Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong Hình học 7

phần 1 
đặt vấn đề
I.Lý do chọn đề tài 
1)Cơ sở lý luận :
 Trước hết ta thấy môn Toán là một môn khoa học ,những tri thức ,kỹ năng Toán học cùng với phương pháp làm việc trong Toán học trở thành công cụ để học tập những môn khoa học khác , môn Toán là công cụ của nhiều ngành Khoa học .
 Môn Toán giúp cho học sinh hình thành và phát triển những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như Toán học hoá tình huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật Toán ,phát hiện và giải quyết vấn đề . Những kỹ năng này rất cần cho người lao động trong thời đại mới .
 Môn Toán góp phần phát triển nhân cách con người , ngoài việc cung cấp những kiến thức , kỹ năng Toán học, môn Toán góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp , trừu tượng hoá , khái quát hoá. 
 Ta thấy được môn Toán có vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong kỹ thuật . Vì vậy người thầy phải có phương pháp dạy học để phát huy được tính tích cực học tập của học sinh .
 -Chúng ta đều biết hiện nay chương trình Toán 7 nói chung và Hình Học 7 nói riêng không như kiến thức của Toán học 6 chỉ phần lớn nhắc lại;củng cố sâu hơn phần kiến thức bậc Tiểu học thì Toán 7 đóng vai trò là ‘’Bản lề ‘’ ,là ‘’Tiền đề cơ bản’’ về kiến thức Toán trong chương trình Toán THCS .Học sinh được học những kiến thức ,khái niệm hoàn toàn mới và cơ bản để học sinh tiếp thu và học những chương trình cao hơn sau này .
 -Việc khó với học sinh khi học Hình học 7 là khi trình bày một bài tập chứng minh Hình học phải biết cách ghi GT;KL ,biết cách vẽ hình ,trình bày chứng minh phải có lập luận chặt chẽ và có căn cứ thể hiện được phương pháp chứng minh của mình .Việc làm này với các em là hoàn toàn mới mẻ ,các em chưa tự hình thành được chứng minh qua việc khái quát từ kiến thức cơ bản ,việc giáo viên giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản ,hướng dẫn học sinh tiếp cận ,hiểu ;vận dụng và trình bày được các phương pháp chứng minh là hết sức quan trọng .
2)Cơ sở thực tiễn.
 -Hiện nay khi học sinh giải một bài tập chứng minh Hình học khi trình bày lời giải ngoài việc ghi GT;KL ;vẽ hình thì một vấn đề quan trọng là học sinh phải nắm được ,vận dụng ,trình bày có căn cứ trên cơ sở kiến thức cơ bản các phương pháp chứng minh ,phần lớn học sinh ban đầu chưa đúc rút ,xây dựng và tự hình thành cho mình phương pháp chứng minh về một kiến thức nào đó ,việc vận dụng trình bày còn lúng túng dẫn đến tình trạng học sinh chứng minh sai hoặc chứng minh không lập luận chặt chẽ 
 Từ những cơ sở nêu trên đây chính là lý do tôi trình bày Sáng kiến kinh nghiệm :’’Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong Hình học 7’’. 
3)Mục tiêu chuyên đề :
 -Giúp học sinh khái quát kiến thức cơ bản tự hình thành ’’Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong Hình học 7’’. 
 -Biết vận dụng trình bày phương pháp trên khi trình bày lời giải một số bài tập chứng minh hai đường thẳng song song trong Hình học 7
 -Trên cơ sở đó ,từ đó các em biết phát huy khả năng sáng tạo ,củng cố ,khắc sâu mở rộng kiến thức và tích cực chủ động của học sinh .Hình thành niềm say mê học Toán ,giải Toán ,giải quyết được những bài toán đặt ra 
4)Phạm vi chuyên đề 
 -Trong phạm vi chuyên đề này tôi chỉ đề cập một số dạng bài tập chứng minh hai đường thẳng song song trong trong Hình học 7 và ’’Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong Hình học 7’’.Qua đó các em sẽ có những cách nhìn ,tự xây dựng và hình thành phương pháp học tập ,phương pháp chứng minh các kiến thức khác . 
5)Nhiệm vụ cụ thể :
 -Hướng dẫn học sinh củng cố kiến thức cơ bản về hai đường thẳng song song ,xây dựng ’’Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong Hình học 7’’.Biết cách trình bày hoặc hình thành hướng giải bài Toán bằng cách hiểu ,vận dụng ’’Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong Hình học 7’’ thông qua một số dạng bài tập . 
Phần II.
Giải quyết vấn đề .
A.Cơ sở lý thuyết .
1.Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song : sở lý thuyết 
A
B
a
b
c
 Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau ) thì a và b song song với nhau.(H.1)
2)Tiên đề ơ clít:
M
a
 Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó (H.2)
3)Tính chất 1(Từ vuông góc đến song song )
c
a
b
 Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau (H.3)
4)Tính chất 2(Từ vuông góc đến song song )
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia (H.3)
c
a
b
5)Tính chất 3(Từ vuông góc đến song song )
 Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau (H.4)
d
d’
d’’
B.Một số phương pháp chứng minh 
hai đường thẳng song song 
1.Cách 1(Chỉ ra hai góc so le trong bằng nhau )
2.Cách 2 (Chỉ ra hai góc đồng vị bằng nhau )
A
B
a
b
c
3.Cách 3(Chỉ ra hai góc trong cùng phía bù nhau)
M
a
4. Cách 4.Vận dụng tiên đề ơ clít
c
a
b
5.Cách 5.Vận dụng tính chất 1(Từ vuông góc đến song song )
c
a
b
6.Cách 6.Vận dụng tính chất 2(Từ vuông góc đến song song )
d
d’
d’’
7.Cách 7.Vận dụng tính chất 3 (Từ vuông góc đến song song )
c.Một số bài toán vận dụng 
.Bài toán 1: 
Mục tiêu đề cập trong bài tập này của tôi không phải vấn đề đưa ra bài tập khó hay dễ mà là hướng dẫn và yêu cầu học sinh phải biết vận dụng và trình bày tất cả các cách chứng minh về hai đường thẳng song song 
Cho hình vẽ bên .biết : 
a)Chứng minh rằng :a// b (bằng nhiều cách )
b)Chứng minh rằng :BE//CF;BE’//CF’
c)Chứng minh rằng :b//c(bằng cách vận dụng tiên đề ơ clít )
d)a//b hay không ,vì sao?
Giải: 
a)Cách 1
Ta có :
là hai góc trong cùng phía bù nhau suy ra a//b(Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song -cách 3)
Cách 2.
Vì (Hai góc kề bù )
Ta có :
là hai góc so le trong bằng nhau suy ra a//b(Theo dấu hiệu nhận biết hai 
đường thẳng song song-Cách 1 ) 
b)
Giải:
Ta có :
là hai góc đồng vị bằng nhau suy ra BE//CF(Theo dấu hiệu nhận biết hai 
đường thẳng song song-Cách 2 ) 
Giải:
Vì (Hai góc kề bù )
Ta có :
là hai góc đồng vị bằng nhau suy ra BE’//CF’(Theo dấu hiệu nhận biết hai 
đường thẳng song song-Cách 2 ) 
c) 
Giải:
Ta có :
BE//CF (chứng minh phần b) →BE//c (1)
BE’//CF’(chứng minh phần b) → BE’//c (2)
Từ (1);(2) theo tiên đề ơclit 
suy ra EE’//c hay b//c.
d) 
Giải:
Ta có :
a//b (chứng minh phần a) (3)
b//c(chứng minh phần c) (4)
Từ (3);(4) suy ra a//c (Tính chất 3 .Từ vuông góc đến song song-Cách 7 )
Bài toán 2:
Cho tam giác cân ABC(AB=AC) .Trên các cạnh AB và AC lấy tương ứng gọi điểm D và E sao cho AD=AE.Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng :DE//BC.
Hướng dẫn 
Ta có :AD=EA(gt) → tam giác ADE cân tại A do đó 
A
B
C
M
D
E
 (1) 
Tam giác ABC cân tại A (gt) do đó 
 (2) 
Từ (1) và(2) suy ra 
mà hai góc này ở vị trí đồng vị suy ra 
 là hai góc đồng vị bằng nhau .
Vậy DE//BC(Theo dấu hiệu nhận biết hai 
đường thẳng song song-Cách 2 ) 
Bài toán 3:
Cho tam giác ABC cân ở A.Trên tia đối
của tia AB lấy điểm D ,trên tia đối của tia
AC lấy điểm E sao cho AD=AE.
Chứng minh rằng:DE//BC
Hướng dẫn .
Ta có:AE=AD(gt).Tam giác AED cân ở A do đó (1)
B
A
E
D
C
Tam giác ABC cân ở A (gt) do đó 
 (2) 
Mà (Hai góc đối đỉnh) (3) 
Từ (1);(2);(3) suy ra 
mà là hai góc so le trong → 
 là hai góc so le trong bằng nhau do đó DE//BC.( Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song-Cách 1 ) 
 Bài tập 4: Cho ABC, AB = AC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD
 CMR: AB // DC
Bài tập 
GT
ABC, AB = AC
MB = MC, MA = MD
KL
b) AB // DC
Chứng minh:
 Xét ABM và DCM có:
AM = MD (GT) (1)
 (Hai góc đối đỉnh ) (2)
BM = MC (GT) (3)
Từ (1);(2);(3) ABM = DCM (c.g.c)
 (Hai góc tương ứng ) Mà 2 góc này ở vị trí so le trong là hai góc so le trong bằng nhau 
 AB // CD.( Theo dấu hiệu nhận biết hai 
đường thẳng song song-Cách 1 ) 
 Bài tập 5: 
Vẽ ABC
- Qua A vẽ AH BC (H thuộc BC), Từ H vẽ KH AC (K thuộc AC)
- Qua K vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại E.
a. Chỉ ra 1 số cặp góc bằng nhau 
b. Chứng minh rằng: AH EK
c. Qua A vẽ đường thẳng m AH,
 CMR: m // EK
Giải:
GT
AH BC, HK BC
KE // BC, Am AH
KL
a) Chỉ ra 1 số cặp góc bằng nhau 
b) AH EK
c) m // EK.
Chứng minh:
a) (hai góc đồng vị của EK // BC)
 (hai góc đối đỉnh)
 (hai góc so le trong của EK // BC)
b) Vì AH BC mà BC // EK AH EK(Tính chất 2 .Từ vuông góc đến song song –Cách 6)
c) Vì m AH mà BC AH m // BC, mà BC // EK m // EK(Tính chất 3 .Từ vuông góc đến song song –Cách 7)
 Bài tập 6: 
 Cho , góc A = 900; AB = AC. Điểm K là trung điểm của BC.Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BA kéo dài tại E. 
Chứng minh: EC // AK?
GT
ABC, , AB = AC
KB = KC, CE BC
KL
EC // AK, 
Chứng minh:
. Xét AKB và AKC: 
AB = AC (GT) (1)
AK là cạnh chung (2)
KB = KC (GT) (3)
 Từ (1);(2);(3) AKB = AKC (c.c.c) 
(Hai góc tương ứng ) mà (Hai góc kề bù) hay AK BC (4)
Mặt khác CE BC (GT) (5) 
Từ (4);(5) EC // AK(Tính chất 1 .Từ vuông góc đến song song –Cách 5)
Bài tập 7: (Bài 26-t118 –SGK Hình học 7) 
Xét bài toán :
‘’ Cho tam giác ABC ,M là trung điểm của BC.Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA.Chứng minh rằng AB//CE’’.
Dưới đây là hình vẽ và giả thiết ,kết luận của bài toán :
A
B
C
E
M
GT
ABC,MA=ME;MB=MC
KL
AB // CE , 
Hãy sắp xếp lại năm câu sau đây một cách hợp lý để giải bài toán trên :
1)MB=MC (Giả thiết )
(hai góc đối đỉnh )
MA=ME (Giả thiết )
2)Do đó AMB=EMC(c.g.c)
3)(có hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong )
4) AMB=EMC(Hai góc tương ứng )
5) AMB và EMC có :
Giải :
Thứ tự các bước chứng minh như sau :
5) AMB và EMC có :
1)MB=MC (Giả thiết )
(hai góc đối đỉnh )
MA=ME (Giả thiết )
2)Do đó AMB=EMC(c.g.c)
4) AMB=EMC(Hai góc tương ứng )
3)(có hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong –Cách 1)
Bài tập 8: (Bài 8-Tr109 –SGK Hình học 7) 
Cho tam giác ABC có .Gọi Ax là tia phân giác của góc ngòai ở đỉnh A .Hãy chứng tỏ rằng Ax//BC.
Giải :
GT
ABC, 
KL
Ax // BC , 
B
C
A
D
x
Ta có :
Vì là góc ngoài của ABC tại đỉnh A nên :
(Theo tính chất góc ngoài của tam giác)
Vì Ax là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A (GT) nên: 
(Theo tính chất tia phân giác của một góc ) (1)
Mặt khác (GT) (2)
Từ (1) và (2) mà là hai góc ở vị trí so le trong là hai góc so le trong bằng nhau nên Ax//BC.( Theo dấu hiệu nhận biết hai 
đường thẳng song song-Cách 1 ) 
Bài tập 9:
Tại sao sử dụng tiên đề Ơclit thì suy ra được tính chất ‘’Hai đường thằng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau’’
Hướng dẫn :
GT
a//c
b//c
KL
a// b 
a
b
c
M
Cách suy luận như sau :
Giả sử hai đường thẳng phân biệt a và b không song song với nhau thì chúng phải cắt nhau tại một điểm gọi điểm đó là M.Khi đó qua M vừa có a//c,vừa có b//c ,điều đó trái với tiên đề Ơclit.
Vậy điều giả sử trên là sai ,ta có a//b.
Bài tập 10:
Cho hình vẽ bên ,biết .
A
x
C
B
D
y
Hãy chứng tỏ rằng Ax//By.
A
x
C
B
D
y
 Phân tích .Dựa vào dấu hiệu nhận biết hai 
đường thẳng song song ,đề chứng minh 
Ax //By trước hết ta đi tính rồi so sánh 
 với .
Giải :
Xét tam giác BCD.Ta có :
Vì là góc ngoài tại đỉnh C 
của tam giác BCD 
(Tính chất góc ngoài của tam giác )
nên : hay (1)
Mặt khác ta lại có: =500 (GT) (2)
Từ (1) và (2) mà là hai góc ở vị trí so le trong 
 là hai góc so le trong bằng nhau nên Ax//By(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song –Cách 1)
Bài tập 11: (Bài 24-Tr129 –Luyện giải và Ôn tập Toán 7 .T1) 
d
a
b
c
A
B
C
D
E
G
 Xem hình vẽ bên 
a)Tại sao a//b
b) Đường thẳng c có song song 
 với đường thẳng b không ?
Giải:
a)Ta có :
ad = (1)
bd = (2)
Từ (1) và (2) a//b
(Tính chất 1.Từ vuông góc đến song song-Cách 5 ) (3)
b)Ta có mà là hai góc trong cùng phía là hai góc trong cùng phía bù nhau a//c 
(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song –Cách 3 ) (4)
Từ (3) và (4) c//b(Tính chất 3.Từ vuông góc đến song song –cách 7)
Bài tập 12:
Xem hình vẽ bên .Giải thích tại sao Ax//Cy
x
y
A
C
B
Giải:
x
y
A
C
B
z
Qua B vẽ đường thẳng Bz //Ax (I)
Vì Bz //Ax Theo tính chất về hai đường thẳng
song song nên ta có và 
là hai góc trong cùng phía 
bù nhau 
Ta lại có :
(Hai góc kề bù )
Ta có : 
 (1)
Mặt khác là hai góc ở vị trí so le trong là hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau Bx//Cy (Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song-Cách 1 ) 
(II)
Từ (I);(II) Ax//Cy(Tính chất 3.Từ vuông góc đến song song –Cách 7)
Bài tập 13:
Cho tam giác ABC ,M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD=MC.Trên tia đối của tia NB lấy điểm E sao cho NE=NB .Chứng minh rằng :DE//BC.
GT
ABC
MA=MB;NA=NC
MD=MC;NE=NB
KL
DE//BC.
D
A
E
B
C
M
N
Giải :
Xét AMD và BMC có:
MA=MB(GT) (1)
(Hai góc đối đỉnh ) (2)
MD=MC(GT) (3)
Từ (1);(2);(3) AMD = BMC(c.g.c) (Hai góc tương ứng) 
mà ở vị trí so le trong ở vị trí so le trong bằng nhau AD//BC (Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song-Cách 1 ) (I)
Xét ANE và CNB có:
NA=NC(GT) (4)
(Hai góc đối đỉnh ) (5)
NE=NB(GT) (6)
Từ (4);(5);(6) ANE = CNB (c.g.c) (Hai góc tương ứng) 
mà ở vị trí so le trong ở vị trí so le trong bằng nhau AE//BC (Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song –Cách 1) (II)
 Từ (I) và (II) AD và AE cùng song song với BC nên theo tiên đề Ơclit 
DE//BC(Cách 4)
Phần III.
Kết luận :
1)Bài học kinh nghiệm :
 Sáng kiến kinh nghiệm :’’Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong Hình học 7’’ cũng là một chuyên đề mà tôi thực hiện tại Trường đối với học sinh đại trà.Thông qua chuyên đề ,qua thực tế khi đề cập triển khai nội dung này tôi thấy học sinh rất hứng thú trong việc củng cố kiến thức ,tìm ra các phương pháp chứng minh về nội dung khác ,hứng thú với môn học Hình học và giải bài tập Hình học mà hiện nay học sinh có tâm lý thích học Đại số hơn Hình học .
 -Qua đây tôi cũng thấy được rằng giáo viên biết gợi cho học sinh tìm tòi ,xây dựng phương pháp chứng minh từ những vấn đề mà giáo viên đặt ra khi được giải quyết học sinh sẽ có hứng thú trong học tập hình học nói riêng và môn Toán nói chung .
2)Điều kiện áp dụng :
-Đề tài được áp dụng cho học sinh đại trà giúp học sinh củng cố kiến thức ,hình thành phương pháp học tập nói chung ,tự xây dựng cho mình phương pháp chứng minh Hình Học hình thành hứng thú học tập ,rèn được kỹ năng trình bày bài ,nâng cao năng lực người học 
3)Kiến nghị đề xuất :
 -Đối với chương trình của bộ môn Hình học ,cần dành thêm tiết luyện tập để các em không những được củng cố ,mở rộng kiến thức mà còn rèn cho các em phương pháp trình bày bài ,diễn đạt được các phương pháp chứng minh 
 -Nhà trường cần tổ chức nhiều chuyên đề về Hình học hơn nữa như về các dạng bài tập ;các phương pháp chứng minh ;cách trình bày bài ;rèn kỹ năng ...
 Các ví dụ mà tôi trình bày ở trên có thể chưa thật điển hình ,kiến thức chưa được khai thác hết các dạng bài tập ,hoặc trong trình bày có gì sơ xuất rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp 
Xin chân thành cảm ơn !