 0)
Þ P2 Min = 8008 Û x = 2002
Þ P1 Max = Û x = 2002
Û BMin = - Û x = 2002
Vậy BMin = - Û x = 2002
3. Ví dụ 3: Cho a,b,c dương và a + b + c = 3
Tìm GTLN của C = 
Giải :
Do a,b,c > 0 Þ C > 0
Đặt : P = C2 khi đó Û CMax
Ta có : P = ()2
Û 	P £ (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki
	P £ 3.9(a + b + c) = 81 	do a + b + c = 3
Þ PMax = 81 Û a = b = c = 1
Û = 81 Û a = b = c = 1
Û CMax = 9 Û Û a = b = c = 1
Vậy CMax = 9 Û Û a = b = c = 1
4. Ví dụ 4: Cho x, y, z, t > 0
Tìm GTNN của D = 
Giải :
Đặt P = 2D ta có :
P = 
P= 
P=
P ³ 	2	+	 2	+	2	+ .6 	(theo côsi)
P ³ 15 Þ PMin = 15 Û x = y = t > 0
Þ DMin = Û x = y = t
Vậy DMin = Û x = y = t
5. Ví dụ 5: Cho x, y > 0 và 7x + 9y = 63	Tìm GTLN của E = x.y
Giải :
Đặt : 	P = 63.E ta có :
	P = 63xy = 7x.9y £ (theo côsi)
P £ = Þ PMax = 
Dấu "=" xảy ra Û 7x = 9y = Û 
Þ EMax = : 63 = Û 
6. Ví dụ 6 : Cho x2 + y2 = 52 	Tìm GTLN của F = 2x + 3y
Giải :
Xét : 	P1 = |F| khi đó P1 = |2x + 3y|
Đặt :	P2 = khi đó P2 = (2x + 3y)2
Theo Bunhiacôpxky : P2 £ (4 + 9) (x2 + y2) = 13.13.4
Þ P2 Max = 13.13.4 Û hoặc 
Þ P1 Max = 26
Do F £ |F| = P
Þ FMax = 26 Û
Vậy FMax = 26 Û
7. Ví dụ 7: Cho x,y > 0 
Tìm GTNN của G = 
Giải :
Đặt : P = G - 2 ta có : 
P = -2
P = 
P = 
Þ PMin = 0 Û x = y > 0
Vậy GMin = 2 Û x = y > 0
II. Các bài tập đề nghị :
1. Cho x,y, z > 0 và x2 + y2 + z2 = 1
Tìm GTNN của A 
2. Cho x ¹ 0.
Tìm GTNN của B = 
3. Cho x ¹ 0
Tìm GTLN của C = 
4. Cho a2 + b2 + c2 = 1
Tìm GTLN của D = a + 2b + 3c
5. Cho a,b > 0 và a + b = 2
Tìm GTNN của E = 
6. Cho a, b, c, d > 0
Tìm GTNN của F = 
7. Cho a,b Î |R
Tìm GTNN của G = 
Phương pháp 05 : 
( Phương pháp miền giá trị )
Trong một số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số đã cho chỉ có thể có một hoặc hai biến số và đưa được về dạng tam thức bậc 2 thì ta có thể sử dụng kiến thức về miền già trị của hàm số để giải và thấy rất hiệu quả.
Đường lối chung là :
Giải sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D. Gọi y là một giá trị nào đó của f(x) với x Î D. Điều này có nghĩa là điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm. Sau đó giải điều kiện để phương trình f(x)=y có nghiệm (x là biến, coi y là tham số). 
Thường đưa đến biểu thức sau : m £y£M
Từ đó Þ Min f(x) = m 	với x Î D.
	Þ Max f(x) = M 	với x Î D.
I. Các ví dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1: Tìm GTNN của f(x) = x2 + 4x + 5
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có :	y = x2 + 4x + 5
	Û	x2 + 4x + 5 - y = 0	(có nghiệm)
	Û	D' = 4 - 5 + y ³ 0
Û 	y ³ 1
Vậy f(x) Min = 1 Û x = -2
2. Ví dụ 2:
Tìm GTLN của f(x) = - x2 + 2x - 7 
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có :	y = - x2 + 2x - 7
	Û 	x2 - 2x + y + 7	(có nghiệm)
	Û	D' = 1 - y - 1 ³ 0
	Û 	y £ - 6
Vậy f(x)Max = -6 Û x = 1
3. Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của f(x) = 
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có : y = Û yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - 6 = 0
Û (y - 1)x2 + 2 (y - 2).x + 3y - 6 = 0 	(có nghiệm)
* Nếu y = 1 Þ x = - 
* Nếu y ¹ 1 Þ D' = (y - 2)2 + (3y - 6)(1 - y) ³ 0
Û y2 - 4y + 4 - 3y2 + 3y + 6y - 6 ³ 0
Û - 2y2 + 5y + 2 ³ 0
Û £ y £ 2
Ta thấy : < 1 < 2
Do vậy : 	f(x) Min = Û x = -3
	f(x) Max = 2 Û x = 0
4. Ví dụ 4 :
Tìm GTNN của f(x) = 
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có :	y = 
Û yx2 + 2yx + y - x2 - 2x - 6 = 0
Û (y - 1)x2 - 2(y + 1)x + y - 6 = 0 	(có nghiệm)
* Nếu y = 1 Þ x = - 
* Nếu y ¹ 1 Þ D' = (y + 1)2 - (y - 1)(y - 6) ³ 0
Û y2 + 2y + 1 - y2 + 6y + y - 6 ³ 0
Û 9y - 5 ³ 0
Û y ³ 
Do < 1 nên ta có YMin = Û x = -
Vậy f(x) Min = Û x = -
5. Ví dụ 5: Tìm GTLN của f(x) = 
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x). 
Ta có :	y = 	Û yx2 + y - x2 - 1 = 0
	Û (y - 1)x2 + y - 2 = 0
	Û (y - 1)x2 = 2 - y	(có nghiệm)	
* Nếu y = 1 Þ Phương trình vô nghiệm 
* Nếu y ¹ 1 Þ x2 = (1)
(1) có nghiệm Û ³ 0 Û 1 < y < 2
Þ YMin = 2 Û x = 0
Vậy f(x) Max = 2 Û x = 0
II. Các bài tập đề nghị :
1. Tìm GTNN của : 
a) A = 5x2 + x + 7	; b) B = ; c) C = 
2. Tìm GTLN của :
a) A = -x2 + x + 2 ; b) B = ; c) C = 
3. Tìm GTLN và GTNN của :
a) A = ; b) B = ; 	c) C = 
Phương pháp 06 : 
( Phương pháp xét từng khoảng giá trị )
Có nhiều bài toán nếu ta chỉ sử dụng các phép biến đổi tương đương, các bất đẳng thức cơ bản phương pháp đổi biến hay biểu thức phụ, thậm chí ngay cả khi sử dụng phương pháp miền giá trị hàm số, việc tìm cực trị vẫn gặp rất nhiều khó khăn có khi không thể tìm được. Những khi ta biết cách xét từng khoảng hợp lý (có sự dự đoán) thì việc tìm được cực trị trở nên đơn giản.
I. Các ví dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1:
Cho m, n Î N*. Tìm GTNN của A = |36m - 5m|
Giải :
Do 	m Î N* Þ36m có chữ số tận cùng là 6
	n Î N* Þ 5m có chữ số tận cùng là 5
Vì vậy : 	Nếu 36m > 5m thì A có chữ số tận cùng là 1
	Nếu 5m > 36m thì A có chữ số tận cùng là 9
a) Xét A = 1 ta có : 36m - 5m = 1 (không xảy ra) vì 
	(36m - 1) : 7 còn 5m :7
b) Xét A = 9 ta có : 5m - 36m = 9 (không xảy ra) vì 
	(5m - 36m) : 9 còn 9 : 9
c) Xét A = 11, xảy ra , chẳng hạn m = 1, n = 2
Vậy AMin = 11 Û m = 1; n = 2
2. Ví dụ 2: Cho m Î N* . Tìm giá trị lớn nhất của B = 
Giải :
Với n = 1	ta có : B = < 1
Với n = 2	ta có : B = 1
 Với n = 3 ta có : B = > 1
Với n = 4	ta có : B = 1
Với n = 5	ta có : B = < 1
Với n = 6	ta có : B = < 1
.................................................................................
Ta dự đoán rằng với n ³ 5, n Î N thì B < 1
Thật vậy : Ta chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp.
a) Giả sử n ³ 5, n Î N ta có B = < 1 (*)
Ta cần phải chứng minh công thức (*) đúng với (n+1) nghĩa là phải chứng minh : 	 	Û (n + 1)2	< 2n+1	(1)
Từ (*) ta có : n2 < 2n Û 2n2 < 2n+1 	(2)
Để chứng minh (1) ta chứng minh (n + 1)2 < 2n2
Û n2 + 2n + 1 0 Û (n - 1)2 - 2 > 0 (đúng vì ³ 5)
b) Kết luận : B = < 1 	" n ³5, n ÎN*
Vậy Bmax = Û n = 3
3. Ví dụ 3: Cho a, b, c, d Î N* và a + b = c + d = 20
Tìm GTNN và GTLN của T = 
Giải :
Do T ¹ 0 nên đặt P = 
Như vậy :	TMin Û PMax	TMax Û PMin
Do a, b, c, d Î N* và a + b = c + d = 20 Û 1 £ a, b, c, d £ 19
* Xét a = b = 10 lúc đó P = 
* Xét 	b a tương tự)
	b < 10 < a hay 1 £ b £19 ; 11 £ a £ 19
a) Trước hết ta tìm TMin = PMax = 19 + 
Ta xét 3 trường hợp sau :
a1) 	1 £b < 10 = c = d < a £ 19 
Khi đó : P = 
a2) 	1 £ c £ b < 10 < a £ d £ 19. Khi đó : P = 
a3) 	1 £ d £ b 1 thì P £ 
Nếu b = 1 thì P £ 
Kết hợp cả 3 trường hợp ta thấy PMax = 
Do đó TMin = Û a =19, b = 1 , c = 19 , d = 1
b) Bây giờ ta tìm TMax = PMin với 1 £ b £ 9 ; 11 £ a £ 19
P = 
Ta có : ; đặt A = 
Ta có : P = A.C + 
Vì A > 0 nên PMin với C = 1
* Xét P = 
Đặt Þ Pb = 
* Xét Pb+1 - Pb : 1 £ b £ 9 ; b Î N
	Pb+1 - Pb = 
Ta có : b(1 + 1)(19 - b)(20 - b) > 0 	" 1 £ b £ 9 , b Î N 
Do vậy : Xét t = 18b2 + 58b - 380 (*)
Nghiệm dương to của (*) là t = 
Ta có bảng xét dấu :
	b	- 	+
	t	+	0	-	0	+
Với 	0 < b < bo thì t < 0 Þ Pb+1 < Pb
	 b > bo thì t > 0 Þ Pb+1 > Pb
Luôn luôn chứng minh được 3 < bo < 4
Þ P3 > P4
Xét 	P3 = 
	P4 = 
Nên : a = 16 , b = 4, c = 1, d = 19 thì PMin = 
Vậy : TMax = ; TMin = 
II. Các bài tập đề nghị :
1. Tìm GTNN của A = |11m - 5m| với m,n Î N*
2. Cho a, b, c, d Î N* và a + b = c + d = 1000. 
Tìm GTLN của B = 
3. Cho m, n Î N và 1 £ m ; n £ 1981 và (n2 - mn - m2)2 = 1
Tìm GTLN của C = m2 + n2 
Phương pháp 07: 
( Phương pháp hình học )
Trong các bài toán xét cực trị của biểu thức đại số nếu biểu thức ở dạng là tổng hiệu của căn bậc hai của các tam thức thì ta có thể đưa bài toán xét cực trị của các biểu thức đại số sang xét độ dài của các đoạn thẳng bằng việc chọn các điểm có toạ độ thích hợp chứa các đoạn thẳng đó.
Lý thuyết cần vận dụng.
+ Nếu A(x1, y1); B (x2, y2) Þ AB = 
+ Với 3 điểm M, A, B bất kỳ ta có :
	|MA - MB| £ AB £ MA + MB
Các ví dụ minh họa.
1.Ví dụ 1: Cho f(x) = 
Hãy tìm giá trị lớn nhất của f(x) .
Giải :
Ta có : f(x) = 
Chọn trong mặt phẳng toạ độ 3 điểm : A (2,1); B(5, 5); M (x, 0)
Ta có : MA = ;MB = 
 AB = 
Mặt khác ta có : |MA - MB| £ AB
hay |- | £ 5
Vậy giá trị lớn nhất của f(x) = 5 
 khi và chỉ khi 3 điểm M, A, B thẳng hàng.
Ta lại có phương trình của đường thẳng qua A và B là : d = 
d cắt ox tại M (; 0)
Vậy giá trị lớn nhất của f(x) = 5 đạt tại x = 
2. Ví dụ 2: 
Cho f(x) = 
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) (1)
Giải :
Ta có : 	
Chọn A (4 , -2) 	; B(x , 2x)	; C (0, 10)
Þ AB = ; BC = ; AC = 
Ta có : AB + BC ³ AC 
Þ + ³ (2)
Ta lại có : 	
chọn D (x, 8); E (0, 2x) ; F (x-4, 0)
DE = ; EF = ; DF = 
ta có : DE + EF ³ DF 
Û (3)
Cộng (2) và (3) ta có : 
VT ³ 4(+)
VT = 4(+) khi và chỉ khi 
A,B,C thẳng hàng 
Û
PT đường thẳng đi qua AB nhận C (0, 10) là nghiệm
D,E,F thẳng hàng
PT đường thẳng đi qua DE nhận F (x-4, 0) là nghiệm
Û Giải điều kiện ta tìm được x = 2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) = 4 (+) tại x = 2.
Nhận xét : Vận dụng phương pháp này để tìm cực trị của biểu thức, đòi hỏi người giải phải rất tinh tế khi chọn điểm để thảo mãn những yêu cầu bài toán.
Bài tập tham khảo :
Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = 
Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của f(x) = 
III. KẾT QUẢ THỰC HIỆN.
Sau khi áp dụng đề tài vào việc giảng dạy, việc giải các loại bài toán tìm cực trị của học sinh đã có những tiến bộ. Điều này thể hiện rõ ở kết quả làm bài tập, bài kiểm tra; khả năng phân tích bài toán, định hướng, tư duy của các em nhanh hơn, chính xác hơn. Nhiều em rất say mê học, đem kiến thức áp dụng vào thực tế tốt hơn. Các em rất tích cực sưu tầm thêm các bài toán hay trong sách, báo, tạp chí để trao đổi với bạn bè. 
Tôi đã tiến hành áp dụng đề tài này với đối tượng HS lớp 9 của trường bằng cách chia lớp thành hai nhóm để dạy đối chứng và thu được kết quả như sau:
Nhóm
Số bài
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Nhóm 1
(không áp dụng đề tài)
30
0
0
3
10,0
6
20,0
21
70,0
Nhóm 2
(được áp dụng đề tài)
30
6
20,0
9
30,0
9
30,0
6
20,0
IV. NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN HẠN CHẾ.
 Đề tài này mới chỉ dùng lại ở việc dưa ra "Một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS".nghiên cứu còn hạn chế, các phương pháp tìm cực trị chỉ dừng ở mức độ đơn giản, chưa có sự khai thác lời giải của bài toán. Hơn nữa, thời gian thực hiện chuyên đề còn hạn hẹp, do đó kết quả đạt được chưa cao.
V. HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI: 
 Do thời gian, tài liệu cũng như năng lực còn hạn chế và mức độ nghiên cứu chưa lớn đề tài mới chỉ đi sâu tìm hiểu "Một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số THCS". Trên cơ sở này chúng ta có thể mở rộng giải bài toán cực trị bằng phương pháp giải tích sẽ có một đề tài nghiên cứu ở mức độ lớn hơn : "Cực trị đại số". Bao gồm "Cực trị tự do"; "Cực trị vướng" và "Cực trị tuyệt đối", hoặc hơn nữa chúng ta còn có thể kết hợp với các bài toán cực trình hình học...
PHẦN III 
 KẾT LUẬN
Sau thời gian học tập tích cực tìm tòi nghiên cứu, kết hợp với những tư liệu tích luỹ được, qua quá trình giảng dạy thực tế cùng với sự tham gia đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp đề tài đã được hoàn thành. Những vấn đề được trình bài trong đề tài tuy chưa thật toàn diện song thực sự có lợi ích rất lớn cho giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi với việc cố gắng chọn, khái quát thành một số phương pháp giải quen thuộc cùng với hệ thống bài tập minh hoạ có thể giúp học sinh tiếp thu bài một cách nhẹ nhàng gây động cơ hứng thú học tập bước đầu đã có những thành công nhất định.
Trên đây là những ý tưởng và việc làm nhỏ bé của tôi qua việc nghiên cứu đề tài khoa học. Trong quá trình thực hiện đề tài không tránh khỏi những thiếu sót về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả những kiến thức khoa học. Vì vậy tôi rất mong các thầy cô giáo có những ý kiến đóng góp chân thành để giúp tôi hoàn thành xuất sắc đề tài của mình.
Em xin chân thành cảm ơn !
TÀI LIỆU THAM KHẢO	
1) Sách giáo khoa Đại số 8; 9 	Nhà xuất bản giáo dục
Sách nâng cao Đại số 8	 Vũ Hữu Bình 
Sách nâng cao Đại số 9	 Vũ Hữu Bình 
Sách nâng cao Đại số 8	 Võ Đại Mau
Sách nâng cao Đại số 9	 Võ Đại Mau
Tuyển tập các bài toán sơ cấp 	 Vũ Hữu Bình
Tuyển tập các bài toán sơ cấp	 Võ Đại Mau
36 bộ đề ôn thi tốt nghiệp THCS	 Võ Đại Mau
Tạp trí toán học trẻ Tháng 3 năm 2002	 
PHỤ LỤC
Phần I : MỞ ĐẦU	
I. Lý do chọn đề tài 	3
II. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài. 3
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4
IV. Phương pháp nghiên cứu. 4
Phần II : NỘI DUNG
I : Các kiến thức cần thiết	5
II : Một số phương pháp cơ bản giải bài toán cực trị đại số 	7
	Phương pháp 01 : Sử dụng phép biến đổi đồng nhất	7
	Phương pháp 02 : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản 	10
	Phương pháp 03 : Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 	14
	Phương pháp 04 : Sử dụng biểu thức phụ 	17
	Phương pháp 05 : Phương pháp miền giá trị 	21
	Phương pháp 06 : Xét từng khoảng giá trị 	24
	Phương pháp 07 : Phương pháp hình học 	28
III. KẾT QUẢ 30
VI. NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN HẠN CHẾ 30
V. HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 30
Phần III : KẾT LUẬN	31
TÀI LIỆU THAM KHẢO 32