Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau

Phần I : mở đầu
**********
I - Lý do chọn đề tài:
Toán học là nền tảng của các môn khoa học tự nhiên. Nó chiếm một vai trò quan trọng trong các trường học và các lĩnh vực khoa học. Đất nước ta đã và đang bước vào kỷ nguyên của khoa học và thông tin đòi hỏi mỗi chúng ta đều phải đầu tư suy nghĩ để tìm ra những giải pháp tốt nhất giúp các tài năng tương lai của đất nước mang lại ánh sáng trí tuệ để xây dựng một đất nước phồn vinh theo kịp tốc độ phát triển như vũ bảo cuả thời đại.
Toán học là môn khoa học có từ lâu đời, nó nghiên cứu rất nhiều thể loại, đa dạng và phong phú. Trong đó Hình học là một bộ phận quan trọng của toán học.
Hình học là một phân môn tương đối khó đối với phần lớn học sinh. Thực tế cho thấy: Đứng trước một bài toán chứng minh các quan hệ hình học, nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu và giải quyết vấn đề này như thế nào. Theo như lời nhiều học sinh: Hình học quả thật là "Xương".
Trong những năm đầu mới vào nghề, do chưa có kinh nghiệm nên tôi chỉ cố gắng dạy đúng, đủ sách giáo khoa mà chưa biết thông qua các bài tập khác. Nhưng rồi, phần do sự cố gắng của bản thân, phần do học hỏi các đồng nghiệp nên tôi đã có kinh nghiệm hơn, tôi đã mạnh dạn hệ thống một số cách chứng minh các quan hệ hình học (Trong từng phần) để giúp học sinh thuận lợi hơn trong việc giải quyết các bài toán chứng minh hình học.
Sau đây tôi sẽ trình bày Một số phương pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau.
Việc chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau là vô cùng cần thiết. Bởi vì chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau không chỉ đơn thuần là để 2 đoạn thẳng đó bằng nhau mà có được 2 đoạn thẳng bằng nhau còn giúp ta suy ra nhiều quan hệ khác. Ví dụ D cân, D đều, hình thoi, hình vuông... và ngược lại chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau có quan hệ chặt chẽ với các quan hệ hình học khác. Nghĩa là thông qua 
1 bài tập chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau người giáo viên có thể giúp học sinh hiểu sau, nhớ lâu, nắm chắc kiến thức đã học. Đó cũng là một trong những lý do khiến tôi chọn đề tài này.
II - Phạm vi nghiên cứu:
1. Đối tượng: Học sinh đại trà khối 7- 8 - 9.
2. Giới hạn kiến thức: Chương trình hình học THCS.
3. Tài liệu sử dụng và tham khảo:
	1. SGK - SBT, sách ôn tập
	2. Hình học cho tuổi trẻ (Tập 1,2, 3,4)
	3. Một số vấn đề phát triển hình học các khối
	- Toán nâng cao và các chuyên đề hình học các khối.
	- Toán bồi dưỡng hình học các khối.
	4. Tuyển chọn những bài toán hay và khó hình học (Các khối)
	5. 235. Bài toán hình học chọn lọc.
	6. Báo toán học và tuổi trẻ các số.
Phần II: Nội dung
*******
A. Một số phương pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau
1. Hai đoạn thẳng có cùng số đo:
	- Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ 3.
- Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng (hiệu) của 2 đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một.
2. Hai cạnh tương ứng của 2 D bằng nhau.
3. Các cạnh bên của: 
- Tam giác cân ( Cạnh D đều).
- Hình thang cân.
- Hai cạnh đối của: hình bình hành, chữ nhật, thoi, vuông...
- Hai đường chéo của hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông...
4. Sử dụng định nghĩa, tính chất của:
- Trung điểm, trung trực đoạn thẳng.
- Trung tuyến, trung bình, trung trực ...trong tam giác.
- Đường chéo hình bình hành, hình chữ nhật, thoi, vuông...
- 2 điểm, 2 đoạn thẳng đối xứng qua 1 điểm, 1 trục...
5. Dùng phương pháp diện tích:
- Cặp cạnh đáy của 2 tam giác (2 hình bình hành) có cùng diện tích và cạnh đáy tương ứng bằng nhau.
- Cặp đường cao của 2 tam giác (2 hình bình hành) có cùng diện tích và cạnh đáy tương ứng bằng nhau.
6. Dùng định lý Talét - Phương pháp tam giác đồng dạng.
7. Dùng tính chất của đường kính vuông góc với 1 dây.
8.Dùng định lý:
- Dây cung và khoảng cách đến tâm.
- 2 dây cách đều tâm của 1 đường tròn.
- Liên hệ giữa cung và dây cùng:
+ Hai dây trương 2 cung bằng nhau trong một đường tròn.
+ Hai tính chất đường nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau.
9. Dùng tính chất của:
- 2 tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm đến 1 đường tròn.
- Đường nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau.
Tuy nhiên việc phân chia rõ ràng bài tập này giải phương pháp 1, bài toán kia giải bằng phương pháp 2...là điều nhiều khi không thể giải quyết được. Bởi vì để giải quyết 1 bài tập hình học, học sinh phải vận dụng rất nhiều kiến thức, kết hợp nhiều phương pháp một cách linh hoạt, sáng tạo.
Cũng có nhiểu bài toán lại có thể giải bằng nhiều cách khác nhau. Nói chung hình học cũng rất đa dạng và phong phú. Ta hãy bắt đầu bằng những ví dụ đơn giản.
B - Các ví dụ:
1. Bài 1:
 O
 D
 C
 x
I
A
 y
 B
Cho góc xoy tìm tia Ox lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho OA = OB; OC = OD. Gọi I là giao điểm của 2 đoạn thẳng BC; AD. Chứng minh rằng:
a/ BC = AD
b/ IA = IB; IC = ID.
Hướng dẫn:
Có thể đưa việc chứng minh 2 đoạn thẳng 
bằng nhau về việc chứng minh 2D bằng nhau không ?
a/ D OBC và D OAD (chứa cạnh BC và AD)
 Có bằng nhau không? Tại sao?
b/ D nào chứa cạnh IA? D nào chứa cạnh IB ?
 2D đó có bằng nhau không? Vì sao?
Giải (Tóm tắt):
a. D OBC = OAD (c.g.c) => BC = AD.
b. Từ (gt) => AC = BD.
 Từ (a) => C = D; DAC = CBD.
 Suy ra D IAC = D IBD (g.c.g) =>	 IA = IB
	 IC = ID.
Nhận xét:
Ta đã đưa việc chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau về việc chứng minh 2 D bằng nhau.
2. Bài 2:
Cho D ABC là đường cao, AM là trung tuyến. Trên tia đối của HA lấy E sao cho HE = HA. Trên tia đối của MA lấy I sao cho MI = MA.Nối B với E; C với I. Chứng minh rằng : BE = CI.
Hướng dẫn:
 I
 E
 M
 H
 A
 B
D BHE (chứa BE) và D MCI (chứa CI) có bằng nhau không? 
- Đoạn BE bằng đoạn nào? Tại sao?
- Đoạn AB có bằng CI không?
 C
 Hãy chứng minh điều đó.
Giải (tóm tắt):
BH là đường trung trực của 
AE => BA = BE (1)
D AMB = D IMC (c.g.c)
 => AB = IC (2)	
Từ (1), (2) => BE = IC.
Vận dụng tính chất đường trung bình của D.
3. Bài 3 :
Cho hình thang ABCD, đường phân giác của góc D cắt AB tại M
 B
M
 CMR: AM = AD.
C
 D
 A
Hướng dẫn: 
Em có nhận xét gì về D ADM? (cân)
 Hãy chứng minh điều đó?
Giải (tóm tắt):
D1 = M1 (so le trong)
D1 = D2 ( DM là phân giác D)
=> D1 = M1 => D ADM cân tại A 
 => AD = AM.
Nhận xét: 
Đưa việc chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau về việc chứng minh D cân.
 Bài 12/82 SGK hình 8.
4. Bài 4:
Cho hình thang ABCD (AB//CD).
a. Đường thẳng // với đáy cắt cạnh bên AD ở I, cắt đường chéo DB ở K, cắt chéo AC ở L, cắt cạnh bên BC ở M. CMR: IK = LM.
b. Đường thẳng đi qua giao điểm O của 2 đường chéo và // với 2 đáy cắt cạnh bên ở E và F. 
 CMR: OE = OF.
Hướng dẫn:
B
 A
Bài có nhiều đoạn thẳng // giúp ta liên hệ với định lý Talét.
Em vận dụng trong những tam giác nào 
để có tỷ số trung gian?
F
Giải (tóm tắt):
 C
 D
a. Trong D ABD theo định lý Talét có:
IK/AB = ID/DA (1)
Tương tự trong D ABC có: LM/AB = CM/CB (2)
Ta có DI /DA = CM / CN B
Nên từ (1) và (2) => IK/AB = LM/AB 
=> IK = LM.
b. Tương tự trong D ACD và D BDC
Nhận xét: 
Khi vận dụng định lý Talét cần chú ý đến các đoạn thẳng song song nhằm làm xuất hiện các đoạn thẳng tỷ lệ.
Để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau ta chứng minh 2 tỷ số bằng nhau.
5. Bài 5: 
Gọi M và N là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD. Đoạn thẳng CM và DN cắt nhau ở P.
CMR: AP = AB.
* Tìm tòi cách giải:
- Ngay từ khi vẽ hình ta đã nhận thấy AB và AP không phải là 2 cạnh tương ứng của 2D bằng nhau nào. Có thể thay đoạn AB bằng đoạn nào? AD bằng AP khi D APD có gì đặc biệt.
* Phân tích bài toán:
- Trong hình vẽ đã có cặp D nào bằng nhau? (BCM = CDN c.g.c)
 => C = D => CM ^ DN.
- M là trung điểm của AB (gt) và ta chứng minh được CM ^ DN.
Vậy nếu gọi I là trung điểm của CD thì AI có vuông góc với NẫI DUNG không? (có) vì sao? Như vậy nếu ta chứng minh được PK = KD thì D APD cân tại A và AP = AD mà AD = AB => bài toán giải quyết xong.
* Mấu chốt của bài toán là chọn đoạn trung gian (AD) thích hợp và vận dụng linh hoạt các kiến thức trên cơ sở giả thiết của bài toán.
Giải (tóm tắt):
D BCM = D CDN (c.g.c) => C1 = D1.
Mà C1 = C2 = C = 1V 
=> D1 + C2 = 1V => CM ^ DN tại P.
Gọi I là trung điểm của CD, AI, tại K, dễ dàng chứng minh được CMAI là hình bình hành => CM//AI => AI ^ .
D CDP có CI = ID (Cách dựng)
=> PK = KD.
 IK // CP (cmt)
D API có AK vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao (cmt)
=> AP = AB (đpcm)
=> D APD cân tại A => AP = AD
	 Mà AD = BP (t/c hv)	 
	6. Bài 6: 
Trên các cạnh AB và AC của D ABC, người ta lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và DE. Đường thẳng cắt AB và AC ở P và Q.
 CM: AP = AQ.
Tìm tòi cách giải:
* Nhìn vào hình vẽ ta có hướng giải quyết ngay đó là AP = AQ khi D APQ cân tại A.
* Bài cho nhiều trung điểm, khiến ta liên hệ tới đường thiết bị của D => Nối BE được 2 D BED và D BEC có 2 cạnh đáy BD = EC.
* Gọi I là trung điểm của BE => IN, IM lần lượt là TB của D BED và DBEC => IN//BD ; IM//CE và IN = IM => D IMN cân tại I.
Vì IN //BA; IM//CA nên dễ dàng CM được APQ = INM và AQP = IMN => D APQ cân tại A => Bài toán giải quyết xong.
Giải (tóm tắt):
Nối BE, gọi I là trung điểm của BE.
=> IN, IM lần lượt là đường trung bình của D BED và D BEC 
=> IM//AC; IN//AB và IM = IN (= 1/2 BD hoặc CE) 
=> DIMN cân tại I
 => IMN = INM.
 Mặt khác IMN = AQP và INM = APQ (đồng vị).
Nên AQP = APQ => D APQ cân tại A => AP = AQ (đpcm).
7. Bài 7:
Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Qua A vẽ cát tuyến chung CAD và EAG ( C, E thuộc (O); D, G thuộc (O’) sao cho AB là p/g của CAG. Chứng minh rằng : CD = EG.
Cách 1: Có thể đưa việc chứng minh 2 đoạn thẳng CD và EG bằng nhau về việc chứng minh 2D bằng nhau không? Đó là 2 tam giác nào ?( CBD và EBG) - 2D này đã có những yếu tố nào bằng nhau? Còn cần thêm yếu tố nào? 
* Như vậy nếu ta chứng minh được BD = BG thì bài toán giải quyết xong (H1).
Giải (tóm tắt):
D CBD và D EBG có BDC = BGE, C = E 
 => CBD = EBG.
 Lại có: BDG = BAG ( 2 góc như trên cùng chắn cung BG)
 BGD = BAC ( cùng bù với BAD)
 mà BAG = BAC (gt)
 => BDG = BGD => BG = BD.
Vậy D CBD = D EBG (g.c.g) => CD = EG.
Sau khi giải xong ta thấy còn có thể vận dụng cách khác.
* Có thể đưa về trường hợp bằng nhau của 2D vuông bằng nhau kẻ OM ^EG; O’H ^ OM, kẻ O’N ^ CD; OK ^ O’N OK = 1/2 CD; O’H = 1/2 ED. Cần chứng minh OK = O’H nghĩa là cần D OKO’ = D O’HO ( cạnh huyền - góc nhọn) thì bài toán giải quyết xong (H2)
* Hoặc cũng có thể sử dụng D đồng dạng D CBD.
D CBD đồng dạng D EBG (g.g) có tỷ số đường cao tương ứng BH/BK = 1.(vì AB là tia phân giác của CBG) nên CD/EG = 1 => CD = EG.
Cách 2:
* Ta có thể nghĩ đến 1 đoạn thẳng trung gian nào có khả năng bằng CD và EG không ?
* CAD, EAG là 2 cát tuyến chung của 2 đường tròn. Vậy nếu qua B ta cũng vẽ cát tuyến chung của 2 đường tròn là PBQ sao cho PBQ // CAD thì 2 tứ giác PQDC và tứ giác PQGE là hình gì ? Tại sao? Trả lời được câu hỏi này tức là ta đã giải quyết xong bài toán.
Giải (tóm tắt):
Vẽ PBQ //CD dễ dàng chứng minh được CP// DQ , EP // GQ.
 => CDQP là hình bình hành.
 => CD = PQ (1)
Lại có E = C = CAB; EPB = BAG 
 mà CAB = BAG => E = EPB 
EGQP là hình thang cân => PQ = EG (2) 
 Từ (1) và (2) => đpcm.
Cách 3:
Sau khi hạ đường cao BH^ CD, BK^EG để giải quyết bài toán theo hướng tam giác đồng dạng ta lại nhận thấy có thể xét CD và EG là tổng của các đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một.
Giải:
B ẻ tia phân giác CAG => BH = BK
 => D CBH = DEBK => CH = EK.
Chứng minh tương tự ta chứng minh được DH = GK.
 Suy ra: CD = EG.
Lưu ý: Còn có thể sử dụng tính song song để chứng minh.
C. Kết quả:
Tôi đã áp dụng phương pháp hướng dẫn học sinh chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau vừa trình bày ở trên cho học sinh các khối 7, 8, 9 mà mình đã giảng dạy ( với mức độ phù hợp với trình độ học sinh từng khối, lớp). Sau khi áp dụng phương pháp này, tôi thấy đã đạt được các kết quả sau:
- Khi đứng trước một bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, học sinh không còn cảm thấy lúng túng, mà đã biết định hướng một cách cụ thể, rõ ràng các phương pháp có thể để chứng minh bài toán.
- Học sinh có khả năng độc lập suy nghĩ, vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo.
- Học sinh đã có khả năng tư duy kết hợp một cách nhuần nhuyễn, mềm dẻo kĩ năng phân tích và tổng hợp để tìm ra lời giải một cách nhanh nhất, ngắn gọn nhất.
- Có những học sinh không chỉ tìm ra một cách giải mà còn tìm ra nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán.
- Học sinh thấy hứng thú, say mê khi giải toán.
.
.
.
D. Bài học kinh nghiệm.
- Giáo viên phải không ngừng phấn đấu, học tập, nghiên cứu, tự bồi dưỡng, nâng cao kiến thức, trình độ chuyên môn để đáp ứng được yêu cầu ngày càng ca công tác dạy và học tại các nhà trường phổ thông cơ sở.
- Thường xuyên tích luỹ, đúc rút kinh nghiệm giảng dạy, và tích cực vận dụng các kinh nghiệm đó vào các bài giảng của mình để nâng cao chất lượng dạy và học.
- Giáo viên phải nắm và sử dụng tốt, phối hợp nhịp nhàng các phương pháp dạy học, quán triệt tinh thần đổi mới phương pháp giảng dạy là " lấy học sinh làm trung tâm"
- Chú trọng việc hướng dẫn học sinh nắm chắc kiến thức lí thuyết đi đôi với thực hành, đặc biệt coi trọng việc hướng dẫn phương pháp giải toán cho học sinh.
- Giáo viên cần cố chương trình giảng dạy cụ thể, có sự lựa chọn kiến thức sát với từng đối tượng học sinh, đối với từng khối lớp.
E. Điều kiện và khả năng áp dụng của đề tài
Đề tài này có thể được áp dụng một cách rộng rãi trong phạm vi chương trình hình học bậc THCS, ở khối lớp 7, 8 ,9 và đặc biệt có ý nghĩa đối với học sinh khối 9.
Đề tài áp dụng không chỉ cho học sinh Khá - Giỏi mà còn có thể áp dụng được cho tất cả những đối tượng học sinh Trung bình - Yếu.
Giáo viên có thể áp dụng một cách linh hoạt đề tài này trong từng tiết dạy chính khoá cũng như trong chương trình ngoại khoá, trong các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi hay phù đạo học sinh yếu.
 Phần III: kết luận
*******
Việc hệ thống “ Các cách chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau" không thể làm trong 1 tiết, 2 tiết... mà là cả một quá trình, chẳng hạn ở lớp 7 các em mới được học về tam giác thì ta không thể giới thiệu phương pháp sử dụng định lý Talét, phương pháp đồng dạng được... mà mỗi khi học đến vấn đề nào, người giáo viên có thể hướng dẫn học sinh trong phạm vi đó. Từ đó dần dần học sinh lĩnh hội kiến thức một cách có hệ thống và vận dụng hợp lý trong các dạng bài tập. Nếu làm được như vậy. Hình học không còn là " Xương"nữa.
Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi đã và đang thực hiện trong quá trình giảng dạy. Do nhiều nguyên nhân bài viết không tránh khỏi những nhược điểm. Kính mong các đồng nghiệp góp ý.