Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

 
4.5 a > b > 0 a n > b n ( n N*)
4.6 a > b a n > b n (n N*, n lẻ )
 	 an > bn (nN*, n chẵn )
4.7 So sánh hai lũy thừa cùng cơ số
m > n, m; n N*
 	Nếu a > 1 thì am > an
 	Nếu a = 1 thì am = an 
 	Nếu 0 < a < 1 thì am < an
4.8 a2 0 a ;- a2 0 a dấu “ = “ xảy ra a = 0
4.9 dấu “ = “ xảy ra a = 0
4.10 - dấu “ = “ xảy ra a = 0
4.11 dấu “=”xảy ra ab0
 	dấu “=” xảy ra ab0 và 
4.12 a2 +b2 2ab a ,b
4.13 
4.16 2(a2+b2) (a+b)2 a,b
4.17 3(a2+b2+c2) (a+b+c)2
4.18 (Bất đẳng thức Côsi) Đối với hai số không âm: Dấu”=” xảy ra 
Mở rộng đối với n số không âm :
.
Dấu “=’ xảy ra 
4.19 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki) Đối với bốn số bất kì: 
 	Mở rộng đối với 2n số bất kì :
 Dấu “=” xảy ra 
II: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng
Trong kinh nghiệm này tôi chỉ đưa ra cách chứng minh bất đẳng thức dạng A > B, các bất đẳng thức dạng khác cũng chứng minh tương tự
 1. Dùng định nghĩa.
Để chứng minh A > B ta xét hiệu A- B và chứng minh A- B > 0
*Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 4ab với mọi a, b R
Hướng dẫn:
 Xét hiệu: (a + b)2- 4ab = a2 + 2ab + b2 - 4ab
 = a2 - 2ab + b2
 = (a - b)2
Vì (a – b)2 0 với mọi a, b R nên (a + b)2 4ab với mọi a, b R
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Vậy (a + b)2 4ab với mọi a, b R
*Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi a, b ta có :
Hướng dẫn:
Xét hiệu : a4 +b4 – a3b - ab3 = a3 (a-b) - b3( a-b)
 = (a-b) (a3- b3)
 = (a –b)2(a2 +b2 +ab) 
 = (a-b)2
 Dấu “=” xảy ra khi a = b.
Vậy a4 + b4 a3b + ab3
2. Dùng các phép biến đổi tương đương
Muốn chứng minh A > B ta biến đổi
 A > B (1)A > B A > B(2) 
Trong đó (1) là bất đẳng thức cần chứng minh.
 (2) là bất đẳng thức đã có (đề bài cho hoặc là hằng bất đẳng thức).
*Ví dụ 3:
Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện: a + b = 1.
 Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn:
 ab +a+b+1 9ab (vì ab > 0)
 a+b+1 8ab
 2 8ab (vì a + b =1)
 1 4ab
 (a+b)2 4ab (vì a + b =1)
 (a-b)2 0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi là tương đương .
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
*Ví dụ 4: Cho các số a, b > 0 chứng minh rằng:
 (1)
Hướng dẫn:
 Do a > 0; b > 0 nên ta có thể chia hai vế của bất đẳng thức cho 
 (1) 
 ( Do )
 (2)
Ta thấy (2) đúng với mọi a, b > 0.
Do đó (1) đúng
Dấu “=” xảy ra a = b 
 Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
*Ví dụ 5: Cho các số a, b > 0.
Chứng minh rằng: (1)
Hướng dẫn:
 Vì a > 0; b > 0 
Cả hai vế của (1) không âm, bình phương hai vế ta được
 	 Ta thấy (2) đúng nên (1) đúng
 Chứng tỏ a > 0; b > 0 thì 
 Dấu “=” xảy ra a = b
3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức
- Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi dữ kiện đề bài cho thành điều phải chứng minh.
- Sử dụng tính chất bắc cầu
Để chứng minh A > B ta chứng minh A > C > D >  > M > B. 
Từ đó suy ra A > B.
Chú ý: Một số bước trung gian có thể xảy ra dấu “=” hoặc 
*Ví dụ 6: Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 
Hướng dẫn
Từ các bất đẳng thức:
 a2 – 2ab +b2 với mọi a, b (1)
 a2 – 2ac +c2 với mọi a, c (1)
 b2 – 2bc +c2 với mọi b, c (3)
 Do a + b + c = 1 
 (4)
 Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4) ta được
*Ví dụ 7 : Cho a, b > 0. Chứng minh rằng 
Hướng dẫn:
Vì a > 0 , b > 0 nên 
Với hai số dương a, b và hai số dương ta có:
 (Theo Côsi)
Vì các vế của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dương, nhân từng vế ta được:
 = 4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b
Vậy với a, b > 0 thì 
*Ví dụ 8: Cho 0 < a, b, c, d < 1.
 Chứng minh rằng: (1- a).(1- b).(1- c).(1- d) >1- a- b- c- d (1)
Hướng dẫn:
Ta có (1- a)(1- b) = 1- a - b + ab
Do a > 0; b > 0 nên ab > 0 từ đó suy ra: (1 - a)(1 - b)>1- a - b (1)
Do c 0 nhân cả hai vế của (1) với 1- c ta được :
(1- a)(1- b)(1- c) >(1- a- b)(1- c)=1- a - b - c + ac + bc
Do a, b, c > 0 nên ac + bc > 0 vì vậy 1- a- b - c + ac + bc > 1- a- b- c
Do đó (1- a)(1- b)(1- c) > 1- a- b - c (2)
Nhân hai vế của (2) với 1- d > 0 ta được :
(1- a)(1- b)(1- c)(1- d) > (1- a- b - c)(1- d)
 Mà 1- a- b- c- d + ad + bd + cd > 1-a-b-c-d
(vì ad + bd + cd > 0)
Vậy (1- a)(1- b)(1- c)(1- d) >1- a - b - c - d
*Ví dụ 9: Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) với mọi a, b, c 
Hướng dẫn
áp dụng ví dụ 1
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
*Ví dụ 10: Chứng minh bất đẳng thức:
<1 
Hướng dẫn
Ta có: 
 suy ra
4. Sử dụng một số bất đẳng thứcđã biết
Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết như bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacôpxki,  để chứng minh bất đẳng thức đã cho.
Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức đã cho cần xét đến điều kiện.
* Ví dụ 12: Cho a, b là 2 số dương. Chứng minh (a + b) .(ab + 1) ³ 4ab.
* Hướng dẫn:
Vì a > 0, b > 0 ị ab > 0
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 cặp số dương (a, b) và (ab;1) ta có:
Vì 2 của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dương nên ta có
Vậy (a + b) . (ab + 1) ³ 4ab
Dấu "=" xảy ra khi	 
* Ví dụ 13: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki chứng minh:
a - Cho x, y ẻ R thoả mãn x2 + y2 = 1. Chứng minh: 
b- Cho x, y ẻ R thoả mãn x + 2y = 2. Chứng minh: 
Hướng dẫn:
a) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
(x + y)2 = (1 . x + 1 . y)2 Ê (12 + 12) . (x2 + y2)
Û (x + y) 2Ê 2(x2 + y2) 
Û (x + y)2Ê 2 ( Vì x2 + y2 = 1)
Đó là điều phải chứng minh:
b) Từ đầu bài x + 2y = 2 suy ra (x + 2y)2 = 4
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
4 = (x + 2y)2 = (1x + 2y)2 Ê (12 + 22)(x2 + y2) = 5(x2 + y2)
Vậy (Điều phải chứng minh)
Đẳng thức xảy ra khi 
* Ví dụ 14:
Chứng minh:
Với a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC; p = (a + b + c) / 2.
Hướng dẫn:
Do P là nửa chu vi của tam giác ABC nên.
 p – a > 0; p - b > 0; p - c > 0
áp dụng bất đẳng thức ta có:
Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có:
Vậy 
Đó là điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
5. Dùng phản chứng:
Muốn chứng minh A > B (1)
Ta giả sử A B, từ đó ta chỉ ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc một tính chất đúng nào đó. Do đó điều giả sử trên là sai. 
Vậy bất đẳng thức (1) đúng.
*Ví dụ 15: Cho x2 + y2 Ê 2.
Chứng minh rằng: x + y Ê 2
Hướng dẫn:
Giả sử x + y > 2 ị x2 + y2 + 2xy > 4
Mà x2 + y2 ³ 2xy ị 2(x2 + y2) ³ x2 + y2 + 2xy > 4
ị x2 + y2 > 2 (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy giả sử trên là sai.
Do đó nếu x2 + y2 Ê 2 thì x + y Ê 2.
6. Dùng bất đẳng thức trong tam giác.
Tam giác ABC bất kỳ luôn có BC – AC < AB < BC + AC
*Ví dụ 16: 
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
a2 (b + c) + b2 (c + a) + c2 (a + b) Ê a3 + b3 + c3 + 3abc.
Hướng dẫn:
Vì a, b, c có vai trò như nhau, không giảm tính tổng quát.
Giả sử: a ³ b ³ c > 0
Xét hiệu 3abc + a3 + b3 + c3 - a2 (b + c) - a2(b + c) - b2(c + a) - c2(a + b)
 = 3abc + a3 + b3 + c3 - a2b - a2c - b2c - b2a - c2a - c2b
= a2(a - b) + b2(b - a) + c(2ab + a2 - b2) + c (c2 - bc + ab - ac)
= (a - b) (a2 + b2) - c(a - b)2 + c(c - a)(c - b)
= (a - b)2(a + b - c) + c(b - c)(a - c) ³ 0
(Vì: a ³ b; a + b > c; a ³ c; b ³ c; c > 0)
Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.
*Ví dụ 17: 
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
a3 + b3 + c3 + 2abc < a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b) (1) 
Hướng dẫn:
Ta có:
 (1) Û [a3 - a2 (b + c)] + [b3 + c3 - b2c - c2b] + [2abc - b2a - c2a] < 0
Û a2 (a - b - c) + (b - c) (b2 - c2) - a(b - c)2 < 0
Û a2 (a - b - c) + (b - c)2 (b + c - a) < 0
Û (a - b - c) [a2 - (b - c)2] < 0
Û (a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) < 0 (2)
Vì b + c > a ; a + b > c ; a + c > b nên (2) đúng.
Vậy chứng tỏ (1) đúng (Điều phải chứng minh)
7. Phương pháp quy nạp
áp dụng với các bài tập tổng quát
Ta thử vào bất đẳng thức với giá trị nhỏ nhất theo dữ kiện của bài.
Giả sử bất đẳng thức đúng với k.
Chứng minh bất đẳng thức đúng với k + 1.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
*Ví dụ 18: 
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 1.
Ta đều có:
Hướng dẫn:
Đặt: 
Xét n = 2 ta có:
Bất đẳng thức đúng khi n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 2
Nghĩa là: 
Ta đi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
Thật vậy với n = k + 1 ta có:
Do đó Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
*Ví dụ 19: 
Chứng minh rằng: 2n > n2 (1) ("n ẻ N, n ³ 5)
Hướng dẫn:
+ Với n = 5 bất đẳng thức (1) đúng vì 25 > 52
+ Giả sử bài toán đúng với n = k; k ³ 5
Tức là ta có: 2k > k2
Ta phải đi chứng minh: 2k+1> (k+1)2
Thật vậy: Ta có 2k > k2
ị 2k+1 > 2k2 (2)
Ta đi chứng minh: 2k2 > (k+1)2
Xét hiệu: 2k2 - (k+1)2 = k2 - 2k - 1 = k(k - 2) - 1
Do k ³ 5 ịk - 2 ³ 3 ị k(k - 2) ³ 15 ị k (k - 2) - 1 > 0 
ị 2k2 > (k+1)2 (3)
Từ (2), (3) ị2k+1>(k+1)2
Vậy bất đẳng thức (1) đúng "n ³ 5, n ẻ N.
8. Phương pháp xét khoảng. 
Ta xét các khoảng và chỉ ra bất đẳng thức luôn đúng trong các khoảng đó của biến.
*Ví dụ 20:
 Chứng minh rằng:
 	f(a) = 2003a4 - 2001a + 2002 > 0 " a
 Hướng dẫn:
+ Xét: a 0
(Vì: 2003a4 ³ 0 " a; 2001(1 - a) > 0 " a 0
+ Xét a ³ 1: f(a) = 2a4 + 2001a(a3 - 1) + 2002 > 0 " a
(Vì: 2a4 ³ 0 " a' 2001a(a3 - 1) ³ 0 " a ³ 1; 2002 > 0).
Vậy f(a)= 2003a4 - 2001a + 2002 > 0 "a.
9. Phương pháp đặt biến phụ
 Ta đặt một biểu thức nào đó có liên quan đến biến của bất đẳng thức đã cho bằng một biến mới.
 Sau đó chứng minh bất đẳng thức theo biến mới là đúng.
 Kết luận bất đẳng thức đã cho là đúng.
*Ví dụ 21:
 Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng a 2 + b2 + c2 
Hướng dẫn:
Đặt a = +x, b =+y, c =+z. Vì a + b + c = 1 nên x + y + z = 0.
a 2+ b2+c2= (+x)2+(+y)2+(+z)2
Dấu ''='' x = y = z = 0 
 +Ta cũng có bài tán tổng quát 
Cho 
Nhận xét chung:
Trên đây là một số phương pháp phổ biến dùng để chứng minh bất đẳng thức ngoài ta cùng còn một số phương pháp khác nhưng ít dùng hơn.
Để học tốt về bất đẳng thức học sinh cần nắm vững các phương pháp cơ bản tuỳ theo đặc thù từng bài cụ thể mà vận dụng linh hoạt các phương pháp đó. 
	Cần lưu ý rằng một bài toán có thể vận dụng nhiều cách chứng minh.
chương III
một số bài toán chứng minh bất đẳng thức
Trong phần này tôi trình bày theo hướng sau:
1. Nêu các bài toán cụ thể, hướng dẫn học sinh phân tích, tổng hợp, suy luận và đi đến áp dụng theo từng dạng đã được cụ thể ở phần II.
2. Với từng bài toán, lựa chọn các phương pháp giải ngắn gọn, hợp với khả năng của học sinh.
3. Đi vào giải từng dạng cụ thể và đánh giá kết quả.
Bài số 1: 
Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng:
+ Cách 1: Lựa chọn phương pháp dùng định nghĩa:
Hướng dẫn: 
Xét hiệu
(Vì: ab > 0; bc > 0; ac > 0) do a, b, c > 0
Từ đó suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi A = 0
	Û a - b = b - c = a - c = 0
	Û a = b = c
Phương pháp này đơn giản nhưng chỉ áp dụng được với các bài toán dễ.
+ Cách 2 : Lựa chọn phương pháp bất đẳng thức Côsi, kết hợp với tính chất của bất đẳng thức.
Hướng dẫn:
ở đây bất đẳng thức cần chứng minh là tích của hai tổng không âm vì a, b, c > 0.
Do vậy chúng ta có thể kết hợp với tính chất của bất đẳng thức:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương a, b, c và 3 số dương 
Ta có: 
Nhân từng vế của (1) và (2) ta có:
 Điều phải chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Nhận xét: 
+ Học sinh phải biết suy đoán và tổng hợp các kiến thức cơ bản và các bất đẳng thức đặc biệt để áp dụng. Dùng phương pháp này ngắn gọn, nhưng phải lý luận chặt chẽ đối với từng bài toán, tránh mắc phải sai lầm.
+ Mở rộng từ bài toán trên với 3 số a, b, c dương ta có bài toán tổng quát sau:
Cho a1, a2, a3 ........ an là n số dương thì ta có:
Bài số 2: 
Cho a, b, c là cạnh của tam giác:
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức tam giác.
Vì là 3 cạnh của 1 tam giác nên.
	(a + b) > c	Û (a + b) c > c2 (1)
	(a + c) > b	Û (a + c) b > b2 (2)
	(b + c) > a	Û (b + c) a > a2 (3)
Cộng từ vế của (1); (2); (3) ta có:
a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac). Điều phải chứng minh.
Bài số 3:
Cho hàm số f(x) = (x + 3) (5 - x) với -3 Ê x Ê 5
Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất
* Sử dụng bất đẳng thức Côsi
Chú ý:
1. Tổng của hai số không âm mà không đổi thì tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau.
2. Tích của hai số không âm là một số không đổi thì tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
Hướng dẫn:
Nhận xét: Với - 3 Ê x Ê 5 thì
(x + 3) và (x - 5) đều là hai số không âm.
Vậy áp dụng vào bài toán cụ thể trên ta có tổng hai số (x + 3) + (5 - x) = 8 là một hằng số thì tích (x + 3)(5 - x) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi.
	 x + 3 = 5 - x 
 2x = 2
Vậy với x = 1 thì f(x) = (x - 3)(5 - x) đạt giá trị lớn nhất và giá trị đó là:
fmax = 16.
Bài số 4:
 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2.
Gọi S là diện tích của tam giác. 
Hãy chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc ³ 
Hướng dẫn: 
Bài toán đặt ra là tam giác ABC có chu vi bằng 2 nghĩa là a + b + c = 2. Suy ra: Max (a; b; c) < 1.
Suy ra 1 - a > 0; 1 - b > 0; 1 - c > 0
Đến đây ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương 
1 - a; 1 - b; 1 - c.
Mà: a + b + c = 2
Trong bất đẳng thức (1) thì dấu bằng xảy ra khi a = b = c =
Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) = 1 + ab + ac + bc - (a + b + c) - abc
Mà a + b + c = 2; Do đó ta có:
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = Hay ABC là tam giác đều có cạnh là 
Bài số 5: 
Giả sử: x + y + z = a; xy + yz + zx = b
Chứng minh rằng:
Max {x; y; z- min {x; y; z Ê 
Hướng dẫn: 
Đây là bài toán mà khi giải cần phải suy luận, phán đoán, tổng hợp các dạng mà chọn ta thấy rằng 3 số x, y, z đóng vai trò như nhau.
Nên có thể giả sử: x y z
Ta nhận thấy a2 - 3b = (x + y + z)2 - 3(xy + yz + zx)
	 = x2 + y2 + z2 - (xy + yz + zx) ³ 0.
Khi có bất đẳng thức cần chứng minh có dạng tương đương sau:
Û 9(z - x)2 Ê 16(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz)
Û 9(z - x)2 Ê 8[(x - y)2 + (z - y)2 + (z - x)2]
Û (z - x)2 Ê 8[(x - y)2 + (z - y)2 ] (1)
Đến đây áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 dãy số (x - y); (y - z) và 1; 1. Ta có:
2.[(x - y)2 + (y - z)2] ³ (x - z)2	(2)
Từ (2) suy ra (1) hiển nhiên đúng. Đó là điều phải chứng minh.
Nhận xét:
- Nhìn vào bài toán học sinh tưởng rằng rất khó và rất phức tạp. Nhưng chỉ cần nhìn nhận rằng vai trò của x, y, z là đối xứng thì mấu chốt của bài toán đã được tháo gỡ.
- Đi đến áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki. Học sinh phải phân tích và tìm được hai dãy số x - y; y - z và 1; 1 thì mới áp dụng và đi đến kết quả được.
Bài số 6: 
Cho 3 số dương a, b, c. Hãy chứng minh.
Hướng dẫn: 	
Nhìn vào bài toán này học sinh có thể áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi nhưng sẽ phức tạp và sẽ không đi đến lời giải được. Vậy ở đây chúng ta giải như sau: 
Vì a; b; c > 0 nên:
Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có: 
Đó là điều phải chứng minh: Dấu "=" Û a = b = c
Bài số 7: 
Chứng minh rằng nếu n ³ 3 , n là số tự nhiên. Thì 
Hướng dẫn:
 Nhìn vào bài toán học sinh cảm nhận rất khó, chưa biết áp dụng cách giải nào. Nhưng ở đây ta biến đổi bất đẳng thức đã cho về dạng đơn giản hơn:
Vì 2 vế đều dương luỹ thừa cả hai vế bậc n(n + 1) ta có:
nn + 1 > (n + 1)n Û n > (1 + )n	(1)
áp dụng phương pháp quy nạp:
- Với n = 3 thì (1) có dạng: 
Vậy (1) đúng với n = 3.
- Giả sử (1) đúng khi n = k > 3 tức là k > (2)
- Phải chứng minh đúng với n = k +1
Ta có k > 
Do đó (1) đúng với n = k + 1.
Vậy nếu n ³ 3, n là số tự nhiên. Thì 
Bài số 8: Giải phương trình: x2 + y2 + z2 = x(y + z)
Hướng dẫn:	
 Ta chứng minh: x2 + y2 + z2 ³ xy + xz	(1)
 Bất đẳng thức (1) Û 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2xz ³ 0
	 Û (x – y)2 + (y - z)2 + y2 + z2 ³ 0 (2)
Xảy ra dấu "=" Û x = y = z = 0
Vậy x = y = z = 0 là nghiệm của phương trình.
Bài số 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	A = ẵx - 2006ẵ+ẵx - 2007ẵ
Hướng dẫn: 
áp dụng bất đẳng thức ẵaẵ + ẵbẵ ³ ẵa + bẵ
Ta có:	A = ẵx - 2006ẵ + ẵx - 2007ẵ
	 = ẵx - 2006ẵ + ẵ2007 - xẵ³ ẵx - 2006 + 2007 - xẵ = 1
 ị A ³ 1
	Dấu "=" xảy ra Û (x - 2006)(2007 - x) ³ 0
	 Û 2006 Ê x Ê 2007
	Vậy Min A = 1 Û 2006 Ê x Ê 2007
Bài số 10: Cho x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của A = ẵ3x + 4yẵ
Hướng dẫn: 
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki.
	(3x + 4y)2 Ê (32 + 42)(x2 + y2) = 25 . 1 = 25
	ị ẵ3x + 4yẵ Ê 5
	Max A = 5 Û x2 + y2 = 1
Max A = 5 Û (x, y) = 
Bài số 11: 
Chứng minh: Trong một tam giác ABC ta có ha + hb + hc ³ 9r trong đó ha, hb, hc là 3 chiều cao của tam giác còn r là bán kính đường tròn nội tiếp.
Hướng dẫn:
Trong mọi tam giác ta luôn có (dùng công thức tính diện tích tam giác).
áp dụng bất đẳng thức: 
Ta có:
	ị ha + hb + hc ³ 9 r (Điều phải chứng minh)
	Dấu "=" xảy ra Û D ABC đều.
Bài số 12: 
Cho tam giác ABC vẽ 3 phân giác AA', BB’, CC' gọi a1, b1, c1 tương ứng là các khoảng cách từ A' đến AB, B' đến BC và C' đến AC gọi. ha, bb, hc là 3 chiều cao của tam giác kẻ từ A, B, C.
Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn:	
Kẻ AH ^ BC, A'K ^ AB 
ị AH = ha, A'K = a1
Trong D AA'B có BA'. ha = c.a1 = 2SAA'B
ị
Do AA' là phân giác của ABC nên ta có: 
Tương tự:
Như vậy: 
Các bài tập tự luyện tập:
Bài số 1: Chứng minh rằng: 
Bài số 2: Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Chứng minh:
a) abc ³ (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)
b) a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 3abc Ê a3 + b3 + c3.
Bài số 3: Cho phương trình: (x2 + 4)(y2 + 9) = 24xy (1).
Tìm nghiệm nguyên dương x, y của phương trình.
Bài số 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x - 3)(x - 4)(x - 7).
Bài số 5: Tìm giá trị lớn nhất của biết x, y là các số hữu tỷ khác 0 và cùng dấu, đồng thời thoả mãn: x3 + y2 + 3(x2 + y2) + 4(x + y) + 4 = 0.
Bài số 6: Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài số 7: Chứng tỏ 
Bài số 8: Chứng minh rằng với mọi m, n không âm ta luôn có
 mn.( m + n) m3 + n3
Bài số 9: Cho hai số dương a và b.
 Chứng minh rằng a4 + b4 ab.(a2 + b2)
Bài số 10: Cho tam giác ABC, O là điểm tuỳ ý trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh tam giác ABC thứ tự A', B', C'. Tìm vị trí O để:
iv. kết quả thực hiện:
Khi giảng dạy một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tôi thấy khi mới bước vào loại bài tập này, học sinh rất lúng túng. Rất nhiều em không xác định được hướng giải hoặc không nhớ cách giải khi gặp các bài tập tương tự. Những em khá hơn thì giải thường thiếu sót, không chặt chẽ và hay mắc sai lầm. Sau một thời gian giảng dạy tôi đã thử nghiệm với các đối tượng khác nhau, trước và sau khi áp dụng kinh nghiệm thu đựơc kết quả như sau:
1. Học sinh đại trà:
Tổng số học sinh: 40 em
Qua khảo sát thực tế đạt tỷ lệ như sau:
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Trước khi áp dụng
5%
15%
40%
40%
Sau khi áp dụng
15%
20%
50%
15%
2. Bồi dưỡng học sinh giỏi:
Từ năm học 2001 – 2002 đến nay tôi thường phụ trách việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, Toán 9. Năm nào cũng có học sinh giỏi cấp Huyện, có năm 2 em đi thi thì đạt cả 2 với số điểm khá cao.
Để đạt được kết quả như vậy đầu tiên phải có sự nỗ lực của chính bản thân các em. Bên cạnh đó thầy phải tăng cường đưa ra các bài tập để các em tìm tòi, khám phá từ đó mới tổng hợp lại để các em nắm sâu sắc vấn đề.
V. phạm vi áp dụng của đề tài:
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức được áp dụng trong các tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các khối 8, 9 và ôn tập cho các em lớp 9 thi vào THPT.
Phần C: Kết luận
Trên đây, tôi đã tổng hợp lại một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Đó là công cụ cần thiết để chứng minh bất đẳng thức. Mỗi phương pháp có một ưu thế riêng của nó, chọn phương pháp nào đòi hỏi tính linh hoạt và khả năng nhìn nhận tổng quát, khả năng khai thác, khả năng phân tích đặc điểm các yếu tố trong bài toán đó. Đây không phải là khả năng tự có của mỗi người mà phải trải qua quá trình ren luyện lâu dài cùng với kiến thức được trang bị một cách có hệ thống, lôgic.
Qua nghiên cứu đề tài và thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh tiếp thu bài tốt hơn, có hứng thú giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và một số dạng toán có liên quan.
Vì dạng toán này được đánh giá là khó do đó khi hướng dẫn học sinh giáo viên cũng cần chú ý điều này để hiệu quả của đề tài cũng như việc giảng dạy được cao hơn.
Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện.
Tôi xin chân thành cảm ơn!