Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm khi tính tích phân hữu tỷ

11 1
2 2
00 0
1 1 1 1
2 64 4 2
I dx dx
xx x x
    
  
  
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: 
1
2
1
1
4 12 9
I dx
x x


 
Giải. 
   
1
1 1
2 2
1 1 1
1 1 1 2
2 2 3 54 12 9 2 3
I dx dx
xx x x  
    
  
  
2.3 Giải pháp 3: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một tam 
thức bậc hai. 
Tính tích phân 
2
n
m
px q
I dx
ax bx c


 
 với tam thức bậc hai 2ax bx c  có nghiệm kép 
1 2
2
b
x x
a
   . 
Phương pháp chung: 
2 2 2
( )
2 2
. .
2 2
n n n
m m m
b pb
p x q
px q px q a aI dx dx dx
ax bx c b b
a x a x
a a
  
 
   
     
    
   
   
2
2 2ln
2
. .
2 22
n
nn
m m
m
pb pb
q q
p p ba adx x
b ba aba x a xa x
a aa
 
  
     
                 
 
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: 
1
2
0
2 1
4 4
x
I dx
x x


 
Giải. 
 
1 1 1
2 2 2
0 0 0
1
1
0
0
2 1 2( 2) 3 2 3
24 4 ( 2) 2
3 3
2ln | 2 | 2 ln 2
2 2
x x
I dx dx dx
xx x x x
x
x
   
    
     
     

  
Nhận xét: Ngoài trường hợp thêm bớt để được tổng các hàm số có nguyên hàm 
cơ bản thì bài toán trên ta có thể dung phương pháp hệ số bất định. 
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 7 
2 2
2 1
; 2 1 2 ; (*)
4 4 ( 2) 2
3
2
x A B
x x Bx A B x
x x x x
A
B

        
   

 

Do đó: 
 
11 1
1
22 0
00 0
2 1 2 3 3 3
2ln | 2 | 2ln 2
4 4 2 2 22
x
I dx dx x
x x x xx
 
         
     
  
2.4 Giải pháp 4: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một tam 
thức bậc hai. 
 Tính tích phân 
2
1
q
p
I dx
ax bx c

 
 hoặc 
2
'
q
p
mx n
I dx
ax bx c


 
 với tam thức bậc hai 
2ax bx c  vô nghiệm . 
Phương pháp chung: 
2 2 2
1 1
(m )
q q
p p
I dx dx
ax bx c x n h
 
    
Đổi biến số: | | . tantmx n h  
2 2
2
2 2
(2 )
2 2'
(2 )
2 2 ln | | ( )
2 2
q q
p p
qq q
pp p
m mb
ax b n
mx n a aI dx dx
ax bx c ax bx c
m mb
ax b n
m mba adx dx ax bx c n I
a aax bx c ax bx c
  

 
   
 
      
   
 
 
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: 
1
2
0
1
1
I dx
x


Giải: 
1
2
0
1
1
I dx
x


. Đặt  dttdxtx 2tan1tan  . 
Đổi cận: 0 0x t   và 1
4
x t

   
Suy ra: 
1 4 4
2
4
2 2 0
0 0 0
1 1
.(1 tan ). 1.
41 tan 1
I dx t dt dt t
x t
 
 
     
   
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: 
1
2
0
1
1
x
I dx
x



Giải: 
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 8 
11 1 1
2
2 2 2
00 0 0
1 1 2 1 1 1
ln | 1 | ln 2
2 2 2 41 1 1
x x
I dx dx dx x I
x x x

       
    
Ví dụ 3: Tính tích phân sau: 
1
2
0
1
1
I dx
x x

 
Giải 
1 1
2
20 0
1 1
1 31
( )
2 4
I dx dx
x x
x
 
 
 
  . Đặt  
21 3 3.tan 1 tan
2 2 2
x t dx t dt     
Đổi cận: 0
6
x t

   và 1
3
x t

   
Suy ra: 
  
9
3
3
32
3
32
tan1
2
3
.
4
3
tan
4
3
1
1
1 3
6
3
6
3
6
2
2
1
0
2











  tdtdtt
t
dx
xx
I 
Ví dụ 4: Tính tích phân sau: 
0
2
1
2 1
2 2
x
I dx
x x



 
Giải 
0 0 0 0
2 2 2 2
1 1 1 1
2 1 2 2 3 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x
I dx dx dx dx
x x x x x x x x
   
    
   
          
0
0
2
21
1
3 3
ln | 2 2 | ln 2
4( 1) 1
x x dx
x




     
 
. 
Nhận xét: Việc giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số còn phụ thuộc vào 
các cận của tích phân. 
2.5 Giải pháp 5: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức 
bậc lớn hơn hai. 
Tính tích phân 
( )
( )
b
a
f x
I dx
g x
  với      1 2( ) . ... ng x x a x a x a    
Ví dụ 1: Tính tích phân 
3 2
3 2
2
2 5 3
2
x x
I dx
x x x
 

 
Phân tích: 
   
2
3 2
2 2
2 5 3
;
1 22
2 5 3 2 2 ; (*)
x x A B C
x
x x xx x x
x x A B C x A B C x A x
 
   
  
          
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 9 
Dùng phương pháp hệ số bất định (hay đồng nhất thức) ta có: 
3
2 3 2
(*) 2 5 2
2 5
2
A
A
A B C B
A B C
C

  

        
     

Khi đó: 
3 3 3 32
3 2
2 2 2 2
2 5 3 3 1 1 5 1
2
2 1 2 22
x x
I dx dx dx dx
x x xx x x
 
   
     
3 3 3
2 2 2
3 5 3 3 5 5
ln | | 2 ln | x 1 | ln | 2 | ln 2 ln 2 ln
2 2 2 2 2 4
x x        
Ví dụ 2: Tính tích phân 
7 3
4 2
3
2
5 4
x
I dx
x x


 
Phân tích: 
3
4 2
2
;
1 2 1 25 4
x A B C D
x
x x x xx x

    
    
           3 2 2 2 22 4 1 1 2 4 1 D 1 2 ; (*)x A x x B x x C x x x x x               D
ùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có: 
Thay x = 1 vào (*) , ta có : 
1
6 3
2
A A     
Thay x = 2 vào (*) , ta có : 
5
12 10
6
B B   
Thay x = – 1 vào (*) , ta có : 
1
6 3
6
C C   
Thay x = – 2 vào (*) , ta có : 
1
12 6
2
D D     
Khi đó: 
7 7 7 7 73
4 2
3 3 3 3 3
2 1 1 5 1 1 1 1 1
2 1 6 2 6 1 2 25 4
x
I dx dx dx dx dx
x x x xx x

     
        
7 7 7 7
3 3 3 3
1 5 1 1 1 5 1 1 9
ln | 1 | ln | x 2 | ln | 1 | ln | 2 | ln 3 ln 5 ln 2 ln
2 6 6 2 2 6 6 2 5
x x x             
1 1 3
ln 6450 ln
6 2 5
  
Ví dụ 3: Tính tích phân 
2 3
3 2
3
1
5 6
x
I dx
x x x




 
Phân tích: 
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 10 
3 2
3 2 3 2
1 5 6 1
1
5 6 5 6
x x x
x x x x x x
  
 
   
Ta có: 
2
3 2
5 6 1
;
2 35 6
x x A B C
x
x x xx x x
 
   
  
      25 6 1 2 3 3 2 ; (*)x x A x x B x x C x x x           
Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có: 
Thay x = 0 vào (*) , ta có : 
1
6 1
6
A A   
Thay x = 2 vào (*) , ta có : 
9
2 9
2
B B     
Thay x = 3 vào (*) , ta có : 
28
3 28
3
C C   
Khi đó: 
2 23 2
3 2 3 2
3 3
1 5 6 1
1
5 6 5 6
x x x
I dx dx
x x x x x x
 
 
   
   
    
  
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 9 1 28 1
1
6 2 2 3 3
dx dx dx dx
x x x
   
   
   
    
2 2 2 2
3 3 3 3
1 9 28 1 2 9 4 28 5
ln | x | ln | 2 | ln | 3 | 1 ln ln ln
6 2 3 6 3 2 5 3 6
x x x
   
   
          
2.6 Giải pháp 6: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức 
bậc lớn hơn hai. 
Tính tích phân: 
( )
( )
b
a
f x
I dx
g x
  ;với           1 2 1 1( ) . ... ...
k
i i i ng x x a x a x a x a x a x a        
Ví dụ 1: Tính tích phân 
0 2
3
1
3 3 3
3 2
x x
I dx
x x

 

 
Phân tích: 
Ta có: 
2
3 2
3 3 3
;
1 23 2 ( 1)
x x A B C
x
x xx x x
 
   
   
     
223 3 3 2 1 ( 2) 1 ; (*)x x A x B x x C x x           
Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có: 
Thay x = 1 vào (*) , ta có : 3 9 3A A   
Thay x = -2 vào (*) , ta có : 9 9 1C C   
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 11 
Thay x = 0 vào (*) , ta có : 2 2 3 2A B C B     
Khi đó: 
0 2
3
1
3 3 3
3 2
x x
I dx
x x

 

 
00 0 0
0 0
2 1 1
11 1 1
1 1 1 3
3 2 2ln 1 ln 2
1 2 1( 1)
dx dx dx x x
x x xx    

       
    
3
ln 2
2
  
Ví dụ 2: Tính tích phân 
0
2 2
1
4 4
( 4 3)
x
I dx
x x



 
Ta có: 
          
2 2 2 2
2 2 2 2
4 4
;
1 3( 4 3) ( 1) ( 3)
4 4 1 3 3 1 3 D 1 ; (*)
x A B C D
x
x xx x x x
x A x x B x C x x x x

    
    
            
Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có: 
Thay x = 1 vào (*) , ta có : 4 8 2B B   
Thay x = 3 vào (*) , ta có : 4 16 4D D   
Thay x = 2 vào (*) , ta có : 12 6A B C D A C       
Thay x = 0 vào (*) , ta có : 9 9 3 4 3 6A B C D A C        
Suy ra: A = 3 và C = – 3 
Khi đó: 
0 0
2 2 2 2
1 1
4 4 3 2 3 4
1 3( 4 3) ( 1) ( 3)
x
I dx dx
x xx x x x
 
  
     
     
  
0 0 0
1 11
1 2 4 2 4
3ln 3ln
3 1 3 3 3
x
x x x 

    
  
2.7 Giải pháp 7: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức 
bậc lớn hơn hai. 
Tính tích phân 
( )
( )
b
a
f x
I dx
g x
  
với           2 21 2 1( ) . ... ... ; 4 0i ng x x a x a x a x mx l x a m l         
Ví dụ 1: Tính tích phân 
1 2
4 2
0
1
1
x
I dx
x x


 
Ta có:     
2
4 2 4 2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 1x x x x x x x x x x x              
Nên: 
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 12 
     
2
4 2 2 2
2 2 2
1
;
1 1 1
1 1 1 ; (*)
x Ax B Cx D
x
x x x x x x
x Ax B x x Cx D x x x
  
  
     
          
     2 3 21 ; (*)x A C x A B C D x A B C D x B D x                
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có: 
0 0 0
1 1 / 2 1 / 2
0 0 0
1 1 1 / 2
A C A C A
A B C D C D B
A B C D D B C
B D B D D
      
           
   
        
        
Khi đó: 
1 1 12
1 24 2 2 2
0 0 0
1 1/ 2 1/ 2
1 1 1
x
I dx dx dx I I
x x x x x x

    
       
Tính: 
1
1 2
0
1/ 2
1
I dx
x x

 
Giải 
1 1
1 2
20 0
1 1 1 1
1 32 21
( )
2 4
I dx dx
x x
x
 
 
 
  .Đặt  
21 3 3.tan 1 tan
2 2 2
x t dx t dt     
Đổi cận: 0
6
x t

   và 1
3
x t

   
Suy ra: 
  
1 3 3 3
2
1 2
20
66 6
1 1 1 1 3 3 3 3
1 tan 1.
3 32 2 2 3 3 181
tan
4 4
I dx t dt dt t
x x
t
  
 

     
 

   
Tính: 
1
2 2
0
1/ 2
1
I dx
x x

 
Giải 
1 1
2 2
20 0
1 1 1 1
1 32 21
( )
2 4
I dx dx
x x
x
 
 
 
  .Đặt  
21 3 3.tan 1 tan
2 2 2
x t dx t dt     
Đổi cận: 0
6
x t

    và 1
6
x t

   
Suy ra: 
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 13 
  
1 6 6 6
2
2 2
20
66 6
1 1 1 1 3 3 3 3
1 tan 1.
3 32 2 2 3 3 91
tan
4 4
I dx t dt dt t
x x
t
  
 

 
     
 

   
Vậy 1 2
3
6
I I I

   
Ví dụ 2: Tính tích phân 
1 2
4
0
1
1
x
I dx
x



Ta có:     
2
4 4 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 1 2 1x x x x x x x x x x             
Phân tích: 
2
4 2 2
1
;
1 2 1 2 1
x Ax B Cx D
x
x x x x x
  
  
    
     2 2 21 2 1 2 1 ;x Ax B x x Cx D x x x          
     2 3 21 2 2 2 2 x B D;x A C x A B C D x A B C D x               
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có: 
2
2
0
1
2 2 1 2
2 2 0 2
2B D 1
1
2
A
A C
B
A B C D
A B C D
C
D

 
 
       
  
    

    
  

Khi đó: 
   
1 1 12
4 2 2
0 0 0
11
2
2 2
2
0 0
1 2 2 2 2 2 2
4 41 2 1 2 1
2 2 2 1 2
ln 2 1 ln 2 1 ln ln 3 2 2
4 4 42 1
x x x
I dx dx dx
x x x x x
x x
x x x x
x x
  
  
    
  
         
   
  
2.8 Giải pháp 8: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức 
bậc lớn hơn hai. 
Tính tích phân 
( )
( )
b
a
f x
I dx
g x
  
với           2 21 2 1( ) . ... ... ; 4 0
k
i ng x x a x a x a x mx l x a m l         
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 14 
Ví dụ 1: Tính tích phân 
 
5 2
2
2
1
2 18
6 13
x
I dx
x x


 
 
Ta có: 
   
2
2 2 2
2 2
2 18
;
6 136 13 6 13
x Ax B Cx D
x
x xx x x x
  
  
    
    2 22 18 6 13 ; (*)x Ax B Cx D x x x         
   2 3 22 18 6 13 6 13 ;x Cx C D x A C D x B D x            
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có: 
0 12
6 2 8
13 6 0 0
13 18 2
C A
C D B
A C D C
B D D
  
      
  
    
    
Khi đó: 
   
5 5 52
2 2 2
2 2
1 1 1
2 18 12 8 2
6 136 13 6 13
x x
I dx dx dx
x xx x x x
 
  
    
   
     
5 5 5
2 2 2
22
1 1 1
2 6 1 2
6 28
3 46 13 3 4
x
dx dx dx
xx x x

  
     
 
   
1 2 3I I I   
Với 
 
55
1 2 2
2
1 1
2 6 6
6 0
6 136 13
x
I dx
x xx x
  
   
   
 
 
5
2 2
2
1
1
28
3 4
I dx
x

  
 
 . Đặt  
23 2 tan 2 1 tanx t dx t dt     
Đổi cận: 1
4
x t

    và 5
4
x t

   
   
4 4 4
2 2
2 2
2
4 4 4
4
4
1 7 7
28 .2 1 tan cos 1 cos 2
2 44 tan 4
7 1 7
sin 2 1
4 2 4 2
I t dt tdt t dt
t
t t
  
  



  

    
  
   
      
   
  
 
5
3 2
1
1
2
3 4
I dx
x

 
 . Đặt  
23 2 tan 2 1 tanx t dx t dt     
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 15 
Đổi cận: 1
4
x t

    và 5
4
x t

   . 
 
4 4
2 4
3 2
4
4 4
1
2 .2 1 tan 1
24 tan 4
I t dt dt t
t
 


 


 
    
 
Vậy 1 2 3
11 7
8 4
I I I I

     
Ví dụ 2: Tính tích phân 
  
1 2
2
2
0
2 2 13
2 1
x x
I dx
x x
 

 
 
Phân tích: 
    
2
2 2 2
2 2
2 2 13
;
2 12 1 1
x x A Bx C Dx E
x
x xx x x
   
   
   
        2 2 22 2 13 1 2 1 2 ; (*)x x A x Bx C x Dx E x x x             
     
 
2 4 3 22 2 13 2 2 2
 2 2 2 2 ;
x x A D x D E x A B D E x
B C D E x A C E x
           
        
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có: 
0 1
2 0 3
2 2 2 4
2 2 2 1
2 2 13 2
A D A
D E B
A B D E C
B C D E D
A C E E
   
     
  
        
       
 
      
Khi đó: 
      
1 1 1 12
2 2 2
2 2
0 0 0 0
2 2 13 1 3 4 2
2 12 1 1
x x x x
I dx dx dx dx
x xx x x
   
   
   
    
     
1 1 1 1 1
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0 0
1 3 2 4 1 2 1
2
2 2 2 1 11 1
x x
dx dx dx dx dx
x x xx x
    
   
     
 
1 1 1
11 2
2 2 20 0 2
0 0 0
1 2 1 2
3 1 1 4 1
ln 2 ln 1 2
2 21 11
3 1 3 3
ln 2 ln 2 ln 2
4 2 2 4
x x dx dx
x xx
I I I I
      
 
          
 
Tính 
 
1
1 2
2
0
4
1
I dx
x


 . Đặt  
2tan 1 tanx t dx t dt    . 
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 16 
Đổi cận: 0 0x t   và 1
4
x t

   
Suy ra: 
 
   
4 4 4
2 2
1 2
2
0 0 0
4
1 tan 4cos 2 1 cos 2
tan 1
I t dt tdt t dt
t
  
    

   
  4
0
2
2 sin 2
2
t t
  
   
Tính 
1
2 2
0
1
2
1
I dx
x


. Đặt  2tan 1 tanx t dx t dt    . 
Đổi cận: 0 0x t   và 1
4
x t

   
Suy ra:  
4 4
2
4
2 2 0
0 0
2
1 tan 2 2
2tan 1
I t dt dt t
t
 
 
    
 
Vậy: 1 2
3 3 3 7
ln 2 ln 2
2 4 2 4
I I I          
2.9 Các bài tập áp dụng 
Tính các tích phân sau: 
1
2
0
1
1) 
9 6 1
I dx
x x

 
2
2
0
1
2) 
2 2
I dx
x x

 
4
3 2
2
1
3) 
2
I dx
x x x

 
1
32
2
0
4) 
1
x
I dx
x


1 2
4
0
1
5) 
1
x
I dx
x



1 5
22
4 2
1
1
6) 
1
x
I dx
x x



 
2 3 2
2
0
2
7) 
4 5
x x
I dx
x x


 
1 2
3 2
0
2 8 10
8) 
4 4
x x
I dx
x x x
 

  
0 4 2
3 2
1
5 3 7
9) 
4 4
x x x
I dx
x x x

  

  
 
0
2
2
1
10) 
4 3
x
I dx
x x

 
 
 
1 4 3
2
2
0
8 1
11) 
5 6
x x x
I dx
x x
  

 
 
 
0 3 2
2
2
1
3 6
12) 
2 1
x x x
I dx
x x
  

 
 
 
2
3
1
1
13) 
1
I dx
x x


 
2 4
4 2
1
14) 
2 5 3
x
I dx
x x

 
2
5 2
2
1
15) I dx
x x


2 4
6
1
1
16) 
1
x
I dx
x



 
1 2
2
2
0
2 5 17
17) 
1
x x
I dx
x x
 

 
 
  
1
2
2
0
4 3
18) 
1 3 5
x
I dx
x x x


  
 
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 
Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp 12 cơ 
bản, 12 nâng cao và luyện thi Đại học. Trong quá trình học chuyên đề này, học 
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 17 
sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học 
sinh niềm đam mê, yêu thích môn Toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận 
dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, 
tự nghiên cứu. Kết quả của việc dạy học thực nghiệm lớp 12A1 với lớp dạy không 
thực nghiệm 12A4 như sau: 
Đề ra: 
Tính các tích phân sau: 
dx
x
Ia  

1
0
2 4
4
) dx
xx
Ib 



1
1
2 44
3
) dx
xx
x
Ic  


1
0
2 432
34
) 
dx
x
xx
Id  


3
1
2
2
1
23
) dx
x
x
Ie  


2
1
6
4
1
1
) dx
xx
xxx
If  


1
0
22
34
)65(
18
) 
Kết quả của lớp dạy thực nghiệm 12A1 là 
Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8,5 9 10 
Số 
lượng 
 2 5 7 15 11 1 
Kết quả của lớp không dạy thực nghiệm 12A4 là 
Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Số 
lượng 
5 6 4 8 4 3 
Dựa vào kết quả khảo sát thực nghiệm, ta thấy rằng ở lớp dạy thực nghiệm 
của lớp 12A1 thì tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên là 39/41 chiếm tỉ lệ 
95,12%. Đặc biệt tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi khá cao. Trong khi đó, ở lớp không 
dạy thực nghiệm 12A4 thì tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình rất thấp, chỉ có 7/30 
chiếm tỉ lệ 23,33%, không có học sinh nào đạt điểm khá và giỏi. Qua đó giúp tôi tự 
tin hơn khi thực hiện đề tài này. 
V. KẾT LUẬN 
 Dạng toán tích phân nói chung và tích phân hữu tỷ nói riêng rất đa dạng và 
phong phú. Mỗi bài toán có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh 
hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên 
đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy 
sự sáng tạo. Để đạt được kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều 
thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan. 
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 18 
 Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã 
hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài 
toán phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải. 
 Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải, song việc tìm ra một lời gải hợp 
lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ. Giáo viên trước hết phải cung 
cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh 
cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vận dụng linh hoạt 
các kiến thức cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải quyết bài toán tạo cho học sinh 
tác phong tự học, tự nghiên cứu. 
 Trong khuôn khổ thời gian có hạn, tôi cũng chỉ đưa ra được các ví dụ, các 
bài toán điển hình. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các độc giả và đồng nghiệp 
để chuyên đề này ngày càng được đầy đủ và hoàn thiện hơn. 
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương 
– Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2008). Đại số và giải tích 12 (cơ bản), NXB 
Giáo dục . 
 [2]. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn 
Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng (2008). Đại số và giải tích 12 (nâng cao), NXB 
Giáo dục 
[3]. Trần Phương (2010). Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, 
NXB Đại học quốc gia Hà Nội . 
[4]. Phan Huy Khải (2010). Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học, NXB Đại 
học quốc gia Hà Nội 
 Sông Ray, ngày 19 tháng 5 năm 2015 
 Người thực hiện 
 Trần Bá Tuấn