Sáng kiến kinh nghiệm Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức

 a(b + 1) + b(c + 1) sao cho 
a + 1 xuất hiện thì ta có thể giản bớt a + 1 ở hai vế. Và như thế ta chỉ còn một bất 
đẳng thức hai biến, lẽ đương nhiên là nó sẽ dễ chứng minh hơn bất đẳng thức ban 
đầu. Với những ý tưởng như vậy, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như 
sau 
a(b + 1) + b(c + 1)  (a + 1)[(b + 1) + b(c + 1)]. (9.1) 
Như thế ta chỉ cần chứng minh 
 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 
vào chứng minh bất đẳng thức 
14 
b(c + 2) + 1 + c  
3
2
(b + 1)(c + 1). (9.2) 
Phân tích tương tự như trên, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz một lần nữa cho vế 
trái của (9.2) sao cho nhân tử b + 1 xuất hiện. Theo đó ta sẽ chỉ còn một bất đẳng 
thức một biến số Ý tưởng đã rõ. Bây giờ ra chỉ cần thêm một chút quan sát nữa là 
được. Bạn hãy để ý rằng đại lượng b(c + 2) + 1 còn thiếu một lượng c + 1 thì có thể 
phân tích ra được b + 1, cái mà chúng ta cần. Do đó ta sẽ sử dụng bất đẳng thức 
Cauchy - Schwarz để bổ sung lượng đó cho nó, cụ thể là 
 b(c + 2) + 1 + c  

(b(c + 2) + 1) + (c + 1)




1 + 
c
c + 1


= 
(b + 1)(c + 2)(2c + 1)
c + 1
 (9.3) 
Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh được 
(c + 2)(2c + 1)
c + 1
  
3
2
c + 1, (9.4) 
Hay 
4(c + 2)(2c + 1)  9(c + 1)2 (9.5) 
Đúng theo bất đẳng thức AM - GM 
4(c + 2)(2c + 1)  

(c + 2) + (2c + 1)

2
 = 9(c + 1)
2
 . (9.6) 
Ta có (9.1) xảy ra dấu bằng khi ab(c + 1) = b + 1, (9.3) xảy ra dấu bằng khi 
b(c + 2) + 1 = 
(c + 1)
2
c
, 
còn (9.6) xảy ra dấu bằng khi c = 1. 
Kết hợp những điều kiện này lại, chúng ta tìm được điều kiện để xảy ra dấu đẳng thức 
ở bất đẳng thức ban đầu là a = b = c = 1. 
Bài 10. Cho x, y, z > 1 và 
1
x
 + 
1
y
 + 
1
z
 = 2. Chứng minh rằng 
x + y + z  x - 1 + y - 1 + z - 1. (10). 
Lời giải 
 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 
vào chứng minh bất đẳng thức 
15 
Một cách tự nhiên, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz cho biểu thức bên phải sao 
cho sau bước đánh giá, ta thu được đại lượng x + y + z làm nhân tử. Với ý tưởng như 
vậy, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau 
(∑ x - 1)2  (∑x)



∑
x - 1
x 


 = (∑x)



3 - ∑
1
x


 = ∑x. (10.1) 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
1
x
 + 
1
y
 + 
1
z
 = 2 và 
x - 1
x
2
 = 
y - 1
y
2
 = 
z - 1
z
2
. 
Giải ra, ta tìm được x = y = z = 
3
2
. 
Vậy bất đẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z = 
3
2
. 
Bài 11. Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn: a + b + c + d = 
1
a
 + 
1
b
 + 
1
c
 + 
1
d
. 
Chứng minh rằng 
a + b + c + d  
a
2
 + 1
2
 + 
b
2
 + 1
2
 + 
c
2
 + 1
2
 + 
d
2
 + 1
2
 (11) 
Lời giải 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 



a
2
 + 1 + b
2
 + 1 + c
2
 + 1 + d
2
 + 1

2
  
(a + b + c + d)


a
2
 + 1
a
 + 
b
2
 + 1
b
 + 
c
2
 + 1
c
 + 
d
2
 + 1
d 


= (a + b + c + d)



a + b + c + d + 
1
a
 + 
1
b
 + 
1
c
 + 
1
d


 = 2(a + b + c + d)
2
 . (11.1) 
Từ đây suy ra 
a
2
 + 1
2
 + 
b
2
 + 1
2
 + 
c
2
 + 1
2
 + 
d
2
 + 1
2
  a + b + c + d. (11.2) 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
a + b + c + d = 
1
a
 + 
1
b
 + 
1
c
 + 
1
d
 và 
a
2
 + 1
a
2
 = 
b
2
 + 1
b
2
 = 
c
2
 + 1
c
2
 = 
d
2
 + 1
d
2
. 
Giải hệ phương trình này ta tìm được điều kiện để đẳng thức xảy ra là 
a = b = c = d = 1.  
 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 
vào chứng minh bất đẳng thức 
16 
Bài 12. Cho n số thực dương a 1, a
2, , a
n có tổng bằng 1. Chứng minh 
1
1 + a
1
 +  + 
1
1 + a
1 + a
2 +  + a
n
 < 
1
2

1
a
1
 + 
1
a
2
 +  + 
1
a
n


. (12) 
Lời giải 
Để việc đánh giá được thuận lợi, ta đặt a 0 = 0. Khi đó ta phải chứng minh 
1
1 + a
0 + a
1
 +  + 
1
1 + a
0 + a
1 +  + a
n
 < 
1
2

i = n
i = 1
1
a
i
. (12.1) 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta được 




i = n
i = 1
1
1 + a
0 +  + a
i

2
  



 
i = n
i = 1
1
a
i






 
i = n
i = 1
a
i
(1 + a
0 +  + a
i)
2
 



 (12.2) 
Ta cần chứng minh 
P = 
i = n
i = 1
a
i
(1 + a
0 +  + a
i)
2
 < 
1
2
. (12.3) 
Để ý rằng với mọi 1  i  n, ta có 
a
i
(1 + a
0 +  + a
i)
2
 < 
a
i
(1 + a
0 +  + a
i - 1
)(1 + a
0 +  + a
i)
 = 
1
1 + a
0 +  + a
i - 1
 - 
1
1 + a
0 +  + a
i
 (12.4) 
Do đó 
P < 
i = n
i = 1


1
1 + a
0 +  + a
i - 1
 - 
1
1 + a
0 +  + a
i


= 
1
1 + a
0
 - 
1
1 + a
0 +  + a
i
 = 1 - 
1
1 + 1
 = 
1
2
 (12.5) 
Bài toán được chứng minh xong.  
Bài 13. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng 
a
3
a
2
 + ab + b
2
 + 
b
3
b
2
 + bc + c
2
 + 
c
3
c
2
 + ca + a
2
  
a
2
 + b
2
 + c
2
a + b + c
 . (13) 
 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 
vào chứng minh bất đẳng thức 
17 
Phân tích và tìm tòi lời giải 
Xin được nhắc lại một lần nữa mục đích của ta khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - 
Schwarz là làm đơn giản hóa bài toán, càng nhiều càng tốt. Bởi vì vậy cho nên ta cố 
gắng áp dụng Cauchy - Schwarz làm sao cho giảm bớt được một số đại lượng có 
trong các vế của bất đẳng thức cần chứng minh. Chẳng hạn ở bài này, ta hãy cùng 
quan sát vế phải và đưa ra nhận xét “nếu ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy - 
Schwarz cho vế trái để làm mất đại lượng a2 + b
2
 + c
2
 trên tử thì bài toán sẽ không 
còn khó nữa”. Với ý tưởng như vậy, ta thực hiện đánh giá sau 
∑ 
a
3
a
2
 + ab + b
2
  
(a
2
 + b
2
 + c
2
 )
2
∑a(a2 + ab + b
2
 )
. (13.1) 
Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh 
(a
2
 + b
2
 + c
2
 )(a + b + c)  ∑a(a
2
 + ab + b
2
 ). (13.2) 
Thế nhưng đây lại chỉ đơn giản là một hằng đẳng thức. Ta có đẳng thức xảy ra khi và 
chỉ khi 
a
2
a(a
2
 + ab + b
2
 )
 = 
b
2
b(b
2
 + bc + c
2
 )
 = 
c
2
c(c
2
 + ca + a
2
 )
, tức là a = b = c.  
Bài 14. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi a, b, c dương 
a
2
b + c
 + 
b
2
c + a
 + 
c
2
a + b
  
3
2
a
3
 + b
3
 + c
3
a
2
 + b
2
 + c
2
. (14) 
Lời giải 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta được 
a
2
b + c
 + 
b
2
c + a
 + 
c
2
a + b
  
(a
3
 + b
3
 + c
3
 )
2
a
4
 (b + c) + b
4
 (c + a) + c
4
 (a + b)
. (14.1) 
Từ đó bài toán được quy về chứng minh 
2(a
2
 + b
2
 + c
2
 )(a
3
 + b
3
 + c
3
 )  3∑a
4
 (b + c). (14.2) 
Bất đẳng thức này tương đương với 
∑

a
5
 + b
5
 + 2a
2
 b
2
 (a + b) - 3ab(a
3
 + b
3
 )

  0, (14.3) 
Ta có 
a
5
 + b
5
 + 2a
2
 b
2
 (a + b) - 3ab(a
3
 + b
3
 ) 
= (a + b) [a
4
 - a
3
 b + a
2
 b
2
 - ab
3
 + b
4
 ] + 2a
2
 b
2
 (a + b) - 3ab(a
3
 + b
3
 ) 
 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 
vào chứng minh bất đẳng thức 
18 
= (a + b) [a
4
 - a
3
 b + a
2
 b
2
 - ab
3
 + b
4
 + 2a
2
 b
2
 - 3ab(a
2
 - ab + b
2
 )] 
= (a + b) [a
4
 - a
3
 b + a
2
 b
2
 - ab
3
 + b
4
 + 2a
2
 b
2
 - 3a
3
 b + 3a
2
 b
2
 - 3ab
3
 ] 
= (a + b) [a
4
 - 4a
3
 b + 6a
2
 b
2
 - 4ab
3
 + b
4
 ] 
= (a + b)(a - b)
4
Vậy 
 (14.3)  (a + b)(a - b)4 + (b + c)(b - c)
4
 + (c + a)(c - a)
4
  0. (14.4) 
Do bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh. Ta đi tìm 
điều kiện để đẳng thức xảy ra. Do (14.1) xảy ra đẳng thức khi 
a
3
a
4
 (b + c)
 = 
b
3
b
4
 (c + a)
 = 
c
3
c
4
 (a + b)
Và (14.4) xảy ra đẳng thức khi a = b = c nên bất đẳng thức đã cho có dấu bằng khi a = 
b = c.  
Bây giờ chúng ta sẽ đến với một kỹ năng khác, (cùng mẫu). 
Bài 15. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có 
1
(a + b)
2
 + 
1
(a + c)
2
  
1
a
2
 + bc
. (15) 
Phân tích và tìm tòi lời giải 
Ta có nhận xét rằng “nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho các bình 
phương 
(a + b)
2
 , (a + c)
2
 sao cho đại lượng a
2
 + bc xuất hiện bậc của bất đẳng thức sẽ được 
giảm đáng kể”. Tiến hành theo ý tưởng này, ta được 
(a
2
 + bc)



1 + 
b
c


  (a + b)2 , (15.1) 
Từ đó suy ra 
1
(a + b)
2
  
c
(b + c)(a
2
 + bc)
 (15.2) 
Hoàn toàn tương tự, ta cũng có 
1
(a + c)
2
  
b
(b + c)(a
2
 + bc)
 (15.3) 
Cộng tương ứng vế với vế hai bất đẳng thức này, ta được 
 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 
vào chứng minh bất đẳng thức 
19 
1
(a + b)
2
 + 
1
(a + c)
2
  
c
(b + c)(a
2
 + bc)
 + 
b
(b + c)(a
2
 + bc)
 = 
1
a
2
 + bc
 (15.4) 
Do (15.1) xảy ra đẳng thức khi a = c và (15.3) xảy ra đẳng thức khi a = b nên bất 
đẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi a = b = c.  
Bài 16. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau 
1
a + b + c
  
a
3
(2a
2
 + b
2
 )(2a
2
 + c
2
 )
 + 
b
3
(2b
2
 + c
2
 )(2b
2
 + a
2
 )
 + 
c
3
(2c
2
 + a
2
 )(2c
2
 + b
2
 )
 (16) 
Lời giải 
Tương tự bài trước, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz cho các mẫu số của từng 
phân thức bên vế phải sao cho đại lượng a + b + c xuất hiện sau khi đánh giá. Với ý 
tưởng như vậy, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau 
(a
2
 + b
2
 + a
2
 )(a
2
 + a
2
 + c
2
 )  (a
2
 + ba + ac)
2
 = a
2
 (a + b + c) (16.1) 
Từ đó suy ra 
a
3
(2a
2
 + b
2
 )(2a
2
 + c
2
 )
  
a
(a + b + c)
2
. (16.2) 
Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta thu được ngay kết quả bài 
toán. Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.  
Bài 17. Giả sử a, b, c là ba số thực dương cho trước. Chứng minh rằng 
1
a
2
 + ab + bc
 + 
1
b
2
 + bc + ca
 + 
1
c
2
 + ca + ab
  


 a + b + c
ab + bc + ca

2
. (17) 
Lời giải 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 
1
a
2
 + ab + bc
 = 
c
2
 + ab + bc
(a
2
 + ab + bc)(c
2
 + ab + bc)
  
c
2
 + ab + bc
(ca + ab + bc)
2
 (17.1) 
Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta suy ra 
∑
1
a
2
 + ab + bc
  
∑(c2 + ab + bc)
(ab + bc + ca)
2
 = 
(a + b + c)
2
(ab + bc + ca)
2
 (17.2) 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.  
Bài 18. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có 
ab
a
2
 + bc + ca
 + 
bc
b
2
 + ca + ab
 + 
ca
c
2
 + ab + bc
  
a
2
 + b
2
 + c
2
ab + bc + ca
 (18) 
 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 
vào chứng minh bất đẳng thức 
20 
Lời giải 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 
ab
a
2
 + bc + ca
 = 
ab(b
2
 + bc + ca)
(a
2
 + bc + ca)(b
2
 + bc + ca)
  
ab(b
2
 + bc + ca)
(ab + bc + ca)
2
 (18.1) 
Do đó ta chỉ cần chứng minh được 
∑ab(b2 + bc + ca)  (a
2
 + b
2
 + c
2
 )(ab + bc + ca), (18.2) 
Hay 
a
3
 b + b
3
 c + c
3
 a  abc(a + b + c). (18.3) 
Chia cả hai vế của bất đẳng thức này cho abc, ta được 
a
2
c
 + 
b
2
a
 + 
c
2
b
  a + b + c (18.4) 
Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , 
a
2
c
 + 
b
2
a
 + 
c
2
b
  
(a + b + c)
2
c + a + b
 = a + b + c (18.5) 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.  
Bài 19. Cho các số thực dương x 1, x
2, , x
n thỏa mãn x
1 + x
2 +  + x
n = n. Chứng 
minh bất đẳng thức 
1
x
1
2
 - x
1 + n
 + 
1
x
2
2
 - x
2 + n
 +  + 
1
x
n
2
 - x
n + n
  1. (19) 
Lời giải 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 
[x
1
2
 + (n - x
1)][1 + (n - x
1)]  [x
1 + (n - x
1)]
2
 = n
2
 (19.1) 
Từ đó suy ra 
1
x
1
2
 - x
1 + n
  
n + 1 - x
1
n
2
 (19.2) 
Cộng bất đẳng thức này với các bất đẳng thức tương tự, ta suy ra ngay kết quả bài 
toán. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x
2 =  = x
n = 1.  
Bài 20. Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 
1
b + c + 1
 + 
1
c + a + 1
 + 
1
a + b + 1
  1. 
Chứng minh rằng 
 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 
vào chứng minh bất đẳng thức 
21 
a + b + c  ab + bc + ca. (20) 
Lời giải 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 
1
b + c + 1
 = 
b + c + a
2
(b + c + 1)(b + c + a
2
 )
  
b + c + a
2
(b + c + a)
2
. (20.1) 
Thực hiện đánh giá tương tự cho hai biểu thức còn lại, và sau đó cộng cả ba bất đẳng 
thức lại với nhau, ta thu được 
a
2
 + b
2
 + c
2
 + 2(a + b + c)
(a + b + c)
2
  1. (20.2) 
Từ đây ta suy ra ngay 
a + b + c  ab + bc + ca. (20.3) 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.  
Bài 21. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương, ta đều có 
1
2a
2
 + bc
 + 
1
2b
2
 + ca
 + 
1
2c
2
 + ab
  


 a + b + c
ab + bc + ca

2
. (21) 
Lời giải. 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cauchy - Schwarz , ta có 
1
2a
2
 + bc
 = 
(b + c)
2
2
 + bc
(2a
2
 + bc)


(b + c)
2
2
 + bc



  
(b + c)
2
2
 + bc
[a(b + c) + bc]
2
 = 
b
2
 + c
2
2
 + 2bc
(ab + bc + ca)
2
 (21.1) 
Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta suy ra ngy kết quả cần 
chứng minh. Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.  
Bài 22. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  1. Chứng minh 
a
5
 - a
2
a
5
 + b
2
 + c
2
 + 
b
5
 - b
2
b
5
 + c
2
 + a
2
 + 
c
5
 - c
2
c
5
 + a
2
 + b
2
  0. (22) 
Lời giải. 
Do 
a
5
 - a
2
a
5
 + b
2
 + c
2
 = 1 - 
a
2
 + b
2
 + c
2
a
5
 + b
2
 + c
2
 nên bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại 
thành 
a
5
 - a
2
a
5
 + b
2
 + c
2
 + 
b
5
 - b
2
b
5
 + c
2
 + a
2
 + 
c
5
 - c
2
c
5
 + a
2
 + b
2
  
3
a
2
 + b
2
 + c
2
 (23) 
 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 
vào chứng minh bất đẳng thức 
22 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 
1
a
2
 + b
2
 + c
2
 = 
1
a
 + b
2
 + c
2
(a
5
 + b
2
 + c
2
 )


1
a
 + b
2
 + c
2



  
1
a
 + b
2
 + c
2
(a
2
 + b
2
 + c
2
 )
2
 (23.1) 
Cộng bất đẳng thức này với các bất đẳng thức tương tự, ta được 
∑
1
a
2
 + b
2
 + c
2
  
1
a
 + 
1
b
 + 
1
c
 + 2(a
2
 + b
2
 + c
2
 )
(a
2
 + b
2
 + c
2
 )
2
. (23.2) 
Theo đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau là đủ 
1
a
 + 
1
b
 + 
1
c
  a2 + b
2
 + c
2
 . (23.3) 
Sử dụng giả thiết abc  1 kết hợp với bất đẳng thức cơ bản 
ab + bc + ca  a2 + b
2
 + c
2
 , 
ta có 
1
a
 + 
1
b
 + 
1
c
  
abc
a
 + 
abc
b
 + 
abc
c
 = ab + bc + ca  a2 + b
2
 + c
2
 (23.4) 
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.  
Bài 24. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Nếu k  1, thì 
1
a
2
 + b
2
 + k
 + 
1
b
2
 + c
2
 + k
 + 
1
c
2
 + a
2
 + k
  
3
2 + k
. (24). 
Lời giải. 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta được 
[a
2
 + b
2
 + 1 + (k - 1)]



1 + 1 + c
2
 + (k - 1)


a + b + c
3 

2



 



a + b + c + (k - 1)


a + b + c
3 




2
 = 
(k + 2)
2
 (a + b + c)
2
9
. (24.1) 
Từ đó suy ra 
1
a
2
 + b
2
 + k
  
9(c
2
 + 2) + (k - 1)(a + b + c)
2
(k + 2)
2
 (a + b + c)
2
. (24.2) 
Thực hiên đánh giá tương tự cho hai biểu thức còn lại, sau đó cộng vế theo vế của cả 
ba bất đẳng thức đó lại ta được 
 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 
vào chứng minh bất đẳng thức 
23 
∑
1
a
2
 + b
2
 + k
  
9

∑a2 + 6

 + 3(k - 1)

∑a

2
(k + 2)
2
 


∑a

2
 = 
9

∑a2 + 2∑ab

 + 3(k - 1)

∑a

2
(k + 2)
2
 


∑a

2
 (24.3) 
= 
3
k + 2
. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. 
Bài 25. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 
a
a
3
 + b
2
 + c
 + 
b
b
3
 + c
2
 + a
 + 
c
c
3
 + a
2
 + b
  1. (25) 
Lời giải. 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 
a
a
3
 + b
2
 + c
 = 
a


1
a
 + 1 + c



(a
3
 + b
2
 + c)


1
a
 + 1 + c



  
a


1
a
 + 1 + c



(a + b + c)
2
 (25.1) 
= 
1 + a + ca
9
. 
Suy ra ta chỉ cần chứng minh được 
1 + a + ca
9
 + 
1 + b + ab
9
 + 
1 + c + bc
9
  1, (25.2) 
Hay ab + bc + ca  3, (25.3) 
Hiển nhiên đúng theo kết quả quen thuộc ab + bc + ca  
(a + b + c)
2
3
. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.  
Bài 26. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
(3a - b + c)
2
2a
2
 + (b + c)
2
 + 
(3b - c + a)
2
2b
2
 + (c + a)
2
 + 
(3c - a + b)
2
2c
2
 + (a + b)
2
  
9
2
. (26) 
Lời giải. 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 
(3a - b + c)
2
2a
2
 + (b + c)
2
  
(3a - b + c)
2
2a
2
 + 2(b
2
 + c
2
 )
. (26.1) 
Do đó ta chỉ cần chứng minh được 
 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 
vào chứng minh bất đẳng thức 
24 
(3a - b + c)
2
 + (3b - c + a)
2
 + (3c - a + b)
2
  9(a
2
 + b
2
 + c
2
 ). (26.2) 
Sau khi triển khai và rút gọn, ta được 
a
2
 + b
2
 + c
2
  ab + bc + ca , (26.3) 
là một kết quả khá quen thuộc. 
Vì vậy, phép chứng minh của ta được hoàn tất. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.  
Bài 27. Cho a, b, c là các số thực dương sao cho abc = 1. Chứng minh 
1
1 + a + b
2
 + 
1
1 + b + c
2
 + 
1
1 + c + a
2
  1. (27) 
Lời giải 
Đặt a = x3 , b = y
3
 và c = z
3
 . Ta phải chứng minh 
1
1 + x
3
 + y
6
 + 
1
1 + y
3
 + z
6
 + 
1
1 + z
3
 + z
6
  1. (27.1) 
Với x, y, z > 0 và xyz = 1. 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 
1
1 + x
3
 + y
6
 = 
z
4
 + x + 
1
y
2
(1 + x
3
 + y
6
 )



z
4
 + x + 
1
y
2
 


  
z
4
 + x + 
1
y
2
(z
2
 + x
2
 + y
2
 )
2
 = 
z
4
 + x
2
 yz + z
2
 x
2
(x
2
 + y
2
 + z
2
 )
2
. (27.2) 
Ta cần chứng minh 
∑(z4 + x
2
 yz + z
2
 x
2
 )  (x
2
 + y
2
 + z
2
 )
2
 , (27.3) 
Hay xyz(x + y + z)  x2 y
2
 + y
2
 z
2
 + z
2
 x
2
 . (27.4) 
Đây là một kết quả quen thuộc. 
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.  
Nhận xét: Ngoài ra, kết quả tổng quát hơn vẫn còn đúng: Cho a, b, c là các số thực 
dương thỏa mãn abc = 1. Khi đó với mọi k > 0, ta có 
1
1 + a + b
k
 + 
1
1 + b + c
k
 + 
1
1 + c + a
k
  1. (27.5) 
Bài 28. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có 
1
a
3
 + b
3
 + abc
 + 
1
b
3
 + c
3
 + abc
 + 
1
c
3
 + a
3
 + abc
  
1
abc
 . (28) 
Lời giải 
 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 
vào chứng minh bất đẳng thức 
25 
Sử dụng tính thuần nhất, ta có thể chuẩn hóa cho abc = 1. Từ đó bất đẳng thức cần 
chứng minh có thể được viết thành 
1
a
3
 + b
3
 + 1
 = 
1
a
 + 
1
b
 + c
2
(a
3
 + b
3
 + 1)


1
a
 + 
1
b
 + c
2



  
1
a
 + 
1
b
 + c
2
(a + b + c)
2
 = 
bc + ca + c
2
(a + b + c)
2
 = 
c
a + b + c
. 
(28.2) 
Cộng tương ứng bất đẳng thức này với hai đánh giá tương tự, vế theo vế, ta suy ra 
ngay kết quả cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.  
 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 
vào chứng minh bất đẳng thức 
26 
PHẦN III. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Phan Huy Khải, 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức, tập 1, Nhà xuất bản Hà 
Nội 1998 
[2] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất bản Tri Thức, 2006 
[3] Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Bất đẳng thức và những lời giải hay, Nhà 
xuất bản Hà Nội 2009 
[4] Trần Phương, Những viên kim cương trong bất đẳng thức Toán học, Nhà xuất 
bản Tri Thức, 2009 
[5] Wikipedia, Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, [Online: 
BB%A9c_Cauchy-Schwarz].